九年级学业水平考试数学模拟题

2024年浙江省“山海联盟”九年级学业水平考试数学模拟试题一、单选题1．比3-大2的数是（ ）．A ．1-B ．1C ．5D ．5-2．如图是由七个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加．数据474000000用科学记数法表示为（ ）A ．90.47410⨯B ．747.410⨯C ．94.7410⨯D ．84.7410⨯ 4．如图是某网络直播平台央视春晚观看学生人数统计图．若观看的小学生有30万人，则观看的初中生有（ ）A ．40万人B ．50万人C ．80万人D ．200万人 5．计算()234x -的正确结果是（ ）A ．68xB ．616xC ．616x -D ．516x6．某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和两名女同学表现优异．若从以上三名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12 D ．237．如图，直线l 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，点C 在直线b 上．若a b ∥，CA CB =，274∠=︒，则1∠的度数为（ ）A ．74︒B ．37︒C ．32︒D ．16︒8．如图，1y ，2y 分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y （单位：元）与行驶路程S （单位：千米）的关系，燃油汽车花费25元和电动汽车花费10元的行车里程数相同．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的2倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x 元，则可列方程为（ ）A ．251020.1x x =- B ．251020.1x x =- C ．251020.1x x =+ D ．251020.1x x=+ 9．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若该“莱洛三角形”，则等边三角形ABC 的边长为（ ）AB ．1CD 10．已知反比例函数()0k y k x=<，对于一个正数m ，当自变量x 满足2m x m ≤≤时，函数y的最大值为a ，则当2m x m -≤≤-时，函数y 有（ ）A ．最大值2a -B ．最小值2a -C ．最大值a -D ．最小值12a -二、填空题11．分解因式：228a a -=．12．某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在82.5kg 及以上的生猪有头．13．直角坐标系中，点()3,4-关于坐标原点O 成中心对称的点的坐标是 ．14．不等式组2133114x x -<⎧⎪⎨+≥⎪⎩的解为． 15．如图，O e 与OAB V 的边AB 相切，切点为A ．将O A B V绕点A 按顺时针方向旋转得到CAD V （点C 与点O 对应），边AD 交O e 于点E ．若2OA =，AB =DE 的长为 ．16．如图所示，矩形ABCD 由两直角边之比皆为1:2的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成，它们之间互不重叠也无缝隙，则矩形ABCD 与矩形EFGH 的面积之比为．三、解答题17．（1）计算：()312--．（2）化简：()()()2323429a a a a -+--+．18．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图()1,3A ，()3,4B ，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．(1)在图1中画一个等腰三角形ABC ，使得点C 的横、纵坐标之和为偶数；(2)在图2中画一个Rt ABP V ，使得点P 在坐标轴上．19．某校甲、乙两班联合举办了“数学说题”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．【收集数据】甲班10名学生竞赛成绩（单位：分）：85，78，79，72，79，71，89．乙班10名学生竞赛成绩（单位：分）：85，80，85，80，90，74，81．【整理数据】【分析数据】【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：=a ，b = ．(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由．(3)甲班共有学生50人，乙班共有学生45人，按竞赛规定，80分及以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？20．如图，在ABCD Y 中，BE AC ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，(1)求证：AE CF =．(2)若5AD =，AB =2EF =，求AC 的长．21．如图，在直角坐标系中，点()2,A m 在直线23y x =-上，过点A 的直线交y 轴于点()0,3B ．(1)求m 的值和直线AB 的函数表达式．(2)若点()1,P t y 在线段AB 上，点()21,Q t y +在直线23y x =-上，判断122y y +的值是否随t 的变化而变化，若不变，求出这个值，若变，求出它的取值范围．22．【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，分别以点,B C 为圆心，以大于12BC 为半径画弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF 交BC 于点O ，连接AO ；②将ABO V 沿AO 翻折，点B 的对应点落在点P 处，作射线AP 交CD 于点Q ．【问题提出】在矩形ABCD 中，24,16AD AB ==，求线段CQ 的长．【问题解决】（1）经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连结OQ ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ 的长．方案二：延长AO 交DC 的延长线于点R ，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ 的长． 请你任选其中一种方案求线段CQ 的长．【问题反思】（2）在前面的已知条件及解决方法下继续探究，连接CP 并延长，交AD 于点H ，求PH 的长．23．设二次函数24y ax ax c =-+（a ，c 均为常数，0a ≠），已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：(1)判断m ，n 的大小关系，并说明理由；(2)若328m n -=，求p 的值；(3)若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围． 24．如图，四边形ABCD 内接于O e ，B 为»AC 的中点，D 为¼BAC 的中点，CB 的延长线与DA 相交于点E ．(1)求证：ABD BED ∽△△．(2)设E x BDC y ∠=︒∠=︒，，求y 关于x 的函数表达式．(3)若23AB BE =，求tan ABD ∠．。

