立体几何第五讲 垂直的性质和证明学生

第5讲 直线、平面垂直的判定与性质[考纲解读] 掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空间图形的垂直关系的简单命题．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预测2020年将会以以下两种方式进行考查：①以几何体为载体考查线面垂直的判定和性质；②根据垂直关系的性质进行转化．试题以解答题第一问直接考查，难度不大，属中档题型.1．直线与平面垂直 判定定理与性质定理2．平面与平面垂直 判定定理与性质定理3．直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的□01射影所成的□02锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)范围：□03⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.4．二面角(1)定义：从一条直线出发的□01两个半平面所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作□02垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)范围：□03[0，π]． 5．必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． (3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．1．概念辨析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)下列命题中不正确的是( )A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案 A解析A错误，如图1所示，在长方体中α⊥β，l∥α，但l⊂β；B正确，设α∩β＝l，则α内与l平行的直线都与β平行；C正确，由面面垂直的判定可知；D正确，如图2所示，在平面α内，作α与γ交线的垂线m，在平面β内作β与γ的交线的垂线n，由α⊥γ得m⊥γ，由β⊥γ得n⊥γ，所以m∥n.可推出m∥β，进而推出m∥l，所以l ⊥γ.(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是( )A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C ．与AC 不垂直，与MN 垂直D ．与AC ，MN 均不垂直 答案 A解析 由AC ⊥平面BB 1D 1D 可得OM ⊥AC . 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a . 则OM ＝ a 2＋2a2＝3a ，MN ＝a 2＋a 2＝2a .ON ＝a 2＋2a2＝5a ，所以OM 2＋MN 2＝ON 2，所以OM ⊥MN .(3)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________．答案 13解析 连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22，又AA 1＝1，所以AC 1＝3，所以sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13. (4)已知PD 垂直于菱形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有______对．答案 4解析 由于PD ⊥平面ABCD ，故平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，由于AC ⊥平面PDB ，平面PAC ⊥平面PDB ，共4对．题型一直线与平面的位置关系角度1 直线与平面所成的角1．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A．8 B．6 2C．8 2 D．8 3答案 C解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，因为AB＝2，ABBC1＝tan30°，所以BC1＝23，从而求得CC1＝BC21－BC2＝22，所以该长方体的体积为V＝2×2×22＝8 2.故选C.角度2 直线与平面垂直的判定和性质2．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，AC ∩OB ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.1．求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． 2．证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理．1．已知一个正四棱柱的体对角线长为6，且体对角线与底面所成的角的余弦值为33，则该四棱柱的表面积为________．答案10解析如图可知，BD＝6×33＝2，DD1＝BD21－BD2＝6－2＝2，底面边长AB＝2×22＝1，所以所求表面积为4AA1·AB＋2AB2＝4×2×1＋2×12＝10.2．如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.题型二面面垂直的判定与性质1．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝3，则二面角A－BC－P的大小为________．答案60°解析因为AB为⊙O的直径，所以AC⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，可求得BC⊥PC，所以∠PCA为二面角A－BC－P的平面角．因为∠ACB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝3，所以AC ＝1，所以在Rt △PAC 中，tan ∠PCA ＝PA AC＝ 3.所以∠PCA ＝60°.2. 如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是PD ，PC ，BC 的中点．(1)求证：平面EFG ⊥平面PAD ；(2)若M 是线段CD 上一点，求三棱锥M －EFG 的体积． 解 (1)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，且CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD .又因为在△PCD 中，E ，F 分别是PD ，PC 的中点， 所以EF ∥CD ，所以EF ⊥平面PAD .