高二数学归纳推理和类比推理

推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。

归纳推理、类比推理第三周归纳推理、类比推理一、归纳推理(一)归纳推理：以个别或特殊性知识为前提，推出一般性结论的推理。

它包括完全归纳和不完全归纳，两者的区别在于前者考察了一类中的每一个对象，而后者只考察了一类中的部分对象。

其逻辑结构：S1是(不是)P S1是(或不是)PS2是(不是)P S2是(或不是)PS3是(不是)P S3是(或不是)P…………Sn是(不是)P Sn是(或不是)PS1、S2、S3……Sn是S类的全部对象S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象所以，所有的S是(不是)P 所以，所有的S都是(或不是)P根据前提中是否考察了事物对象与其属性之间的内在联系，不完全归纳推理分为简单枚举法和科学归纳法。

1.简单枚举归纳推理又叫做简单枚举法，它是根据一类事物对象中部分对象具有(或不具有)某种属性，推出该类对象全体都具有(或不具有)这种属性的推理。

其逻辑形式是：S1是(不是)PS2是(不是)PS3是(不是)P……Sn是(不是)P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且没有出现反例)———————————————————————————所以，所有的S是(不是)P2.科学归纳法科学归纳推理又叫做科学归纳法，它是根据一类对象中的部分对象与其属性之间的联系具有必然性，推出该类对象的全部都具有这种属性的推理逻辑结构式S1是PS2是PS3是P……Sn是P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且S与p之间有必然联系)——————————————————所以，所有的S是P(二)因果联系：事物之间引起和被引起的关系。

因果联系的特征有：不能颠倒的先因后果、一个原因可以引起多个结果、一个结果也可以由不同原因引起。

求因果方法：五种基本方法。

1.求同法，即寻求被研究的事物现象出现在若干不同场合，是否具有某种共同原因的方法，其特点是异中求同。

形式结构：场合先行情况被研究现象(1) A、B、C a(2) A、D、E a(3) A、F、G a………………………————————————————所以，A与a有因果联系。

归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理一归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明二归纳推理和类比推理的区别:一归纳推理1归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2归纳推理的特点:（1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．3归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法3归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．二类比推理（以下简称类比）1类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物,同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具例1如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n=．【答案】a n=3n2-3n1【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个,a1=1;图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个,a2=232;图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称,a3=34543;……;可以猜想:第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=nn1…2n-1…n1n=3n2-3n1【评析】上例是利用归纳推理解决问题的归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一例2如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得=。

数学推理的方法数学推理是数学科学中的一个重要分支，它是建立数学理论的基础。

以下是一些常用的数学推理方法：一、归纳推理归纳推理是从具体的实例中总结出一般规律的过程。

例如，观察一些特定的数学对象，通过比较、分析它们的性质和关系，可以归纳出它们的一般性质或规律。

二、演绎推理演绎推理则是从一般到特殊的推理过程。

它通常以公理、定理等为基础，通过逻辑推理得出新的结论。

演绎推理在数学中应用广泛，如几何、代数等领域。

三、类比推理类比推理是通过比较两个或多个事物的相似性，从一个事物的已知性质推导出另一个事物的性质的过程。

在数学中，类比推理常用于寻找新的数学对象或理论。

四、数学归纳法数学归纳法是一种特殊的归纳推理方法，主要用于证明与自然数有关的数学命题。

通过数学归纳法，可以从一个初始的基本命题出发，逐步推导出其他命题，从而全面证明某个数学命题。

五、反证法反证法是通过否定一个命题来证明该命题的方法。

首先假设某个命题是错误的，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原命题是正确的。

反证法在数学中经常被使用，如证明无解的方程等。

六、构造法构造法是通过实际构造来证明某个命题的方法。

在数学中，有时可以通过构造具体的实例来证明某个命题，如构造出一个满足某种性质的解或反例等。

七、代数法代数法是通过代数运算和变换来证明或求解数学问题的方法。

代数法广泛应用于方程求解、函数性质等领域。

八、数学模型法数学模型法是将现实问题转化为数学模型的过程。

通过建立数学模型，可以将现实问题转化为数学问题，从而应用数学方法和工具进行求解。

这种方法在科学计算、工程等领域有广泛应用。

九、数理逻辑数理逻辑是数学推理的基础，它研究推理的形式和规律。

数理逻辑通过符号和公式来表示推理过程，从而精确地表达数学中的概念和命题。

数理逻辑在计算机科学、人工智能等领域也有广泛应用。

第一章推理与证明1.2类比推理教学目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。

会进行简单的类比推理。

3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。

提高归纳、类比联想的能力。

重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．例题分析我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c;(1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。