温州市2023学年第一学期学业水平检测九年级数学模拟试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每题3分，共30分）的半径为2．已知OA．P点5．如图，已知圆心角A．156°A ．B ．C ．D ．7．已知抛物线21y x x −−，与x 轴的一个交点为()0m ，，则代数式22023m m −+的值为（ ） A ．2021 B ．2022 C ．2023 D ．20248．如图，将ABD △绕顶点B 顺时针旋转36°得到CBE △，且点C 刚好落在线段AD 上，若30CBD ∠=°，则E∠的度数是（ ）A ．42°B ．44°C ．46°D ．48°9．如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥，垂足为D ，点E ，F 分别是AB ，AC 边上的动点，DE DF ⊥，若5BC =， 3.2CD =，那么DE 与DF 的比值是（ ）A ．0.6B ．0.75C ．0.8D ．不确定的值10．已知抛物线()20y ax bx c a ++≠与x 轴的交点为()0A 1，和()30B ，，点()111P x y ，，()222P x y ，是抛物线上不同于A B ，的两个点，记1P AB △的面积为1S ，2P AB △的面积为2S ，则下列结论正确的是（ ）二、填空题（每题分，共分）11．如图，ABC 中，40A ∠=°，60C ∠=°，O 与边AB ，AC 的另一个交点分别为D ， E ．则AED ∠的大小为 °．12．下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：移植的棵数 100 200 500 1000 2000 成活的棵数 81 156 395 8001600 成活的频率 0.81 0.78 0.790.8 0.8 由此估计这种苹果树苗的移植成活的概率为 ．13．已知二次函数235y x =−，当14x −≤≤时，y 的最小值为 ．14．如图（1）是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图示位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m ，水面宽6m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 ．15．如图，已知D 、E 、F 分别是ABC 的边AB AC BC 、、上的点，DE BC EF AB ∥，∥，ADE EFC △、△的面积分别为1、4，四边形BFED 的面积为 ．16．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A =30°，3BC =,则⊙O 的半径为 ．17．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且O 被水面截得的弦AB 长为4m ，O 的半径长为3m ，若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是 m ．18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，点D 在AB 上，点E 为BC 上的动点，将BDE △沿DE 翻折得到FDE ，EF 与AC 相交于点G ，若3AB AD =，3AC =，6BC =，0.8CG =，则CE 的值为 ．三、解答题（46分）19．（6分）如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，∠ABC ＝∠ACD ．(1)求证：△ABC ∽△ACD ；(2)当AD ＝2，AB ＝3时，求AC 的长．20．（6分）已知二次函数2y x bx c ++=-经过点30A （，）与03B （，）． (1)求b ，c 的值．(2)求该二次函数图象的顶点坐标．21．如图所示，已知AB 为O 的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC 、OC BC 、．(1)求证：ACO BCD ∠=∠；(2)若96AE BE CD ==，，求O 的直径．（1）请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是片分别记为1A 、2A ,图案为“黑脸”的卡片记为（2）若第一次抽出后不放回，请直接写出求抽出的两张卡片上的图案都是y24．（8分）如图，ABC 内接于⊙O ，过点O 作OH BC ⊥于点H ，延长OH 交⊙O 于点D ，连接AD 、BD ，AD 与BC 交于点E ，9AD =(1)求证：BAD CAD ∠=∠． (2)若OH DH =．①求BAC ∠的度数．②若⊙O 的半径为6，求DE 的长．(3)设BD x =，AB CE y ⋅=，求y 关于x 的函数表达式．参考答案：答案第1页，共1页。

