江苏省苏锡常镇四市届高三数学二模(word版-含答案)

苏锡常镇四市2025届高三年级第二学期调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）A ．y =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+ 2．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221n n N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )A ．215B ．15C ．415D ．13 3．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=4．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ BC ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+ 5．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．116．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 7．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π8．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则AB =（ ） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-9．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 10．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ）A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．||5z =D ．13122z i i =++ 11．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B 6C 3D ．23 12．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则A ．{|02}AB x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}A B x x =-<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023~2024学年度苏锡常镇高三教学情况调研（二）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.本卷满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x =||1|2x x -<∈，N }，1{|1}B y y x==+，则=B A A.[]13, B.[]0,2 C.{}0,2 D.{}1,22.已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,0)，则C 的渐近线方程为A.2y x=± B.12y x=± C.14y x=± D.y =3.已知1z ，2z 是两个虚数，则“1z ，2z 均为纯虚数”是“12z z 为实数”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知随机变量2~(1,)N ξσ，且(0)()P P a ξξ= ，则14(0)x a x a x+<<-的最小值为A ．9B ．92C ．4D ．65.羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为A.14B.13C.12D.236.已知非零向量a π(cos 2sin())4=+，αα，b π(sin(+1)4=，α，若a ∥b ，则sin 2α=A ．1-B ．1010C ．45D ．357.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过E 的右焦点且斜率为1的直线l 交E 于A ，B 两点，且原点O 到直线l 的距离等于E 的短轴长，则E 的离心率为A.B C D.138.正三棱锥P ABC -和正三棱锥Q ABC -共底面ABC ，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P 和点Q 在平面ABC 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为αβ，，则当αβ+最大时，tan()αβ+=A ．13-B ．23-C ．1- D.43-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的有A ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂,则αβ⊥B ．若m α⊥，m n ∥，n β∥，则αβ⊥C ．若αβ∥，m α⊂，n β⊥，则m n ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且()f x 不是常函数，则下列说法中正确的有A ．若2为()f x 的周期，则()f x 为奇函数B ．若()f x 为奇函数，则2为()f x 的周期C ．若4为()f x 的周期，则()f x 为偶函数D ．若()f x 为偶函数，则4为()f x 的周期11．在长方形ABCD 中，8AB =，6AD =，点E ，F 分别为边BC 和CD 上两个动点（含端点），且5EF =，设BE BC λ= ，DF DC μ=，则A.116λ ，318μ B.λμ+为定值C.AE AF ⋅的最小值50D.||AE AF +的最大值为265三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2015/05/042015年苏锡常镇·高三数学（二模）试卷一．填空题（5×14=70分）1．已知集合{}{}{}1,1,3,2,21,1a A B A B =-=-=I ，则实数a 的值是 ▲ 2．设12a b +i=2i(+i)(i 为虚数单位，,a b ∈R ），则a b +的值是 ▲3．某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为::122，则乙生产线生产了 ▲ 件产品4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 值为1-，则输出的y 值为 ▲5．从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 ▲ 6．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点 到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 7．已知向量()()()1,2,0,1,,2a b c k ==-=-r r r ，若()2c a b -⊥r r r ，则实数k = ▲ 8．已知常数0a >，函数()(1)1a f x x x x =+>-的最小值为3，则a 的值为 ▲ 9．函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ▲ 10．已知等差数列{}n a 满足：128,6a a =-=-．若将145,,a a a 都加上同一个数m ，所得的三个数依此成等比数列，则m 的值为 ▲ 11．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 ▲12．已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为 ▲13．已知函数()342f x x x ax =-+-恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 ▲14．已知,,0a b a ∈≠R ，曲线2,21a y y ax b x +==++，若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为 ▲二．解答题（14×3+16×3=90分）15．已知函数()sin()cos 6f x x x π=++（1）求函数()f x 的最大值，并写出当()f x 取得最大值时x 的取值集合；（2）若33(0,),()26f ππαα∈+=，求()2f α的值16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2,2AB AD ==，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,CD PB 的中点求证：（1）//CF 平面PAE ；（2）AE ⊥平面PBD17．如图，甲船从A 处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B 处沿固定方向匀速航行，B 在A 北偏西0105方向用与B 相距102海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西0120方向的D 处，此时两船相距10海里（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C 处的北偏西030方向且与C 相距83海里处有一个暗礁E ，暗礁E 周围2海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险？如无危险，请说明理由18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1(1,0)F -和右焦点2(1,0)F ，且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围19．已知函数()x ex f x e=，其导数记为()f x '（e 为自然对数的底数） （1）求函数()f x 的极大值；（2）解方程()()f f x x =；（3）若存在实数1212,()x x x x ≠使得12()()f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭20．已知,λμ为常数，且为正整数，1λ≠，无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，对任意正整数n ，n n S a λμ=-．数列{}n a 中任意两不同项的和构成集合A（1）证明无穷数列{}n a 为等比数列，并求λ的值；（2）如果2015A ∈，求μ的值；（3）当1n ≥时，设集合{}13232,n n n B x x x A μμ-=⋅<<⋅∈中元素的个数记为n b 求数列{}n b 的通项公式。

