立体几何 平行与垂直的证明
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18．证明：如答图所示，⑴设PD的中点为E，连结AE、NE，
由N为PD的中点知EN DC，
又ABCD是矩形，∴DC AB，∴EN AB
又M是AB的中点，∴EN AN，
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE 平面PAD，NM 平面PAD
∴MN∥平面PAD
证明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
由①②③得 平面 ．
9(12分)如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：
(1) FD∥平面ABC;
(2) AF⊥平面EDB.
9(1)取AB的中点M,连FM,MC,
∵F、M分别是BE、BA的中点∴FM∥EA, FM= EA
∵EA、CD都垂直于平面ABC∴CD∥EA∴CD∥FM
必修2每日一题（4）-----平行与垂直的证明
1.如图，长方体 中， ， ，点 为 的中点。
（1）求证：直线 ∥平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求证：直线 平面 。
1.
解：（1）设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是 ，BD的中点，故PO// ，
所以直线 ∥平面 --（4分）
（2）长方体 中， ，
(2)令 与 的交点为 ,连结 .
∵ 是 的中点, 为 的中点,∴ ∥ .
又∵ 平面 , 平面 ,
∴ ∥平面 .………………………12分
4、如图所示，四棱锥P–ABCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD= 2AB，
PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.
（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC.
又∵AB⊥AC，AC 平面ABCD，
∴AC⊥PB.
（2）连接BD，与AC相交于O，
连接EO.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点
又E是PD的中点，
∴EO∥PB.
又PB 平面AEC，EO 平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
15．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=a，F、F1分别是AC、A1C1的中点．
AA1 平面A1B1C1，
B1F1 AA1．又B1F1 A1C1，A1C1 AA1=A1，
B1F1 平面ACC1A1，而B1F1 平面AB1F1，
平面AB1F1 平面ACC1A1．
16、已知在三棱锥S--ABC中，∠ACB=900，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC，
17如图，长方体 中， ， ，点 为 的中点。
（2）求证：平面 ⊥平面 ．
12．（本小题满分14分）
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连结 ．
∵ 为 的中点，∴ 且 ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，∴ ．
又 ，∴ ．
∴四边形 为平行四边形，则 ．……4分
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．……7分
（2）证明：∵ ， 为 的中点，∴ ．……9分
∵ 平面 ， ，∴ ．……11分
（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形。 PC，
同理 PA，所以直线 平面 。
18．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．
⑴．EF//平面PAD；
⑵．平面PAD⊥平面PCD.
8．如图，在四棱锥 中， 底面 ，
， ， 是 的中点．
1.证明 ；
2.证明 平面 ；
8．
⑴.证明：在四棱锥 中，因 底面 ，故 ．
， 平面 ．
而 平面 ， ．
⑵.证明：由 ， ，可得 ．
是 的中点， ．
由⑴知， ，且 ，所以 平面 ．
而 平面 ， ．.............................................................................①
（1）如右图，
∵∠APE=∠APF=90°，
PE∩PF=P，
∴PA⊥平面PEF.
∵EF 平面PEF，
∴PA⊥EF.
（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，
∴PE⊥平面APF.
又PE 平面PAE，
∴平面APE⊥平面APF.
例1． 如图，在三棱锥 中，
，
．
求证： ．
证明：因为BE 平面பைடு நூலகம்AC，
又 ，∴ 平面 ．
∵ ，∴ 平面 ．……13分
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．……14分
13．已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P．
（1）求证：AP⊥EF；
（2）求证：平面APE⊥平面APF．
13证明：
（1）求证：直线 ∥平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求证：直线 平面 。
17解：（1）设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是 ，BD的中点，故PO// ，
所以直线 ∥平面 --（4分）
（2）长方体 中， ，
底面ABCD是正方形，则AC BD
又 面ABCD，则 AC，
所以AC 面 ，则平面 平面
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN 平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD.
19、（本小题满分14分）如图，在三棱锥 中， 分别为 的中点。
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，且 ， ，求证：平面 平面 。
4、证明：（1）取PD中点Q，连EQ、AQ，… … 1分
则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，… … 3分
又 ∥AQ
又 ∥平面PAD …6分
（2）PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA，又CD⊥AD … 8分
∴CD⊥平面PAD∴AQ⊥CD … … 9分
若PA=AD，
∴Q为PD中点，∴AQ⊥PD∴AQ⊥平面PCD … … 11分
∵ 平面 ，∴ .
