黑龙江省哈尔滨师大附中2019届高三上学期期中考试数学文试卷Word版含解析

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，集合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合的等价条件，结合交集的定义进行计算即可．【详解】A={x|x2-x-2＜0}={x|-1＜x＜2}，则，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.已知，则的值A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式通过三角恒等变换变成正切，得到结果．【详解】则故选A.【点睛】本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应用切与弦之间的互化问题，本题是一个基础题．3.已知向量，向量的夹角是，，则等于A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．【详解】∵向量又向量的夹角是，，∴∴．故选：C．【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．4.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法中正确的是A. ∥∥B. ∥C. ∥∥D. ∥∥【答案】C【解析】【分析】利用线面平行与垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【详解】对于A. ∥∥，错误，与又饿可能异面；对于B. ∥，错误，与有可能相交；对于C. ∥∥，利用直线与平面垂直的判定定理可得结论正确；对于 D. ∥∥，错误，与有可能相交.故选C.【点睛】】本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于基础题．5.《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( )A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺【答案】B【解析】设各节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则===85.5，所以=9.5，由题知==31.5，所以=10.5，所以公差=−1，所以==2.5，故选B．6.函数f（x）=sin（ωx+）（其中||＜）的图象如图所示，为了得到y=f（x）的图象，只需把y=sinωx的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由，可求得其周期T，继而可求得，再利用函数的图象变换及可求得答案．【详解】解：由图知，，，；又，，又，，，，为了得到的图象，则只要将的图象向左平移个单位长度．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象变换，求得是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．7.直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】B【解析】【分析】作出异面直线所成的角，然后求解即可．【详解】因为几何体直三棱柱，BC∥B1C1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，，连结，取BC的中点H,连结OH，则直线与所成的角为就是．设．易得，三角形AOH是正三角形，异面直线所成角为60°．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力．8.若函数在区间上单调递减，且，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．【详解】由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log0.3(5+4x−x2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：A．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．9.已知数列的首项，数列为等比数列，且．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件推导出a n=b1b2…b n-1，由此利用b10b11=2，根据等比数列的性质能求出a21．【详解】数列{a n}首项a1=2，数列{b n}为等比数列，且，∴…．故选：C．【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．10.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是由一个三棱柱，挖去两个三棱锥，所得的组合体，进而可得答案【详解】由已知中的三视图，可得该几何体是：一个三棱柱挖掉两个三棱锥，所得的组合体，其直观图如图所示：∵三棱柱的体积，挖去的棱锥体积，故该几何体的体积为：，故选A．【点睛】本题考查三视图与几何体的关系，考查学生的视图能力判断能力，以及空间想象能力．11.已知定义域为R的奇函数，当时，，当时，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由当时，，可得又根据奇偶性求出即可.【详解】定义域为R的奇函数，当时，，则则又当时，，故.故选B.【点睛】】本题考查分段函数的运用：求函数值，注意运用周期性和对数的运算性质，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.已知是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数在区间上的所有零点之和为A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】D【解析】【分析】由题可知函数周期为2 ，作出函数数和在区间上的的图像。

黑龙江省哈尔滨师大附中2019届高三上学期期中考试数学理试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．已知集合，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．[0，1]3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．在区间[0，π]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．5．若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C．D．6．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．二项式（x2﹣）11的展开式中，系数最大的项为（）A．第五项B．第六项C．第七项D．第六和第七项8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0B．3C．6D．129．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44 D．44+110．若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．11．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）A ．24种B ．48种C ．36种D ．28种12．已知函数f （x ）的导函数f′（x ）=2+sinx ，且f （0）=﹣1，数列{a n }是以为公差的等差数列，若f （a 2）+f （a 3）+f （a 4）=3π，则=（ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．2013二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 ．14．已知，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|= ．15．袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为 ．