2017苏锡常镇高三数学一模试卷答案

(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(四)(苏州市)数学参考答案一、 填空题1. (1，3)2. －12 3.3 4. 900 5. 0.46. [－2，－1]7. 58. －139. 12 10. 311. 94 12. 1＋5249 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－e ，－5ln 5，2，5214. ⎣⎡⎦⎤－43，4 二、 解答题 15. 解：(1) f(x)＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝32sin 2x －cos 2x2－1(2分) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.(4分)当2x －π6＝2k π－π2，即x ＝k π－π6(k ∈Z )时，f (x )的最小值为－2.(6分)此时自变量x 的取值集合为{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }．(7分)(或写成⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π6，k ∈Z )． (2) 因为f (C )＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6－1＝0，又0<C <π，所以2C －π6＝π2，即C ＝π3.(9分)在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，由正弦定理知b ＝2a ，又c ＝3，(11分) 由余弦定理知(3)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3，(13分)联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝3，b ＝2a ，解得a ＝1，b ＝2.(14分)16. 证明：(1) 连接菱形的对角线AC ，BD 交于点O ，连接MO ，因为M 是线段AC 1的中点，在△ACC 1中，MO ∥CC 1，且MO ＝12CC 1，(2分)又F 是BB 1的中点，BF ∥CC 1，且BF ＝12CC 1，所以BF ∥MO 且BF ＝MO ，故四边形MOBF 是平行四边形，(4分)所以MF ∥BO ，又MF 平面ABCD ，BO 平面ABCD ，所以MF ∥平面ABCD.(7分)(2) 由(1)知，OB ∥MF ，在菱形ABCD 中，OB ⊥AC ，所以MF ∥AC ，(9分) 在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面ABCD ，BO 平面ABCD ， 所以BO ⊥CC 1，即MF ⊥CC 1，(11分)因为MF ⊥AC ，MF ⊥CC 1，CC 1∩AC ＝C ，AC ，CC 1 平面ACC 1A 1， 所以MF ⊥平面ACC 1A 1，(13分)又MF 平面AFC 1，所以平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.(14分)17. 解：(1) 因为椭圆C 的离心率为c a ＝32，所以a 2－b 2a 2＝34，即a 2＝4b 2，(2分)所以椭圆C 的方程可化为x 2＋4y 2＝4b 2.又椭圆C 过点P(2，－1)，所以4＋4＝4b 2，解得b 2＝2，a 2＝8，(4分) 所以所求椭圆C 的标准方程为x 28＋y 22＝1.(5分)(2) 由题意，设直线PA 的方程为y ＋1＝k(x －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝8，y ＝k （x －2）－1，消去y 得：(1＋4k 2)x 2－8(2k 2＋k)x ＋16k 2＋16k －4＝0，(7分) 所以2x 1＝16k 2＋16k －41＋4k 2，即x 1＝8k 2＋8k －21＋4k 2，因为直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率为互为相反数． 设直线PB 的方程为y ＋1＝－k(x －2)，同理求得x 2＝3k 2－8k －21＋4k 2.(10分)又⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1＝k （x 1－2），y 2＋1＝－k （x 2－2），所以y 1－y 2＝k(x 1＋x 2)－4k ， 即y 1－y 2＝k(x 1＋x 2)－4k ＝k 16k 2－41＋4k 2－4k ＝－8k 1＋4k 2，x 1－x 2＝16k 1＋4k 2. 所以直线AB 的斜率为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－8k1＋4k 216k 1＋4k2 ＝－12.(14分)18. 解：(1) 据题意，抛物线段AB 与x 轴相切，且A 为抛物线的顶点，设A(a ，0)(a<－2)，则抛物线段AB 在图纸上对应函数的解析式可设为y ＝λ(x －a)2(a ≤x ≤－2)(λ>0)，(2分)其导函数为y′＝2λ(x －a)．由曲线段BD 在图纸上的图象对应函数的解析式为y ＝84＋x 2(x ∈[－2，2])， 又y′＝－16x （4＋x 2）2，且B(－2，1)，所以曲线在B 点处的切线斜率为12， 因为B 点为衔接点，则⎩⎪⎨⎪⎧λ（－2－a ）2＝1，2λ（－2－a ）＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，λ＝116.(4分)所以曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式为y ＝116(x ＋6)2(－6≤x ≤－2)．(5分) (2) 设P(x ，y)是曲线段AC 上任意一点，①若P 在曲线段AB 上，则通过该点所需要的爬坡能力 (M p )1＝(－x)·18(x ＋6)＝－18[(x ＋3)2－9](－6≤x ≤－2)，(6分)令y 1＝－18[(x ＋3)2－9](－6≤x ≤－2)，所以函数y 1＝－18[(x ＋3)2－9](－6≤x ≤－2)在区间[－6，－3]上为增函数，在区间[－3，－2]上是减函数，所以[(M P )1]max ＝98(米)(9分)②若P 在曲线段BC 上，则通过该点所需要的爬坡能力 (M p )2＝(－x)·－16x （4＋x 2）2＝16x 2（4＋x 2）2(－2≤x ≤0)，(10分)令t ＝x 2，t ∈[0，4]，则(M p )2＝16t（4＋t ）2，t ∈[0，4]，记y 2＝16t （4＋t ）2，t ∈[0，4]，当t ＝0时，y 2＝0，而当0<t ≤4时，y 2＝1616t＋t ＋8， 所以当t ＝4时，t ＋16t 有最小值16，从而y 2取最大值1，此时[(M p )2]max ＝1(米)(13分)所以由①，②可知：车辆过桥所需要的最大爬坡能力为98米，(14分)又因为0.8<98<1.5<2，所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．(16分)19. 解：(1) 由S n ＝2a n －2得S n ＋1＝2a n ＋1－2，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ， 所以a n ＋1＝2a n ，由又S 1＝2a 1－2，得a 1＝2a 1－2，a 1＝2，(2分)所以数列{a n }为等比数列，且首项为2，公比q ＝2，所以a n ＝2n .(4分)(2) 由(1)知1a n ＝12n (n ∈N *)．由12n ＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1＋…＋(－1)n ＋1b n 2n ＋1(n ∈N *)， 得12n －1＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－…＋(－1)n b n －12n －1＋1(n ≥2)． 故12n －12n －1＝(－1)n ＋1b n 2n ＋1，即b n ＝(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1(n ≥2)．(7分) 当n ＝1时，a 1＝b 12＋1，b 1＝32.所以b n＝⎩⎨⎧32，（n ＝1）（－1）n⎝⎛⎭⎫12n＋1.（n ≥2，n ∈N *）(9分)(3) 因为c n ＝2n ＋λb n ，所以当n ≥3时，c n ＝2n ＋(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1λ， c n －1＝2n －1＋(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋1λ，依据题意，有c n －c n －1＝2n －1＋(－1)nλ⎝⎛⎭⎫2＋32n >0，即(－1)n λ>－2n －132n ＋2.(10分) ①当n 为大于或等于4的偶数时， 有λ>－2n －132n＋2恒成立，又2n －132n ＋2＝1322n －1＋12n －2随n 增大而增大， 则当且仅当n ＝4时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝12835，故λ的取值范围为λ>－12835；(12分) ②当n 为大于或等于3的奇数时，有λ<2n －132n＋2恒成立，且仅当n ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝3219， 故λ的取值范围为λ<3219；(14分)又当n ＝2时，由c n －c n －1＝c 2－c 1＝(22＋54λ)－⎝⎛⎭⎫2＋32λ>0，得λ<8.(15分) 综上可得，所求λ的取值范围是－12835<λ<3219.(16分)20. 解：(1) f′(x)＝1x·x ＋ln x －k －1＝ln x －k ，(1分)①k ≤0时，因为x>1，所以f′(x)＝ln x －k>0，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间，无极值；(2分) ②当k>0时，令ln x －k ＝0，解得x ＝e k ， 当1<x<e k 时，f ′(x)<0； 当x>e k 时，f ′(x)>0，所以函数f(x)的单调递减区间是(1，e k )，单调递增区间是(e k ，＋∞)，(4分) 在区间(1，＋∞)上的极小值为f(e k )＝(k －k －1)e k ＝－e k ，无极大值．(5分)(2) 由题意，f(x)－4ln x<0，即问题转化为(x －4)ln x －(k ＋1)x<0对于x ∈[e ，e 2]恒成立， 即k ＋1>（x －4）ln xx 对于x ∈[e ，e 2]恒成立，(7分)令g(x)＝（x －4）ln x x ，则g′(x)＝4ln x ＋x －4x 2，令t(x)＝4ln x ＋x －4，x ∈[e ，e 2]，则t′(x)＝4x＋1>0，所以t(x)在区间[e ，e 2]上单调递增，故t(x)min ＝t(e )＝e －4＋4＝e >0，故g′(x)>0， 所以g(x)在区间[e ，e 2]上单调递增，函数g(x)max ＝g(e 2)＝2－8e 2.(9分)要使k ＋1>（x －4）ln xx 对于x ∈[e ，e 2]恒成立，只要k ＋1>g(x)max ，所以k ＋1>2－8e 2，即实数k 的取值范围为(1－8e2，＋∞)．(10分)(3) 证法1 因为f(x 1)＝f(x 2)，由(1)知，函数f(x)在区间(0，e k )上单调递减，在区间(e k ，＋∞)上单调递增，且f(e k ＋1)＝0.不妨设x 1<x 2，则0<x 1<e k <x 2<e k ＋1，要证x 1x 2<e 2k，只要证x 2<e 2k x 1，即证e k<x 2<e 2k x 1.因为f(x)在区间(e k，＋∞)上单调递增，所以f(x 2)<f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1，又f(x 1)＝f(x 2)，即证f(x 1)<f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1，构造函数h(x)＝f(x)－f ⎝⎛⎭⎫e 2kx ＝(ln x －k －1)x －⎝⎛⎭⎫ln e 2kx －k －1e 2kx ， 即h(x)＝x ln x －(k ＋1)x ＋e 2k ⎝⎛⎭⎫ln x x－k －1x ，x ∈(0，e k )．