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一、填空题
1、已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}
2
650,Z M x x x x =-+∈≤，∁
U 2、若复数z 满足2i z i i
++=（i 为虚数单位），则z = ．3、函数1()ln(43)f x x =-的定义域为 ． 4、下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 ．
5、某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为的
样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．则该校高二年级学生人数为 ． 6、已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的体积为 ． 7、从集合{}1,2,3,4中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为 ．
8、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2
8y x =的焦点恰好是双曲线22
213
x y a -
=的右 焦点，则双曲线的离心率为 ．
9、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，且254a a +=，则8a 的 值为 ．
10、在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆2
2
5x y +=交于,A B 两点，其 中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为 ．
11、在△ABC 中，已知1,2,60AB AC A ==∠=，若点P 满足AP AB AC λ=+，且
1BP CP ⋅=，则实数λ的值为 ．
12、已知sin 3sin()6
π
αα=+
，则tan()12
π
α+
= ．
13、若函数2
1
1,12()ln ,1
x
x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，则函数1()8y f x =-的零点个数为 ．
14、若正数,x y 满足1522x y -=，则3322
x y x y +--的最小值为 ．
二、解答题
15、在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边．若cos 3,cos 1a B b A ==，且
6
A B π
-=
．
（1）求边c 的长；（2）求角B 的大小．
16、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE ∥平面11BCC B ． （1）求证：E 是AB 中点；
（2）若11AC A B ⊥，求证：1AC BC ⊥．
17、某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图）．设计要求彩门的面积为S （单位：2m ），高为h （单位：m ）（,S h 为常数）．彩门的下底
BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢 支架的长度和记为l ．
（1）请将l 表示成关于α的函数()l f α=； （2）问当α为何值l 最小，并求最小值．
18、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，离心率为
2
2
，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；
（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.
19、已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（a 为正实数，且为常数）. （1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若不等式(1)()0x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.
20、已知n 为正整数，数列{}n a 满足0n a >，22
14(1)0n n n a na ++-=，设数列{}n b 满足
2n
n n a b t
=.
（1）求证：数列
为等比数列； （2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；
（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n S ，对任意的N n *
∈，均存在N m *
∈，使得
24211816n m a S a n b -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.
2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数 学 Ⅱ 试 题 2017.3
1、已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，并且矩阵M 对应的
变换将点(1,2)-变换成(2,4)-. （1）求矩阵M ；
（2）求矩阵M 的另一个特征值.
2、已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2
2,cos()24
π
ρρθ=--=.
（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
3、如图，已知正四棱锥P ABCD -中， 2PA AB ==，点,M N 分别在,PA BD 上，且
1
3
PM BN PA BD ==. （1）求异面直线MN 与PC 所成角的大小； （2）求二面角N PC B --的余弦值.
4、设2
π
θ<
，n 为正整数，数列{}n a 的通项公式sin
tan 2
n n n a π
θ=，其前n 项和为n S . （1）求证：当n 为偶数时，0n a =；当n 为奇数时，12
(1)tan n n n a θ-=-；
（2）求证：对任何正整数n ，1221
sin 2[1(1)tan ]2
n n n S θθ+=⋅+-.