(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。

即例3如图，已知点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则1111111=++CC OC BB OB AA OA （Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论 （Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。

学法指津数学X U X F A Z H I J I N一、归纳推理1.归纳推理的定义由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳推理.它是由部分到整体，由个别到一般的推理；包括不完全归纳法和完全归纳法.归纳推理基于观察和实验，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．2.归纳推理的一般步骤①观察个别情况，发现规律；②提出猜想；③检验猜想.3.归纳推理的思维过程实验、观察概括、推广猜测一般性结论例1已知数列{}a n的首项a1=1且a n+1=a n1+a n()n=1,2,3,⋅⋅⋅.（1）写出数列{}a n的前5项；（2）试归纳出该数列的通项公式.分析分别令n=1,2,3,4，利用a n+1与a n之间的递推关系，进而求出a2，a3，a4，a5，再观察、分析、归纳，推测出a n的表达式.解（1）∵a n+1=a n1+a n()n=1,2,3,⋅⋅⋅，∴令n=1时，a2=a11+a1，又∵a1=1，∴a2=1 2.同理，可求得：a3=13，a4=14，a5=15.（2）依据（1）中数列前5项，归纳猜想：a n=1n.验证：由猜想知：a n+1=1n+1,又∵a n1+a n=1n1+1n=1n+1,∴a n+1=a n1+a n.所以猜想结论正确，即a n=1n.点拨在数列中常用归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和的公式.常规思路：对前几项结果的观察、归纳和提出猜想，再探究和发现问题，最后证明猜想结论的正确性.注意：在得出前几项的结果后，要统一它们的表达式的结构形式，以便寻找规律.例2凸n()n≥4边形有多少条对角线？分析先从几个特殊的数值入手，再根据给出的数值进行归纳猜想.解设：凸n()n≥4边形的对角线有f()n条（1）n=4时，凸四边形有2条对角线，即：f()4=2；n=5时，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，即：f()5=5=2+3；n=6时，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，即：f()6=9=2+3+4；n=7时，凸七边形有14条对角线，比凸六边形多5条，即：f()7=14=2+3+4+5；与类比推理的水能载舟，亦能覆舟。

高二数学复习讲义（5）——《推理与证明》<知识点>一．推理：⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明⒈直接证明⑴综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。