因为EF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PAD .(2)因为EF ∥CD ，EF ⊂平面EFG ，CD ⊄平面EFG ，所以CD ∥平面EFG ，因此CD 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离， 所以V 三棱锥M －EFG ＝V 三棱锥D －EFG ，取AD 的中点H ，连接GH ，EH ，FH ，则EF ∥GH ， 因为EF ⊥平面PAD ，EH ⊂平面PAD ，所以EF ⊥EH . 于是S △EFH ＝12EF ×EH ＝2＝S △EFG ，因为平面EFG ⊥平面PAD ，平面EFG ∩平面PAD ＝EH ，△EHD 是正三角形，所以点D 到平面EFG 的距离等于正三角形EHD 的高，即为 3.所以三棱锥M －EFG 的体积V 三棱锥M －EFG ＝V 三棱锥D －EFG ＝13×S △EFG ×3＝233.结论探究1 在举例说明1条件下，求证：平面PAC ⊥平面PBC . 证明 因为PA 垂直于⊙O 所在平面，BC 在⊙O 所在平面内，所以BC ⊥PA .因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的两点． 所以BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC . 所以平面PAC ⊥平面PBC .结论探究2 在举例说明1条件下，求二面角A －PB －C 的正切值．解 过A 作AF ⊥PC ，垂足为F ， 过F 作FE ⊥PB ，垂足为E ，连接AE ， 由举例说明1易得BC ⊥平面PAC . 又AF ⊂平面PAC ， 所以AF ⊥BC .又PC ∩BC ＝C ，所以AF ⊥平面PBC . 所以PB ⊥AF ，又PB ⊥EF ，AF ∩EF ＝F ， 所以PB ⊥平面AEF ，所以∠AEF 为二面角A －PB －C 的平面角， 在Rt △PAC 中，AC ＝1，PA ＝3，∠PAC ＝90°. 所以tan ∠PCA ＝PA AC＝3，∠PCA ＝60°， 所以CF ＝1×cos60°＝12，AF ＝1×sin60°＝32.在Rt △PBC 中，PC ＝2，BC ＝3，∠PCB ＝90°，PB ＝7. 由△PEF ∽△PCB 得EF BC ＝PF PB，所以EF3＝327，EF ＝3327，在Rt△AEF中，tan∠AEF＝AFEF＝323327＝73，即二面角A－PB－C的正切值为73.1．证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．2．作二面角的平面角的方法(1)定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．如举例说明1.(2)垂线法：如图所示，作PO⊥β，垂足为β，作OA⊥l，垂足为A，连接PA，则∠PAO为二面角α－l－β的平面角．(3)补棱法：针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角问题时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法或三垂线法解题．(4)射影面积法⎝⎛⎭⎪⎫cosθ＝S射影S斜：二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式⎝⎛⎭⎪⎫cosθ＝S射影S斜求出二面角的大小．(5)向量法(最常用)．(6)转化为线面角：如图，求α－l－β的二面角，即求AB与β所成的角．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB ＝CC1＝2.(1)求证：平面A1CM⊥平面ABB1A1；(2)求点M到平面A1CB1的距离．解(1)证明：由A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，则A1A⊥CM.∵AC＝CB，M是AB的中点，∴AB⊥CM.又A1A∩AB＝A.∴CM⊥平面ABB1A1，又CM⊂平面A1CM，∴平面A1CM⊥平面ABB1A1.(2)设点M到平面A1CB1的距离为h，由题意可知A1C＝CB1＝A1B1＝2MC＝22，S△A1CB1＝34×(22)2＝23，S△A1MB1＝12S四边形ABB1A1＝12×2×22＝2 2.由(1)可知CM⊥平面ABB1A1，得V C－A1MB1＝13MC·S△A1MB1＝V M－A1CB1＝13h·S△A1CB1.∴点M 到平面A 1CB 1的距离h ＝MC ·S △A 1MB 1S △A 1CB 1＝233.题型 三 平面图形的翻折问题(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．解 (1)证明：由已知可得∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC . 又AB ⊥DA ，且AC ∩DA ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC . (2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝AC ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綊13DC .由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V 三棱锥Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin45°＝1.平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．解决此类问题的步骤为：(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到如图2所示的四棱锥P －ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面PAB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明 (1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝2.连接AC ， ∵AE ＝2，∠AEC ＝60°， ∴AC ＝2.又AP ＝3，∴在△PAE 中，PA 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE . 同理，AP ⊥AC .∵AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ， ∴AP ⊥平面ABCE .(2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面PAB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .。