2024年广东省深圳市初中学业水平测试数学模拟试题一、单选题1．某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作7+分，小英的成绩记作3-分，表示得了（ ）分． A ．86B ．83C ．87D ．802．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（） A ．55510⨯B ．45.510⨯C ．50.5510⨯D ．55.510⨯4．为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）A ．9，8B ．11，8C ．10，9D ．11，8.55．若点A (−1，a )，B (1，b )，C (2，c )在反比例函数2y x=的图象上，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．下列运算正确的是（ ） A ．()222a b a b +=+ B ．()326a a -=C ．()22236ab a b =D ．()()2224b a ab -⋅-=-7．如图，a b ∥，1=20∠︒，则2∠的度数为（ ）A ．40︒B ．60︒C ．50︒D ．30︒8．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（ ） A ． 4.521y x x y -=⎧⎨-=⎩B ． 4.521x y x y -=⎧⎨-=⎩C ． 4.512x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ． 4.512y x yx -=⎧⎪⎨-=⎪⎩9．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B 处看塔顶A ，仰角为60︒，然后向后走160米（160BC =米），到达C 处，此时看塔顶A ，仰角为30︒，则该主塔的高度是（ ）A ．80米 B． C ．160米D．10．已知：ABC V 中，AD 是中线，点E 在AD 上，且,CE CD BAD ACE =∠=∠．则CEAC的值为（ ）A B C ．23D二、填空题11．因式分解：34a a -=．12．一个袋子中装有4个黑球和n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为35，则白球的个数n 为．13．如图，四边形ABCD 内接于O e ，如果BOD ∠的度数为122︒，则DCE ∠的度数为14．在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为（1，0），AB =A 在y 轴上，反比例函数经过点B ，求反比例函数解析式．15．如图，正方形ABCD 的边长是3，P 、Q 分别在AB 、BC 的延长线上，且BP CQ =，连接AQ 、DP 交于点O ，分别与边CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ．现给出以下结论：AQ DP ⊥①；=AOD S V ②四边形OECF ；2=OA OE OP ⋅③；④当1BP =时，13tan 16OAE ∠=；其中正确的是（写出所有正确结论的序号）三、解答题16．计算：()012sin30 3.143π-+︒--+-17．先化简，再求值： 2224224442a a a a a a a -÷-++-+,其中3a =． 18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______；（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．19．“4G 改变生活，5G 改变社会”，不一样的5G 手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A ，B 两种型号的5G 手机出售，售出1部A 型、1部B 型手机共获利600元，售出3部A 型、2部B 型手机共获利1400元．(1)求A ，B 两种型号的手机每部利润各是多少元；(2)某营业厅再次购进A ，B 两种型号手机共20部，其中B 型手机的数量不超过A 型手机数量的23，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．20．如图，在单位长度为1的网格中，点O ，A ，B 均在格点上，3OA =，2AB =，以O 为圆心，OA 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A 作切线AC ，且4AC =（点C 在A 的上方）； ②连接OC ，交O e 于点D ； ③连接BD ，与AC 交于点E ． (1)求证：BD 为O e 的切线； (2)求AE 的长度．21．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中3m AB =，4m BC =，取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E ，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED 的顶点()0,4E ，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR ，若0.75m FL NR ==，求两个正方形装置的间距GM 的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．22．在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，(1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．(2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=12，求BF的长．(3)如图3，当12DEDF时，求ADDB的值。

2024年辽宁省初中学业水平考试数学模拟试题一、单选题1．3的倒数是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．132．2024年辽宁经济增长势头强劲，第一季度GDP 达到了6910亿，将6910亿用科学记数法表示为（ ）A ．86.9110⨯B ．106.9110⨯C ．116.9110⨯D ．120.69110⨯ 3．学校的颁奖台示意图如图所示，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列计算结果错误的是（ ）A ．22223a a a +=B ．22423a a a ⋅=C ．()32628a a =D ．32623a a a ÷=． 5．如图，已知直线AB CD P ，EG 平分BEF ∠，140∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．54︒B ．36︒C ．72︒D ．70︒6．方程22540x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断7．对于反比例函数3y x=-，下列说法正确的是（ ）A ．图象位于第一、第三象限B ．经过点()1,3C ．图象关于原点成中心对称D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小8．我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x 尺，绳索长y 尺，根据题意可列方程组为（ ）A ．