2023届高三苏锡常镇四市第二次教学情况调研高三数学2023.5.4一、选择题:本题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1-i )z =i, 则在复平面内z 表示的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知A ,B 为非空数集, A ={0,1},∁R A ∩B ={-1}, 则符合条件的B 的个数为()A.1B.2C.3D.43.已经连续抛郑一枚质地均匀的硬币2次, 都出现了正面向上的结果, 第3次随机地抛掷这枚硬币, 则其正面向上的概率为()A.18B.14C.12D.14.已知向量a ,b 的夹角为60∘, 且|a |=|a -b|=1, 则()A.|2a -b |=1 B.|a-2b |=1C.a ,a -b=60∘ D.b ,a -b=60∘5.埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥,其侧面与底面所成角的余弦值为5-12, 则侧面三角形的顶角的正切值为()A.2B.3C.5-12D.5+126.已知2-1x 23=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 22x 22+a 23x 23, 则a 0222+a 1221+⋯+a 212+a 22=()A.-1B.0C.1D.27.设a =13,b =ln 32,c =tan 12，则()A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.a <c <b8.已知等比数列a n 的前n 项和为S n ,S n +1+1=4a n n ∈N ∗ , 则使得不等式a m +a m +1+⋯+a m +k -a m +1S k <2023k ∈N ∗ 成立的正整数m 的最大值为()A.9B.10C.11D.12二、选择题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得5分, 部分选对的得2分, 有选错的得0分.9.在平面直角坐标系xOy 中, 已知直线l :kx -y -k =0, 椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0), 则下列说法正确的有()A.l 恒过点(1,0)B.若l 过C 的焦点, 则a 2+b 2=1C.对任意实数k ,l 与C 总有两个互异公共点, 则a ≥1D.若a<1, 则一定存在实数k, 使得l与C有且只有一个公共点10.已知函数f(x)=2sin x+sin2x, 则()A.f(x)是偶函数, 也是周期函数B.f(x)的最大值为332C.f(x)的图象关于直线x=π3对称D.f(x)在0,π3上单调递增11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 已知AB=2,AA1=1, 则下列说法正确的有()A.异面直线AB1,A1C1的距离为63B.直线AB1与平面A1BC1所成的角的余弦值为53C.若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上, 则球O的表面积为9πD.以A为球心, 半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为10+336π12.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象是连续不间断的. 函数y=f(x-1)的图象关于点(1,1)对称, 在区间(1,+∞)上单调递增. 若f(m cosθ+4cosθ-2)+f(-4cos2θ)>2对任意θ∈π4,π2恒成立, 则下列选项中m的可能取值有()A.22-4B.2-22C.2-2D.2-4三、填空题:本题共4小题, 每小题5分, 共20分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上.13.某校1000名学生参加数学文化知识竞赛, 每名学生的成绩X∼N70,102, 成绩不低于90分为优秀, 依此估计优秀的学生人数为(结果填整数).附：若ξ∼Nμ,σ2, 则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545.14.在平面直角坐标系xOy中, 已知点A35,45, 将线段OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB, 则点B的横坐标为.15.某校数学兴趣小组在研究函数最值的过程中, 获得如下研究思路:求函数f(x)=|g(x)-mx-n|的最大值时,可以在平面直角坐标系中把|g(x)-mx-n|看成y=g(x)的图象与直线y=mx+n在相同横坐标处的“高度差”, 借助“高度差”探究其最值. 借鉴该小组的研究思路, 记f(x)=|sin x-mx-n|在[0,π]上的最大值为M, 当M取最小值时, m= , n=.16.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F, 过动点P的两条直线l1,l2均与C相切, 设l1,l2的斜率分别为k1,k2, 若k1-1k2-1=4, 则|FP|的最小值为四、解答题:本题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知等差数列a n的各项均为正数, a1=1,a2+a5+a8=a3a5.(1)求a n的前n项和S n;(2)若数列b n满足b1=1,a n+2b n+1=a n b n, 求b n的通项公式.某地区的疾控机构为了考察药物A对某疾病的预防效果, 在该地区随机抽取96人, 调查得到的统计数据如下表所示.患病末患病合计服用药物A103848末服用约物A222648合计326496(1)试判断:是否有99%以上的把握认为药物A对预防该疾病有效果?(2)已知治愈一位服用药物A的该疾病患者需要2个疗程, 治愈一位末服用药物A的该疾病患者需要3个疗程. 从该地区随机抽取1人, 调查其是否服用药物A、是否患该疾病, 若末患病则无需治疗, 若患病则对其进行治疗并治愈. 求所需疗程数的数学期望.附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d ,Pχ2>6.635=0.01.19.(12分)在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b, c, 且a cos B+(b+2c)cos A=0.(1)求A;(2)若点D在边BC上, BD=2DC,AD=2,c=2b, 求△ABC的面积.如图, 在三棱台ABC -A 1B 1C 1中, BA ⊥BC , 平面A 1B 1BA ⊥平面ABC , 二面角B 1-BC -A 的大小为45∘,AB =2,BC =A 1B 1=AA 1=1.(1)求证:AA 1⊥平面ABC ;(2)求异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值.ABCA 1B 1C 121.(12分)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的浙近线为y =±32x , 右焦点F 到浙近线的距离为3. 设M x 0,y 0是双曲线C 2:y 2b 2-x 2a2=1上的动点, 过M 的两条直线l 1,l 2分别平行于C 1的两条浙近线, 与C 1分别交于P ,Q 两点.(1)求C 1的标准方程;(2)证明直线PQ 过定点, 并求出该定点的坐标.已知函数f(x)=ae x-1-ln x-1,a∈R.(1)若a=1, 求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)有且只有2个不同的零点, 求a的取值范围.。

年苏锡常镇四市高三教学情况调查二数学参考答案及评分标准TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2007年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，满分50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADADBCBCCC二、填空题（每小题5分，满分30分） 11． 12. 70 13. [2,5] 14. －2 15.1336三、解答题17．（1）21111()cos sin (cos21)sin 22222f x x x x x x ωωωωω=+⋅-=++- 当28x ππ-≤≤时，32.442x πππ-≤+≤∴当242x ππ+=-时，())4f x x π+取得最小值为（2）令24x k ππ+=，得4,228k k x k Z ππππ-==-∈ ∴当0k =时，8x π=-，当1k =时，38x π=，∴满足要求的对称中心为(,0).8π-18．解：（1）取AB 中点O ，连接1.A O 设.AB a = AD ∴⊥平面11,AA B B AD ⊂而ABCD∴平面11AA B B ⊥平面ABCD .111,AB AA A B a AO AB ===∴⊥， 1AO ∴⊥平面ABCD . 1A AB ∴∠为直线1A A 与平面ABCD 所成的角. 160A AB ∠=，∴直线1A A 与平面ABCD 所成角的大小为60（2）过O 作1OH A B ⊥，垂足为H ，连结CH .//,OC DA DA ⊥平面11AA B B ，CO ∴⊥平面11.AA B BCHO ∴∠为二面角1C A B A --的平面角.在正1A AB ∆中，1sin sin 60224a OH OB A BA OB =∠==⋅= 在RtCOH ∆中，,tan OCOC a CHO OH=∠===∴二面角1C A B A -- （3）存在。

江苏省苏锡常镇四市2022_2023学年度高三教学情况调研(二)数学试卷及参考答案江苏省苏锡常镇四市2022_2023学年度高三教学情况调研(二)数学试卷及参考答案一、选择题1. 设函数 $f(x)=2x^2+4x+1$，则 $f(-\frac{3}{2})$ 的值是_________。

A. $-\frac{23}{4}$B. $-\frac{9}{2}$C. $\frac{23}{4}$D. $-\frac{7}{4}$2. 平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A(1,2)$，$B(1,0)$，$C(3,0)$，$D(3,2)$，则四边形 $ABCD$ 的面积为_________。

A. $4$B. $6$C. $8$ D . $12$3. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2$，则 $a_n$ 的值为_________。

A. $n+1$B. $n$C. $1$D. $0$4. 若 $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1$，则 $x$ 的值为_________。

A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$5. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=BC$，$D$ 为边 $BC$ 的中点，若$\angle ADC=90^\circ$，则 $\angle ABC$ 的度数是_________。

