立体几何中垂直地证明
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全方位教学辅导教案
线面垂直的判定及其性质
●知识要点 1.线面垂直 (1)定义:
如果直线l 与平面α的任意一条直线都垂直,则直线l 与平面α互相垂直,记作l α⊥. l -平面α的垂线,α-直线l 的垂面,它们的唯一公共点P 叫做垂足. (2)判定定理:(线线垂直→线面垂直)
一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. ☆ 符号语言:若l ⊥m ,l ⊥n ,m ∩n =B ,m α,n α,则l ⊥α. (3)性质定理:(线面垂直→线线平行) 垂直于同一个平面的两条直线平行. 2.二面角 (1)定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ--. (简记P AB Q --) (2)二面角的平面角:
在二面角αβ-l -的棱l 上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 围:000180θ<<. 3.面面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.
(2)判定定理:(线面垂直→面面垂直)
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (3)性质定理:(面面垂直→线面垂直)
两个平面垂直,则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
“垂直关系”常见证明方法
(一)直线与直线垂直的证明
1) 利用某些平面图形的特性:如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
6、如图,在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=
AB=BC,E是PC的中点.
(1)求证:CD⊥AE;(2)求证:PD⊥面ABE.
题型二、面面垂直的判定与性质
1、如图AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点,求证:平面PAC垂直平面PBC。
2、如图,棱柱111
ABC A B C
-
的侧面11
BCC B
是菱形,
11
B C A B
⊥
证明:平面
1
AB C⊥平面
11
A BC;
3、已知:如图,将矩形ABCD沿对角线BD将BCD折起,使点C移到点
1
C,且1
C AB
D O AB
在平面上的射影恰好在上。
1
1
(2).
BDC
⊥
⊥
1
1
()求证:AD BC
求证:面ADC面
4、如图所示,在长方体
1111
ABCD A B C D
-中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点
(Ⅰ)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值;
(Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A1B1M1
5、已知四面体ABCD中,CD
BD
AC
AB=
=,,平面⊥
ABC平面BCD,E为棱BC的中点。(1)求证:⊥
AE平面BCD;
(2)求证:BC
AD⊥;
6、S是△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
S
A
C
B
O
B
C1
A
D
C
7、在四棱锥中,底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD
8、如图所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a 的菱形,侧面PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD ,若G 为AD 边的中点, (1)求证:BG ⊥平面PAD ; (2)求证:AD ⊥PB ;
(3)若E 为BC 边的中点,能否在棱PC 上找到一点F ,使平面DEF ⊥平面ABCD ,并证明你
的结论.
V
D C
B
A
题型三、平行与垂直的综合题
(2)PDA=45.
PA ABCD CD
MN PCD ⊥⊥∠⊥。1、已知矩形所在的平面,M,N 分别是AB,PC 的中点。
(1)求证:MN 若,求证:平面
2、如图所示,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,B 1C 1=A 1C 1,AC 1⊥A 1B ,M 、N 分别是A 1B 1、AB 的中点.
(1)求证:C 1M ⊥平面A 1ABB 1; (2)求证:A 1B ⊥AM ;
(3)求证:平面AMC 1∥平面NB 1C ;
3、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD , AB=AD ,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点
求证:(1)直线EF ‖平面PCD ;
(2)平面BEF ⊥平面PAD
4.如图5所示,在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点,F 是DC 上的点且DF=
2
1
AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高. (1) 证明:PH ⊥平面ABCD ;
(2) 若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱锥E-BCF 的体积; 证明:EF ⊥平面PAB .
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老师 课后 评价 下节课的计划:
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