立体几何之垂直关系【知识要点】空间中的垂直关系如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．题型1 平移证明线线垂直 例1 如图，在四棱锥ABCD P -中，N M AD BC AB AD BC BC AB ,.2,1,,===⊥分别为DC PD ,的中点，求证：AC MN ⊥例2 底面ABCD 是正方形，Q G BE PD PD BE ,,2,=‖分别为AP AB ,的中点，求证：CG QE ⊥例3 如图，在正方形1111D C B A ABCD -中，M 为1CC 的中点，F E ,分别为11,D A CD 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：OM EF ⊥题型2 线面垂直判定例1 如图，在三棱锥ABC P -中，PAB ∆是等边三角形。

①若ABC ∆是等边三角形，证明：PC AB ⊥②若 90=∠=∠PBC PAC ，证明：PC AB ⊥例 2 已知四棱台1111D C B A ABCD -的上下底面边长分别是2和4的正方形，41=AA 且ABCD AA 底面⊥1，点P 为1DD 的中点，求证：PBC AB 面⊥1例3 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AB BAC ==∠,90，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11C B 的中点。

证明：⊥D A 1平面BC A 1题型3 线面垂直性质证明线线垂直例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，D AA AC ACB ,21,901==∠ 是棱1AA 的中点，求证：BD DC ⊥1例2 已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且FN AM =。