A. $30$B. $45$C. $60$D. $90$二、解答题1. 设实数集合 $A=\{x\mid x^2-4x+4\leq0\}$，求 $A$ 的取值范围。

解：首先化简不等式 $x^2-4x+4\leq0$，得到 $(x-2)^2\leq0$。

由平方非负的性质可知，$(x-2)^2$ 的取值范围不小于 $0$，即 $(x-2)^2\geq0$。

当且仅当 $(x-2)^2=0$ 时，等号成立。

所以，可以推出 $x-2=0$，解得 $x=2$。

综上所述，集合 $A=\{x\mid x=2\}$，即 $A=\{2\}$。

T←1 i←2While T <6 T←2T i←i +2 End While Print i15i注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）．本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照题号顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数 学（I ）参考公式： 圆锥的侧面积公式： S2cl ，其中c 是圆锥底面的周长， l 为母线长. 1圆锥的体积公式：V 3Sh ，其中 S 为圆锥的底面积， h 为高.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1. 已知集合 A x x 1， B x 0 x 3，则 A B ▲ ． 2．已知复数 z3 4i，其中 i 是虚数单位，则 z ▲ ．x 2 23．已知双曲线C 的方程为 4y1 ，则其离心率为 ▲ ．4．根据如图所示的伪代码，最后输出的 i 的值为 ▲ ．（第 4 题图）5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4:4:3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为 15，则抽取的样本容量为 ▲ ．OBQ（第 13 题图）227．已知等比数列 a的前n 项和为 S ，若a2a ，则 S12 = ▲ ．nn6288. 函数 f (x ) cos x π （ 0 ）的图象关于直线 x π 对称，则的最小值为 ▲．322a 2 +1 2b 2+49. 已知正实数a ，b 满足a b 1，则 a b的最小值为 ▲ ．10. 已知偶函数 f (x ) 的定义域为 R ，且在[0，) 上为增函数，则不等式 f (3x ) f (x 2 2)的解集为 ▲ ．11. 过直线l y x 2 上任意一点 P 作圆C ：x 2y 21 的两条切线，切点分别为 A ，B ，当切线长最小时，△ PAB 的面积为 ▲ ．12. 已知点 P 在曲线 C ： y 1x 2 上，曲线 C 在点 P 处的切线为 l ，过点 P 且与直线 l 垂直的直线与曲线 C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP OQ ， P则点 P 的纵坐标为 ▲ ．13. 如图，在等腰直角三角形 AB C 中，C AB 90 ， AB 2 ， A以 AB 为直径在△ ABC 外作半圆 O ， P 为半圆弧 AB 上8的动点，点 Q 在斜边 BC 上，若 AB AQ 3，则 AQ C P 的最小值为 ▲ ． C14. 已知 e 为自然对数的底数，函数 f (x ) e xax 2 的图象恒在直线 y 3a x 上方，则实数a的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．P15.（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P ABC 中，过点 P 作 PD AB ， F垂足为 D ， E ，F 分别是 PD ，PC 的中点， E且平面 PAB ⊥平面 PCD ．CA（1）求证： EF ∥平面 ABC ； D（2）求证： CE AB .B（第 15 题图）S3a16.（本小题满分 14 分）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 c （1）求角 A 的大小；2 cos A sin Cπ 1（2）若cos(B 6 ) 4，求cos C 的值．17．（本小题满分 14 分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π 立方米的有盖圆锥形容器. （1）若该容器的底面半径为 6 米，求该容器的表面积； （2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18．（本小题满分 16 分）x 2y 2（第 17 题图）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： a2b 21 （ a b 0 ）的左、右顶点分别为 A 1 (2, 0) ， A 2 (2, 0) ，右准线方程为 x 4 . 过点 A 1 的直线交椭圆 C 于 x 轴上方的点 P ，交椭圆 C 的右准线于点 D . 直线 A 2 D 与椭圆 C 的另一交点为 G ，直线 OG 与直线 A 1D 交于点 H. （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若 HG A 1D ，试求直线 A 1D 的方程； yD（3）如果 A 1 H A 1 P ，试求的取值范围．PHA 1O A 2xGB.219.（本小题满分 16 分）已知函数 f (x )x 2 （2a )xa ln x ，其中a R.（1）如果曲线 y f (x ) 在 x 1处的切线斜率为 1，求实数a 的值；（2）若函数 f (x ) 的极小值不超过 a，求实数a 的最小值；（3）对任意 x 1 [1，2] ，总存在 x 2 [4，8] ，使得 f (x 1) f (x 2 ) 成立，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分 16 分）已知数列{a n } 是各项都不为 0 的无穷数列，对任意的 n ≥ 3 ， n N * ，a 1a 2 a 2 a 3 a n 1a n(n 1)a 1a n 恒成立.（1）如果 1 ，1 ，1 成等差数列，求实数的值；a 1 a 2 a 3 （2）已知1.① 求证：数列1是等差数列； a n1 ② 已知数列{a } 中， aa . 数列{b } 是公比为 q 的等比数列，满足b，n12n11 1 b 22 ， b3 i （ i N *）．求证： q 是整数，且数列{b n } 中的任意一项都 是数列 1中的项．a n1 aa a3 0 a 0 1 y 2 sin 2018-2019 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）数学Ⅱ（加试）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 三个小题，请选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修 4—2：矩阵与变换） 已知矩阵 A2 1，其逆矩阵 A 1b c ，求 A 2．B ．（选修 4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 x O y 中，曲线C 的参数方程为x 2 2 cos ，（ 为参数）. 以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点 M ， N 的极坐 π(2 3, ) 6，求直线l 被曲线C 截得的弦长．高三数学附加 第 1 页（共 2 页）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第 21 题有 A ，B ，C 三个小题供选 做，每位考生在 3 个选做题中选答 2 题．若考生选做了 3 题，则按选做题中的前 2 题 计分．第 22，23 题为必答题．每小题 10 分，共 40 分．考试时间 30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 标分别为(2, 0) ，n+1n 1 n nC .（选修 4—5：不等式选讲）已知正数a ，b ，c 满足 a b c 2 .求证： ab 2c 2≥1 ．b c c a a b【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，计 20 分.请把答案写．在．答．题．卡．的．指．定．区．域．内．. 22.（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C ： y 2 4x 的焦点为 F ，过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A ，B 两点．（1）求线段 AF 的中点 M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的 3 倍，求直线 l 的方程.23.（本小题满分 10 分）已知数列a ， a 2 ，且aa 2 a1 对任意n N *恒成立.求证：（1） a n+1 a n a n 1a n2a 2 a 1 1 （ n N *）；（2） a n n1 （ n N *）．高三数学附加 第 2 页（共 2 页）n+12。

