【数学】2020苏锡常镇一模数学卷

江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知i为虚数单位，复数，则＝________．2.已知集合A＝，B＝，若A B中有且只有一个元素，则实数a的值为________．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝________．5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．6.下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为________．7.“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8.已知等差数列的前n项和为，，，则＝________．9.已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为________．10.已知，( ，)，则＝________．11.如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为________.12.在△ABC中，( )⊥( ＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是________．13.若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是________．14.如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为________．二、解答题（共11题；共100分）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB＝0．（1）求A；（2）已知a＝2 ，B＝，求△ABC的面积．16.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．19.已知函数(m R)的导函数为．（1）若函数存在极值，求m的取值范围；（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意m R，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．20.已知数列，，数列满足，n．（1）若，，求数列的前2n项和；（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．21.已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sin q.（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.23.已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值.24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25.已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A，B 两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG 的面积为S.（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.答案解析部分一、填空题1.【答案】2.【答案】23.【答案】0.084.【答案】35.【答案】6.【答案】67.【答案】必要不充分8.【答案】-2n+19.【答案】y=x-310.【答案】11.【答案】12.【答案】313.【答案】(1，)14.【答案】二、解答题15.【答案】（1）解：∵b cos A﹣a sin B＝0．∴由正弦定理可得：sin B cos A﹣sin A sin B＝0，∵sin B＞0，∴cos A＝sin A，∴tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝（2）解：∵a＝2 ，B＝，A＝，∴C＝，根据正弦定理得到∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝＝616.【答案】（1）证明：连结AC交BD于点O，连结OE因为四边形ABCD为平行四边形∴O为AC中点，又E为PC中点，故AP∥OE，又AP平面EBD，OE平面EBD所以AP∥平面EBD（2）证明：∵△PCD为正三角形，E为PC中点所以PC⊥DE因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD＝CD，又BD平面ABCD，BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD，故PC⊥BD又BD DE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE故PC⊥平面BDE又BE平面BDE，所以BE⊥PC17.【答案】（1）解：以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]（2）解：设P( ，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝，，令，，则：，当且仅当即，即，即时取等号；故P( ，)时视角∠EPF最大，答：P( ，)时，视角∠EPF最大18.【答案】（1）解：设焦距为2c，由题意知：；解得，所以椭圆的方程为（2）解：由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D( ，)，E( ，)，＜0＜①，，，②；③；由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直线l的方程为19.【答案】（1）解：因为，所以，所以，则，由题意可知，解得（2）解：由（1）可知，，所以因为整理得，设，则，所以单调递增，又因为，所以存在，使得，设，是关于开口向上的二次函数，则，设，则，令，则，所以单调递增，因为，所以存在，使得，即，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，又由题意可知，所以，解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}20.【答案】（1）解：因为，，所以，且，由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是首项和公比均为4的等比数列，所以（2）解：①证明：设数列的公差为，数列的公差为，当n为奇数时，，若，则当时，，即，与题意不符，所以，当n为偶数时，，，若，则当时，，即，与题意不符，所以，综上，，原命题得证；②假设可以为等比数列，设公比为q，因为，所以，所以，，因为当时，，所以当n为偶数，且时，，即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，所以数列不能为等比数列21.