(12分) h ′(x)＝ln x ＋1－(k ＋1)＋e 2k (1－ln x x 2＋k －1x 2)＝(ln x －k)（x 2－e 2k ）x 2，因为x ∈(0，e k )，所以ln x －k<0，x 2<e 2k ，即h ′(x)>0，所以函数h(x)在区间(0，e k )上单调递增，故h(x)<h(e k )， 而h(e k)＝f(e k)－f ⎝⎛⎭⎫e 2ke k ＝0，故h(x)<0，(14分)所以f(x 1)<f ⎝⎛⎭⎫e 2k x 1，即f(x 2)＝f(x 1)<f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1，所以x 1x 2<e 2k 成立．(16分) 证法2 要证x 1x 2<e 2k 成立 ，只要证：ln x 1＋ln x 2<2k.因为x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)，所以(ln x 1－k －1)x 1＝(ln x 2－k －1)x 2， 即x 1ln x 1－x 2ln x 2＝(k ＋1)(x 1－x 2)，x 1ln x 1－x 2ln x 1＋x 2ln x 1－x 2ln x 2＝(k ＋1)(x 1－x 2)， 即(x 1－x 2)ln x 1＋x 2ln x 1x 2＝(k ＋1)(x 1－x 2)，k ＋1＝ln x 1＋x 2lnx 1x 2x 1－x 2，同理k ＋1＝ln x 2＋x 1lnx 1x 2x 1－x 2，从而2k ＝ln x 1＋ln x 2＋x 2lnx 1x 2x 1－x 2＋x 1ln x 1x 2x 1－x 2－2，(12分)要证ln x 1＋ln x 2<2k ，只要证x 2lnx 1x 2x 1－x 2＋x 1ln x 1x 2x 1－x 2－2>0，不妨设x 1<x 2，则0<x 1x 2＝t<1，即证ln t t －1＋ln t1－1t －2>0，即证（t ＋1）ln t t －1>2，即证ln t<2t －1t ＋1对t ∈(0，1)恒成立，(14分)设h(t)＝ln t －2t －1t ＋1(0<t<1)，h ′(t)＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2>0，所以h(t)在t ∈(0，1)单调递增，h(t)<h(1)＝0，得证，所以x 1x 2<e 2k .(16分) 附加题21. A . (选修4—1：几何证明选讲) 证明：由切割线定理得FG 2＝FA·FD.(2分) 又EF ＝FG ，EF 2＝FA·FD ，则EF FA ＝FD EF .(5分)因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△DEF ∽△EAF ， 故∠FED ＝∠FAE.(8分)因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ，所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB.(10分) B . (选修4—2：矩阵与变换)解：因为|A |＝2×3－1×1＝5，(2分)所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－15－1525＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－15－1525，(6分) 由AC ＝B ，得(A －1A )＝A －1B ，所以C ＝A－1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－15－1525⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3545－15－35.(10分)C. (选修4—4：坐标系与参数方程)解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(4分)将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，即t 2＋82t ＝0，(8分)解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.(10分) D. (选修4—5：不等式选讲)证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以，(ax ＋by )(bx ＋ay )＝ab (x 2＋y 2)＋xy (a 2＋b 2)(4分) ≥ab ·2xy ＋xy (a 2＋b 2)＝(a ＋b )2xy ，(7分) 又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by )(bx ＋ay )≥xy .(9分) 当且仅当x ＝y 时等号成立．(10分)22. 解：(1) 依题意，随机变量ξ的取值是2，3，4，5，6.(2分) 因为P(ξ＝2)＝3282＝964；(3分)P(ξ＝3)＝2×3282＝1864；(4分)P(ξ＝4)＝32＋2×3×282＝2164；(5分)P(ξ＝5)＝2×3×282＝1264；(6分)P(ξ＝6)＝2×282＝464.(7分)所以，当ξ＝4时，其发生的概率最大，最大值为P(ξ＝4)＝2164；(8分)(2) E(ξ)＝2×964＋3×1864＋4×2164＋5×1264＋6×464＝154，所以，随机变量ξ的期望E(ξ)＝154.(10分)23. 解：(1) 由OC →＝tOM →＋(1－t)ON →(t ∈R )，可知点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线， 所以C 点的轨迹方程为y ＋3＝1－（－3）4(x －1)，即y ＝x －4.(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，化简得x 2－12x ＋16＝0，(3分) 设C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16，因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0，所以OA ⊥OB .(5分)(2) 假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，其方程为x ＝ny ＋m ， 代入y 2＝4x 得y 2－4ny －4m ＝0，(6分) 此时y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4m ，所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 214·y 2y 224＝16y 1y 2＝－4m＝－1，所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4，0)满足题意．(8分) 设AB 的中点为T (x ，y )，则y ＝12(y 1＋y 2)＝2n ，x ＝12(x 1＋x 2)＝12(ny 1＋4＋ny 2＋4)＝n2(y 1＋y 2)＋4＝2n 2＋4，消去n 得y 2＝2x －8.(10分)。

2017年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M=．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．（14分）如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．（14分）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．（16分）己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2=0，20．（16分）己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1设数列{b n}满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．（10分）如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M= {6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁U M={6，7}．故答案为：{6，7}．【点评】本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题，是基础题．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．【点评】本题考查了求函数的定义域以及对数函数的性质，是一道基础题．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．【点评】本题考查了循环语句的应用问题，模拟程序的运行过程，是解答此类问题的常用方法．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．【点评】本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，同时考查抛物线的焦点坐标，考查运算能力，属于基础题．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列中第8项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my ﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为﹣或1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴•=λ•[+（λ﹣1）]=λ•+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．故答案为：﹣或1．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算与线性表示的应用问题，也考查了运算推理能力，是基础题．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角的基本关系，属于基础题．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增，＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=处取得极小值，也为最小值，此时y=15×﹣22=，则x3+y3﹣x2﹣y2≥（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥﹣y=﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．【点评】本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（14分）（2017•江苏一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B +，C=，可得sinC=sin ．代入可得﹣16sin 2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l ，∴a ×=3，b ×=1，化为：a 2+c 2﹣b 2=6c ，b 2+c 2﹣a 2=2c ． 相加可得：2c 2=8c ，解得c=4． （2）由（1）可得：a 2﹣b 2=8．由正弦定理可得： ==，又A ﹣B=，∴A=B +，C=π﹣（A +B ）=，可得sinC=sin ．∴a=，b=．∴﹣16sin 2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B ）=，即cos2B ﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B ∈．