2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学（参考答案） 2024. 5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A B C D A D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 题号9 10 11 答案 BCD ABD AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1y =或3450x y ++= 1314．4，1四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分） 【法一】（1）证明：在直棱柱111C B A ABC −中，1B B ⊥面ABC ，则面11BB CC ⊥面ABC ， ……2分面11BB CC 面ABC BC =，AB ⊂面ABC ，BC AB ⊥，所以⊥AB 面11B BCC ……4分因为11//B A AB ，所以⊥11B A 面11B BCC . 则1A C 在面11B BCC 的射影为1B C ， 在正方形11B BCC 中，有.11C B BC ⊥所以由三垂线定理得：.11C A BC ⊥ ……6分（2）解：直三棱柱111ABC A B C 的体积为111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA =. ……7分由（1）⊥11B A 平面11B BCC ，1BC ⊂平面11B BCC ，则⊥11B A 1BC ， 在正方形11B BCC 中，1B C ⊥1BC ，且111A B B C ⊂，平面C B A 11， 1111A B B C B = ，所以⊥1BC 平面C B A 11.……8分设11B C BC O = ， 在△11A B C 中，过O 作C A OH 1⊥于H ，连接BH . 因为OH 为BH 在面11A B C 的射影，由三垂线定理得：⊥C A 1.BH 所以BHO ∠为二面角11B A B C −−的平面角. ……10分 因为Rt △COH ∽Rt △11CA B ，111B A CA OH CO =，得33=OH ， 又在Rt △BOH 中，22=BO ，得630=BH ， ……12分 .51063033cos ===∠BHOHBHO所以二面角B C A B −−11的余弦值为.510……13分【法二】直三棱柱111ABC A B C 的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=，则11AA =. ……1分（1）证明：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系.…2分 (0,0,0)B ，1(0,0,1)B =，(1,0,0)C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C .1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ， ……4分11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以.11C A BC ⊥ ……6分（2）(0,0,0)B ，1(0,0,1)B =，(1,0,0)C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C .(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量1η111(,,)x y z =，则111111020BC x BA y z ⋅==⋅+，，ηη取11y =，得1η(0,1,2)−. ……8分1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2η222(,,)x y z =， 则21222112020B C x z B A y ⋅=−= ⋅== ，，ηη 取21x =，得2η(1,0,1)=. ……10分 设二面角11B A B C −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|⋅=<>==ηηθηηηη. ……12分 因为θ为锐角，所以二面角11B A B C −−余弦值为510. ……13分16.（15分） （1）提出假设0H ：是否喜爱阅读与性别没有关系． ……3分根据列联表的数据，可以求得：2250(10121315)0.725 2.70625252327χ×−×=≈<×××，……5分所以没有90%的把握认为喜爱阅读与性别有关. ……7分 （2）随机变X 服从超几何分布(3,2,6)H ，X 可能取0，1，2. ……8分……2分0324361(0)5C C P X C ===，1224363(1)5C C P X C ===，2124361(2)5C C P X C ===. ……11分……14分答：抽取男生人数的数学期望为1． ……15分17.（15分）解：（1）因为函数的定义域为(0,)+∞，当0a =时，e 1()x f x x−=.要证()1f x >，只需证：当0x >时，e 1x x >+. ……1分令()e 1x p x x =−−，则()e 10x p x ′−>，则()p x 在(0,)x ∈+∞单调递增，……3分 所以()(0)0p x p >=，即e 1x x >+. ……5分 （2）2(1)e 1()x x a f x x x −+=+′1(1)e 1x x a x x −+=⋅+， ……6分令(1)e 1()(1)x x g x a x x−+=+>， 则()2222e (1)1(1)110x x x x x x g x x x x ′−+−−+−−=>=>.所以()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)1g x g a >=+， ……8分 ①当1a − 时，()(1)10g x g a >=+ ，()0f x ′>. 则()f x 在(1,)+∞为增函数，()f x 在(1,)+∞上无极值点，矛盾. ……11分 ②当1a <−时，(1)10g a =+<. 由（1）知，e 1x x x >+>，(1)e 1(1)e (1)()1x x x x x xg x a a a x a x x x−+−−=+>+>+=−+，则(1)0g a −>，则0(1,1)x a ∃∈−使0()0g x =. ……14分 当0(1,)x x ∈时，()0g x <，()0f x ′<，则()f x 在0(1,)x 上单调递减； 当0(),x x ∈+∞时，()0g x >，()0f x ′>，则()f x 在0(,)x +∞上单调递增. 因此，()f x 在区间(1,)+∞上恰有一个极值点，所以a 的取值范围为(,1)−∞−. ……15分18. （17分）（1）解： F (0，2p)，设A (211,2x x p )，则FA = 211(,)22x p x p−1)4−，……1分所以1211224x x p p = −=−，得：2260p p −−=，解得2p =或32p =−（舍）， 所以抛物线C 的方程为24x y =①. ……4分（2）设直线MN ：y kx m =+②， M (11,x y )，N (22,x y )， 联立①②，得2440x kx m −−=. 所以216()0k m ∆=+>③，121244x x k x x m +=⋅=−，④.111111222y kx m m k k x x x ++++===+，222222222y kx m m k k x x x ++++===+，则1212121211(2)2(2)()2(2)x x k m k k k m k m x x x x m+−+=+++=++⋅=， ……5分 121212(2)(2)kx m kx m k k x x ++++=2222121212(2)()(2)8(2)4k x x k m x x m k m x x m+++++++=−. ……6分因为12123()24k k k k +−=，即：22(2)8(2)32404k m k m m m−++×−×−=−， 即：(22)(42)0k m k m +−+−=， 则22m k =−或24m k =−，能满足③式. ……8分则MN ：22(2)2y kx k k x =+−=−+，或MN ：24(4)2y kx k k x =+−=−+， 所以定点Q 的坐标为(2,2)或(4,2)，……10分（3）如MN 过(4,2)点，当122k k ==时， 12123()24k k k k +−=，但此时M ，N 重合，则||MN 无最小值，所以MN 只能过(2,2)点，此时||MN 有最小值. ……11分 由（2），在④中，令22m k =−得：1212488x x k x x k +=⋅=−，，MN 2x −===. ……13分令432()2322f k k k k k =−+−+，则32246622(21)(1)0()k f k k k k k k ′=−+−=−−+=，12k =. ……15分当12k <时,()0f k ′<，()f k 在1(,)2−∞上为减函数， 当12k >时,()0f k ′>，()f k 在1(,)2+∞上为增函数， ……16分所以当12k =时，()f k 有最小值，MN 有最小值.min5MN =. ……17分19.（17分）（1）解：第1行最后两数0101C C 1==，第2行的最后两数120233C C C 2=−=. ……1分 第m （3m ）行的第m 个数为132222C C m m m m −−−−−，第1m +个数为22121C C m m m m −−−−，猜测：132********C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−. ……2分【法一】即证：12321222122C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−，……3分 因为11233222222222222C C C C C C m m m m m m m m m m m m −−−−−−−−−−−+−=+−，……5分只要证明22222C C m m m m −−−=，该式显然成立，所以12321222122C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−，所以每行最后两个数相等.……6分【法二】因为22121(21)!(21)!C C !(1)!(2)!(1)!m m m m m m m m m m −−−−−−=−−−+[](21)!(1)(1)!(1)!m m m m m m m −+−−+2(21)!(2)!!(1)!!(1)!m m m m m m m −=++； ……4分 又因为132222(22)!(22)!C C (1)!(1)!(3)!(1)!m m m m m m m m m m −−−−−−−=−−−−+[](22)!(1)(1)(2)(1)!(1)!m m m m m m m −+−−−−+(42)(22)!(1)!(1)!m m m m −−=−+2(21)!(2)!(1)!(1)!!(1)!m m m m m m −=−++. 即：13222222121C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−.所以每一行的最后两个数相等. ……6分（2）第1行所有数之和为0101C C 2+=，第2行的最后一个数为0323312C C =−−=， 此时结论成立. ……7分因为11C C C k k k n n n −++=，第m （2m ）行的1m +个数之和为：0120312111222121C C (C C )(C C )(C C )m m m m m m m m m m −−++++−−++−+−++−01201211211221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m −−+−++−=++++−+++0120121212221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m −+−++−=++++−+++1212211213321(C C C )(C C C )m m m m m m m m −++−++−=+++−+++222C C m m m m −==− . ……10分而第1m +行倒数第二个数为222C C m m m m −−，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证. ……11分（3）当1n =，3k =时，1111C 1S a ===，11341S =−，当4k ≥时，此时显然不成立. 猜测：存在正整数k ，使得41n n kS − 恒成立，k 的最大值为3. ……12分 下证：当2n 时，341n n S <− 恒成立. 由（1）知，(2)!!(1)!n n n a n +=，则1(22)!(1)!(2)!n a n n n +=+++，因为1(22)!(22)(1)!(!)!(1)!(212)!(2)())(12n n a n n n n n n n a n n n +++++++=++×=2(21)4(2)6644222n n n n n ++−===−<+++. ……14分又0n a >，当2n 时，2111214444n n n n n a a a a −−−−<<<<= . ……15分当2n 时，211241...144 (4)3n n n n S a a a −−=+++<++++=，所以341n n S <−. 综上：存在正整数k ，k 的最大值为3，使得41n n kS − 恒成立. ……17分。