16．已知x ，y ∈R ，满足x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m =（a ，c ），n =（1﹣2cosA ，2cosC ﹣1），m ∥n（Ⅰ）若b=5，求a+c 值； （Ⅱ）若，且角A 是△ABC 中最大内角，求角A 的大小．18．（12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A与非种子选手B1，B2，B3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A至少获胜两场的概率大于，则A入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A获胜场数X的分布列和数学期望．19．（12分）已知各项为正数的数列{an }的前n项和为Sn，且满足（Ⅰ）求证：{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）在上的最值；（Ⅱ）若存在，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数，其中a，b，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证；f（x1）+f（x2）＜e．[选作题]22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．[选作题]23．（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证：．黑龙江省哈尔滨师大附中2019届高三上学期期中考试数学理试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．[0，1]【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合，∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，∴A∩B=（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．4．在区间[0，π]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】先求出不等式对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵0≤x≤π，，∴≤x≤π，区间长度为，则对应的概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键．5．若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．由|+|=|﹣|=2||，可得四边形OACB为矩形，利用=即可得出．【解答】解：作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．∵|+|=|﹣|=2||，∴四边形OACB为矩形，∴==，∴向量+与的夹角为．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x ﹣y|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】阅读型．【分析】先根据[x]的定义可知，[x]=[y]⇒|x﹣y|＜1，而取x=1.9，y=2.1，此时满足|x﹣y|=0.2＜1，但[x]≠[y]，根据若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件进行判定即可．【解答】解：[x]=[y]⇒﹣1＜x﹣y＜1即|x﹣y|＜1而取x=1.9，y=2.1，此时|x﹣y|=0.2＜1，而[x]=1，[y]=2，[x]≠[y]∴“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的充分而不必要条件故选A【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q 的关系．7．二项式（x2﹣）11的展开式中，系数最大的项为（）A．第五项B．第六项C．第七项D．第六和第七项【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．=•x22﹣3r，可得系【分析】在二项展开式的通项公式中，根据二项式的展式的通项公式为Tr+1数最大的项．=•x22﹣2r•（﹣1）r•x﹣r =•x22﹣【解答】解：二项式（x2﹣）11的展式的通项公式为 Tr+13r，故当r=6时，展开式的系数=最大，【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据已知的a n+1=3S n，当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减，根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．【解答】解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），两式相减得：a n+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．10．若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件化简可得 3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，从而解得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化简可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，故答案为：C．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．11．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．24种B．48种C．36种D．28种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿红色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果【解答】解：由题意知先使五个人的全排列，共有A55=120种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有2A22A44=96种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有A22A22A33=24种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48，故选：B．【点评】本题是一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面来解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉，属于基础题．12．（2016•上饶二模）已知函数f （x ）的导函数f′（x ）=2+sinx ，且f （0）=﹣1，数列{a n }是以为公差的等差数列，若f （a 2）+f （a 3）+f （a 4）=3π，则=（ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．2013【考点】等差数列的通项公式；导数的运算．【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f （x ）的导函数f′（x ）=2+sinx ，可设f （x ）=2x ﹣cosx+c ，利用f （0）=﹣1，可得：f （x ）=2x ﹣cosx ．由数列{a n }是以为公差的等差数列，可得a n =a 2+（n ﹣2）×．由f （a 2）+f （a 3）+f （a 4）=3π，化简可得6a 2﹣=．利用单调性可得a 2，即可得出．【解答】解：∵函数f （x ）的导函数f′（x ）=2+sinx ， 可设f （x ）=2x ﹣cosx+c ，∵f （0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0． ∴f （x ）=2x ﹣cosx ． ∵数列{a n }是以为公差的等差数列，∴a n =a 1+（n ﹣1）×，∵f （a 2）+f （a 3）+f （a 4）=3π，∴2（a 2+a 3+a 4）﹣（cosa 2+cosa 3+cosa 4）=3π， ∴6a 2+﹣cosa 2﹣﹣=3π，∴6a 2﹣=． 