解得：B=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、诱导公式、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）（2017•江苏一模）如图，在斜三梭柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是菱形，AC 1与A 1C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE ∥平面BCC 1B 1 （1）求证：E 是AB 中点；（2）若AC 1⊥A 1B ，求证：AC 1⊥BC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．【点评】本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．17．（14分）（2017•江苏一模）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值m．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，取得函数的模型是关键．18．（16分）（2017•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．19．（16分）（2017•江苏一模）己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．20．（16分）（2017•江苏一模）己知n 为正整数，数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，设数列{b n }满足b n =（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数a 1的值． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，化为： =2×，即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n•4n ﹣1．数列{b n }满足b n =，可得b 1，b 2，b 3，利用数列{b n }是等差数列即可得出t ．（3）根据（2）的结果分情况讨论t 的值，化简8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m ，即可得出a 1．【解答】（1）证明：数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，∴=a n +1，即=2，∴数列{}是以a 1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得： =，∴ =n•4n ﹣1．∵b n =，∴b 1=，b 2=，b 3=，∵数列{b n }是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{b n}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，b n==，S n=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，b n==，S n=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．（10分）（2017•江苏一模）如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．（10分）【点评】本题主要考查了弦切角、解三角形知识等，属于基础题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏一模）已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．【点评】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏一模）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017•江苏一模）已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．【点评】本题考查最值问题，考查柯西不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．四.必做题：每小题0分，共计20分25．（2017•江苏一模）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N ﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…（2分）设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．26．（2017•江苏一模）设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．（2）a2k﹣1【解答】证明：（1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，a n=sinkπ•tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，a n=•tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为（2）a2k﹣1﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二)数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位),则z 的虚部为 ．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =,则实数a = ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为 ． 4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示,则这五人成绩的方差为 ．5． 下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，,则输出值S 的取值范围是 ．6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之,自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计）,则油恰好落入孔中的概率是 ．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值,则ϕ= ．S ←2x −x 2S ←1输出S 结束 开始 输入xx ＜1Y N 7 88 2 4 4 9 28．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d = ．9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB= ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ,满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．12．如图,扇形AOB 的圆心角为90°,半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点,作点P 关于弦AB 的对称点Q ,则OP OQ ⋅的取值范围为 ．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==,则()()()af a bf b cf c ++的最大值是 ．14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ． 二、填空题（每题4分,满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1)若PB PD =，求证：PC BD ⊥；ABCDP E（2）求证：CE //平面PAD ．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，,设△ABC 的面积为S ，且22243()S a c b =+-。

2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试卷2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}{}|13,|2A x x B x x =-<<=<，则A B = .2. 已知i 是虚数单位，复数()123,2z yi y R z i =+∈=-，且121z i z =+，则y = .3.下表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 .4.已知直线20x =为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 .5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式.右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出的S 的值为 .6.已知1Ω是集合(){}22,|1x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){},|x y y x ≤所表示的区域，向区域1Ω内随机投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 .7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比34533,3q S S =+=，则3a = .8.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为的侧面积为 .9.已知α是第二象限角，且()sin tan 2ααβ=+=-，则tan β= . 10.已知直线:210l mx y m +--=，圆22:240C x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = .11.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c，若满足2cos 2b A c =，则角B 的大小为 .12.在ABC ∆中，1,,,AB AC AB AC t P t⊥==是ABC ∆所在平面内的一点，若4AB AC AP AB AC=+ ，则PBC ∆的面积的最小值为 .13.已知函数()24,03,0x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为 .14.已知,a b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）已知向量)()2,1,sin ,cos .m x n x x =-=（1）当3x π=时，求m n ⋅的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且132m n ⋅=- ，求cos 2x 的值.16.（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,,E F G 分别为,,AB AD AC 的中点，,90.AC BC ACD =∠=（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明：//EP 平面BCD .17.（本题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341x ω=-+，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本2x （如是非的人工费用等）百元.