江苏省苏锡常镇四市2021届高三年级第二次模拟考试(一)数学本试卷满分160分，考试时间为120分钟．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|x<3，x ∈R }，B ＝{x |x >1，x ∈R }，则A ∩B ＝________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足zi＋4＝3i ，则复数z 的模为________．3. 一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n 的值为________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是________．6. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为________．(第6题图)(第7题图)7. 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的中点，则四棱锥PAA 1C 1C 的体积为________．8. 设数列{a n }是首项为1，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S n 成等比数列，则数列{a n }的公差为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x (x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝________．10. 若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．12. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ， 0≤x<4，log 2（x －2）＋2， 4≤x ≤6，若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________． 13. 已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R ，若最新x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范围是________．14. 若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，xy 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．16. (本小题满分14分)如图，已知四棱柱PABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，N 是PC 的中点．(1) 求证：MN ∥平面PAB ；(2) 若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM ⊥AD.(第16题图)如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为43k.设OA＝x，OB＝y.(1)求y最新x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)求N－M的最大值及相应的x的值．(第17题图)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值； ②若直线l 的斜率为32，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．设函数f(x)＝x－2e x－k(x－2lnx)(k为实常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，4)内至在三个极值点，求k的取值范围．已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2n <52a n ＋1a n ，n ∈N *. (1) 若a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；(2) 设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．若12S n <S n ＋1<2S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；(3) 若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k 的公差．密封线(这是边文，请据需要手工删加) 密封线____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________校学 (这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)·数学附加题 第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)数学附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 与⊙O 相切于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ，且AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．(第21A 题图)B. 选修4-2：矩阵与变换设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．C. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．D. 选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE.(1) 证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ； (2) 求二面角ADFC 的大小．(第22题图)23. (本小题满分10分)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示．(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2) 已知n ，r 为正整数，且n ≥r ＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 不能构成等差数列．(第22题图)密封线苏锡常镇四市2021届高三年级第二次模拟考试(一)·数学参考答案 第页(共4页) (这是边文，请据需要手工删加)2021届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)数学参考答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. (1，3) 2. 5 3. 320 4. (－2，4) 5. 256. 67. 13 8. 2 9. －2 10. (2，＋∞) 11. 364 12. ⎣⎡⎦⎤3，25627 13. (－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 14. 2二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：(1) 由题意知，f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos (2x ＋π3)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，(4分)所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(6分) 当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为[－7π12＋k π，－π12＋k π](k ∈Z )．(8分) (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，(10分)当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2，(12分)当2x ＋2π3＝4π2，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.(14分)16. 证明：(1) 取PB 中点E ，连EA ，EN ，△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，(3分)得EN ∥AM ，EN ＝AM ，四边形ENMA 是平行四边形，(5分) 得MN ∥AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ， ∴ MN ∥平面PAB(7分)(2) 过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，∵ 平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC ∩平面PAD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH ⊂平面PAD ， ∴ AH ⊥平面PMC ， ∴ AH ⊥CM.(10分)∵ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM.(12分) ∵ PA ∩AH ＝A ，PA ，AH ⊂平面PAD ，CM ⊥平面PAD ， ∵ AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥AD.(14分) 17. 解：(1) 因为OA ＝x ，OB ＝x ，AB ＝y ＋1， 由余弦定理，x 2＋y 2－2xy cos 120°＝(y ＋1)2， 解得y ＝x 2－12－x，(3分)由x>0，y>0得1<x<2，又x>y ，得x>x 2－12－x，解得1<x<1＋32，(6分)所以OA 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋32.(7分)(2) M ＝kOB ＝ky ，N ＝4 3.S △AOC ＝3kx ，则N －M ＝k(3x －y)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －x 2－12－x ，(8分) 设2－x ＝t ∈⎝⎛⎭⎪⎫3－32，1， 则N －M ＝k ⎣⎡⎦⎤3（2－t ）－（2－t ）2－1t＝k ⎣⎡⎦⎤10－⎝⎛⎭⎫4t ＋3t ≤k ⎝⎛⎭⎫10－24t·3t ＝(10－43)k.(11分) 当且仅当4t ＝3t 即t ＝32∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，1取等号，此时x ＝2－32，(13分) 所以当x ＝2－32时，N －M 的最大值是(10－43)k.(14分) 18. 解：(1) 1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2a ＝12，得a 2＝4，b 2＝3.(2分)所以椭圆C ：x 24＋y 23＝1.(3分)(2) ①设直线l 的方程为x ＝my ＋1，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，化简得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，易知Δ>0，(5分) 所以y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 所以k AP ·k BP ＝y 1－32x 1－1·y 2－32x 2－1＝y 1－32my 1·y 2－32my 2＝1m 2·y 1y 2－32（y 1＋y 2）＋94y 1y 2 ＝－1m －34，(7分)所以t ＝k AB ·k AP ·k BP ＝－1m 2－34m ＝－⎝⎛⎭⎫1m ＋382＋964，(9分)所以当m ＝－83时，t 有最大值964.(10分)②设直线l 的方程为y ＝32x ＋n ，直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ⎩⎨⎧y ＝32x ＋n ，x 24＋y23＝1，得3x 2＋23nx ＋2n 2－6＝0，Δ＝(23n)2－4×3(2n 2－6)>0， 即－6<n< 6.x 1＋x 2＝－23n3，x 1x 2＝2n 2－63，(12分)OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)＝x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫32x 1＋n 2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋n 2＝74(x 21＋x 22)＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2＝74(x 1＋x 2)2－72x 1x 2＋3n(x 1＋x 2)＋2n 2(14分) ＝74⎝⎛⎭⎫－233n 2－72⎝⎛⎭⎫2n 2－63＋3n(－233n)＋2n 2＝7.(16分) 19. 