【答案】解：设矩阵M＝，则AM＝，所以，解得，所以M＝，则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，设特征值的特征向量为，则，即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为22.【答案】（1）解：∵曲线C的极坐标方程为，∴，则,即（2）解：，∴，联立可得，（舍）或，公共点( ，3)，化为极坐标(2 ，)23.【答案】解：因为即，当且仅当，，时，上述等号成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以x+y+z=t＝424.【答案】（1）解：由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40且，，所以，即随机变量X的概率分布为X10 20 40P所以随机变量X的数学期望（2）解：由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，因为60＝20×3＝40＋10＋10，所以25.【答案】（1）解：设，则，抛物线C的方程可化为，则，所以曲线C在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，因为两切线均过点G，所以，所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为（2）解：设点G( ，)，由（1）可知，直线AB的方程为，即，将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，所以，，解得，因为直线AB的斜率，所以，且，线段AB的中点为M ，所以直线EM的方程为：，所以E点坐标为(0，)，直线AB的方程整理得，则G到AB的距离，则E到AB的距离，所以，设，因为p是质数，且为整数，所以或，当时，，是无理数，不符题意，当时，，因为当时，，即是无理数，所以不符题意，当时，是无理数，不符题意，综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．11 / 11。

江苏省无锡市2020届高三第一次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．12B ．18C ．24D ．302．设命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥ (其中m 为常数)，则“1m ≥”是“命题p 为真命题”（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充分且必要D ．既不充分也不必要3．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()1g x f x =-，则函数()y g x =的图象关于（ ）A ．直线1x =-对称B ．直线1x =对称C ．原点对称D ．y 轴对称4．记双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，双曲线C 上的点,M N 关于原点对称，且3904MFN MOF ︒∠=∠=，则22b a=（ ）A ．323+B ．423+C ．33D ．435．为得到函数sin 33y x x =-的图象，只需要将函数2cos3y x =的图象（ ） A ．向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位 C ．向左平行移动518π个单位 D ．向右平行移动518π个单位6．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2y x -= B ．1y x -= C ．2y x = D ．13y x = 8．在V ABC 中，sin 32B A =，2BC =4C π=，则AB =（ ）A 26．5C ．33．69．设正数,x y 满足,23x y x y >+=,则195x y x y+-+的最小值为( ) A ．83B ．3C ．32 D ．2310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =B ．33y x =±C ．2y x =±D ．12y x=± 11．某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为n 的样本，若从丙车间抽取6件，则n 的值为（ ） A ．18B ．20C ．24D ．2612．设,x y 满足约束条件010x y a x y ++≥⎧⎨-+≤⎩，且2z x y =+的最小值为2，则a =（ ）A ．-1B ．-1C ．53-D ．53二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(3月份)2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（共14题，共70分）1．已知i为虚数单位，复数，则|z|＝．2．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤3}，若A∩B中有且只有一个元素，则实数a的值为2．3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是0.08．4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则a＝3．5．甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是．6．如图是一个算法的流程图，则输出的x的值为6．7．“直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：4x+ay+3＝0平行”是“a＝2”的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，＝﹣4，则a n＝﹣2n+11．9．已知点M是曲线y＝2lnx+x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为y＝x﹣3．10．已知3cos2α＝4sin（﹣α），α∈（，π），则sin2α＝﹣11．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧、（E在线段AD上）．由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为．12．在△ABC中，（﹣λ）⊥（λ＞1），若角A的最大值为，则实数λ的值是3．13．若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2]（1＜m＜n），则a的取值范围是（1，）14．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O．若OB＝OC，则△ABC面积的最大值是8二、解答题（共6题，共计90分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A﹣a sin B＝0．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．17．