已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）.（1）求利润函数()L x 的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18.（本题满分16分）已知函数()3ln ,,f x a x bx a b =-为实数，0,b e ≠为自然对数的底数， 2.71828e =. （1）当0,1a b <=-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()0f x =在区间(]1,e 上有两个不同的实数解，求ab的取值范围.19.（本题满分16分）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为()1,0F -，左准线为2x =-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A,B 两点.①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F,交y 轴于点P,且满足PA AF λ= PB BF μ=，求证：λμ+为常数；②若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB ∆的面积的取值范围.20.（本题满分16分） 已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+，其中,,n N λμ*∈为非零常数.（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列. ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ试卷21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，直线DE 切圆O 于点D,直线EO 交圆O 于A,B 两点，DC ⊥OB 于点C,且DE=2BE ，求证：2OC=3BC.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-，及对应的特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 求矩阵M 的逆矩阵.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C的参数方程为2cos 32sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（[]0,2,απα∈为参数），曲线2C 的极坐标方程为()sin 3a a R πρθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值.D.选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 为正实数，求证：222.b c a a b c a b c++≥++【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第n 局得()n n N *∈分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X .23.（本小题满分10分）已知()()()()()()01111nkknnn k n n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++-- ，其中,,,.x R n N k N k n *∈∈∈≤（1）试求()()()123,,f x f x f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论.。

2020届江苏省苏锡常镇四市2017级高三一调考试数学试题（含附加题）数学I一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知i 为虚数单位,复数11i z =+,则z ＝ ． 2．已知集合A ＝{}01x x ≤≤,B ＝{}13x a x -≤≤,若A I B 中有且只有一个元素,则实数a 的值为 ．3．已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是 ．4．在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =,则a ＝ ． 5．甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,乙获胜的概率是13,则乙不输的概率是 ．6．右图是一个算法的流程图,则输出的x 的值为 ．7．“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n a ＝ ． 9．已知点M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2﹣3x 上一动点,当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为 ．10．已知3cos 24sin()4παα=-,α∈(4π,π),则sin 2α＝ ． 11．如图在矩形ABCD 中,E 为边AD 的中点,AB ＝1,BC ＝2．分别以A,D 为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周,所形成的几何体的体积为 ．12．在△ABC 中,(AB AC λ-u u u r u u u r )⊥BC uuu r (λ＞1),若角A 的最大值为6π,则实数λ的值是 ．13．若函数()x f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ,n ]上的值域是[m 2,n 2](1＜m ＜n ),则a 的取值范围是 ．14．如图,在△ABC 中,AB ＝4,D 是AB 的中点,E 在边AC 上,AE ＝2EC,CD 与BE 交于点O,若OB OC,则△ABC 面积的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在△ABC 中,角A,B,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且满足cos A sin B 0b =． （1）求A ；（2）已知a ＝＝3π,求△ABC 的面积．。

江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a =． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为．4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为．5． 下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，，则输出值S 的取值范围是．6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ=． 8．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d =．9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB=． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是．12．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0xx f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是．14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为． 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠= ，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S，且2224)S a c b +-.（1）求B ∠的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围． 17．（本小题满分14分）下图（I ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为135． （1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．ABCDP E18．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程；（3）求证：12x x ⋅为定值．19．已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式． 20．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； （2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB 为⊙O 的直径，AE 平分BAC ∠交⊙O 于E 点，过E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，求证AC DE ⊥．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵214x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M =的一个特征值为3，求1-M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t=+⎧⎨=-+⎩，为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()()4a a πθ-=∈R ，已知圆心C 到直线la 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a b c ，，满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：213c -≤≤． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙做对该题的概率分别为()m n m n >，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m n ，的值； （2）求X 的数学期望．23．已知函数21()((R)n f x x n x +*=∈∈N ，．（1）当2n =时，若(2)(2)f f +-=，求实数A 的值； （2）若(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ，，求证：()1m αα+=．2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1． 1- 2．2- 3．4 4．20.8 5．[]01，6．14π 7．π2 8．2 9．411． ⎡⎢⎣⎦12．11⎤⎦， 13．22e 12- 14．二、解答题15． 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥． 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥． 又PO CO O = ，所以BD ⊥平面PCO ． 因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又=CO EO O ，所以平面CEO ∥平面PAD ， 而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16．解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-，则sin B =sin B B =．