2016-2017年度高三第五次联合考试（期末）数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．3、本试卷主要考试内容：必修一、三，必修五第三章不等式（不含线性规划）．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,0,1,2,3,4},{|16,}A B x x x N =-=<∈，则A B 等于（ ） A ．{1,0,1,2,3}- B ．{0,1,2,3,4} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2,3} 2. 复数21ii++的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示：若,x y 之间的线性回归方程为ˆˆ12.28ybx =+，则ˆb 值为（ ） A ．0.92- B ．0.94- C ．0.96- D ．0.98-4.在平行四边形ABCD 中，3,4AB AD ==，则AC DB ⋅等于（ ）A ． 7-B ．1C ．7D ．255.在我刚明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（ ）A ．3盏灯B ．192盏灯C ．195盏灯D ．200盏灯6.执行如图所示的程序框图，若输出的8k =，则输入的k 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．1)π++B ．1)2π++C ．1)π-D ．1) 8.将函数cos(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位后，得到()f x 的图象，则（ ）A ．()sin 2f x x =-B ．()f x 的图象关于3x π=-对称C ．71()32f π= D ．()f x 的图象关于(,0)12π对称 8.已知奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，当01x <<时，()2xf x =，则2(log 9)f 的值为（ ）A ．9B ．19-C ．169-D ．16910.已知(,2)B m b 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上一点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若60AOB ∠= ，则该双曲线的渐近线的方程为（ ）A．y = B．y x = C．y x = D．y x = 11. 已知三棱锥A BCD -内接与球O，且BC BD CD ===A BCD -体积的最大值为O 的表面积为（ ） A ．16π B ．25π C ．36π D ．64π12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式2(ln 1)(ln 1)f ax x f ax x -+++--()31f ≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]2,eB ．1[,)e +∞ C ．1[,]e e D ．12ln 3[,]3e +第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线210x y =- ．14.若,x y 满足约束条件28390,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则4x y +的最大值为 ．15.若(0,)2πα∈，且cos 2)4παα=+，则tan α= ． 16.已知函数()f x 满足2(1)41f x x x +=--+，函数()()4,4,f x x mg x x x m -≤⎧=⎨->⎩有两个零点，则m 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos (2)cos A b C =-． （1）求角C ；（2）若,6A ABC π=∆D 为AB 的中点，求sin BCD ∠．18. （本小题满分12分）为调查了解某高等院校毕业生参加工作后，从事对工作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如下表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关？”参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 附表：（2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率，并估计该校近3年毕业的2000名大学生总从事的工作与大学所学专业对口的人数；（3）若从工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙，女生对丙、丁，让他们两两进行一次10分钟的职业交流，该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录，然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站，试求选取的视频恰为异性交流视频的概率． 19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，且163411,12a a a a ⋅=+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1122n n n a a ++-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 20. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，点,,,E F M S 分别为棱,,PB AD,AB CD 的中点，G 为线段EM 的中点，且24,PA AB AD N ===为SM 上一点，且//NG 平面CEF（1）确定N 的位置，并求线段NG 的长；（2）平面CEF 与PA 交于点K ，求三棱锥B CKN -的体积． 21. （本小题满分12分）已知a R ∈，函数()()()32,(3)f x x ax ax a g x f x a x =-++=+-．（1）求证：曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,4)；（2）若()1g 是()g x 在区间(0,3]上的极大值，但不是最大值，求实数a 的取值范围． 22. （本小题满分12分）设点F 为椭圆22:1(0)43x y C m m m+=>的左焦点，直线y x =被椭圆C 截得弦长为． （1）求椭圆C 的方程；（2）圆222:(((0)P x y r r +=>与椭圆C 交于,A B 两点，M 为线段AB 上任意一点，直线FM 交椭圆C 于,P Q 两点AB 为圆P 的直径，且直线FM 的斜率大于1，求PF QF ⋅的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:DACAC 6-10:CABCC 11、B 12：D二、填空题13.25 14.16 15. 