某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M 的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（∠EPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：的离心率为，且经过点（1，），A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积比为1：7，求直线l的方程．19．已知函数f（x）＝x3﹣mx2+m2x（m∈R）的导函数f'（x）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣f'（x）存在极值，求m的取值范围；（2）设函数h（x）＝f'（e x）+f'（lnx）（其中e为自然对数的底数），对任意m∈R，若关于x的不等式h（x）≥m2+k2在（0，+∞）上恒成立，求正整数k的取值集合．20．已知数列{a n}，{b n}，数列{c n}满足c n＝n∈N*．（1）若a n＝n，b n＝2n，求数列{c n}的前2n项和T2n；（2）若数列{a n}为等差数列，且对任意n∈N*，c n+1＞c n恒成立．①当数列{b n}为等差数列，求证：数列{a n}，{b n}的公差相等；②数列{b n}能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n}；若不能，请说明理由．三、附加题21.已知矩阵A＝，B＝，且二阶矩阵M满足AM＝B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标．23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝t（t为常数），且的最小值为，求实数t 的值．24．某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依此类推）．抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．25．已知抛物线C：x2＝4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，交AB于点M，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G．记四边形AEBG的面积为S．（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．。

江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ）A ．100B ．210C ．380D ．4002．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 3．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．14 5．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．6．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同7．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,10,10 C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 8．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．4πB ．38πC ．2πD ．58π 9．已知集合{}|26M x x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ） A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x << 10．已知(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )2222x x x x a b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52 B ．75[,)42 C ．57[,)34 D ．7(,2]411．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ） A ．49 B ．94 C ．23 D ．3212．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省无锡市、常州市高考数学模拟试卷(5月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合M ={3,2a }，N ={a,b}.若M ∩N ={4}，则M ∪N = ______ ．2. 复数z =i −1(i 是虚数单位)，则z 2=_________．3. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ．4. 某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则高二年级抽取的学生人数为________．5. 已知a n =｜2n −11｜，1≤n ≤9，n ∈N ∗.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________________．6. 函数f(x)=e x (x −1)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是______ ．7. 在直角坐标系xOy 中，抛物线y 2=−2px(p >0)的焦点F 与双曲线x 2−8y 2=8的左焦点重合，点A 在抛物线上，且|AF|=6，若P 是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为______．8. 已知等比数列{a n }中，a 1=2，S 3=6，则q =______．9. 若正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，则三棱锥A −B 1DC 1的体积为______．10. 已知tan (α−π4)=2，则cos2α的值是_________．11. 已知实数x ，y 满足{2x −y +2≥0,x −2y +1≤0,x +y −2≤0,则x 2+y 2+2y 的取值范围为________． 12. 已知a >0，则5a +5a 的最小值是______．13. 已知两点M(−2,0)、N(2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则动点P(x,y)的轨迹方程为______ ．14. 已知函数f (x )={x −x 2,x ≤12lnx,x >1，若方程g (x )=f 2(x )+af (x )有5个零点，则a 的取值范围是___________．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcos A +√33a =c ．(1)求cos B;(2)如图，D 为△ABC 外一点，在平面四边形ABCD 中，∠D =2∠B ，且AD =1，CD =3，BC =√6，求AB 的长．