1052x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．1052x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩C ．1052x y y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩D ．1025x y x y +=⎧⎨-=⎩9．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由O e 去掉两个弓形后与矩形ABCD 组合而成的图形，其中∥BC MN ，若O e 的半径为25，361430AB BC MN ===，，，则该平底烧瓶的高度为（ ）A ．20B ．40C ．60D ．8010．如图，菱形ABCD 的边长为4，120A ∠=︒，点P 在对角线BD 上，点M 在边AD 上，1DM =，点N 为AB 中点，则PM PN +的最小值为（ ）A ．4B ．5 CD二、填空题11=12．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别是()1,4A ，()1,2B ，()4,2C，现将 ABC V 绕点A 逆时针旋转后，点B 的对应点B ',坐标为()3,4，则点C 的对应点C '的坐标为．三、单选题13．某同学将分别印有“我”“爱”“辽”“宁”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中一次性随机抽取两张，则抽取的两张卡片刚好组成“辽宁”的概率是．四、填空题14．如图，在ABCD Y 中，4AB =，6BC =，60ABC ∠=︒．按以下步骤作图：①以点B 为圆心、AB 的长为半径作弧，交BC 于点E ；②分别以点A ，E 为圆心、大于12AE 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP ；③连接AC 交BP 于点O ．则OB 的长为．15．抛物线 21222y x x =--与y 轴交于点B ，已知点A 的坐标为()1,0，平移线段AB 得到线段DC (A 平移到D ，B 平移到C )，当点D ，C 都在抛物线上时，直线CD 的解析式为．五、解答题16．计算(1)()()2123422-+---÷；(2)2121111a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭． 17．生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1200元，购买乙种树苗花了900元，甲种树苗的单价是乙种树苗的1.5倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少10棵．(1)求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？(2)为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵，若总金额不超过1314元，问最少购进多少棵乙种树苗？18．2024年全国两会顺利召开，在．会议召开期间，有许多热点议题引起民众广泛关注，为了解民众对“两会信息”的了解情况，对某小区居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词，分别为A ．放心消费；B ．高质量就业；C ．人工智能+；D ．新兴科技；E ．未来产业．每人只能从中选一个最关注的议题，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：(1)求本次调查所选取的人数，并补全条形统计图；(2)求出扇形统计图中a 的值及“B ”所对应扇形的圆心角度数；(3)请根据以上信息写出你得到了哪些结论(任写一条即可)．19．某游泳馆为了促销，推出两种优惠活动．活动一：每次游泳费用为70元，没有其他费用；活动二：充值500元，每次游泳费用只需20元．设游泳x 次，花费y 元．(1)分别求出两种活动下y 与x 的函数关系式；(2)如图是两种活动下的y 与x 的函数图象．①求点P 的坐标；②观察函数图象，直接写出哪种消费方式更划算．20．如图，AB 是O e 的直径，D 为AB 上一点，C 为O e 上一点，且AD AC =，延长CD 交O e 于E ，连接CB ．(1)求证：2CAB BCD ∠=∠；(2)若15BCE ∠=︒，6AB =，求CE 的长．21．某小区装修需要安装楼梯扶手，如图所示，这是楼梯横截面示意图，台阶高度均相等，扶手由两条长度相等的斜杆（14M M 和AB ）和四条竖杆 ()121324M A M N M N M B ，，，组成，点1N 和2N 是水平台阶的中点，ABC V 为直角三角形，37BAC ∠=︒，14AB M M P ， 2.4m AC =． (参考数据： sin370.60,cos370.80,tan370.75)︒≈︒≈︒≈(1)求BC 的长和每节台阶的高度；(结果精确到0.1m )(2)若竖杆1AM 的高度为1m ，求安装该楼梯扶手需要材料的长度．(结果精确到0.1m ) 22．【问题背景】已知在ABC V 中，=45ABC ∠︒，AB =90ACB ∠=︒，P 为射线BC 上一点，连接AP ，过点B 作BD AP ⊥交AP 的延长线于点D ，连接CD ．【操作探究】（1）如图1，当点P 在线段BC 上(点P 不与点B C ，重合)时，CDB ∠的度数是； （2）如图2，当点P 在点C 的左侧时，过点B 作BE DC ⊥交DC 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ∥交直线BE 于点F ，连接CF ．请判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；【拓展运用】（3）在【操作探究】的基础上，当12CD AP =时，请直接写出BP 的长．23．如图，已知抛物线22y ax bx =+-与x 轴相交于A ，()4,0B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线32x =，直线l y kx m =+：经过B C ，两点，连接AC ．(1)求抛物线和直线l 的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上存在一点P ，使得POC △是以OC 为底边的等腰三角形，求点P 的坐标；(3)在直线BC 下方的抛物线上存在一点Q ，使得以A C Q B ，，，为顶点的四边形面积最大，求点Q 的坐标以及此时的最大面积．。