高考总复习数学文科第七篇立体几何第5讲直线、平面垂直的判定与性质[最新考纲]1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.知识梳理1．直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l ⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.辨 析 感 悟1．对线面垂直的理解(1)直线a ，b ，c ；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .(×) (2)直线l 与平面α内无数条直线都垂直，则l ⊥α.(×)(3)(2013·浙江卷，4C)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α.(√)(4)(2013·广东卷，8D)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β.(×)2．对面面垂直的理解(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×) [感悟·提升]三个防范 一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等，如(1)；二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”， 如(2)；三是注意对平面与平面垂直性质的理解，如(5)．考点一 直线与平面垂直的判定和性质【例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．【训练1】(2013·江西卷改编)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.证明过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BEF中，BE＝ 3.在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.证明∵ABC－A1B1C1是棱柱，且AB＝BC＝AA1＝BB1，∴四边形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1.由AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，得BB1⊥平面ABC.∵AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB，又∵AB＝BC，且AC＝2BC，∴AB⊥BC，而BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1.∴B1C⊥平面ABC1，而B1C⊂平面B1CD，∴平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.证明由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.审题路线(1)取P A的中点H⇒证明四边形DCEH是平行四边形⇒CE∥DH ⇒根据线面平行的判定定理可证．(2)证明AB⊥EF⇒证明AB⊥FG⇒证明AB⊥平面EFG⇒证明MN⊥平面EFG ⇒得到结论．证明(1)如图，取P A的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，且EH＝12AB.又AB∥CD，且CD＝12AB，所以EH綉CD.所以四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH⊂平面P AD，CE⊄平面P AD，所以CE∥平面P AD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥P A.又AB⊥P A，且EF，P A共面，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥DC.又AB∥DC，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得P A⊥BC.又P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，所以BC⊥平面P AC.(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为P A中点，得QM∥PC，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC.所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.1．转化思想：垂直关系的转化线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面判定性质垂直2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．突破1：弄清翻折前后的线面关系和几何量的度量值．翻折前：DE∥BC，DE⊥AC⇒翻折后：DE∥BC，DE⊥A1D，DE⊥CD.突破2：要证A1F⊥BE，转化为证A1F⊥平面BCDE.突破3：由A1D＝CD，可想到取A1C的中点P，则DP⊥A1C，进而可得A1B 的中点Q为所求点．(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.学生用书第118页所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩DE＝D，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.[反思感悟](1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，点E 为AC 中点，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2.(1)求证：DA ⊥BC ；(2)在CD 上找一点F ，使AD ∥平面EFB .(1)证明 在图1中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ，∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ADC ，又AD ⊂平面ADC ，∴BC ⊥DA .(2)解 取CD 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E ，F 分别为AC ，DC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，∴AD ∥EF ，又EF ⊂平面EFB ，AD ⊄平面EFB ，∴AD ∥平面EFB .对应学生用书P273基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.答案 A2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β解析与α，β两垂直平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A 错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D；存在α∥β情况，故D错；由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确．答案 C3．(2013·浙江温岭中学模拟)设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是()．A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b解析当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；当a 与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误；平面α内的直线b 只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B.答案 B4.(2014·深圳调研)如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()．A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.答案 C5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是()．A．①④B．②④C．②③D．③④解析如图，由题意，β∩γ＝l，∴l⊂γ，由α⊥γ，α∩γ＝m，且l⊥m，∴l⊥α，即②正确；由β∩γ＝l，∴l⊂β，由l⊥α，得α⊥β，即④正确；而①③条件不充分，不能判断．答案 B二、填空题6.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM ⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．解析逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，且P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE ⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③三、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD ⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面P AD∩平面ABCD＝AD.又平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥AD.所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.所以CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD.又E，F分别是CD和CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.CD⊂平面PCD，由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)解当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案 A2．(2014·衡水中学模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的命题是()．A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析对于A，由于AA1＝AB＝AD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1、B、D的距离相等，即点H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故点H 是△A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，从而AH⊥平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1∥BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝2＝2，因此命题D是假命题．1答案 D二、填空题3．(2013·河南师大附中二模)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．解析由P A⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得P A⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，∴AE⊥PB，①正确；又平面P AD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面P AD，∴BC∥平面P AD，∴直线BC∥平面P AE也不成立，③错；在Rt△P AD中，P A＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．答案①④三、解答题4．(2014·北京西城一模)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.(1)求证：AC⊥平面FBC；(2)求四面体F－BCD的体积；(3)线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？证明你的结论．