高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线课件文新人教A版

9.7 抛物线
考纲要求
五年考题统计 命题规律及趋势
1.高考考查的重点内容:抛物
1.掌握抛物线
的定义、几何 2013 全国Ⅰ,文 8
图形和标准 2014 全国Ⅰ,文 10
方程,掌握其 2014 全国Ⅱ,文 10
简单的几何 2015 全国Ⅰ,文 5
性质(范围、对 2016 全国Ⅱ,文 5
称性、顶点、 2016 全国Ⅰ,文 20
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一
定是抛物线. ( × )
(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.
(× )
(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).
(× )
(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( × )
的交点,则∠MKO=( C )
A.15° B.30° C.45° D.60°
解析:由题意,得点 M 的坐标为
������ 2
,������
.
∵K
-
������ 2
,0
,∴kKM=1.∴∠MKO=45°,故选 C.
知识梳理 考点自测
4.(2017福建龙岩一模,文14)过抛物线C:x2=4y的焦点F作直3 线l交
出题难度偏高.
知识梳理 考点自测
1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 距离相等 的 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线 的 准线 . 2.抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程 为 y2=2px(p>0) ; (2)顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程 为 y2=-2px(p>0) ; (3)顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程 为 x2=2py(p>0) ; (4)顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程 为 x2=-2py(p>0) .

物线在刻画现实世界和解决实际 与抛物线相关的综合问题是命题
问题中的作用.
的热点．题型既有小巧灵活的选
2.掌握抛物线的定义、几何图形、择题、填空题，又有综合性较强
标准方程及简单几何性质.
的解答题.
[核心素养]
1.数学运算 2.直观想象
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第三页，共五十七页。
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课 前 ·基 础 巩 固
p
＝4，故选 B.
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4．(2019 届东北四市模拟)若点 P 为抛物线 y＝2x2 上的动点，F 为抛物线的焦点，则 |PF|的最小值为________．
解析：由题意知 x2＝12y，则 F0，18，设 P(x0，2x20)，则|PF|＝ x20＋2x02－182＝ 4x40＋12x02＋614＝2x20＋18，所以当 x20＝0 时，|PF|min＝18.
|母题探究| 1．(变条件)若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值． 解：由题意可知点 B(3，4)在抛物线的外部． 因为|PB|＋|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离， 所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 42＋22＝ 16＋4＝2 5， 即|PB|＋|PF|的最小值为 2 5.
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3．设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦， 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p42，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α 为弦 AB 所在直线的倾斜角)． (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦．

弦.p越大,通径越大,抛物线的开口就越大;p越小,通径越小,抛物线的开口就
越小.
常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若
A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
2
(1)x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
2
(2)弦长|AB|=x1+x2+p= 2 ;

所以 2 =3,2p=12,其方程为x2=-12y.
(3)(2024·北京丰台模拟)在水平地面竖直定向爆破时,在爆破点炸开的每块
碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域
的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示),称该
条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米,碎
有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
(3)(2024·北京海淀模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A,B,
线段AB的中点的横坐标为4,则AB的长为( A )
A.10
B.8
C.5
D.4
解析 设AB的中点为C,则点的横坐标xC=4.过A,B,C分别作准线x=-1的垂线,
C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( A )
A.x2=-12y
B.x2=12y
C.y2=12x
D.y2=-12x
解析 设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得点M与点C(0,-3)的距离是
r+1,点M到直线y=2的距离是r,则点M到直线y=3的距离是r+1.由抛物线的

y2＝±4 2x，故选D.
2
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物
[－1，1]
线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析：Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设
直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2 ＋(4k2
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定
是抛物线．( × )
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦
a
a
点坐标是 ，0 ，准线方程是x＝－ .( × )
引抛物线准线的垂线，设P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|＝y0＋1，所以y0＝4，
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所以|x0|＝4，所以S△MPF＝ ×|PM|×|x0|＝ ×5×4＝10.
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悟·技法
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转
(
)
A．经过点O
B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y2 ＝2px(p>0)的焦点F作斜率为
3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A，若|AF|＝4，则p＝(
)
A．2
B．1
C． 3
D．4
π
解析：过点A作AB垂直x轴于点B，则在Rt△ABF中，∠AFB＝ ，
二、必明2个易误点
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定