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B = 又0πB <<，所以π3B =． （2）由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=-- m n =．由（1）知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<．所以ππ13π2()4412A -∈-，．所以πsin(2)14A ⎛⎤-∈ ⎥ ⎝⎦．所以(63⎤∈-⎦m n．即取值范围是(63⎤-⎦． 17．解（1）设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则60206015tan =tan 2174t t t tαβ===，， 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--， 化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去）， 所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x . 则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈， 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈- 记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-， 令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增； 所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. 18. 解（1）由椭圆的离心率为21. 得21c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ，因为2CM MD = ，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：1y =+或1y =+. （3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+， 联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为1y x =+， ② 联立①②得212x x =， 从而12x x =2为定值.解法2：设D 坐标为(x 3，y 3）， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-，① 由B ,D ,N，将221y =+ 代入可得2x ， ②①和②相乘得，231231x x x y =-2333323333222)2x y x xx y x +-==-+-. 19. 解：（1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ， 得22()32f x x ax a '=+-， 令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-.要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<， 即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<， 则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=，① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212*********()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-. 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件. （2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331， 由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=.20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥，②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③ 即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+，所以11111111133()11322332311112222n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数， 所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d -=时，3d =，符合题意； ②当112n b -+为常数时， 在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分 所以11113222n b b -+=+=， 此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． 当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥．设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=，如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+= ．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED .因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA .又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ，所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ．21.B 解 由2104xl l --=--，得(2)()40x l l ---=的一个解为3，代入得1x =-， 因为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=1142M ，所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-316132611M . 21.C 解消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=, 由a =-)4cos(2πθρ，得0sin cos =-+a θρθρ,所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=. 依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-. 21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，5(1－c 2)≥(1－c )2， 整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1. 所以－23≤c ≤1. 22. 解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 又m n >，解得13m =，1.4n = （2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---= ()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯= 23.解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C ==++++，所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=-=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =.（2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++ ，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++ ，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ，首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的.假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ， 则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈- ，矛盾. 所以满足条件的,m α是唯一的.下面我们求m 及α的值： 因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--=+02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n C C C C +--++++=++ ， 显然(2)(2)f f --∈N *.2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-=∈.所以令02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n m C C C C +--++++=++ ，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=，所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-=-=.。

2017 年江苏省常州市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14 小败，每小題 5 分，共 70 分 .不需要写出解答过程1．已知会集 U={ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7} ，M={ x| x2﹣ 6x+5≤0，x∈Z} ，则 ?U M=．2．若复数 z 满足 z+i=，其中i为虚数单位，则| z| =．3．函数 f（ x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10 人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从会集 { 1，2，3，4} 中任取两个不同样的数，则这两个数的和为3 的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y2=8x 的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3， S9，S6成等差数列．且 a2 +a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点 M（ 1， 0）的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于 A，B 两点，其中 A 点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ ABC中，已知 AB=1，AC=2，∠ A=60 °，若点 P 满足= +，且?=1，则实数λ的值为．12．已知 sin α =3sin（α+），则tan（α+）=．3+y3 2 2的最小值为．14．若正数 x， y 满足 15x ﹣ y=22，则 x﹣x﹣y二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15．