(1)证明在△ABC中，因为AC＝3，AB＝2，BC＝1，则AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC，又因为AC⊥FB，且FB∩BC＝B，所以AC⊥平面FBC.(2)解因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC.因为CD⊥FC，且CD∩AC＝C，所以FC⊥平面ABCD.则FC 为四面体F －BCD 的高，在等腰梯形ABCD 中可得CB ＝DC ＝1，所以FC ＝1，所以△BCD 的面积为S ＝34.所以四面体F －BCD 的体积为V F －BCD ＝13S ·FC ＝312.(3)解 线段AC 上存在点M ，且M 为AC 中点时， 有EA ∥平面FDM ，证明如下：连接CE ，与DF 交于点N ，连接MN ，因为四边形CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点，所以EA ∥MN .因为MN ⊂平面FDM ，EA ⊄平面FDM ，所以EA ∥平面FDM ，所以线段AC 上存在点M ，使得EA ∥平面FDM .步骤规范练——立体几何(对应学生用书P275)(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·中山模拟)一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是()．解析∵该几何体的正视图和侧视图都是正方形，∴其可能为正方体或底面直径与高相等的圆柱或底面是等腰直角三角形且其腰长等于高的直三棱柱，但不可能是一个底面矩形长与宽不相等的长方体．∴选D.答案 D2.(2013·豫西五校联考)如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.答案 C3．(2013·浙江五校联盟联考)关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是()．A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α答案 C4．若直线m⊂平面α，则条件甲：直线l∥α是条件乙：l∥m的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若l∥α，m⊂α，不一定有l∥m；若l∥m，m⊂α，则l⊂α或l∥α，因而甲⇒/ 乙，乙⇒/ 甲．答案 D5．(2014·揭阳二模)一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．7 B.22 3C.476 D.233解析依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为23－2×13×12×1×1×1＝23 3.答案 D6．(2013·温州二模)下列命题正确的是()．A．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αB．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面αC．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lD．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l答案 B7．(2014·潍坊模拟)设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是()．A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析A中的直线m，n也有可能异面，所以不正确．B正确．C中α，β不一定垂直，错误．D中当m，n相交时，结论成立，当m，n不相交时，结论不成立．所以选B.答案 B8．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为()．A ．48B ．64C ．80D ．120解析据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8 cm)，直观图如图，PE 为侧面△P AB 的边AB 上的高，且PE ＝5 cm.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △P AB ＝4×12×8×5＝80 (cm 2)．答案 C 9.(2014·合肥一模)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，则下列结论不成立的是( )．A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面解析连接B1C，AC，则B1C交BC1于F，且F为B1C的中点，又E为AB1的中点，所以EF綉12AC，而B1B⊥平面ABCD，所以B1B⊥AC，所以B1B⊥EF，A正确；又AC⊥BD，所以EF⊥BD，B正确；，显然EF与CD异面，C正确；由EF綉12AC，AC∥A1C1得EF∥A1C1.故不成立的选项为D.答案 D10．(2013·广州二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()．A．12πB．24πC．32πD．48π解析该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为CC1＝4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为AC1＝43＝2R，所以球的半径为R＝23，所以球的表面积是4πR2＝4π×(23)2＝48π.答案 D二、填空题11．(2014·苏锡常镇四市二调)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.上面命题中，所有真命题的序号为________．解析①只要画出两个平行平面，可以发现分别在两个平面内的直线是可以异面的，即m与n可以异面，不一定平行；③满足条件的两条直线m和n也可以相交或异面，不一定平行．答案②④12．(2013·深圳二调)某机器零件的俯视图是直径为24 mm的圆(包括圆心)，正视图和侧视图完全相同，如图所示，则该机器零件的体积是________mm3(结果保留π)．解析依题意，该机器零件可视为是从一个圆柱中挖去一个圆锥，因此该机器零件的体积为π×122×24－12×12＝2 880π(mm3)．3×π×12答案 2 880π13．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．解析 如图，设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝13R .由勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1，故R 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13R 2，即R 2＝98.由球的表面积公式，得S ＝4πR 2＝9π2.答案 92π 14.正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，设三棱锥D －GAC 的体积为V 1，三棱锥P －GAC 体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析 设棱锥的高为h ，V 1＝V D －GAC ＝V G －ADC ＝13S △ADC ·12h ， V 2＝V P －GAC ＝12V P －ABC ＝V G －ABC ＝13S △ABC ·h2. 又S △ADC ∶S △ABC ＝2∶1，故V 1∶V 2＝2∶1. 答案 2∶1 三、解答题15．(2014·济南一模)在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，AD ∥EF ∥BC ，BE ＝AD ＝EF ＝12BC ，G是BC的中点．(1)求证：AB∥平面DEG；(2)求证：EG⊥平面BDF.证明(1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD綉BG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG.∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG.(2)连接GF，四边形ADFE是矩形，∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，∴DF⊥平面BCFE，EG⊂平面BCFE，∴DF⊥EG.∵EF綉BG，EF＝BE，∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG，又BF∩DF＝F，BF⊂平面BFD，DF⊂平面BFD，∴EG⊥平面BDF.16.(2014·成都一模)如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△ABF是等边三角形，棱EF∥BC，且EF＝12BC.(1)求证：EO∥面ABF；(2)若EF＝EO，证明：平面EFO⊥平面ABE.证明(1)取AB的中点M，连接FM，OM. ∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴OM∥BC，且OM＝12BC，又EF∥BC，且EF＝12BC，∴OM＝EF，且OM∥EF，∴四边形EFMO为平行四边形，∴EO∥FM，又∵FM⊂平面ABF，EO⊄平面ABF，∴EO∥平面ABF.(2)由(1)知四边形EFMO为平行四边形，又∵EF＝EO，∴四边形EFMO为菱形，连接EM，则有FO⊥EM，又∵△ABF是等边三角形，且M为AB中点，∴FM⊥AB，易知MO⊥AB，且MO∩MF＝M，∴AB⊥面EFMO，∴AB⊥FO.∵AB∩EM＝M，∴FO⊥平面ABE.又∵FO⊂平面EFO，∴平面EFO⊥平面ABE.17．(2013·安徽卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，P A＝ 6.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为P A的中点，求三棱锥P－BCE的体积．(1)证明连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC.因此BD⊥PC.(2)解因为E是P A的中点，所以V P－BCE ＝V C－PEB＝12V C－P AB＝12V B－APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝3，AC＝23，BO＝1.又P A＝6，PO2＋AO2＝P A2，即PO⊥AC.故S△APC ＝12PO·AC＝3.由(1)知，BO⊥面APC，因此V P－BCE＝12V B－APC＝12×13·BO·S△APC＝12.18．(2013·广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝2 2.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F－DEG的体积V F-DEG.(1)证明在等边△ABC中，AD＝AE，在折叠后的图形中，仍有AD＝AE，AB＝AC，因此ADAB＝AEAC，从而DE∥BC.因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，所以DE∥平面BCF.(2)证明 在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ，所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ＝CF ＝12，BC ＝22.，所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以 BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .(3)解 由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ，由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ，所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32.由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ，所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG ＝EG ＝23×12＝13，AG ＝23×32＝33，所以FG ＝AF －AG ＝36.故V 三棱锥F -DEG ＝V 三棱锥E -DFG ＝13×12DG ·FG ·GE ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·36＝3324.。