解：(1) 由函数f(x)＝e xx 2－(x －2ln x)(x>0)，可得f′(x)＝（x －2）（e x －x 2）x 3(2分)因为当x>0时，e x >x 2.理由如下： 要使x>0时，e x >x 2，只要x>2ln x ， 设φ(x)＝x －2ln x ，φ′(x)＝1－2x ＝x －2x，于是当0<x<2时，φ′(x)<0；当x>2时，φ′(x)>0.即φ(x)＝x －2ln x 在x ＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln 2>0，即x>0时，x>2ln x ， 所以e x －x 2>0，(5分) 于是当0<x<2时，f ′(x)<0； 当x>2时，f ′(x)>0.所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，(2，＋∞)上为增函数．(6分) 所以f(x)在x ＝2处取得最小值f(2)＝e 24－2＋2ln 2.(7分)(2) 因为f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e xx 2－k x，当k ≤0时，e xx2－k>0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k>0.(8分)又f′(x)＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝⎛⎭⎫e xx 2－k x，令g(x)＝e xx 2，得g′(x)＝e 2·（x －2）x 3，易知g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，在x ＝2处取得极小值， 得g(2)＝e 24，且g(4)＝e 416，(10分)于是可得y ＝k 与g(x)＝e x x2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k ∈⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(12分)设y ＝k 与g(x)＝e xx 2在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x 1，x 2，则有0<x 1<2<x 2<4，下面列表分析导函数f′(x)及原函数f(x)：可知f(x)在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，2)上单调递增． 在(2，x 2)上单调递减，在(x 2，4)上单调递增， 所以f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点．(15分)即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 24，e 416.(16分) 20. 解：(1) 由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ，(2分)所以34<x<3，x2<4<2x ，解得x ∈(2，3)．(4分)(2) 由题意得，∵ 12a n <a n ＋1<2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，∴ 12q n －1<q n <2q n －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝⎛⎭⎫q －12>0，q n －1（q －2）<0，∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，2.(6分)又∵ 12S n <S n ＋1<2S n ，∴ 而当q ＝1时，S 2＝2S 1不满足题意．(7分)当q ≠1时，12·1－q n 1－q <1－q n ＋11－q <2·1－q n 1－q ，∴ ①当q ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）>－1，q n （2q －1）<1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）>－1，q 1（2q －1）<1 解得q ∈⎝⎛⎭⎫12，1；(9分) ②当q ∈(1，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧q n （q －2）<－1，q n （2q －1）>1，⎩⎪⎨⎪⎧q 1（q －2）<－1，q 1（2q －1）>1，无解． ∴ q ∈⎝⎛⎭⎫12，1.(11分)(3) ∵ 12a n <a n ＋1<2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差数列，a 1＝1，∴ 12[1＋(n －1)d]<1＋nd<2[1＋(n －1)d]，n ＝1，2，…，k －1. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧d （n ＋1）>－1，d （2－n ）<1，∴ d ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，(13分)又∵ a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，∴ S k ＝d 2k 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2k ＝d2k 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2k ＝120， ∴ d ＝240－2k k 2－k ，∴ 240－2k k 2－k ∈⎝⎛⎭⎫－1k ，1，解得k ∈(15，239)，k ∈N *，所以k 的最小值为16，此时公差为d ＝1315.(16分)附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A. 选修4-1：几何证明选讲解：因为DE 是⊙O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，(3分)又AB 切⊙O 于点B ，得∠ABD ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA.(5分) 即BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝ADCD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3，(8分) 由切割线定理得AB 2＝AD·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.(10分)B. 选修4-2：矩阵与变换解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，(4分) 设(x ，y )是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x ′，y ′)．则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，(6分) 所以x ′＝12x ，y ′＝2y ，且x ＝2x ′，y ＝12y ′，(8分)代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin2x ′，即y ′＝2sin2x ′.即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x .(10分) C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23sin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，(3分)所以x 2＋(y －3)2＝3.(5分) 设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，C(0，3)，PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12，(8分) 故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3，0)．(10分) D. 选修4-5：不等式选讲解：存在实数x 使f(x)＋g(x)>a 成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a ，(2分)因为f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，(4分) 由柯西不等式：(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x)＝64，(7分) 所以f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，(9分) 故常数a 的取值范围是(－∞，8)．(10分)【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．22. 解：(1) 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，2)．∵ E 为AB 的中点，∴ E 点坐标为E(1，1，0)， ∵ D 1F ＝2FE ，∴ D 1F →＝23D 1E →＝23(1，1，－2)＝(23，23，－43)，DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0，0，2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43 ＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.(2分)设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0，取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1，0，－1)，(3分) 设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1，1，1)，(4分) ∵ n·p ＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0， ∴ 平面DFC ⊥平面D 1EC .(5分)(2) 设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量，则 q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0，1，－1)，(7分) 设二面角A -DF -C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos θ＝－⎪⎪⎪⎪n·q |n |·|q |＝－0＋0＋12×2＝－12，(9分) ∴ 二面角A -DF -C 的大小为120°.(10分)23. 解：(1) 杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ，k ＝0，1，2，…，n 组成．如果第n 行中有C k －1n C k n ＝k n －k ＋1＝34，C k nC k ＋1n ＝k ＋1n －k ＝45，即么3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，(2分) 解这个联立方程组，得k ＝27，n ＝62.(3分)即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 2862的比为3∶4∶5.(4分) (2) 若有n ，r(n ≥r ＋3)，使得C r n ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列，则2C r ＋1n ＝C r n ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n， 即2·n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＝n ！r ！（n －r ）！＋n ！（r ＋2）！（n －r －2）！，2·n ！（r ＋2）！（n －r －2）！＝n ！（r ＋1）！（n －r －1）！＋n ！（r ＋3）！（n －r －3）！.(6分)所以有2（r ＋1）（n －r －1）＝1（n －r －1）（n －r ）＋1（r ＋1）（r ＋2），2（r ＋2）（n －r －2）＝1（n －r －2）（n －r －1）＋1（r ＋2）（r ＋3），经整理得到n 2－(4r ＋5)n ＋4r(r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0. 两式相减可得n ＝2r ＋3，于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋32r ＋3成等差数列，(8分) 而由二项式系的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3<C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3，这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．(10分)。