令g （x ）=6x ﹣cos ﹣， 则g′（x ）=6+sin 在R 上单调递增，又=0． ∴a 2=． 则==2015．故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 15 ． 【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计． 【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可． 【解答】解：样本间距为36÷4=9， 则另外一个编号为6+9=15， 故答案为：15．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键． 14．已知，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|= 512 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|，即（1+x ）9展开式的各项系数和，令x=1，可得（1+x ）9展开式的各项系数和．【解答】解：已知，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|，即（1+x ）9展开式的各项系数和，令x=1，可得（1+x ）9展开式的各项系数和为|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|=29=512， 故答案为：512．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．15．袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】对应思想；转化法；概率与统计．【分析】每次摸到红球的概率都是，摸到白球的概率都是，由此利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出至少有2次摸出白球的概率．【解答】解：∵袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，∴每次摸到红球的概率都是，摸到白球的概率都是，∴至少有2次摸出白球的概率为： p=（）（）2+（）3=，故选答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式的合理运用．16．（2015•唐山一模）已知x ，y ∈R ，满足x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围为 [4，12] ．【考点】三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．【分析】x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．代入z=x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．【解答】解：x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．∴y=sinθ，x=，∴z=x2+4y2==+6=2×（1﹣cos2θ）﹣+6=，∵∈[﹣1，1]．∴z∈[4，12]．故答案为：[4，12]．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（a，c），n=（1﹣2cosA，2cosC﹣1），m∥n（Ⅰ）若b=5，求a+c值；（Ⅱ）若，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解．（Ⅱ）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值．【解答】（本大题满分12分）解：（Ⅰ）因为：，所以，2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，所以，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得2b=a+c=10．….6分 （Ⅱ），又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin （π﹣A ﹣B ）， 则，2sinA+cosA=2， 又sin 2A+cos 2A=1， 所以，解得，由于A 是最大角， 所以，．….12分【点评】本题主要考查了平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．（12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A 与非种子选手B 1，B 2，B 3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A 获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A 至少获胜两场的概率大于，则A 入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A 是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A 获胜场数X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】综合题；方程思想；演绎法；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件的概率公式，结合条件，即可求解；（Ⅱ）据题意，X 的可能值为0、1、2、3，求出概率，列出分布列，然后求解期望． 【解答】解：（Ⅰ）记“种子A 与非种子B 1、B 2、B 3比赛获胜”分别为事件A 1、A 2、A 3=所以，A 入选最终名单 (6)（Ⅱ）X 的可能值为0、1、2、3所以，数学期望： (12)【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算能力．19．（12分）已知各项为正数的数列{an }的前n项和为Sn，且满足（Ⅰ）求证：{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）通过放缩，利用数列的单调性即可证明．【解答】证明：（1）∵满足，当n=1时，a1=2．当n≥2时，由（1）﹣（2）得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣4）=0（a n＞0）则a n﹣a n﹣1=4，∴{a n}是以4为公差的等差数列．a n=4n﹣2．（2）证明：设，则f（n+1）﹣f（n）＜0所以，{f（n）}递减，即：…12．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性、“放缩”法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）在上的最值；（Ⅱ）若存在，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】转化思想；分类法；导数的综合应用．【分析】（1）求出导函数，得出极值点，根据极值点求闭区间函数的最值；（2）不等式整理得出2sinx﹣（1﹣a）x＞0，构造函数，根据导函数进行分类讨论，即最大值大于零即可．【解答】（本大题满分12分）（1）f'（x）=1﹣2cosx，…（2分）…（6分）（2）f（x）＜ax，∴2sinx﹣（1﹣a）x＞0设g（x）=2sinx﹣（1﹣a）x，则g'（x）=2cosx﹣（1﹣a）…（7分）由①1﹣a≥2即a≤﹣1，此时g'（x）＜0得出g（x）在单调递减，g（x）＜g（0）=0不成立…（8分）②1﹣a≤0即a≥1，此时g'（x）＞0得出g（x）在单调递增，g（x）＞g（0）=0成立…（9分）③0＜1﹣a＜2即﹣1＜a＜1，令，存在唯一，使得．当x∈（0，x）时，g'（x）＞0得出g（x）＞g（0）=0，∴存在，有g（x）＞0成立…（11分）综上可知：a＞﹣1…（12分）【点评】考查了导函数求闭区间函数的最值和存在问题的转化思想．21．