立体几何垂直证明(基础)
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立体几何垂直的证明
类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直)
(1)共面垂直:掌握几种模型
①等腰(等边)三角形中的中线 ②菱形(正方形)的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形
⑤利用相似或全等证明直角。
【例1】在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为底面ABCD 的中心, E 为1CC 中点,求证: (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面
(2)异面垂直(利用线面垂直来证明) 【例2】在正四面体ABCD 中, 求证:AC BD ⊥
【变式1】如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是矩形,已知
ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .
证明:AD PB ⊥;
【变式2】如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,
将△AED,△DCF分别沿,
DE DF折起,使,A C两点重合于'A.
求证:'A D EF
⊥;
【变式3】如图,在三棱锥P ABC
-中,⊿PAB是等边三角形,∠P AC=∠PBC=90 º。
证明:AB⊥PC
类型二:直线与平面垂直证明
方法○1利用线面垂直的判断定理
【例3】在正方体
1111
ABCD A B C D
-中,,求证:
11
AC BDC
⊥平面
【变式1】如图:直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90︒.E为BB1的中点,D点在AB上且DE= 3 .
求证:CD⊥平面A1ABB1;
B
E
'
A
D
F
G
P
C
B
A
D
E
【变式2】如图,在四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的 中点,2, 2.CA CB CD BD AB AD ======
求证:AO ⊥平面BCD ;
【变式3】如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中,AD BC ∥,90ABC ∠=°,PA ⊥平面ABCD .3PA =,2AD =,23AB =6BC =
()1求证:BD ⊥平面PAC
○
2利用面面垂直的性质定理 【例4】在三棱锥P-ABC 中,PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面,BC PAC ⊥求证:面。
【变式1】在四棱锥P ABCD -,底面ABCD 是正方形,侧面PAB 是等腰三角形,且
PAB ABCD ⊥面底面,求证:BC PAB ⊥面
类型3:面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)
【例5】如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,
2AD DE AB ==,F 为CD 的中点.
(1) 求证://AF 平面BCE ; (2) 求证:平面BCE ⊥平面CDE ;
【例6】如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,
60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=,,°,PA AB BC ==,E 是PC 的中点.
(1)证明CD AE ⊥; (2)证明PD ⊥平面ABE ;
【变式1】已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形,︒=∠60ABC ,E 、F 分别是棱CC ′与BB ′上的点,且EC=BC =2FB =2. (1)求证:平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ;
A B
C
D E
F
A
C
D
P
E
类型三:平面与平面垂直证明
1.AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M是圆周上任意一点,AN⊥PM,点
N为垂足,
求证:平面PAM⊥平面PBM
2.如图,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E,F,G分别为CD,DA和对角线AC的中点。
求证:平面BEF⊥平面BGD
.
3.在直平行六面体AC1中,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1.
(1)求证:C1O∥平面AB1D1;
(2)求证:平面AB1D1⊥平面ACC1A1.
4. 如下图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:平面BDE⊥平面BEC.