在△ ABC中， a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边．若 acosB=3，bcosA=l，且 A﹣B= （1）求边 c 的长；（2）求角 B 的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB上一点，且 OE∥平面 BCC1B1（1）求证： E 是 AB 中点；（2）若 AC1⊥A1B，求证： AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上直立一形状为等腰梯形的彩门BADC（如图），设计要求彩门的面积为S（单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场所面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为 l．（1）请将 l 表示成关于α的函数 l=f（α）；（2）问当α为何值时 l 最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+ =l（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右极点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点 D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同样点P，Q，求证：直线 AP，AQ 的19．己知函数 f（x） =（ x+l） lnx ﹣+ax （a 为正实数，且为常数）（1）若 f（ x）在（ 0，+∞）上单调递加，求 a 的取值范围；（2）若不等式（ x﹣1）f（ x）≥ 0 恒建立，求 a 的取值范围．20．己知 n 为正整数，数列 { a n }满足an＞0，4（n+1）an2﹣ na+12=0，设数列 { bn}满足bn=（1）求证：数列 {} 为等比数列；（2）若数列 { b n} 是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列 { b n} 是等差数列，前 n 项和为 S n，对任意的 n∈N*，均存在 m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m建立，求满足条件的所有整数 a1的值．四.选做题本题包括 A，B，C，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分． A.[ 选修 4 一 1：几何证明选讲 ]21．如图，圆 O 的直径 AB=6， C 为圆周上一点， BC=3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线AD，AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E．求∠ DAC的度数与线段 AE的长．[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知二阶矩阵M 有特色值λ =8及对应的一个特色向量=[] ，并且矩阵 M 对应的变换将点（﹣1， 2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的另一个特色值．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．已知圆O1和圆 O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．已知 a， b，c 为正数，且 a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每题 0 分，共计 20 分25．如图，已知正四棱锥P﹣ ABCD中， PA=AB=2，点 M ，N 分别在 PA，BD 上，且= =．（1）求异面直线 MN 与 PC所成角的大小；（2）求二面角 N﹣PC﹣B的余弦值．26．设 | θ| ＜，n为正整数，数列{ a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前 n 项和为 S n（1）求证：当 n 为偶函数时， a=0；当 n 为奇函数时， a =（﹣1）tan nθ；n n（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2 θ?[1+（﹣1）n+1tan 2nθ] ．2017 年江苏省常州市高考数学一模试卷参照答案与试题解析一.填空题：本大題共14 小败，每小題 5 分，共 70 分 .不需要写出解答过程1．已知会集 U={ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7} ，M={ x| x2﹣ 6x+5≤0，x∈Z} ，则 ? M={ 6，7} ．U【考点】补集及其运算．【解析】解不等式化简会集M，依照补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：会集 U={ 1，2，3，4，5，6， 7} ，M={ x| x2﹣ 6x+5≤0，x∈Z} ={ x| 1≤x≤5，x∈Z} ={ 1，2，3，4，5} ，则?U M={ 6，7} ．故答案为： { 6，7} ．2．若复数 z 满足 z+i=，其中i为虚数单位，则| z| =．【考点】复数代数形式的乘除运算．【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由 z+i=，得=，则| z| =．故答案为：．3．函数 f（ x）=的定义域为{ x| x＞且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【解析】依照对数函数的性质以及分母不是0，获取关于 x 的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得： x＞且x≠1，故函数的定义域是 { x| x＞且x≠1}，故答案为： { x| x＞且x≠1}．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【解析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 t 的值，由于循环变量的初值为 2，终值为 4，步长为 1，故循环体运行只有 3 次，由此获取答案．【解答】解：当 i=2 时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当 i=3 时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当 i=4 时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5 时，不满足循环条件，退出循环，输出 t=24．故答案为： 24．5．某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 1 个容量为45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽10 人，则该校高二年级学生人数为300 ．【考点】分层抽样方法．【解析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45 的样本，依照高一年级抽20 人，高三年级抽10 人，获取高二年级要抽取的人数，依照该高级中学共有900 名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45 的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10 人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为： 300．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【解析】正四棱锥 P﹣ABCD中， AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连接 AO，求出 PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为 PO，连接 AO，则AO= AC= ．在直角三角形 POA中， PO===1．因此 VP﹣ABCD= ?SABCD?PO=×4×1= ．故答案为：．7．从会集 { 1，2，3，4} 中任取两个不同样的数，则这两个数的和为3 的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为 3 的倍数包括的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为 3 的倍数的槪率．【解答】解：从会集 { 1，2，3，4} 中任取两个不同样的数，这两个数的和为 3 的倍数包括的基本事件有：（1，2），（ 2， 4），共 2 个，∴这两个数的和为 3 的倍数的槪率 p=．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y2=8x 的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【解析】求得抛物线的焦点坐标，可得 c=2，由双曲线的方程可得 a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点为（ 2，0），则双曲线﹣=l 的右焦点为（ 2， 0），即有 c==2，不如设 a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为： 2．9．设等比数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3， S9，S6成等差数列．且 a2 +a5=4，则a8的值为 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【解析】利用等比数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出 a8的值．【解答】解：∵等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3，S9， S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，故答案为： 2．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点 M（ 1， 0）的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于 A，B 两点，其中 A 点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的地址关系．【解析】由题意，设直线 x=my+1 与圆 x2+y2=5 联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1 与圆 x2+y2=5 联立，可得（ m2+1）y2+2my﹣4=0，设 A（ x ，y ），B（x ，y ），则 y，y +y11221=﹣ 2y 1 2=﹣，y1y2=﹣联立解得 m=1，∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0，故答案为： x﹣y﹣1=0．11．在△ ABC中，已知 AB=1，AC=2，∠ A=60 °，若点 P 满足= +，且?=1，则实数λ的值为﹣或 1．【考点】平面向量数量积的运算．【解析】依照题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求?即可．【解答】解：△ ABC中， AB=1，AC=2，∠ A=60°，点 P 满足= +，∴﹣ =λ，∴=λ；又= ﹣ =（ +λ）﹣ = +（λ﹣）1，∴ ?=λ ?[ +（λ﹣）1 ]=λ ?