（12分）已知函数，其中a，b，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x ≥0时，f （x ）≥1总成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）若a ＞0，b=0，若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，求证；f （x 1）+f （x 2）＜e ． 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为bx+1≥0在[0，+∞）恒成立，通过讨论b 的范围集合函数的单调性从而求出b 的范围即可；（Ⅲ）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（Ⅰ），f'（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜0，f'（x ）＜0⇒0＜x ＜1， ∴f （x ）增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），减区间为（0，1）．…（4分） （Ⅱ）在[0，+∞）恒成立⇒b ≥0…当b ≥0时，f （x ）≥1⇔e x﹣bx ﹣1≥0．设g （x ）=e x﹣bx ﹣1，g'（x ）=e x﹣b①当0≤b ≤1时，g'（x ）≥0⇒g （x ）在[0，+∞）单调递增，⇒g （x ）≥g （0）=0成立 ②当b ＞1时，g'（x ）=0⇔x=lnb ，当x ∈（0，lnb ）时，g'（x ）＜0⇒g （x ）在（0，lnb ）单调递减，⇒g （x ）＜g （0）=0，不成立 综上，0≤b ≤1…（8分） （Ⅲ）有条件知x 1，x 2为ax 2﹣2ax+1=0两根，，且，由成立，作差得：，得∴f （x 1）+f （x 2）＜e (12)或由x 1+x 2=2，，（可不妨设0＜x 1＜1）设（0＜x＜1），在（0，1）单调递增，h（x）＜h（1）=e，∴f（x1）+f（x2）＜e成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．[选作题]22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可．（Ⅱ）设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，转化不等式为a的不等式，求解即可．【解答】（本大题满分10分）解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化为：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．当x≥时，3x＞6．解得x＞2，当x∈（1，）时，可得﹣x+2＞2，不等式无解；当x≤1时，不等式化为：4﹣3x＞2，解得x．不等式的解集为： (5)（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，所以，f（x）max=|a﹣3|即：|a﹣3|＜2所以，a的取值范围为（1，5） (10)【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．[选作题]23．（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证：．【考点】不等式的证明．【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．【分析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，即可求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，则|2x+3y|，∴﹣≤2x+3y≤．（Ⅱ）证明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2得证：18≥（2a﹣b﹣c）2，所以．【点评】本题考查柯西公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若全集，集合，，则等于（）A. B. 或C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，或，，∴或，故选B．考点：集合的运算．2.若复数z满足,i为虚数单位,则z的虚部为（）A. -2iB. -2C. 2D. 2i【答案】B【解析】【分析】设复数z=a+bi，代入等式，利用复数相等，求得a，b，得到答案．【详解】设复数z=a+bi，则（1+2i）（a+bi）=5，即a﹣2b+（2a+b）i=5，所以解得，所以z=1﹣2i，所以复数z 的虚部为﹣2；故答案为：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.与函数相同的函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数考点：函数是同一函数的标准4.幂函数在上单调递增，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列出不等式与方程，即可求出m的值．【详解】由题意得：解得,∴m=4．故选：C．【点睛】这个题目考查的是幂函数的单调性问题，幂函数在第一象限的单调性和p有关系，当时函数单调递增，当时函数单调递减，至于其它象限的单调性，需要结合函数的奇偶性和图像来分析.5.已知函数，则（）A. 在上递增B. 在上递减C. 在上递增D. 在上递减【答案】D【解析】【分析】确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性.【详解】函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=,∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴在上递减,在上递增【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.6.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，根据函数在1两侧的极限可排除选项，也可以再取特殊值判断．【详解】f（x）=的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当自变量从左侧趋向于1时，函数值趋向于﹣∞，排除CD，当自变量从右侧趋向于1时，函数值仍然趋向于﹣∞，排除A，或者取特殊值，当x=时，f（x）=-2ln2＜0，也可以排除A项，故选：B.【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.7.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题，则；D. 命题“”是假命题.【答案】C【解析】对于，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”正确；对于，只要时，函数在区间上为增函数，故正确；对于，若命题，则故错误；对于，根据幂函数图象得“时，”，故正确，故选C.8.设，，，则（）A. B. C. D.【解析】由指数函数的性质可得，结合对数函数的性质有，综上可得，.本题选择A选项.9.已知定义在上的奇函数满足，当时，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意将f（），f（﹣7），化到上，再将自变量代入解析式可得答案．【详解】∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（6）=f（2）=f（0）=0，f（）=f（）=﹣f（﹣）=f（）=﹣1，f（﹣7）=f（1）=1，∴.故选：C．【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+x-2＜0}，集合＞，则A∩B=（）A. B.C. D.2.已知2sinθ+cosθ=0，则sinθcosθ-cos2θ的值（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于（）A. B. 4 C. 2 D.4.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. ，，B. ，C. ，，D. ，，5.