16. 已知四棱锥A −BCDE ，其中AB =BC =AC =BE =1，CD =2，CD ⊥平面ABC ，BE//CD ，F 为AD 的中点．(1)求证：EF//平面ABC ；(2)求证：平面CEF ⊥平面ACD ；17.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点P(1,32)在椭圆M上．(1)求椭圆M的方程；(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C、D两点，A、B分别为椭圆M的左、右顶点，记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1−S2|的取值范围．18.如图，在▵ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD:DC:AD=2:3:6，求∠BAC的度数．19.已知函数f(x)=12x2−ae x(a∈R)．(1)若f(x)有两个极值，求实数a的取值范围；(2)已知x1，x2是f(x)的两个极值点，求证：x1+x2>2．20.已知数列{a n}中，a n+2=qa n(q∈R，且q≠1)，a1=1，a2=3且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log3a2na2n+1，且数列{b n}的前n项和为S n，若不等式λ<S n+n2×3n对一切n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．21.已知矩阵A=[2111]，且AX=[12]，求X．)=√2与极轴交于点C，求以点C为圆心且半径为1的圆的极坐22.在极坐标系中，直线ρcos(θ+π4标方程．23.一个袋中有20个大小相同的小球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2，3，4).现从袋中任取一球，用ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列的数学期望和方差；(2)若η=aξ+b，E(η)=2，D(η)=44，试求a、b的值．24.设集合A={a1,a2,…,a n}(a i∈N∗，i=1，2，3，…，n，n∈N∗)，若存在非空集合B，C，使得B∩C=⌀，B∪C=A，且集合B的所有元素之和等于集合C的所有元素之和，则称集合A 为“最强集合”．(1)若“最强集合”A={1,2，3，4，m}，求m的所有可能值；(2)若集合A的所有n−1元子集都是“最强集合”，求n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：{2,3，4}解析：解：∵M={3,2a}，N=(a,b)，且M∩N={4}，∴2a=4，且a=4或b=4，解得：a=2，b=4，∴M={3,4}，N={2,4}，则M∪N={2,3，4}．故答案为：{2,3，4}根据M与N的交集，得到4属于M，属于N，进而确定出a与b的值，即可求出两集合的并集．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：−2i解析：本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题，根据复数的运算法则计算即可．解：因为z=i−1，所以z2=(i−1)2=i2−2i+1=−2i．故答案为−2i．3.答案：35解析：本题考查利用古典概型求概率，难度一般．解：3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于2×2×35×4=35．故答案为35.．4.答案：93解析：本题主要考查分层抽样的应用，根据分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键．解：∵抽取280人进行体育达标检测，∴抽取高二年级学生人数为(930÷2800)×280=93人．故答案为93．5.答案：1解析：本题考查循环语句以及赋值语句的应用，属于中档题．解：a n=｜2n−11｜，1≤n≤9，n∈N∗的前9项为9，7，5，3，1，1，3，57，图中伪代码的作用是输出前9个数中的最小值，所以输出1，故答案为1．6.答案：y=e(x−1)解析：解：∵f(x)=e x(x−1)，∴f′(x)=xe x．则f(1)=0，f′(1)=e故曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=e(x−1)，故答案为：y=e(x−1)求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握导数的几何意义．7.答案：3√13解析：求出双曲线的左焦点得出抛物线的方程，求出A点坐标，取O关于准线的对称点B，则|AB|为|PO|+|PA|的最小值．本题考查了抛物线，双曲线的性质，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题．−y2=1，解：双曲线的标准方程为x28∴双曲线的左焦点为(−3,0)，即F(−3,0)．∴抛物线的方程为y2=−12x，抛物线的准线方程为x=3，∵|AF|=6，∴A到准线的距离为6，∴A点横坐标为−3，不妨设A在第二象限，则A(−3,6)．设O关于抛物线的准线的对称点为B(6,0)，连结AB，则|PO|=|PB|，∴|PO|+|PA|的最小值为|AB|．由勾股定理得|AB|=√AF2+BF2=√117=3√13．故答案为：3√13．8.答案：1或−2解析：本题考查了等比数列的求和，属于基础题．用等比数列的求和表示出S3，再代入数据即可求出q．解：已知等比数列{a n}中，a1=2,S3=6，所以S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=6，解得q=1或q=−2．故答案为q=1或q=−2．9.答案：1解析：解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1=BC，∴AD⊥平面BCC1B1，则V A−B1DC1=13×12×2×√3×√22−12=1．故答案为：1．由题意画出图形，证明AD为三棱锥A−B1DC1的高，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：−45解析：本题考查了两角和与差的正切公式，二倍角公式，是容易题．解：tan(α−π4)=2，tanα−11+tanα=2，tanα=−3，cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α=1−tan2α1+tan2α=1−91+9=−810=−45．故答案为−45．11.答案：[45,8]解析：本体考查简单线性规划范围与最值问题，分析已知条件，找出约束条件和目标函数是解答本题的关键．解：作出不等式组{2x−y+2≥0,x−2y+1≤0,x+y−2≤0,的可行域，如图所示：令z=x2+y2+2y，则其几何意义是可行域内的点到点(0,−1)距离的平方减1，由可行域图可知，z=x2+y2+2y在点A(0,2)取得最大值，此时，z=02+22+2×2=8，由图知，点(0,−1)到直线x−2y+1=0的距离最小，即d=2()2=5，此时，z=x2+y2+2y=d2−1=45，∴z=x2+y2+2y的取值范围为[45,8]．