三角形的中位线平行且相等于底边的一半。

（三b β⎪=⎭如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那⎪=⇒⎬⎪=⎭a b γγ垂直于同一个平面的两条直线平行。

（线面平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，线中的一条平行于这个平面，则另一条也与这个平一个平面内的两条相交直线与另一个平面平////b P a b αα⎪⇒=⎬⎪⎪⎪⎭一、证明线线垂直说明：证明线线垂直的方法有很多，要善于抓住题意中的“垂直信息”. 常用的垂直信息有：①若两条直线所成的角为90︒，则这两条直线垂直。

（线线垂直的定义，包括相交垂直和异面垂直）②一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任一直线。

（线面垂直的性质）符号：⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ll a aαα③若题意中出现线段的长度，则验证三角形的三边是否满足勾股定理，若满足，则两短边互相垂直。

④若题意中出现类似“AB是圆O的直径，点C是圆周上不同于A、B的任意一点”的情况，则必有AC BC⊥。

⑤若题意中出现“直棱柱”、“正方体”、“长方体”，则其侧棱垂直于底面，再结合②。

⑥若题意中出现“等腰三角形”、“等边三角形”、“正三角形”，则底边的中线垂直于底边。

⑦若题意中出现“菱形”、“正方形”，则其对角线互相垂直。

二、证明线面垂直①一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（线面垂直的判定定理）符号：mnam n Pa ma nααα⊂⎫⎪⊂⎪⎪⇒⊥=⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭②两条直线平行，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。

符号：//a bbaαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭③两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（面面垂直的性质定理）符号：⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭laaa lαβαβαβ④一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也与另一个平面垂直。

三、证明面面垂直①一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

（面面垂直的判定定理）符号：aaααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭②两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。

全方位教学辅导教案5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC, PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB ,点E ✁PD 的中点。

⑴求证：AC ⊥PB ；⑵求证：PB ∥平面AEC ；6、如图，在四棱锥P－ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E ✁PC 的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE.题型二、面面垂直的鉴定与性质1、如图AB ✁圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C ✁圆周上不同于A、B 的任意一点，求证：平面PAC 垂直平面PBC。

2、如图，棱柱ABC -A1B1C1 的侧面BCC1B1 ✁菱形，B C ⊥A B11证明：平面AB1C ⊥平面A1BC1；3、已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 将 BCD 折起，使点C 移到点C1，且C1在平面ABD上的射影O恰好在AB上。

（1）求证：AD⊥BC1(2)求证：面ADC1⊥面BDC1.C1B OAC D4、如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1 中，AB=AD=1，AA1=2，M ✁棱CC1的中点（I）求异面直线A1M 和C1D1所成的角的正切值；（II）证明：平面ABM⊥平面A1B1M15、已知四周体ABCD 中，AB =AC, BD =CD ,平面ABC ⊥平面BCD , E 为棱BC 的中点。

（1）求证：AE ⊥平面BCD ;（2）求证：AD ⊥BC ;6、S ✁△ABC 所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.SCAB7、在四棱锥中，底面ABCD ✁正方形，侧面VAD ✁正三角形，平面VAD⊥底面ABCD证明:AB⊥平面VADD VCAB8、如图所示，在四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD ✁∠DAB=60°且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD ，若 G 为 AD 边的中点，（1） 求证：BG ⊥平面 PAD ；（2） 求证：AD ⊥PB ；（3） 若E 为BC 边的中点，能否在棱 PC 上找到一点F ，使平面 DEF ⊥平面 ABCD ，并证明你的结论.题型三、平行与垂直的综合题1、已知PA ⊥矩形ABCD所在的平面，M, N分别是AB, PC的中点。

立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）○1 等腰（等边）三角形中的中线○2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。

例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O OE ⊥（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A . 求证:'A D EF ⊥；变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC类型二：线面垂直证明方法○1 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O BDE ⊥平面变式1：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；BE'ADFG变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =6BC =C类型3：面面垂直的证明。

1 立体几何专题三:垂直证明题型及方法

基础知识梳理

一个关系:线线垂直 线面垂直 面面垂直 ; 三类证法 (1证明线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为 90°; ②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a ⊥ α, b ⊂ α⇒ a ⊥ b ; ④线面垂直的性质:a ⊥ α, b ∥ α⇒ a ⊥ b . (2证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义:a 与 α内任何直线都垂直 ⇒ a ⊥ α; ②判定定理 1: ⎭⎬⎫ m 、 n ⊂ α, m ∩ n =A l ⊥ m , l ⊥ n ⇒ l ⊥ α; ③判定定理 2:a ∥ b , a ⊥ α⇒ b ⊥ α; ④面面平行的性质:α∥ β, a ⊥ α⇒ a ⊥ β;

⑤面面垂直的性质:α⊥ β, α∩ β=l , a ⊂ α, a ⊥ l ⇒ a ⊥ β. (3证明面面垂直的方法 ①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a ⊂ α, a ⊥ β⇒ α⊥ β.