已知角α的终边经过点P（2，1），则sin（α+）的值为（）A. B. C. D.6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB AC，AB=AC=AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为（）A. B. C. D.9.若函数在区间（a-1，a+1）上单调递减，且b=1g0.3，c=20.3，则（）A. B. C. D.10.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A. 16B. 8C. 4D. 211.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 212.已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2f（x+3），当-3＜x≤0时，f（x）=log3（1-x），则f（2018）=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=，则f（f（-2））=______．＜14.已知sin（）=，则sinθ=______．15.已知向量=（1，2），=（-3，2），若（k+）∥（-3），则实数k的取值为______．16.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若a+c=3，b=，求△ABC的面积．18.若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n-1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1=3a1，b3=S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和为T n．19.如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，且SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求三棱锥B-MAC的体积．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率e=，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且=0，当||+||=时，求直线AC的方程．21.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+a ln x在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：＜（n∈N*，n≥2）．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ=α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l 与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-|+|2x+|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设m，n∈R+，且m+n=1，求证：．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x2+x-2＜0}={x|（x+2）（x-1）＜0}={x|-2＜x＜1}，={x|-1＜x＜1且x≠0}，则A∩B=（-1，0）（0，1），故选：D．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2.【答案】A【解析】解：∵2sinθ+cosθ=0，∴tanθ=-，∴sinθcosθ-cos2θ====-．故选：A．根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式加上一个分母1，变成同角的正弦与余弦的平方和，变成正切，得到结果．本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应用切与弦之间的互化问题，本题是一个基础题．3.【答案】C【解析】解：∵向量=（1，），∴||==2；又向量的夹角是，•=2，∴||•||•cos=2||•=2，∴||=2．故选：C．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，由α∥β，mα，nβ，得m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，由αγ，βγ，得α与β相交或平行，故B错误；在C中，由α∥β，m∥n，mα，利用线面垂直的判定定理得nβ，故C正确；在D中，由α∩β=m，β∩γ=n，m∥n，得α与β相交或平行，故D错误．故选：C．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，利用线面垂直的判定定理得nβ；在D中，得α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】D【解析】解：角α的终边经过点P（2，1），可得cosα==．则sin（α+）=cosα=．故选：D．利用诱导公式化简所求的三角函数，通过三角函数的定义求解即可．本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d=-1，a1=13.5．则a12=13.5-11=2.5．故选：B．设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d，a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，不妨设AB=AC=AA1=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），，，cos＜＞=，则直线A1B与AC1所成角的大小为60°．故选：B．以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：D．求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.【答案】C【解析】解：等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，∴，解得q2=2，a1=1，∴==q4=4，故选：C．由题意可得，解得q2=2，a1=1，则=q4=4，问题得以解决本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题11.【答案】A【解析】解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12.【答案】B【解析】解：∵f（x）=2f（x+3），∴f（x-3）=2f（x），即f（x）=f（x-3），∴f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]=-log3[1-（-2）]=-．故选：B．∵f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]，本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．13.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（f（-2））=f（）=，故答案为：由函数f（x）=，将x=-2代入计算可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（）=，∴sinθ=cos（）=cos2（）=．故答案为：．由已知直接利用诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．15.【答案】-【解析】解：∵=（1，2），=（-3，2），∵k=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），-3=（10，-4）∵（k+）∥（-3），∴-4（k-3）+10（2k+2）=0，∴k=-，故答案为：首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．此题是个基础题．考查平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别16.