12.答案：10解析：本题主要考查基本不等式的简单应用，属于基础题．直接使用基本不等式即可求出答案．解：∵a>0，∴5a+5a ≥2√5a⋅5a=10(当且仅当5a=5a，也即a=1时，等号成立)，故答案为：10．13.答案：y2=−8x解析：本题考查轨迹方程的求法，涉及平面向量的数量积运算与抛物线的定义，求解此类问题时要注意轨迹与轨迹方程的区别，属于基础题．根据题意，设P(x,y)，结合M 与N 的坐标，可以求出|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，并将MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，代入|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0中，可得4√(x +2)2+y 2+4(x −2)=0，化简整理即可得答案．解：设P(x,y)，又由M(−2,0)，N(2,0)，则|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,y)，NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y)， 又由|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则4√(x +2)2+y 2+4(x −2)=0，化简整理得y 2=−8x ；故答案为y 2=−8x ．14.答案：(−14,0)解析：本题考查分段函数，函数的零点与方程根关系，属于一般题．由题意可知0，1是g(x)的零点，将问题转化为函数f (x )={x −x 2,x ≤12lnx,x >1和直线y =−a 的图象有三个交点是解题的关键．解：由题可知，g (x )=f 2(x )+af (x )，当g(x)=f 2(x)+af(x)=0，即f(x)⋅[f (x )+a ]=0，由分段函数解析式f (x )={x −x 2,x ≤12lnx,x >1, 可得f(x)=0时，即x −x 2=0，则有两个实数根0和1，要使g(x)=f 2(x)+af(x)有5个零点，则只需f(x)=−a 有三个非0和1的实数根，作出函数f(x)={x −x 2,x ≤12lnx,x >1的图象如下：由图可知，0<−a <14，解得：−14<a <0， 则a 的取值范围是(−14,0)．故答案为(−14,0)．15.答案：解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得sinBcosA +√33sinA =sinC ， 又C =π−(A +B)，所以sinBcosA +√33sinA =sin(A +B)， 故sinBcosA +√33sinA =sinAcosB +cosAsinB ， 所以sinAcosB =√33sinA ， 又A ∈(0,π)，所以sinA ≠0，故cosB =√33． (2)∵∠D =2∠B ，∴cosD =2cos 2B −1=−13，又在△ACD 中，AD =1，CD =3，∴由余弦定理可得：=1+9−2×3×(−1)=12，3∴AC=2√3，在△ABC中，BC=√6，AC=2√3，cosB=√3，3∴由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcosB，即12=AB2+6−2⋅AB×√6×√3，3化简得AB2−2√2AB−6=0，解得AB=3√2．故AB的长为3√2．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，为中档题．(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出cos B的值．(2)利用(1)的结论，进一步利用余弦定理求出结果．16.答案：证明：(1)取AC的中点G，连结FG，BG，CD=1，∵F，G分别是AD，AC的中点，∴FG//CD，且FG=12∵BE//CD，BE=1，∴FG//BE，且FG=BE，∴四边形EFGB是平行四边形，∴EF//BG，∵BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)∵AB=BC=AC，且G是AC的中点，∴BG⊥AC，又CD⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴CD⊥BG，且AC∩CD=C，∴BG⊥平面ACD，由(1)知EF//BG，∴EF⊥平面ACD，∵EF⊂平面CEF，∴平面CEF⊥平面ACD．解析：本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．(1)取AC的中点G，连结FG，BG，推导四边形EFGB是平行四边形，从而EF//BG，由此能证明EF//平面ABC ．(2)推导出BG ⊥AC ，CD ⊥BG ，从而BG ⊥平面ACD ，进而EF ⊥平面ACD ，由此能证明平面CEF ⊥平面ACD ．17.答案：解：(1)因为e =c a =√1−b2a =12， 则3a 2=4b 2，将P(1,32)代入椭圆方程：1a 2+94b 2=1，解得：a =2，b =√3，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)当直线l 斜率不存在时，直线方程为x =1，此时C(1,−32)，D(1,32)，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1−S 2|=0，当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时，设直线方程为y =k(x −1)，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1, 消掉y 得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，显然Δ>0，方程有根，且x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，所以y 1+y 2=k (x 1+x 2−2)=−6k 3+4k 2，此时|S 1−S 2|=2(|y 2|−|y 1|)=2|y 2+y 1|=12|k|3+4k ，因为k ≠0，则|S 1−S 2|=12|k|3+4k 2=123|k|+4|k| ≤2√|k|×4|k|=2√12=√3，(k =±√32时等号成立) 所以|S 1−S 2|的最大值为√3，则0≤|S 1−S 2|≤√3，∴|S1−S2|的取值范围[0,√3].解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率公式将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(2)分类讨论，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及基本不等式的性质，即可求得|S1−S2|的取值范围．18.答案：45∘解析：解：设∠BAD=α,∠CAD=β，则∠BAC=α+β，∵tanα=BDAD =26=13，tanβ=CDAD=36=12，∴tan∠BAC=tan(α+β)=13+121−13×12=1，∵0∘<∠BAC<180∘，∴∠BAC=45∘．