又∵ ，∴ 平面 ， ．......................②
又 ，..........................................................................................................③
底面ABCD是正方形，则AC BD
又 面ABCD，则 AC，
所以AC 面 ，则平面 平面
（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形。 PC，
同理 PA，所以直线 平面 。
2．如图6，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
又DC=a,∴FM=DC∴四边形FMCD是平行四边形
∴FD∥MC
FD∥平面ABC
(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB
又CM⊥AE,所以CM⊥面EAB,CM⊥AF,FD⊥AF,
因F是BE的中点,EA=AB所以AF⊥EB.
10（12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，
∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD
5. 是矩形 所在平面外一点， 平面 ， 分别是 ， 的中点，又 .
⑴求证： ∥平面 .
⑵求证：平面 ⊥平面 .
6．（本小题满分14分）
如图所示， 垂直矩形 所在的平面， 分别为 的中点.
(1)求证 ；
（2）求证 .
6．（本小题满分14分）
【证明】（1）如图,取 中点 ，连结 、 ，
（1）求证：平面AB1F1 平面C1BF；
（2）求证：平面AB1F1 平面ACC1A1．
15证明：（1）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，
F、F1分别是AC、A1C1的中点，
B1F1 BF，AF1 FC1．
又 B1F1与AF1是两相交直线，
BF与FC1是两相交直线，
平面AB1F1 平面C1BF．
（2）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
2解：（1）证明:连结BD.
在长方体 中，对角线 .
又 E、F为棱AD、AB的中点，
.
.
又B1D1 平面 ， 平面 ，
EF∥平面CB1D1.
（2） 在长方体 中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1 平面A1B1C1D1，
AA1⊥B1D1.
又 在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵ 分别为 的中点，
∴ ， ，
∵在矩形 中， ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴
∵ ， ，
∴ ．……7分
（2）∵ 平面 ，∴ ，
∵在矩形 中， ．
又 ，
∴ 平面 ．
∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ ．……14分
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，侧面PAD垂直于底面ABCD， ，若点E、F分别是PC、BD的中点，求证：
B1D1⊥平面CAA1C1.
又 B1D1 平面CB1D1，
平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
3．如图,在直三棱柱 中, , , , ,点 是 的中点.
(1)求证: ;(2)求证: ∥平面 .
3．证明: (1)∵三棱柱 为直三棱柱,
∴ 平面 ,∴ ,
由N为PD的中点知EN DC，
又ABCD是矩形，∴DC AB，∴EN AB
又M是AB的中点，∴EN AN，
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE 平面PAD，NM 平面PAD
∴MN∥平面PAD
证明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
由①②③得 平面 ．
9(12分)如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：
(1) FD∥平面ABC;
(2) AF⊥平面EDB.
9(1)取AB的中点M,连FM,MC,
∵F、M分别是BE、BA的中点∴FM∥EA, FM= EA
∵EA、CD都垂直于平面ABC∴CD∥EA∴CD∥FM
必修2每日一题（4）-----平行与垂直的证明
1.如图，长方体 中， ， ，点 为 的中点。
（1）求证：直线 ∥平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求证：直线 平面 。
1.
解：（1）设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是 ，BD的中点，故PO// ，
所以直线 ∥平面 --（4分）
（2）长方体 中， ，
(2)令 与 的交点为 ,连结 .
∵ 是 的中点, 为 的中点,∴ ∥ .
又∵ 平面 , 平面 ,
∴ ∥平面 .………………………12分
4、如图所示，四棱锥P–ABCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD= 2AB，
PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.
（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC.
又∵AB⊥AC，AC 平面ABCD，
∴AC⊥PB.
（2）连接BD，与AC相交于O，
连接EO.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点
又E是PD的中点，
∴EO∥PB.
又PB 平面AEC，EO 平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
15．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=a，F、F1分别是AC、A1C1的中点．
AA1 平面A1B1C1，
B1F1 AA1．又B1F1 A1C1，A1C1 AA1=A1，
B1F1 平面ACC1A1，而B1F1 平面AB1F1，
平面AB1F1 平面ACC1A1．
16、已知在三棱锥S--ABC中，∠ACB=900，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC，
17如图，长方体 中， ， ，点 为 的中点。
（2）求证：平面 ⊥平面 ．
12．（本小题满分14分）
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连结 ．
∵ 为 的中点，∴ 且 ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，∴ ．
又 ，∴ ．
∴四边形 为平行四边形，则 ．……4分
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．……7分
（2）证明：∵ ， 为 的中点，∴ ．……9分
∵ 平面 ， ，∴ ．……11分
（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形。 PC，
同理 PA，所以直线 平面 。
18．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．
⑴．EF//平面PAD；
⑵．平面PAD⊥平面PCD.