类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直 1. 共面垂直:实际上是平面内的两条直线的垂直 (只需要同学们掌握以下几种 模型

(1等腰(等边三角形中的中线 (2菱形(正方形的对角线互相垂直 (3勾股定理中的三角形

(4 利用相似或全等证明直角。 2. 异面垂直 (利用线面垂直来证明,高考中的意图 例 1. 如 图 , 在 四 棱 锥 ABCD P -中 , 底 面 A B C D 是 矩 形 , 已 知 60, 22, 2, 2, 3=∠====PAB PD PA AD AB .

证明:AD PB ⊥; 变式 1:如图,在边长为 2的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的 中点,将△ AED, △ DCF 分别沿 , DE DF 折起,使 , A C 两点

重合于 ' A . 求证 :' A D EF ⊥; 变式 2:如图,在三棱锥 P ABC -中,⊿ PAB 是等边三角形,∠ PAC =∠ PBC =90 º证明:AB ⊥ PC

第5讲直线、平面垂直的判定与性质［考纲解读]掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空间图形的垂直关系的简单命题．(重点、难点)［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预测2021年将会以以下两种方式进行考查：①以几何体为载体考查线面垂直的判定和性质;②根据垂直关系的性质进行转化．试题以解答题第一问直接考查，难度不大，属中档题型。

1．直线与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条错误!相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直错误!⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线错误!平行错误!⇒a∥b2．平面与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的错误!一条垂线，则这两个平面垂直错误!⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于错误!交线的直线与另一个平面垂直错误!⇒l⊥α3．直线和平面所成的角（1）定义：一条斜线和它在平面上的错误!射影所成的错误!锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)范围:错误!［0°，90°］．4．二面角（1）定义：从一条直线出发的错误!两个半平面所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作错误!垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．（2）范围:错误![0°，180°]．5．必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．（3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．（5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．(6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．1．概念辨析（1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α。

直线、平面垂直的判定及其性质【考点梳理】1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理考点一、线面垂直的判定与性质【例1】如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． [解析] (1)证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB ⊥CD .又因为CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ， AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD . 又AB ＝BD ＝1，所以S △ABD ＝12×12＝12. 因为M 是AD 的中点，所以S △ABM ＝12S △ABD ＝14. 根据(1)知，CD ⊥平面ABD ， 则三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1， 故V A -MBC ＝V C -ABM ＝13S △ABM ·h ＝112. 【类题通法】1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)； (3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)； (4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 【对点训练】如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB .求证：P A ⊥CD .[解析] 证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC＝BC，得∠ABC＝30°.设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面P AB，又P A⊂平面P AB，所以P A⊥CD.考点二、面面垂直的判定与性质【例2】如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[解析]证明：(1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，故BD∥平面FGH.(2)连接HE，GE，CD，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.【类题通法】1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：【对点训练】如图，在三棱锥P-ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC.[解析]证明：(1)因为M，N分别为AB，P A的中点，所以MN∥PB，又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因为P A⊥PB，MN∥PB，所以P A⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.因为平面P AB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面P AB.因为P A⊂平面P AB，所以CM⊥P A.又MN∩CM＝M，所以P A⊥平面MNC.考点三、平行与垂直的综合问题【例3】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F 在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.[解析]证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.【例4】如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)所示．(1)(2)(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由.[解析]证明：(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，则DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.【类题通法】1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．3.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．4．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.【对点训练】1．在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积．[解析] (1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB 平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于13OC·S△VAB＝33.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为3 3.2．如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝12AD.(1)在平面P AD内找一点M，使得直线CM∥平面P AB，并说明理由；(2)证明：平面P AB⊥平面PBD.[解析] (1)取棱AD的中点M(M∈平面P AD)，点M即为所求的一个点．理由如下：连接CM，因为AD∥BC，BC＝12AD，所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CM∥AB.又AB⊂平面P AB，CM⊄平面P AB，所以CM∥平面P AB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)证明：由已知，P A⊥AB，P A⊥CD，因为AD∥BC，BC＝12AD，所以直线AB与CD相交，所以P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD.8分因为AD∥BC，BC＝12AD，M为AD的中点，连接BM，所以BC∥MD，且BC＝MD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面P AB.又BD⊂平面PBD，所以平面P AB⊥平面PBD.考点四、线面角的求法与应用【例5】如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．[解析] (1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此，BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝217，所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217.【类题通法】1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．(2)证：证明找出的角即为所求的角．(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．【对点训练】如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小；(2)证明：AE ⊥平面PCD .[解析] (1)在四棱锥P -ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故P A ⊥AB .又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，从而AB⊥平面P AD，故PB在平面P AD内的射影为P A，从而∠APB为PB和平面P AD所成的角．在Rt△P AB中，AB＝P A，故∠APB＝45°. ∴PB和平面P AD所成的角的大小为45°.(2)证明：在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.又AE⊂平面P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，故AE⊥平面PCD.。