2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）=．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为．6．函数f（x）=的定义域为．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于．8．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3，且m∈N*，则a n=．13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N*）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N*），证明数列{c n}是等比数列；（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．26．设实数a1，a2，…，a n满足a1+a2+…+a n=0，且|a1|+|a2|+…+|a n|≤1（n∈N*且n≥2），令b n=（n∈N*）．求证：|b1+b2+…+b n|≤（n∈N*）．2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）={1，2，5} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出B的补集，再求出其与A的并集，从而得到答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，又B={2，3，4}，∴（C U B）={1，5}，又A={1，2}，∴A∪（C U B）={1，2，5}．故答案为：{1，2，5}．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为：﹣13．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．【考点】极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，故答案为：．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由已知条件利用n次独立重复试验概率计算公式求解．【解答】解：∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，∴至少有两枚硬币正面向上的概率为：p==．故答案为：．5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．6．函数f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0联立不等式组求得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0＜x＜2，且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：（0，1）∪（1，2）．故答案为：（0，1）∪（1，2）．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于1．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可解得a的值．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，x=a满足条件n≤3，执行循环体，x=2a+1，n=2满足条件n≤3，执行循环体，x=2（2a+1）+1=4a+3，n=3满足条件n≤3，执行循环体，x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为15．所以：8a+7=15，解得：a=1．故答案为：18．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】根据题意，先有诱导公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β），进而结合正切的和角公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=﹣；故答案为：﹣．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是[0，10] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r=1，求出圆心（﹣1，2）到直线3x+4y ﹣m=0的距离d，由直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，得d≤r，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r==1，圆心（﹣1，2）到直线3x+4y﹣m=0的距离d==，∵直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，∴，解得0≤m≤10，∴实数m的取值范围是[0，10]．故答案为：[0，10]．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据体积比得出a和r的关系，代入面积公式求出面积比即可．【解答】解：圆锥的母线l==r．V1=a3，S1=6a2，V2=，S2=πrl=πr2．∵==，∴a=r．∴==．故答案为：．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（0，1）∪（3，+∞）．【考点】函数的值．【分析】可判断函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，从而化简f（1）+f（log3）＞0为log3＞﹣1；从而解得．【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，∵f（1）+f（log3）＞0，∴f（log3）＞﹣f（1）=f（﹣1），∴log3＞﹣1；∴＞1或3＜a；即a∈（0，1）∪（3，+∞）；故答案为：（0，1）∪（3，+∞）．12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3，且m∈N*，则a n=3n﹣12．【考点】等差数列的前n项和．=﹣9，S m=0，其中m＞3，可得：（m﹣1）a1+d=﹣9，【分析】S m﹣1ma1+d=0，化为：d=．由于m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，通过分类讨论验证即可得出．=﹣9，S m=0，其中m＞3，【解答】解：∵S m﹣1∴（m﹣1）a1+d=﹣9，ma1+d=0，可得：d=．∵m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，∴d=3，m=7．∴a1=﹣9．∴a n=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12．故答案为：3n﹣12．13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是（﹣1，5）．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，等价为（﹣x2﹣）min＜﹣a＜（﹣x2+）max，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：当x∈[1，2]时，f（x）=|x3﹣ax|，由f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，设g（x）=﹣x2﹣，导数为g′（x）=﹣2x+，当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，即g（x）递减，可得g（x）min=﹣4﹣1=﹣5，即有﹣a＞﹣5，即a＜5；设h（x）=﹣x2+，导数为g′（x）=﹣2x﹣，当x∈[1，2]时，h′（x）＜0，即h（x）递减，可得h（x）max=﹣1+2=1．即有﹣a＜1，即a＞﹣1．综上可得，a的范围是﹣1＜a＜5．故答案为：（﹣1，5）．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可以求出向量的坐标，从而进行向量数量积的坐标运算便可求出的值，这样将这些值代入并整理便可得出c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc）．【解答】解：根据条件，，，，代入并整理得：c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc），即c2+a2+d2+b2﹣m（ac+bd+bc）≥0恒成立，配方得：（a﹣）2+（d﹣）2+（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，有（a﹣）2≥0，（d﹣）2≥0满足，则要：（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，则有：，解得﹣2≤m≤﹣1，所以m最大值为﹣1．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC，结合sinA＞0，即可解得cosC的值．（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形面积公式可解得ab=2，结合余弦定理可求a2+b2=4，从而解得a，b的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵m∥n，∴ccosB=（4a﹣b）cosC，…由正弦定理，得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，化简，得sin（B+C）=4sinAcosC﹒…∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）﹒又∵A∈（0，π），∵sinA＞0，∴．…（2）∵C∈（0，π），，∴．∵，∴ab=2﹒①…∵，由余弦定理得，∴a2+b2=4，②…由①②，得a4﹣4a2+4=0，从而a2=2，（舍负），∴，∴．…16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，∴△ABC1中，OD∥BC1，又∵OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），可得：=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，又：A1 C∩A1 D=A1，所以：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a，b（2）总利润为每台的利润乘以销售量，分段函数每段求最大值，最后选择一个最大的为分段函数的最大值．【解答】解：（1）由x=20和x=180时可以解得a，b∴a=90，b=3∴q（x）=（2）设总利润为W（x）则W（x）=①当x∈（0，20]时，W（x）=1260﹣为单调递增，最大值为1200，此时x=20②当x∈[20，180]时，W（x）=90x﹣3x，（W（x））′=90﹣此时x∈[20，80]时，W（x）单调递增．x∈[80，180]时，W（x）单调递减∴在x=80时取得最大为240000综上所述：x=80时，总利润最大为240000元．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得A，B的坐标，可得AB的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题意可得直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l 的方程为：y=kx+1，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得k的值，可得P（﹣a2，b2），从而可得直线PF2的方程，求得Q的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得点A（a，0），B（0，b），直线AB的方程为，即ax+by﹣ab=0﹒由题设，得，化简，得a2+b2=1﹒①，由，即为，即a2=3b2﹒②由①②，解得，可得椭圆C的方程为；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，由，得（b2+a2k2）x2+2ka2x+a2﹣a2b2=0，（*）则△=（2ka2）2﹣4（b2+a2k2）（a2﹣a2b2）=0，化简，得1﹣b2﹣a2k2=0，所以，由点P在第二象限，可得k=1，把k=1代入方程（*），得x2+2a2x+a4=0，解得x=﹣a2，从而y=b2，所以P（﹣a2，b2）﹒从而直线PF2的方程为：，令x=0，得，所以点﹒从而，，从而=，又a2+b2=1，a2=b2+c2，∴﹒所以点F1在以PQ为直径的圆上﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N*）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N*），证明数列{c n}是等比数列；（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出；（3）通过对λ分类讨论，利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵，n∈N*，∴当n≥2时，，从而，n≥2，n∈N*﹒又在中，令n=1，可得，满足上式，∴，n∈N*﹒当λ=3时，，n∈N*，从而，即，又b1=1，所以数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列，∴．（2）证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时，=，又，∴{c n}是首项为，公比为λ的等比数列，﹒（3）解：在（2）中，若λ=1，则c n=0也适合，∴当λ≠3时，．从而由（1）和（2）可知：a n=．当λ=3时，，显然不满足条件，故λ≠3．当λ≠3时，．若λ＞3时，，b n＜b n+1，n∈N*，b n∈[1，+∞），不符合，舍去．若0＜λ＜1时，，，b n＞b n+1，n∈N*，且b n＞0．∴只须即可，显然成立．故0＜λ＜1符合条件；若λ=1时，b n=1，满足条件．故λ=1符合条件；若1＜λ＜3时，，，从而b n＜b n+1，n∈N*，∵b1=1＞0．故，要使b n≤3成立，只须即可．于是．综上所述，所求实数λ的范围是．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g （x）=e x﹣2x，求得导数，单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得到b的范围；（2）求得f（x）的解析式，令f（x）=0，可得﹣a=，设h（x）=，求得h（x）的导数和单调区间、极值，结合零点个数只有一个，即可得到a的范围；（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．求得f（x）的导数，化简整理可得=e，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，求出导数，判断单调性即可判断不存在．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=﹣e x+2x﹣b，函数y=f（x）在R上是单调减函数，可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，g′（x）=e x﹣2，当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=ln2处取得极小值，且为最小值2﹣2ln2，即有﹣b≤2﹣2ln2，即b≥2ln2﹣2，则b的取值范围是[2ln2﹣2，+∞）；（2）由b=0，可得f（x）=a•e x+x2，令f（x）=0，即有﹣a=，设h（x）=，h′（x）=，当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，2）递减；当x＞2或x＜0时，h′（x）＞0，h（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．可得h（x）在x=2处取得极大值，且h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，由题意函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，则﹣a=0或﹣a＞，即为a=0或a＜﹣，即a的取值范围是{0}∪（﹣∞，﹣）；（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．函数f（x）=a•e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=ae x+2x﹣b，可得a•e x0+x02﹣bx0=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m）+a•e m+m2﹣bm，化简可得（x0﹣m）（+x0+m﹣b）=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m），由a≠0，x0≠m，可得=e，上式的几何意义为函数y=e x图象上两点的斜率等于中点处的切线的斜率，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设x0＞m＞0，即有lnx0﹣lnm=，即ln=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，则m′（t）=﹣=＞0，则m（t）在（1，+∞）递增，即有m（t）＞m（1）=0，则方程lnt=无实数解．即有=不成立，则=e不成立．故不存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结AE．证明△BEA∽△ACD，可得，即可证明BA•AC=BE•AD．【解答】证明：连结AE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°．…∴∠BAE=∠ADC．…又∵∠BEA=∠ACD，∴△BEA∽△ACD．…∴，∴BA•AC=BE•AD．…B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设，由题意，得，…∴…解得．…即．…C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程为：（x﹣3）2+y2=9﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得，设该方程两根为t1，t2，则t1•t2=﹣1﹒∴MA•MB=|t1•t2|=1．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【考点】不等式的证明．【分析】利用作差法得出右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2，只需证明恒大于等于零即可．【解答】证明：右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2=2（x﹣1）（x3﹣1）=2（x﹣1）2（x2+x+1）=，所以（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率．（2）由题意，得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【解答】解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则．…（2）由题意，得X=0，1，2，3，，，，，…∴X 的分布列为X 0 12 3 P…26．设实数a 1，a 2，…，a n 满足a 1+a 2+…+a n =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a n |≤1（n ∈N *且n ≥2），令b n =（n ∈N *）．求证：|b 1+b 2+…+b n |≤（n ∈N *）． 【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=2时命题成立，再假设当n=k 时结论成立，去证明当n=k +1时，结论也成立，从而得出命题对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立【解答】证明：（1）当n=2时，a 1=﹣a 2，∴2|a 1|=|a 1|+|a 2|≤1，即， ∴，即当n=2时，结论成立．（2）假设当n=k （k ∈N*且k ≥2）时，结论成立，即当a 1+a 2+…+a k =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k |≤1时，有．则当n=k +1时，由a 1+a 2+…+a k +a k+1=0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，∵2|a k+1|=|a 1+a 2+…+a k |+|a k+1|≤a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，∴，又∵a 1+a 2+…+a k ﹣1+（a k +a k+1）=0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k ﹣1|+|a k +a k+1|≤|a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，由假设可得， ∴， =， =，即当n=k +1时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立．2020年8月27日。