分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

<练习题>一．选择题1．数列0，1，1，2，4，7，13，x …中的x 等于（ ） Ａ．22 Ｂ．23 Ｃ．24 Ｄ．252．已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则33a =（ ） Ａ．3Ｂ．3- Ｃ．6Ｄ．6-3 ）Ａ．22< Ｂ．22<Ｃ．22< Ｄ．22(<4．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为（ ）Ａ．13n n a -= Ｂ．3n n a = Ｃ．33n n a n =-Ｄ．1323n n a n -=+-5．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）Ａ．有一个解 Ｂ．有两个解 Ｃ．至少有三个解 Ｄ．至少有两个解 6．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理（ ）Ａ．小前提错 Ｂ．结论错 Ｃ．正确 Ｄ．大前提错7．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a > ，类比上述性质，在等比数列{}n b 中若0n b >，1q >，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+8．若ABC △能剖分为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（ ）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不能确定9．下列推理正确的是（ ）Ａ．如果不买彩票，那么就不能中奖；因为你买了彩票，所以你一定中奖 Ｂ．因为a b a c >>，，所以a b a c ->-Ｃ．若a b +∈R ，，则lg lg a b +≥Ｄ．若a +∈R ，0ab <，则2a b a b b a b a --⎛⎫+=-+-=- ⎪⎝⎭≤10．正整数按右表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）Ａ．22005 Ｂ．22006 Ｃ．2005+2006Ｄ．2005×200611．已知()()()f x y f x f y +=+且(1)2f =，则(1)(2)()f f f n +++…不能等于（ ）Ａ．(1)2(1)(1)f f nf +++… Ｂ．(1)2n n f +⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．(1)n n + Ｄ．(1)(1)n n f +12．已知1c >，a =b = ） Ａ．a b >Ｂ．a b < Ｃ．a b =Ｄ．a ，b 大小不定二．填空题13．用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．14．写出命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定 ． 15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如16．观察2sin105sin100sin10sin 20sin 30sin 200sin10++++=…；2sin102sin 96sin12sin 24sin 36sin192sin12++++=…，写出与以上两个等式规律相同的通式为 ．三．解答题17．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为nb （每次注入的溶液浓度都是p%），计算123b b b ，，，并归纳出n b 的计算公式．18．已知a 与b 均为有理数，(用反证法证)19．用分析法证明：若0a >12a a+-．20．已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}n b 也是等比数列，其中N )n b n *=∈”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．21．自然状态下的鱼类是一种可再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用n x 表示某鱼群在第()n n *∈N 年年初的总量，且10x >．不考虑其他因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．（1）求1n x +与n x 的关系式；（2）猜想：当且仅当1x ，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）参考答案一．选择题1-5.CACAC 6-10.CABDD 11-12.DB二．填空题13.对定义域内的每一个x ，满足()()f x f x -=-的函数是奇函数 大前提3()sin ()f x x x f x -=--=- 小前提 所以3()sin f x x x =+是奇函数 结论 14. 三角形中至少有两个内角是直角 15. 140，851612sinsin 22sin sin 2sin3sin sin n nx x x x x nx x+++++=… 三．解答题17.解：11411004100100554r a p a b r p a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+， 2122141441*********a pab b r p p a a +⎡⎤⎛⎫==++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ， 32232314144410010055554a pa b b r o p p a +⎡⎤⎛⎫==+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ，所以归纳得12141441005555nn n nb r p p p -⎡⎤⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…． 18.a b =-． 由00a b >>，0>．=．因为a b ，=+，即19.12a a +-12a a++≥因为0a >，所以上式两边均大于零．因此只需证221a a ⎛+- ⎝≥，即222211144a a a a a ⎫+++++++⎪⎭．12a a ⎫+⎪⎝⎭， 只需证222211122a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥， 即证2212a a +≥，它显然是成立的，所以原不等式成立． 20. 解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，则数列{}n b 也是等差数列，其中12()nn a a a b n n*+++=∈N …．证明如下：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1121(1)2(1)2na n n na da a a db a n nn -++++===+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d为公差的等差数列． 21. 解：（1）从第n 年初到第1n +年初，鱼群的繁殖量为n ax ，被捕捞量为n bx ，死亡量为2n cx ， 因此21n n n n n x x ax bx cx +-=--，n *∈N ，即1(1)n n n x x c b cx +=-+-，n *∈N ；（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则a x 恒等于1x ，n *∈N ．10a b cx ∴--=，即1a bx c-=． 10x > ，a b ∴>．猜想：当且仅当a b >且1a bx c-=时，每年年初鱼群的总量保持不变．。

类比推理和归纳推理的相同点
类比推理和归纳推理是两种常用于根据观察和证据得出结论或做出预测的推理。

虽然它们有一些相似之处，但它们也有一些重要的区别。

类比推理和归纳推理之间的一个相似之处在于，两者都涉及使用观察和证据来得出结论或做出预测。

在类比推理中，这是通过比较两个或多个相似的情况或对象并使用相似性得出关于其中一个的结论来完成的。

在归纳推理中，这是通过观察一组观察中的模式或趋势并使用模式或趋势对未来观察进行概括或预测来完成的。

类比推理和归纳推理之间的另一个相似之处是两者都涉及逻辑和批判性思维的使用。

在这两种类型的推理中，结论或预测都是基于考虑所有相关观察和证据的逻辑论证。

尽管有这些相似之处，类比推理和归纳推理之间也有一些重要的区别。

主要区别之一是结论或预测的范围。

在类比推理中，结论仅限于所考虑的特定情况或对象，而在归纳推理中，结论或预测旨在更普遍，适用于更广泛的情况或对象。

类比推理和归纳推理之间的另一个区别是对结论或预测的置信度。

在类比推理中，结论通常基于少量观察或示例，并且可能不如通过归纳推理得出的结论可靠或确定，归纳推理基于大量观察或示例。

总之，类比推理和归纳推理是两种类型的推理，用于根据观察和证据得出结论或做出预测。

两者都涉及逻辑和批判性思维的使用，并涉及使用观察和证据来支持结论或预测。

但是，两者之间也有一些重要的区别，包括结论或预测的范围以及对结论或预测的置信度。