立体几何证明平行和垂直
在立体几何中，我们可以通过以下定理和性质来证明线段、平面、直线的平行和垂直关系：
1. 平行线定理：若两条直线与第三条直线交叉时，两个内角和等于180度，则这两条直线是平行的。

2. 垂直线定理：若两条直线相交时，相邻的内角是直角，则这两条直线是垂直的。

3. 垂直平分线定理：若一个直线通过一个线段的中点并与该线段垂直，则这条直线垂直于该线段。

4. 同位角定理：当一条直线与两条平行直线相交时，对应的同位角是相等的。

5. 垂直平分线性质：当一条直线垂直平分一条线段时，它同时垂直于该线段的两个中垂线。

6. 垂直平分线交角性质：当两条直线都垂直平分了同一条线段时，这两条直线是平行的。

根据以上定理和性质，我们可以利用构造图形、辅助线、角度计算等方法进行立体几何证明的平行和垂直关系。

这些证明通常涉及到直线与平面的交点、线段的中点、角度的大小等问题，需要根据给定的条件进行分析和推导。

需要注意的是，在立体几何证明中，除了以上的定理和性质，还可以利用立体几何中的其他相关定理和公式来辅助证明，具体证明方法也要根据具体情况灵活运用。

总之，立体几何的平行和垂直关系证明是一个比较重要的内容，需要熟悉相关定理和性质，并能够熟练运用各种证明方法来解决问题。

2 第五讲 线面、面面垂直的判定与性质常见题型与方法归纳考点一 直线与平面垂直的判定与性质一．直线与平面垂直定义1.（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直；（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；2．直线、平面垂直的判定方法：（1）利用判定定理；（2）如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．（4）利用面面垂直的性质。

二．直线与平面垂直判定题型讲解题型一 概念巩固【例1-1】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若，，则 （B ）若，，则（C ）若，，则 （D ）若，，则题型二 线面垂直的判定【例1-2】如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F .求证： (1)BC ⊥平面P AB ；(2)AE ⊥平面PBC ；(3)PC ⊥平面AEF ．图1-2 图1-3 图1-3【例1-3】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，S 是△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ．【例1-4】如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．(1) 求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)求直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．三 直线与平面垂直的性质 性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

题型一 利用线面垂直的性质证明平行问题【总结】当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，考虑线面垂直的性质定理【例1-5】如图，正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，EF 与异面直线AC 、A 1D 都垂直相交．求证：EF ∥BD 1．图1-5 练习1【练习1】如图，已知平面α∩平面β＝l ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，B 为垂足，直线a ⊂β，a ⊥AB .求证：a ∥l ．题型二 利用线面垂直的性质证明垂直问题 方法： 线面垂直性质判定线线垂直．【例1-6】已知α∩β＝AB ，PQ ⊥α于Q ，PO ⊥β于O ，OR ⊥α于R ．求证：QR ⊥AB ．l m αl m ⊥m α⊂l α⊥l α⊥l m //m α⊥l α//m α⊂l m //l α//m α//l m //2题型三 等体积法在垂直中的应用【例1-7】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长. 1-7图考点二．直线和平面所成的角一．直线和平面所成的角概念（1）斜线在平面上的射影 （2）直线与平面所成角范围 02πθ≤≤方法：关键是求斜线在平面内的射影，最终转化为找面的垂线二 典型例题题型（一）概念理解【例2-1】（1）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（2）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）（A ）0条或 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条（3）若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且PA =PB =PC ，求证P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的 心题型（二） 求直线和平面所成的角 方法一：利用定义。