中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线

第二节 三角形的基本概念及全等三角形以画图为背景利用内外关系求角度24河北五年中考真题及模拟三角形三边关系1．(2017河北中考)如图是边长为10 cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm )不正确的是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )2．(2013河北中考)如图①，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C ＝100°，如图②.则下列说法正确的是( C )图①图②A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远3．(2016邢台中考模拟)下列各组数中，能成为一个三角形的三条边长的是( A)A．2，3，4 B．2，2，4C．1，2，3 D．1，2，64．(2016邯郸中考模拟)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( D)A．2或4 B．11或13C．11 D．13三角形内外角关系5．(2014河北中考)如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是( B)A．20°B．30°C．70°D．80°,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2017河北中考模拟)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( C)A．45°B．60°C．75°D．90°7．(2016河北中考)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__76__°.……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝__6__°.三角形的四条重要线段8．(2016河北中考)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B)A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心(第8题图)(第9题图)9．(2014河北中考)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC＝( C)A．2 B．3 C．4 D．510．(2017河北中考)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m，则A，B间的距离为__100__m.全等三角形11．(2016唐山一模)在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3，5，7，9，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D)A．3个B．4个C．5个D．6个12．(2016河北中考)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.又AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE，AC∥DF.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.中考考点清单三角形的分类及三边关系1．三角形的分类(1)按角分类(2)按边分类2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边．任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角和定理及内外角关系4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段6.ADC线全等三角形及其性质7．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．8．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定全等三角形的证明及性质是河北中考的必考点，单独考查过，考查方式均为在解题过程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论．涉及到的背景有：(1)与三角形结合；(2)与四边形结合；(3)与圆结合．每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查，设问方式为证明线段之间的数量关系．9【方法技巧】证明三角形全等的思路：判定三角形全等⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS 已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA 找任一边→AAS线段的垂直平分线10．定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．11．判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．,中考重难点突破三角形三边之间的关系【例1】若一个三角形的两边长分别是3，8，若第三边长是奇数，则第三边的长是( A ) A ．5或7 B ．7 C ．9 D ．7或9【解析】先用三边关系确定好第三边的范围，再考虑奇数． 【答案】D1．(2017原创)若一等腰三角形的两边长分别为2，4，则此等腰三角形的周长为__10__．三角形内角和定理、外角与内角的关系【例2】(乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝35°，∠ACE ＝60°，则∠A ＝( )A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°【解析】利用角平分线的定义求得∠ACD 的度数，从而利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和求解．【答案】C2．(临沂中考)如图，直线AB∥CD，∠A ＝40°，∠D ＝45°，则∠1的度数等于( B ) A ．80° B ．85°C ．90°D ．95°(第2题图)(第3题图)3．(2017原创)如图，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( A ) A ．50° B ．60° C ．40° D ．30°全等三角形的性质与判定【例3】(2016沧州八中一模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【答案】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DC E ＝90°. 又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS )；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE， ∴∠BDC ＝∠E.∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°， ∴∠BDC ＝90°.4．(宜昌中考)如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个。

九年级数学中考第一轮复习⑷图形的认识㈠华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第一轮复习⑷图形的认识（一）三角形、四边形二. 重点、难点扫描：1. 几何初步：⑴点和线；⑵角⑶相交线与平行线；2. 角平分线、线段垂直平分线及其性质；3. 三角形：三角形的概念、三角形中位线的性质、等腰三角形与直角三角形；4. 全等三角形的性质与识别。

5. 多边形：多边形的内角和；多边形的外角和；用正多边形铺满地面。

6. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、特征及识别方法。

7. 等腰梯形的概念、等腰梯形的性质与判定。

三. 知识梳理：（一）几何初步、三角形1. 角的有关计算这类问题一般主要考查互余、互补、对顶角的性质及平行线的性质的运用，首先根据已知条件观察图形，分析角与角之间的数量关系，从中找到解决问题的思路及途径，在中考中通常和三角形的内角和定理，内外角性质，或特殊三角形相联系。

2. 角平分线与线段垂直平分线常利用线段的垂直平分线、角平分线的对称思想设计轴对称图形。

这部分内容动手操作性明显，我们在学习中要富于想像，敢于动手，积极动手，用自己的方法进行图案设计。

同时要特别注重观察、收集、分析生活中的图标、商标、建筑物装饰图案等。

3. 平行线的性质与判定的运用平行线的特征与识别是互逆的，有时易混淆，在中考中往往综合运用，也经常与后续知识，平行四边形、相似形等相联系，是中考的重点之一。

4. 三角形三边关系定理的运用三角形三边关系定理是三角形成立的先决条件，注意定理中的“任意”两字的含义，运用这个定理可确定第三边的取值范围。

中考中以选择、填空形式出现。

5. 等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形都是特殊的三角形，注意其特殊的性质，如：等边对等角“三线合一”、勾股定理等。

