2018届江苏省苏锡常镇高三3月教学情况调研(一)数学(文)试题Word版含解析
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2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上
．．．．．．．．.
1. 已知集合，，则集合__________．
【答案】
【解析】
2. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．
【答案】5
【解析】因为，所以，即，.
3. 双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为,即.
4. 某中学共有人，其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人，其中高二年级被抽取的人数为，则__________．
【答案】63
【解析】
5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字，，，）先后抛掷次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于的概率为__________．
【答案】
【解析】两次数字之和等于有三种基本事件，所以概率为
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
6. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是__________．
【答案】25
【解析】执行循环得：结束循环，输出25.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
7. 若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为__________．
【答案】
【解析】设侧面斜高为，则，因此高为
8. 设是等差数列的前项和，若，，则__________．
【答案】8
【解析】因为，，所以，因此
9. 已知，，且，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为，当且仅当时取等号.因此的最小值是
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
10. 设三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以
11. 已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为
__________．
【答案】
【解析】当时，（当且仅当时取等号），当时，，因此
12. 在中，点是边的中点，已知，，，则__________．
【答案】6
【解析】
,
所以
点睛：根据定义计算数量积的两种思路
(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．
13. 已知直线：与轴交于点，点在直线上，圆：上有且仅有一个点满足
，则点的横坐标的取值集合为__________．
【答案】
【解析】以AP为直径的圆与圆C相切，
设，所以以AP为直径的圆圆心为，半径为，因此外切时：
，
内切时：，
即点的横坐标的取值集合为
点睛：研究直线与圆位置关系时，要注意隐圆，即利用直接法或转移法求轨迹方程，最后根据直线与圆或圆与圆位置关系求解参数取值范围.
14. 若二次函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为_____．
【答案】
【解析】设，则
点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）若角的终边过点，求的值；
（2）若，求锐角的大小.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）先根据三角函数定义得，，再根据向量数量积得结果，（2）由向量平行得，再利用两角和正弦公式以及同角三角函数关系得，即得锐角的大小
试题解析：（1）由题意，，
所以
.
（2）因为，所以，即，所以，则
，对锐角有，所以，
所以锐角.
16. 如图，正三棱柱的高为，其底面边长为.已知点，分别是棱，的中点，点是棱上靠近的三等分点.
求证：（1）平面；
（2）平面.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据平行四边形性质得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据平几知识得，再根据线面垂直性质定理得，最后根据线面垂直判定定理得结论.
试题解析：（1）连结，正三棱柱中，且，则四边形是平行四边形，因为点、分别是棱，的中点，所以且，又正三棱柱中
且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面
，平面，所以平面；
（2）正三棱柱中，平面，
平面，所以，
正中，是的中点，所以，又、平面，，
所以平面，又平面，
所以，
由题意，，，，，所以，
又，所以与相似，则，
所以，
则，又，，平面，
所以平面.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
17. 已知椭圆：经过点，，点是椭圆的下顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于，两点，已知，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）将两点坐标代入椭圆方程，解方程组得a,b,（2）设直线斜率，根据方程组解得E,F,再根据解得斜率.
试题解析：（1）由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意知，直线，的斜率存在且不为零，
设直线：，与直线联立方程有，得，
设直线：，同理，
因为，所以，
①，无实数解；
②，，，解得，
综上可得，直线的斜率为.
18. 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，是圆心，且.在上有一座观赏亭，其中.计划在上再建一座观赏亭，记.
（1）当时，求的大小；
（2）当越大，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）先根据直角三角形解得，再根据正弦定理列关于三角方程，根据同角三角函数关系得，即得的大小；（2）根据正弦定理列关于的函数关系，利用导数求最值，即得结果.
试题解析：（1）设，由题，中，，，
所以，在中，，，
由正弦定理得，
即，所以，
则，所以，
因为为锐角，所以，所以，得；
（2）设，在中，，，
由正弦定理得，即，
所以，
从而，其中，，
所以，
记，，；
令，，存在唯一使得，
当时，单调增，当时，单调减，
所以当时，最大，即最大，
又为锐角，从而最大，此时.
答：观赏效果达到最佳时，的正弦值为.
19. 已知函数，.
（1）若，，且恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，且函数在区间上是单调递减函数.
①求实数的值；
②当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）先利用参变分离将不等式化为函数最值：的最大值，再利用导数求函数最值，即得实数的取值范围；（2）①将单调性条件转化为
对恒成立，再根据二次函数恒成立条件得不等式，解不等式可得实数的值；②先利用导数研究函数单调性，确定函数值域，再结合图像确定，根据图像确定值域.
试题解析：（1）函数的定义域为.当，，，
∵恒成立，∴恒成立，即.
令，则，
令，得，∴在上单调递增，
令，得，∴在上单调递减，
∴当时，，∴.
（2）①当时，，.
由题意，对恒成立，
∴，∴，即实数的值为.
②函数的定义域为.
当，，时，.
，令，得.。