8．如图，在四棱锥 中， 底面 ，
， ， 是 的中点．
1.证明 ；
2.证明 平面 ；
8．
⑴.证明：在四棱锥 中，因 底面 ，故 ．
， 平面 ．
而 平面 ， ．
⑵.证明：由 ， ，可得 ．
是 的中点， ．
由⑴知， ，且 ，所以 平面 ．
而 平面 ， ．.............................................................................①
（1）如右图，
∵∠APE=∠APF=90°，
PE∩PF=P，
∴PA⊥平面PEF.
∵EF 平面PEF，
∴PA⊥EF.
（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，
∴PE⊥平面APF.
又PE 平面PAE，
∴平面APE⊥平面APF.
例1． 如图，在三棱锥 中，
，
．
求证： ．
证明：因为BE 平面பைடு நூலகம்AC，
又 ，∴ 平面 ．
∵ ，∴ 平面 ．……13分
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．……14分
13．已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P．
（1）求证：AP⊥EF；
（2）求证：平面APE⊥平面APF．
13证明：
（1）求证：直线 ∥平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求证：直线 平面 。
17解：（1）设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是 ，BD的中点，故PO// ，
所以直线 ∥平面 --（4分）
（2）长方体 中， ，
底面ABCD是正方形，则AC BD
又 面ABCD，则 AC，
所以AC 面 ，则平面 平面
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN 平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD.
19、（本小题满分14分）如图，在三棱锥 中， 分别为 的中点。
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，且 ， ，求证：平面 平面 。
4、证明：（1）取PD中点Q，连EQ、AQ，… … 1分
则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，… … 3分
又 ∥AQ
又 ∥平面PAD …6分
（2）PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA，又CD⊥AD … 8分
∴CD⊥平面PAD∴AQ⊥CD … … 9分
若PA=AD，
∴Q为PD中点，∴AQ⊥PD∴AQ⊥平面PCD … … 11分
∵ 平面 ，∴ .
又∵ ，∴ 平面 ， ．......................②
又 ，..........................................................................................................③
底面ABCD是正方形，则AC BD
又 面ABCD，则 AC，
所以AC 面 ，则平面 平面
（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形。 PC，
同理 PA，所以直线 平面 。
2．如图6，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
又DC=a,∴FM=DC∴四边形FMCD是平行四边形
∴FD∥MC
FD∥平面ABC
(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB
又CM⊥AE,所以CM⊥面EAB,CM⊥AF,FD⊥AF,
因F是BE的中点,EA=AB所以AF⊥EB.
10（12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，
∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD
5. 是矩形 所在平面外一点， 平面 ， 分别是 ， 的中点，又 .
⑴求证： ∥平面 .
⑵求证：平面 ⊥平面 .
6．（本小题满分14分）
如图所示， 垂直矩形 所在的平面， 分别为 的中点.
(1)求证 ；
（2）求证 .
6．（本小题满分14分）
【证明】（1）如图,取 中点 ，连结 、 ，
（1）求证：平面AB1F1 平面C1BF；
（2）求证：平面AB1F1 平面ACC1A1．
15证明：（1）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，
F、F1分别是AC、A1C1的中点，
B1F1 BF，AF1 FC1．
又 B1F1与AF1是两相交直线，
BF与FC1是两相交直线，
平面AB1F1 平面C1BF．
（2）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
2解：（1）证明:连结BD.
在长方体 中，对角线 .
又 E、F为棱AD、AB的中点，
.
.
又B1D1 平面 ， 平面 ，
EF∥平面CB1D1.
（2） 在长方体 中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1 平面A1B1C1D1，
AA1⊥B1D1.
又 在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵ 分别为 的中点，
∴ ， ，
∵在矩形 中， ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴
∵ ， ，
∴ ．……7分
（2）∵ 平面 ，∴ ，
∵在矩形 中， ．
又 ，
∴ 平面 ．
∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ ．……14分
7．如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，侧面PAD垂直于底面ABCD， ，若点E、F分别是PC、BD的中点，求证：
B1D1⊥平面CAA1C1.
又 B1D1 平面CB1D1，
平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
3．如图,在直三棱柱 中, , , , ,点 是 的中点.
(1)求证: ;(2)求证: ∥平面 .
3．证明: (1)∵三棱柱 为直三棱柱,
∴ 平面 ,∴ ,