6. 全等三角形的性质与识别三角形的全等是相似的特殊情况，全等的三角形经平移、旋转、•翻折等运动后能完全重合。

三角形全等的识别方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，在直角三角形中还有HL。

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第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016选择5角平分线的性质角平分线的性质442014选择2平行线的性质两直线平行，同位角相等332013填空9平行线的性质两直线平行，同位角相等332012选择6平行线的性质角平分线、平行线的性质332011选择4平行线的性质需利用平行线的性质转化求角的度数332010填空12平行线的性质两直线平行，同位角相等33命题规律纵观怀化七年中考，此考点最多设一道题，均为选择题或填空题，题目简单，属于中考送分题.命题预测预计2017年怀化中考，本考点内容可能仍以利用平行线的性质求角度出现，题型为选择或填空题.,怀化七年中考真题及模拟)利用平行线的性质求角(5次)1．(2014怀化中考)将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1＝30°，则∠2的度数为( D) A．30°B．45°C．50°D．60°(第1题图)(第2题图)2．(2012怀化中考)如图，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D，∠C＝110°，则∠EAB为( B) A．30°B．35°C．40°D．45°3．(2011怀化中考)如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( A)A．100°B．60°C．40°D．20°(第3题图)(第4题图)4．(2016怀化二模)如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1＋∠B＝70°，则∠2的度数为( A)A．20°B．40°C．30°D．25°5．(2016怀化三模)如图，已知AB∥CD，则图中与∠1互补的角有( A)A．2个B．3个C．4个D．5个(第5题图)(第6题图)6．(2016溆浦模拟)如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长为( B)A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm7．(2016沅陵模拟)如图，AB∥CD，直线MN交A B于点O，过点O作EO⊥MN，交CD于点E.若∠1＝42°，则∠2的度数为( C)A．42°B．45°C．48°D．58°8．(2016会同模拟)如图，直线a，b及木条c在同一平面上，将木条c绕点O旋转到与直线a平行，其最小旋转角为( B)A．100°B．90°C．80°D．70°(第8题图)(第9题图)9．(2016中方模拟)如图，直线l1∥l2，∠BAC＝125°，∠ABD＝85°，则∠1＋∠2＝( A)A．30°B．35°C．36°D．40°10．(2016原创)如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M 到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有( D) A．1个B．2个C．3个D．4个(第10题图)(第11题图)11．(2013怀化中考)如图，已知直线a∥b，∠1＝35°，则∠2＝__35°__．,中考考点清单)线段与直线1．线段(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．(3)线段的和与差：如图(1)，已知两条线段a 和b ，且a>b ，在直线l 上画线段AB ＝a ，BC ＝b ，则线段AC 就是线段a 与b 的和，即AC ＝__a ＋b__．如图(2)，在直线l 上画线段AB ＝a ，在AB 上画线段AD ＝b ，则线段DB 就是线段a 与b 的差，即DB ＝a －b.(4)线段的中点：如图(3)，线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就叫做线段AB 的中点，此时有__AM__＝MB ＝12AB ，AB ＝2AM ＝2MB.2．直线(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形．(2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．角及角平分线3．角的分类 (1)分类分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 度数 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° α＝180° α＝360°1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝(160)°，1″＝(160)′.4．角平分线的概念及性质(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线． (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 警示：到角两边距离相等的点在角平分线上． 5．余角、补角、邻补角(1)余角：A.如果两个角的和为__90°__，那么这两个角互为余角； B ．同角(等角)的余角相等．(2)补角：A.如果两个角的和为__180°__，那么这两个角互为补角； B ．同角(等角)的补角相等．(3)邻补角：A.两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角； B ．互为邻补角的两个角的和为180°.相交线三线八角(如图)6．同位角有：∠1与__∠5__，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.7．内错角有：∠2与__∠8__，∠3与∠5.8．同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__∠5__．9．对顶角：∠1与∠3为对顶角，∠2与__∠4__为对顶角，∠5与∠7为对顶角，∠6与__∠8__为对顶角．垂线及其性质10．定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．11．基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．12．性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．13．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段长度．14．线段垂直平分线：(1)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__相等__．(2)逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．平行线的判定及性质15．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．16．两条平行线之间的距离处处相等．17．性质：(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝__∠2__.(2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝__∠3__．(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋__∠4__＝180°.18．判定：(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．(2)同位角相等，两直线平行．(3)内错角相等，两直线平行．(4)同旁内角互补，两直线平行．(5)平行于同一条直线的两条直线平行．命题与定理19．命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由条件、结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．20．真命题：如果条件成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．21．假命题：条件成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．22．定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明．【方法技巧】利用平行线性质求角度：先观察要求角与已知角的位置关系，再选择合理的角度进行等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质．另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三角形内外角关系等知识的运用．,中考重难点突破)补角、余角的计算【例1】一个角的度数是40°，那么它的余角的补角度数是( )A．130°B．140°C．50°D．90°【解析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此求出度数．【学生解答】A1．将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( C)A．4个B．3个C．2个D．1个(第1题图)(第2题图)2．如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是( D)A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠3＝180°C．∠2＋∠4<180°D．∠3＋∠5＝180°平行线的性质【例2】如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，则∠2的度数为( )A．115°B．125°C．155°D．165°(例2题图)(例2题解图)【解析】如解图，过点D作c∥a，则∠1＝∠CDB＝25°，又∵a∥b，DE⊥b，∴b∥c，DE⊥c，∴∠2＝∠CDB＋90°＝115°.【学生解答】A3．(2016陕西中考)如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交直线CD于点E，若∠C＝50°，则∠AED＝( B)A．65°B．115°C．125°D．130°,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．(2016泰州中考)如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于__20°__．平行线的实际应用【例3】如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点，这时∠ABC的度数是( )A．120°B．135°C．150°D．160°【解析】首先找准方位角，并从中找出互相平行的直线．【学生解答】C5．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为( D)A．45°B．50°C．60°D．75°,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．一次数学活动课上，小聪将一副三角板按如图所示方式叠放，则∠α等于( D)A．30°B．45°C．60°D．75°。