19.答案：解：(1)∵f′(x)=x−ae x，由x−ae x=0得a=xe x，令g(x)=xe x ，则g′(x)=1−xe x，故g(x)在(1,+∞)上单减，在(−∞,1)上单增，则g(x)在x=1时取得极大值g(1)=1e，当x→+∞时，g(x)→0，故0<a<1e，经检验，当0<a<1e 时，有两个极值点，故0<a<1e；(2)∵x1，x2是f(x)的两个极值点，∴由(1)得，不妨设x1<1<x2，要证x1+x2>2，只需证1>x1>2−x2，∵g(x)在(−∞,1)上单增，∴只需证g(x1)>g(2−x2)，又∵g(x1)=g(x2)，∴只需证g(x2)>g(2−x2)，令ℎ(x)=g(x)−g(2−x)=xe −2−xe，x>1，∴ℎ′(x)=1−x e x −1−x e 2−x =(1−x)(1e x −1e 2−x )>0， 故ℎ(x)在(1,+∞)上单增，∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，得证．解析：本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)求出函数的导函数，令g(x)=x e x ，则g′(x)=1−x e x ，进而求出g(x)极大值g(1)=1e ，当x →+∞时，g(x)→0，故0<a <1e ，经检验即可；(2)要证x 1+x 2>2，只需证g(x 2)>g(2−x 2)，令ℎ(x)=g(x)−g(2−x)，求得ℎ′(x )>0，故ℎ(x)在(1,+∞)上单增，即可证得． 20.答案：解：(Ⅰ)由题意，a 3=q ，a 4=3q ，a 5=q 2，∴3+q ，4q ，q 2+3q 成等差数列，∴8q =3+q +q 2+3q ，解得q =1(舍去)或q =3，∴a n+2=3a n ，设k ∈N ∗，∴a 2k−1=a 1q k−1=3k−1，a 2k =a 2q k−1=3k ，令2k −1=n ，则k =n+12，∴a n =3n−12， 令2k =n ，则k =n 2，∴a n =3n 2，；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果可得：b n =log 3a 2na 2n+1=log 33n 3n =n 3n ， ∴S n =1×13+2×(13)2+3×(13)3+⋯+n ×(13)n ，∴13S n =1×(13)2+2×(13)3+3×(13)4+⋯+n ×(13)n+1，上面两式相减得：23S n =13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n −n ×(13)n+1=13[1−(13)n ]1−13−n 3n+1 =12[1−(13)n ]−n 3n+1，∴S n =34[1−(13)n ]−n2×3n ，∵不等式λ<S n +n 2×3n 对一切n ∈N ∗恒成立，∴λ<34[1−(13)n ]对一切n ∈N ∗恒成立， ∵f(n)=34[1−(13)n ]为增函数，f(n)≥f(1)=12，∴λ<12，即λ的取值范围是(−∞,12).解析：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)由题意3+q ，4q ，q 2+3q 成等差数列，从而8q =3+q +q 2+3q ，进而a n+2=3a n ，由此能求出{a n }的通项公式．(Ⅱ)b n =log 3a 2n a 2n+1=log 33n 3n =n 3n ，利用错位相减法求出S n =34[1−(13)n ]−n 2×3n ，由此能求出λ的取值范围．21.答案：解：设X =[x0y 0]， AX =[2111][x 0y 0]=[2x 0+y 0x 0+y 0]=[12]， ∴{2x 0+y 0=1x 0+y 0=2，解得{x 0=−1y 0=3, ∴X =[−13]．解析：本题主要考查二阶矩阵的乘法，属于基础题，设X =[x 0y 0]，AX =[12]，可求出X ． 22.答案：解：由ρcos(θ+π4)=√2，得ρ(cosθcos π4−sinθsin π4)=√2，即√22ρcosθ−√22ρsinθ=√2，得x −y =2． 令y =0，可得C(2,0)，∴以点C 为圆心且半径为1的圆的方程为(x −2)2+y 2=1．即x 2+y 2−4x +3=0，∴所求圆的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+3=0．解析：展开两角和的余弦，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ求出直线的极坐标方程，得到C 的坐标，求出圆C 的极坐标方程，进一步转化为极坐标方程．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标的互化，是基础题．23.答案：解：(1)由题设知ξ=0，1，2，3，4，P(ξ=0)=1020=12，P(ξ=1)=120， P(ξ=2)=220=110，P(ξ=3)=320， P(ξ=4)=420=15， ∴ξ的分布列为：∴Eξ=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5．Dξ=(0−1.5)2×12+(1−1.5)2×120+(2−1.5)2×110+(3−1.5)2×320+(4−1.5)2×15=2.75 (2)由η=a 2Dξ，得a 2×2.75=44，即a =±4，又Eη=aEξ+b ，∴当a =4时，由2=4×1.5+b ，得b =−4；当a =−4时，由2=−4×1.5+b ，得b =8．∴{a =4b =−4或{a =−4b =8即为所求．解析：(1)由题设知ξ=0，1，2，3，4，分别求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，P(ξ=4)，由此能求出ξ的分布列、数学期望和方差．(2)由η=a 2Dξ，Eη=aEξ+b ，结合题设条件，能求出a 、b 的值．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，是中档题，是历年高考的必考题型之一． 24.答案：解：(1)根据题意得，m 的可能值为6，8，10；原因如下：若1+3+4=2+m ，则m =6；若2+3+4=1+m ，则m =8；若1+2+3+4=m ，则m =10；(2)设S n =a 1+a 2+⋯+a n ，n ∈N ∗，根据题目条件不难判定：对任意的i =1，2，…，n ，S n −a i 是偶数；①如果S n 是偶数，则A 中的每个元素也都是偶数，即存在b i ∈N ∗，使得a i =2b i ，而集合B ={b 1,b 2,…,b n }的每一个n −1元子集也是“最强集合”；对集合B 可以重复上面的讨论，总可以得到一个所有元素之和都是奇数且每一个n −1元子集都是“最强集合”的集合．