+λ（λ﹣）1=λ× 2× 1× cos60 +°λ（λ﹣）1×22=1，整理得 4λ2﹣ 3λ﹣，1=0解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或 1．12．已知 sin α =3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4 ．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【解析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tan α、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解： sin α=3sin（α+）=3sinαcos +3cosαsin=sin α+ cosα，∴ tan α=．又 tan =tan（﹣）===2﹣，∴t an（α+ ）====﹣=2﹣4，故答案为： 2﹣4．13．若函数 f（ x）=，则函数y=| f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．x＜1 时，【解析】利用分段函数，对x≥1，经过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当 x≥1 时，= ，即 lnx=，令 g（ x）=lnx ﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜ 0， g（2）=ln2 ﹣=ln＞0，g（4）=ln4 ﹣＜20，由函数的零点判判定理可知g（ x） =lnx ﹣，有2个零点．当 x＜1 时， y=，函数的图象与y=的图象如图，观察两个函数由 2 个交点，综上函数 y=| f（x）| ﹣的零点个数为： 4 个．故答案为： 4．3+y3 2 2的最小值为 1 ．14．若正数 x， y 满足 15x ﹣ y=22，则 x﹣x﹣y【考点】函数的最值及其几何意义．【解析】由题意可得 x＞，y＞0，又x3+y3﹣2x﹣2y=（x3﹣2x）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当 y= 时获取等号，设 f（ x） =x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可获取所求最小值．【解答】解：由正数 x，y 满足 15x﹣y=22，可得 y=15x﹣22＞ 0，则 x＞，y＞0，又x3 +y3 2 232） +（ y32），﹣x﹣y=（ x﹣x﹣y其中 y3﹣2y+y=y（ y2﹣y+ ）=y（y ﹣）2≥ 0，即 y3﹣2y≥ ﹣ y，当且仅当 y= 时获取等号，设 f（x）=x3﹣2x，f（ x）的导数为 f ′（x）=3x2﹣ 2x=x（ 3x ﹣）2，当 x= 时， f（x）的导数为× （﹣2）=，可得 f（ x）在 x=处的切线方程为y=x﹣．由 x3﹣2x≥x﹣ ? （x﹣）2（ x+2）≥ 0，当 x= 时，获取等号．则x3 +y3 2 232） +（ y32）≥x﹣﹣ y≥ ﹣ =1．﹣x﹣y=（ x﹣x﹣y当且仅当 x= ，y=时，获取最小值1．故答案为： 1．二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15．在△ ABC中， a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边．若 acosB=3，bcosA=l，且 A﹣ B=（1）求边 c 的长；（2）求角 B 的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【解析】（1）由 acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为： a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣2a=2c．相加即可得出 c．22==，又A﹣B=，可得A=B+（2）由（ 1）可得： a﹣b=8．由正弦定理可得：，C=，可得 sinC=sin．代入可得2﹣16sinB=，化简即可得出．【解答】解：（ 1）∵ acosB=3，bcosA=l，∴ a×=3，b×=1，222222化为： a +c﹣b=6c， b+c ﹣a=2c．相加可得： 2c2=8c，解得 c=4．（2）由（ 1）可得： a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又 A﹣B=，∴ A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin B=，2∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0 或=1，B∈．解得： B=．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB 上一点，且 OE∥平面 BCC1B1（1）求证： E 是 AB 中点；（2）若 AC1⊥A1B，求证： AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的地址关系；直线与平面平行的性质．【解析】（1）利用同一法，第一经过连接对角线获取中点，进一步利用中位线，获取线线平行，进一步利用线面平行的判判定理，获取结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判判定理，获取线面垂直，最后转变为线线垂直．【解答】证明：（ 1）连接 BC1，取 AB 中点 E′，∵侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O，∴O 为 AC1的中点，∵E′是 AB 的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′? 平面 BCCB ，BC ? 平面 BCCB ，1 11 1 1∴OE′∥平面 BCC1B1，∵OE∥平面 BCC1B1，∴E，E′重合，∴E 是 AB 中点；（2）∵侧面 AA1C1C 是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B， A1C∩A1B=A1，A1C? 平面 A1BC， A1B? 平面 A1BC，∴AC1⊥平面 A1BC，∵BC? 平面 A1BC，∴AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上直立一形状为等腰梯形的彩门BADC（如图），设计要求彩门的面积为S（单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场所面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为 l．（1）请将 l 表示成关于α的函数 l=f（α）；（2）问当α为何值时 l 最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【解析】（1）求出上底，即可将l 表示成关于α的函数 l=f（α）；（2）求导数，获取函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（ 1）设上底长为 a，则 S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l ′=h，∴0＜α＜，l＜′0，＜α＜，l′＞0，∴时， l 获取最小值m．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+ =l（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右极点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点 D（，﹣）作直线 PQ 交椭圆于两个不同样点 P，Q，求证：直线 AP，AQ 的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的地址关系．【解析】（1）由题意可知 2c=2， c=1，离心率 e= ，求得 a=2，则 b2 =a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线 PQ的方程： y=k（ x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线 AP，AQ 的斜率，即可证明直线 AP，AQ 的率之和为定值．【解答】解：（ 1）由题意可知：椭圆+=l （ a＞ b＞ 0），焦点在 x 轴上， 2c=1，c=1，椭圆的离心率 e= =，则a=，b2=a2﹣2c=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设 P（ x1，y1），Q（x2， y2）， A（， 0），由题意 PQ 的方程： y=k（ x﹣）﹣，则，整理得：（ 2k 2+1）x 2﹣（4 k 2+4k ）x+4k 2+8k+2=0，由韦达定理可知： x 1+x 2= ，x 1x 2=，则 y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2 k ﹣2 =，则 k AP +k AQ =+ =，由 y 1x 2+y 2x 1=[ k （ x 1﹣）﹣] x 2+[ k （x 2﹣）﹣ ] x 1 =2kx 1x 2﹣（k+ ）（x 1+x 2）=﹣，k AP +k AQ == =1，∴直线 AP ，AQ 的斜率之和为定值 1．19．己知函数 f （x ） =（ x+l ） lnx ﹣+ax （a 为正实数，且为常数）（1）若 f （ x ）在（ 0，+∞）上单调递加，求 a 的取值范围；（2）若不等式（ x ﹣1）f （ x ）≥ 0 恒建立，求 a 的取值范围．【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【解析】（1）求出函数 f （x ）的导数，问题转变为a ≤lnx+ +1 在（ 0，+∞）恒建立，（ a ＞ 0），令 g （ x ）=lnx+ +1，（ x ＞ 0），依照函数的单调性求出 a 的范围即可；（2）问题转变为（ x ﹣1）[ （x+1）lnx ﹣]a≥ 0 恒建立，经过谈论 x 的范围，结合函数的单调性求出 a 的范围即可．【解答】 解：（ 1）f （x ） =（ x+l ）lnx ﹣ax+a ， f （′x ）=lnx+ +1﹣a ，若 f （x ）在（ 0，+∞）上单调递加，则 a ≤ lnx+ +1 在（ 0，+∞）恒建立，（a ＞0），令 g （ x ）=lnx+ +1，（ x ＞ 0），16令g′（x）＞ 0，解得： x＞1，令 g′（ x）＜ 0，解得： 0＜ x＜ 1，故 g（ x）在（ 0，1）递减，在（ 1，+∞）递加，故g（ x）min =g（1）=2，故0＜ a≤2；（2）若不等式（ x﹣1）f（ x）≥ 0 恒建立，即（ x﹣）1 [ （ x+1）lnx ﹣]a≥ 0 恒建立，①x≥1 时，只需 a≤（ x+1）lnx 恒建立，令 m（x）=（x+1）lnx，（ x≥1），则m′（x）=lnx+ +1，由（ 1）得： m′（x）≥ 2，故 m（x）在 [ 1，+∞）递加， m（x）≥ m（1）=0，故 a≤ 0，而 a 为正实数，故 a≤0 不合题意；②0＜x＜1 时，只需 a≥（ x+1）lnx，令n（ x）=（x+1） lnx，（0＜x＜1），则n′（x） =lnx+ +1，由（ 1）n′（x）在（ 0， 1）递减，故 n′（x）＞ n（1）=2，故 n（ x）在（ 0，1）递加，故 n（ x）＜ n（ 1）=0，故 a≥ 0，而 a 为正实数，故 a＞0．20．己知 n 为正整数，数列 { a} 满足 a ＞0，4（n+1） a2﹣ na2=0，设数列 { b} 满足 b =n n n n+1n n（1）求证：数列 {} 为等比数列；（2）若数列 { b n} 是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列 { b } 是等差数列，前n 项和为 S ，对任意的 n∈N*，均存在 m∈N*，使得n n8a242建立，求满足条件的所有整数 a 的值．