江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题详细信息1.难度：中等已知i是虚数单位，复数对应的点在第象限．详细信息2.难度：中等设全集U=R，集合A={x|-1≤x≤3}，B={x|x＞1}，则A∩∁UB ．详细信息3.难度：中等已知数列{an }的通项公式为an=2n-1，则数据a1，a2，a3，a4，a5的方差为．详细信息4.难度：中等“x＞3”是“x＞5”的条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．详细信息5.难度：中等若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为．详细信息6.难度：中等根据如图所示的流程图，输出的结果T为．详细信息7.难度：中等在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为．详细信息8.难度：中等在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．详细信息9.难度：中等在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有．详细信息10.难度：中等已知圆C：（x-a）2+（y-a）2=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q两点，若∠PCQ=90°，则实数a= ．详细信息11.难度：中等分别在曲线y=e x与直线y=ex-1上各取一点M与N，则MN的最小值为．详细信息12.难度：中等已知向量，满足，，且对一切实数x，恒成立，则与的夹角大小为．详细信息13.难度：中等已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．详细信息14.难度：中等已知a为正的常数，若不等式对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为．二、解答题详细信息15.难度：中等如图，在△ABC中，，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD=α，．（1）求sin∠BAC和sinC；（2）若，求AC的长．详细信息16.难度：中等已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．（1）求证：CM∥平面SAE；（2）求证：SE⊥平面SAB；（3）求三棱锥S-AED的体积．详细信息17.难度：中等已知等差数列{an }的公差d不为零，且，a2=a4+a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an }的前n项和为Sn，求满足Sn-2an-20＞0的所有正整数n的集合．详细信息18.难度：中等如图，设A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），△ABC和△ABD的面积分别为S1与S2．（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为，求椭圆的离心率；（2）当点M在线段AB上运动时，求的最大值．详细信息19.难度：中等如图所示，有两条道路OM与ON，∠MON=60°，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB（其中A，B分别在OM，ON上），若下水管道的总长度为3km，设OA=a （km），OB=b（km）．（1）求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；（2）已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为，到点O的距离PO为，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．详细信息20.难度：中等已知a为正的常数，函数f（x）=|ax-x2|+lnx．（1）若a=2，求函数f（x）的单调增区间；（2）设，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．详细信息21.难度：中等（选修4-1 几何证明选讲）如图，ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F，∠AFB的平分线分别交AB，CD于点H，K．求证：EH=EK．详细信息22.难度：中等（选修4-2：矩阵与变换）已知A（0，0），B（2，0），C（2，2）在矩阵对应变换的作用下，得到的对应点分别为A'（0，0），，C'（0，2），求矩阵M．详细信息23.难度：中等（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程（θ为参数），直线l的极坐标方程：．直线l与曲线C交于M，N两点，求MN的长．详细信息24.难度：中等（选修4-5：不等式选讲）已知常数a满足-1＜a＜1，解关于x的不等式：ax+|x+1|≤1．详细信息25.难度：中等已知抛物线和抛物线在交点处的两条切线互相垂直，求实数a的值．详细信息26.难度：中等已知数列{bn}满足，．（1）求b2，b3，猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，，比较x x与y y的大小．。