②不妨设S n 是奇数，则对任意的i =1，2，…，n ，a i 也都是奇数，又因为S n =a 1+a 2+⋯+a n ，故n 也是奇数；假设奇数n ≤5，对于n =1，3的情形，显然找不出满足条件的集合A ，设n =5，且不妨设a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，若集合{a 2,a 3,a 4,a 5}是“最强集合”，则a 2+a 5=a 3+a 4或a 2+a 3+a 4=a 5；若集合{a 1,a 3,a 4,a 5}是“最强集合”，则a 1+a 5=a 3+a 4或a 1+a 3+a 4=a 5；考虑其他可能的组合：如果{a 2+a 5=a 3+a 4a 1+a 5=a 3+a 4，那么a 1=a 2，与集合元素的互异性矛盾； 如果{a 2+a 5=a 3+a 4a 1+a 3+a 4=a 5，那么a 1+a 2=0，与a i ∈N ∗矛盾； 如果{a 2+a 3+a 4=a 5a 1+a 5=a 3+a 4，那么a 1+a 2=0，与a i ∈N ∗矛盾； 如果{a 2+a 3+a 4=a 5a 1+a 3+a 4=a 5，那么a 1=a 2，与元素的互异性矛盾； 因此奇数n >5，而当n =7时，容易验证集合A ={1,3，5，7，9，11，13}的每一个6元子集均为“最强集合”；综上所述，n 的最小值为7．解析：(1)根据题意求出m 的可能值，并说明原因；(2)说明最强集合A 中的每个元素可以都是偶数，也可以都是奇数；验证命题成立时满足条件的n的最小值即可．本题考查了新定义的有关元素与集合的概念和运算问题，解题时应理解题意，并根据所掌握的知识解答问题，是较难的题目．。

2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知i 为虚数单位，复数11i z =+，则z ＝_______．2.已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A I B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为_______．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝_______． 5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是_____． 6.下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为_______．7.“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a ＝_______． 9.已知点M 是曲线y ＝2lnx ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．10.已知3cos 24sin()4παα=-，α∈(4π，π)，则sin 2α＝_______．11.如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12.在△ABC 中，(AB AC λ-u u u r u u u r )⊥BC uuu r (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是_______． 13.若函数()x f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是_______．14.如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值为_______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bcosA 3＝0．（1）求A ；（2）已知a ＝3B ＝3π，求△ABC 的面积． 16.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；（2）证明：BE ⊥PC ．17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l 1和l 2通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），l 1和l 2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l 3平行于观光道且与l 2相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l 3，且交l 3于M ），在堤岸线l 3上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1 （百米），且F 恰在B 的正对岸（即BF ⊥l 3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(∠EPF )最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12．且经过点(1，32)，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△AEF 与△BDF 的面积之比为1：7，求直线l 的方程．19.已知函数3222()3f x x mx m x =-+(m ∈R )的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x =-'存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数()(e )(ln )x h x f f x ='+'（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式22()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．20.已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，n N *∈．（1）若n a n =，2n n b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立．①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．选修4—2：矩阵与变换21.已知矩阵1323,2111A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且二阶矩阵M 满足AM =B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线l的参数方程为22cos 2x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 的普通方程；（2）求曲线l 和曲线C 公共点的极坐标.选修4—5：不等式选讲23.已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =t （t 为常数），且22249x y z ++的最小值为87，求实数t 的值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25.已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B两点，.线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S（2）当点G由.的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理。