S﹣a n =16b1n1m1【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【解析】（1）数列 { a n} 满足 a n＞0，4（n+1）a n2﹣ na+12=0，化为：=2×，即可证明．（2）由（ 1）可得：=，可得=n ?4 ．数列 { b n} 满足 b n =，可得n﹣1b1，b2，b3，利用数列 { b n} 是等差数列即可得出 t ．S n﹣a1n =16b m，即可得出 a1．（3）依照（ 2）的结果分情况谈论 t 的值，化简 8a1242【解答】（1）证明：数列 { a } 满足 a ＞0，4（n+1）a 2﹣ na 2=0，n n nn+1∴= a n+1，即=2，∴数列 {} 是以 a1为首项，以 2 为公比的等比数列．（2）解：由（ 1）可得：=，∴=n?4n﹣1．∵b n=，∴ b1=，b2=，b3=，∵数列 { b n} 是等差数列，∴ 2×= +，∴= +，化为： 16t=t2+48，解得 t=12 或 4．（3）解：数列 { b n} 是等差数列，由（ 2）可得： t=12 或 4．①t=12 时， b n ==，S n=，∵对任意的 n∈N*，均存在 m∈N*，使得8a 2 4 2建立，1S n﹣a1n =16b m∴×﹣a1n =16×，42∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4 时， b n==，S n=，对任意的 n∈N，均存在 m∈N，使得 8a S ﹣a n =16b 建立，**2421 n1m∴×﹣a1n =16×，42∴n=4m，∴a1=．∵ a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为 { a1| a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N* } ．四.选做题本题包括 A，B，C，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分． A.[ 选修 4 一 1：几何证明选讲 ]21．如图，圆 O 的直径 AB=6， C 为圆周上一点， BC=3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线AD，AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E．求∠ DAC的度数与线段 AE的长．【考点】弦切角．【解析】连接 OC，先证得三角形 OBC是等边三角形，从而获取∠ DCA=60°，再在直角三角形ACD中获取∠ DAC的大小；考虑到直角三角形 ABE中，利用角的关系即可求得边 AE 的长．【解答】解：如图，连接 OC，因 BC=OB=OC=3，因此∠ CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，因此∠ DCA=60°，又 AD⊥DC得∠ DAC=30°；又由于∠ ACB=90°，得∠ CAB=30°，那么∠ EAB=60°，从而∠ ABE=30°，于是．19[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知二阶矩阵M 有特色值λ =8及对应的一个特色向量=[] ，并且矩阵 M 对应的变换将点（﹣1， 2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的另一个特色值．【考点】特色值与特色向量的计算；几种特其他矩阵变换．【解析】（1）先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M 有特色值λ=8及对应的一个特色向量 e1及矩阵 M 对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．获取关于 a，b，c，d 的方程组，即可求得矩阵 M ；（2）由（ 1）知，矩阵 M 的特色多项式为 f （λ）=（λ﹣）6（λ﹣）4﹣8=λ2﹣10+16λ，从而求得另一个特色值为 2．【解答】解：（ 1）设矩阵 A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵 M 对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2， 4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6， b=2，c=4，d=4，故 M=．（2）由（ 1）知，矩阵 M 的特色多项式为 f （λ）=（λ﹣）6（λ﹣）4﹣8=λ2﹣10+16λ，故矩阵 M 的另一个特色值为 2．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．已知圆 O和圆 O 的极坐标方程分别为ρ=2，．12（1）把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；订交弦所在直线的方程．【解析】（1）先利用三角函数的差角公式张开圆 O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ，=xρsin θ，=yρ2=x2+y2，进行代换即得圆 O2的直角坐标方程及圆 O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（ 1）ρ=2? ρ=4，因此x +y=4；由于，222因此，因此 x2+y2﹣2x ﹣2y﹣．2=0（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ，=1即．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．已知 a， b，c 为正数，且 a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【解析】利用柯西不等式，结合 a+b+c=3，即可求得 + + 的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][ （）2+（）2+（）2] =3× 12∴++≤ 3 ，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是 6，故最大值为 6．四.必做题：每题 0 分，共计 20 分25．如图，已知正四棱锥P﹣ ABCD中， PA=AB=2，点 M ，N 分别在 PA，BD 上，且= =．（1）求异面直线 MN 与 PC所成角的大小；（2）求二面角 N﹣PC﹣B的余弦值．【解析】（1） AC与 BD 的交点 O， AB=PA=2．以点 O 坐原点，，，方向分是 x 、 y 、 z 正方向，建立空直角坐系O xyz．利用向量法能求出异面直MN 与PC所成角．（2）求出平面 PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N PC B的余弦．【解答】解：（ 1） AC与 BD 的交点 O， AB=PA=2．以点 O 坐原点，，，方向分是x、y、z正方向，建立空直角坐系O xyz．A（ 1， 1，0），B（1，1，0）， C（ 1，1，0）， D（ 1， 1，0），⋯ P（ 0， 0， p），=（ 1， 1， p），又 AP=2，∴1+1+p2=4，∴ p= ，∵===（），=（），∴=（ 1，1，）， =（0，，），异面直 MN 与PC所成角θ，cosθ===．θ=30，°∴异面直 MN 与 PC所成角 30°．（2）=（ 1，1，），=（1，1，），=（，），平面 PBC的法向量=（ x， y，z），，取 z=1，得 =（0，，1），平面 PNC的法向量=（a， b， c），，取 c=1，得 =（，2， 1），二面角 N PC B的平面角θ，∴二面角 N﹣PC﹣B的余弦值为．26．设 | θ| ＜，n 为正整数，数列 { a } 的通项公式 a=sin tan nθ，其前 n 项和为 Sn n n （1）求证：当 n 为偶函数时， a n =0；当 n 为奇函数时， a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2 θ?[1+（﹣1）n+1tan 2nθ] ．【考点】数列的求和．【解析】（1）利用 sin=，即可得出．（2）a2k ﹣+a12k=（﹣1）tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】证明：（ 1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时， a n=sink π ?tanθ =0；当 n=2k﹣1为奇函数时， a n=?tan θ=（﹣1）tan θ=（﹣1）tan θ．n k﹣1 n n（2）a2k﹣+a12k=（﹣1）n2 tan θ．∴奇数项成等比数列，首项为tan θ，公比为﹣ tanθ．∴S2n==sin2 θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ] ．2017 年 4 月 18 日。

12017—2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题2018．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{﹣1，1}，B ＝{﹣3，0，1}，则集合A ∩B ＝ ．2．已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3．双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600，现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n ＝ ．5．将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6．如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7．若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为8cm²，则它的体积为 cm³．8．设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若242a a +=，2S +41S =，则10=a ．9．已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是 ．10．设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 第6题 已知tan A 3tan B c b b -=，则cosA ＝ ．211．已知函数1()41x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，，（e 是自然对数的底数），若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12．在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知CP 3=，CA 4=，∠ACB ＝23π，则CP CA ⋅＝ ．13．已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为 ．14．若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>在区间[1，2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分） 已知向量(2sin a α=，1)，(1b =，sin())4πα+．（1）若角α的终边过点(3，4)，求a b ⋅的值；（2）若a ∥b ，求锐角α的大小．16．（本题满分14分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，其底面边长为2，已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．（1）求证：B 1M ∥平面A 1BN ；（2）求证：AD⊥平面A 1BN ．。