第十三章实数

D．
⒑在实数，0，，1．732，，－10．232 232 232 …中无理数有 A．2 B．3 C．4 D．5 ⒒实数与互为相反数，则与的关系为 A．＝1 B．＝－1 C．＋＝0 D．－＝0 ⒓三峡工程全部竣工后，其年发电量为847亿千瓦时，则该年发电量 （单位：千瓦时）用科学计数法表示为千瓦时。 A．8．47× B．8．47× C．847× D．0．847× ⒔现有以下四个结论①绝对值等于本身的实数只有零；②相反数等于 它本身的只有零；③倒数等于它本身的实数只有1；④算术平方根等于 它本身的实数只有1.其中正确的个数 A．0 B． 1 C．2 D．3 ⒕绝对值大于1小于4的整数的和是 A．0 B．5 C．－5 D．10 ⒖天安门广场的面积约为44万平方米，请你估计一下，它的百万之一 约相当于 A． 教室地面的面积 B．黑板面的面积 C．课桌面的面积 D．铅 笔盒偭的面积 ⒗已知＝3，＝7，且＜0，则＋的值等于 A． 10 B．4 C． D．
第十三章 实数
一、基础知识
1.有理数：整数和分数统称为有理数。有理数都可以表示为有限小 数或无限循环小数，如 可表示为0.4， 可表示为 等等；所有形如 (m, n为互质的整数，n≠0)的数都是有理数。 2.无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数 的形式。如：π， ，，……。 3.实数：有理数和无理数统称为实数。 我们一般用下列两种情况将实数进行分类：
4.实数与数轴上的点是一一对应的。每一个实数都可以用数轴上的 一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。 5.实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数。又 如果a表示一个负实数，则-a表示一个正实数。a与-a互为相反数。0的 相反数仍是0。如π与-π， 与，m与-m…均互为相反数。 6.实数的绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值 是它的相反数；0的绝对值是0。即如果a是一个实数，则有 |a|=
⒘下列命题中正确的个数有 1 实数不是有理数就是无理数；②＜＋；③121的平方根是；④在 实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理 数 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（二）认真填一填
⒈若＝，则等于＿＿＿＿。 ⒉若 ＋有意义，则为＿＿＿＿。 ⒊若，，则＝＿＿＿＿。 ⒋在数轴上与表示的距离最近的整数点所表示的数为＿＿＿＿。 ⒌绝对值最小的实数为＿＿＿＿，绝对值小于的整数有＿＿＿＿个。 ⒍当实数均为正数时，若﹥时，则＿＿； 当实数均为负数时，若﹤时，则＿＿。（填﹥ 或﹤）。 ⒎一个数的倒数的相反数是，这个数是＿＿＿＿。 ⒏的算数平方根是＿＿＿＿。 ⒐若则＝＿＿＿＿。 ⒑当﹥0，＿＿＿时，在实数范围内无意义。 ⒒当﹥0时，则＿＿＿＿＿。 ⒓边长为＿＿＿＿㎝的正方形与长、宽分别为9㎝、4㎝的矩形面积相 等。 ⒔当 ，则在数轴中的＿＿＿＿＿处。 ⒕一个自然数的算数平方根是，则与其相邻的下一个自然数的平方根 为＿＿＿＿。 ⒖ 2004年我国外汇储备亿美元，用科学计数法表示为＿＿＿＿＿＿亿 美元。 ⒗近似数0.020精确到＿＿＿＿＿位，它有＿＿＿＿＿个有效数字。 ⒘若为自然数，那么＿＿＿＿＿＿。 ⒙若实数满足，则＝＿＿＿＿＿。 ⒚在数轴上表示的点到原点的距离为3，则＝＿＿＿＿＿。
例如，||= ，|-π|=π，| |=
，| |=-( )= … 注意：-a(a<0)是正数，例如：-( ) 7.平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫 做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫 做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方 根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 8.立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的 立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 9. 有理数的运算 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相 加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
<0<0.8<1.414< <π<4 例3.化简下列各式： (1) | | (2) |π-3.142| (3) | | (4) |x-|x-3|| (x≤3) (5) |x2+6x+10| 分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正 数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。 解： (1)∵ =1.414…< ∴| |= (2) ∵π=3.14159…<3.142 ∴|π-3.142|=3.142-π
（三）认真答一答