1316.[2,0)[4,)-+∞ 三、解答题17.解：（1cos (2)cos A b C =-，得2cos cos )b C cdosA a C =+， 由正弦定理可得2sin cos cos sin cos ))B C C A A C A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以cos C =，因为0C π<<， 所以6C π=． 5分（2）因为6A π=，故ABC ∆为等腰三角形，且顶角23B π=， 6分故21sin 2ABCS a B ∆===， 7分所以2a =，在DBC ∆中，由余弦定理得2222cos 7CD DB BC DB BC B =+-⋅=，所以CD =在DBC ∆中，由正弦定理可得sin sin CD DBB BCD =∠1sin BCD=∠，所以sin BCD ∠=． 12分 18.解：（1）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值为2280(3053510)80 2.051 3.8414040651539K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”．5分（2）这80为毕业生从事的工作与大学所学专业的概率为65138016=，6分由此估计该校近3年毕业的2000大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数为132000162516⨯=， 7分 （3）两两进行一次10分钟的职业交流的所有结果为（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共有6个基本事件， 10分其中异性交流的有4个基本事件，故所有概率为4263P ==． 12分 19. 解：（1）因为163412a a a a +=+=， 1分 所以16,a a 是方程212110x x -+=两根，且16a a <， 2分解得161,11a a ==，所以61510a a d -==，即2d =， 5分 所以21n a n =-． 6分（2）（方法一）因为11112222n n n nn n n a a a a ++++-=-， 8分所以3112121213211112112222222222n n n n n n n n a a a a a a a a n T ++++++=-+-+-=-=- ． 12分（方法二）因为112123222n n n n a a n ++--=-⨯， 7分所以23111323()22222n nn T --=-⨯++++ ， 所以23411111323()222222n n n T +--=-⨯++++ ， 8分所以21234111111122223112322()1222222242212n n n n n n n T +++----=-⨯++++-=-+⨯- ， 所以121122n n n T ++=- 12分20.解：（1）设CF 与SM 交于点O ，连接OE ，则N 为OM 的中点， 1分 证明如下：因为//NG 平面CEF ，且平面CEF 平面MOE EO =， 所以//NG OE ，又G 为线段EM 的中点， 则N 为OM 的中点， 3分因为E 为棱PB 的中点，所以//EM PA ，又PA ⊥底面ABCD ， 所以EM ⊥底面ABCD ， 4分则EM OM ⊥，因为12322OM +==，2EM =,所以1524NG OE ===， 6分（2）延长CF 交BA 的延长线于点Q ，由//AF BC ，且2BC AF =，得A 为QB 的中点， 7分连接EQ ，则但K 为PA 与QE 的交点， 8分易得AKQ MKQ ∆∆ ，则42423AK QA EM QM ===+，所以2433AK EM ==，10分因为BCN ∆的面积为12222⨯⨯=， 所以18239B CKN B CKNV V AK --==⨯⨯=. 12分 21.(1)证明：因为()232f x x ax a '=-+，所以()13f a '=-， 1分因为()11f a =+，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(3)(1)y a a x -+=--， 2分即(2)42a x x y -=--，令2x =，则4y =，故曲线曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,4)； 4分 （2）解：()()233223(1)[3(23)]g x f x a x ax a x x a ''=+-=-+-=---，令()0g x '=得1x =或233a x -=， 6分 因为()1g 是()g x 在区间(0,3]上的极大值，所以2313a ->，所以3a >，7分令()0g x '>，得1x <或()23,3a x g x ->递增；令()0g x '<，得()231,3a x g x -<<递减，因为()1g 不是()g x 在区间(0,3]上最大值，所以()g x 在区间(0,3]上的最大值为()3182g a =-， 10分 所以()3182(1)22g a g a =->=-，所以5a <，又3a >，所以35a <<． 12分22. 解：（1）由22143y xx ym m=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22127m x y ==，故==，解得1m =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． 3分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩又22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 4分 所以12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，则1212()()0x x y y ---=，故12121AB y y k x x -==-，则直线AB的方程为y x =+，即y x =C的方程并整理得270x +=，则120,x x ==，故直线FM的斜率)k ∈+∞， 7分 设:(1)FM y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=，设3344(,),(,)P x y Q x y ，则有223434228412,3434k k x x x x k k --+==++， 8分1+，所以22223434224128(1)()1(1)13434k k PF QF k x x x x k k k-⋅=++++=+-+++ 222991(1)(1)34434k k k=+=+++， 10分因为k ≥299112(1)44345k <+≤+， 即PF QF ⋅的取值范围是912(,]45． 12分11。