【答案】【解析】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△OOC中，O1C==．1又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E=O1C=．∴Rt△OO1E中，OE===．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：．设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由3cos A cos C（tan A tan C-1）=1，得：3cos A cos C（-1）=1，∴3（sin A sin C-cos A cos C）=1，∴cos（A+C）=-，∴cos B=，又∵0＜B＜π，∴sin B=．…………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=3，b=，ac=9，∴S△ABC=ac sin B=3．…………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，结合范围0＜B＜π，可求sinB=．（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求ac的值，再根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=3a1-1，∴a1=1，当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=（3a n-1）-（3a n-1-1），即a n=3a n-1，∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，∴ ，设{b n}的公差为d，b1=3a1=3，b3=S2+3=7=2d+3，d=2．∴b n=3+（n-1）×2=2n+1；（2）∵c n==，∴ ①②由①-②得，=．∴．【解析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n}为等比数列，则数列{a n}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{b n}的首项和公差，则{b n}的通项公式可求；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入c n=，直接由错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，∴AD，AB，AS两两互相垂直．以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1）．，，，，，，，，，设平面SCD的一个法向量为，，，则，令z=1，得，，，∴，即．∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）解：∵SA底面ABCD，∴SA BC，又BC AB，SA∩AB=A，∴BC平面SAB．∴△ ．【解析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标与平面SCD的一个法向量，由数量积为0证明，从而得到AM∥平面SCD．（Ⅱ）直接利用等体积法求三棱锥B-MAC的体积．本题考查线面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）由已知，e==，2c=4，∴c=2，a=4，∴b2=a2-c2=12，故椭圆方程为+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-2，0），AC BD，①当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=14，不合题意；②当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AC|=|x1-x2|=•=；直线BD的方程为y=-（x+2），同理可得|BD|=；∴|AC|+|BD|=+=，解得k2=1，即直线AC的方程为y=±（x+2）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式和c=2，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AC，BD的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用弦长公式，解方程即可得到所求方程．本题考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=．∴x＞0，，f x=0x=1因此增区间（，），减区间（，），极大值（），无极小值．………（分）（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a ln x=+a ln x在（0，+∞）上为增函数，∴+=≥0对∀x＞0恒成立，∴ax-ln x≥0对∀x＞0恒成立，∴a≥对∀x＞0恒成立，∴a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，∵ln x＜1，x∈（0，e），∴h （x）＞0，x∈（0，e），从而h（x）在（0，e）递增；另外，ln x＞1，x∈（e，+∞），∴h （x）在（e，+∞）递减．综上，h（x）max=h（e）==，故a．∴实数a的取值范围是[，+∞）．…………（8分）证明：（Ⅲ）由（Ⅰ）可得f（x）=≤f（x）max=f（1）=1，∴，当且仅当x=1时取等号．令x=n2，（n∈N*，n≥2），∴＜1-，∴＜＜=，（n≥2），∴＜（1-）==（n∈N*，n≥2）．…………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出x＞0，，由f′（x）=0，得x=1，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）推导出+=≥0对∀x＞0恒成立，从而a≥对∀x＞0恒成立，进而a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，利用导数性质能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）f（x）=≤f（x）max=f（1）=1，，当且仅当x=1时取等号．令x=n2，（n∈N*，n≥2），推导出＜＜=，（n≥2），由此能证明：（n∈N*，n≥2）．本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C1：x+y=1，∴曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，即，∵曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π）），∴曲线C2的普通方程为（x-2）2+y2=4，即x2+y2-4x=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，=4cosα（cosα+sinα）=2（1+cos2α+sin2α）=2+2sin（2），由0≤α≤，知，当2=，∴时，有最大值2+2．【解析】（Ⅰ）由曲线 C1：x+y=1，能求出曲线 C1的极坐标方程；∵曲线 C2的参数方程消去参数φ，得到曲线C2的普通方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，从而=4cosα（cosα+sinα）=2+2sin（2），由此利用0≤α≤，求出当时，有最大值2+2．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|2x-|+|2x+|≥|（2x-）-（2x+）|=2当且仅当（2x-）（2x+）≤0，即-≤x≤时，上式取等号，即f（x）取得最小值2故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证：≤2，∵≤=m+，≤=n+，∴+≤m+n+3=4，∴≤2，故，原不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式即可求出a的值，（Ⅰ）根据基本不等式利用分析法即可证明本题考查了绝对值三角不等式，和基本不等式的应用，考查了推理能力，属中档题。