⒈求下列各式中的值。 ⒉计算 ＋×＋ ÷＋×＋ ⒊已知、互为相反数，和 互为倒数，求－的值。 ⒋，为实数且与为相反数，求－的值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⒌已知△的三边分别为，，，且 ， 满足＋，求的取值范围。 ⒍一个铁球的质量为千克，则它的半径为多少厘米？〔铁的质量=密度 ×体积，铁的密度为克／厘米，球的体积为〕。 ⒎的取值范围为﹥﹥，其中，均为距离最近的整数，则， 为的 值分别 为多少 ？ ⒏观察下面式子 = ，，，，，，，，他们的个位数字有一定的变化规律，用你发现的规 律写出的个位数字。 ⒐若是的整数部分，是的小数部分，试求，的值。 ⒑如果为﹢的算术平方根， 为的立方根，求﹢的平方根。 ⒒已知，是实数且﹢=0，解关于的方程。 ⒓求代数的所有可能值。 四、参考答案 一 二⒈ ⒉ ⒊ ⒍ ﹥﹥ ⒎ ⒒ ⒓ ⒔ ⒗ 千分， ⒘ 三⒈ ，或 ⒉ ⒊ ⒋ ⒌ ＜＜ ⒍ ⒎ ⒏ ⒐ ⒑ ⒒ ⒓或
⒋ ⒏ ⒐ 原点左侧 ⒙
⒌ ⒑＜ ⒕ ⒖ ⒚ 或
从而求出a, b的值。 解： 由题意得
由(2)得 a2=49，∴a=±7 由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。 ∴只取a=7 把a=7代入(1)得b=3a=21 ∴a=7, b=21为所求。 例7.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要 作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。 解：设新正方形边长为xcm， 根据题意得 x2=112+13×8 ∴x2=225 ∴x=±15 ∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去， ∴只取x=15(cm) 答：新的正方形边长应取15cm。
二、经典例题
例1.找出下列各数中的无理数：-5，3.1416, ,, ， ，π，，0.808008…， ，
， 。 解： 无理数是无限不循环小数。3.1416是有限小数；
是无限循环小数；-5，=-3， =-2是整数；
= ， 是分数，所以它们都是有理数。 那么无理数有： , ，π，，0.808008…，因为它们都是无限不循环小数。 注意：0.808008…是无限不循环小数，只是数字有规律，但不是循环小 数，两者区分开。 例2.比较下列各组数的大小： (1)与-7 (2)π与 (3) 与
(4)把下列各数按照由小到大的顺序，用不等号连结起来：4, -3, -4 ，1.414, 0, 0.8, , π, -|4 |, 分析：实数比较大小是综合性较强的题目，往往需要把无理数 用近似的有理数代替，再用有理数比较大小的方法来进行比较；有些需 要用平方的方法，平方后再比较大小；有时还需找中介值等等。 解： (1)变成统一形式 ∵||= , |-7|=7= < ∴<-7 (两个负数比较大小，绝对值大的反而小) (2)利用近似数 ∵π=3.14159…, =3.1428… ∴π<
(3) (4)0.2
-0.7 解： (1) =-4+2-3-2=-7 (2)
=+1 ==(3) =0.8-0.14+1.1=1.76 (4)0.2 -0.7 =0.2×20-0.7×90=4-63=-59 例5.已知(x-6)2+ +|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。 解： ∵(x-6)2+
(3) 用平方的方法： ( )2=13+7-2 =20-2 ( )2=20-2 ∵20-2 <20-2 即( )2<( )2 且
>0, >0 < ∴
(4) ∵=-1.414…, =-1.414…, -|4 |=-4 , π=3.14159…，把所有的数在数轴上找到与它们对应的点(或者变成近似 数)，从左到右便可得到： -4 <-|4 |<-3<-
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何 数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂， A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减， 有括号要先算括号里的。
A．1 C．0 ⒍－ 的算术平方根 A．－6 C． ⒎－的值必为 B．1或0 D．非负数 B． D．－3
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 ⒏实数在数轴上的对应点分别为A,B,且A在原点右侧，B在原点左 侧，且﹥，则的值为 A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 ⒐对于实数若，则 A．﹥ B． ﹤ C．
(3) ∵ < , ∴| |= (4) ∵x≤3, ∴x-3≤0, ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|=|2x-3|=
说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对 这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。 (5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1| ∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1>0 ∴|x2+6x+10|= x2+6x+10 例4.计算下列各式： (1) (2)
+|y+2z|=0