格林公式及其应用

G G G
一维单连通 二维单连通
一维单连通 二维不连通
一维不连通 二维单连通
２.格林(Green)公式
规定 D 的边界曲线 L 的正向 :
L1 L1
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿L的这个方向行走 时,区域D内在他近处的部分总在他的左边.
定理1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L围成,
L AO
( x2 3 y) d x ( y2 x) d y ( x 3 y) dx ( y x) d y
2 2 OA
4 d xd y x 2 d x
D
4
y
0
L D
64 8 3
o
Ax
---计算平面图形的面积
Q P 格林公式: ( )dxdy Pdx Qdy L x y D
a a x 2 2 cos t , a y sin t 2 t： 0
a a a {[e sin( sin t ) m ( sin t )]( sin t ) 0 2 2 2 a a cos t a a 2 2 [e cos( sin t ) m ]( cos t )}dt 2 2
AB L2 BA
2 3 1
AFC CE

L3
EC CGA
}( Pdx Qdy )
L
( L L L )( Pdx Qdy ) Pdx Qdy
( L1, L2 , L3对 D来说为正方向)
注
使用格林公式要注意以 下几点：
(1) L 封闭
(2) L 取区域 D 边界的正方向 (3) P ( x , y ), Q ( x , y )在 D 上有连续的一阶偏导数
d x 1( y) A c o a
E
y 2 ( x)
D
B
x 2 ( y) C y 1 ( x) x b
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b}
D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
考虑这样一个问题：计算曲线积分
y
L

L
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy
o
A(a ,0)
x
直接用曲线积分的计算方法 转换为定积分，可行吗?

L
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy

a a cos t 2 2
取 P y , Q x , 得 2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域 D 的面积
1 A xdy ydx . 2 L
取 P 0, Q x , 得 取 P y , Q 0, 得
A L xdy
A L ydx
x a cos 3 t 例4 用曲线积分计算星形线 L : 3 y a sin t 所围成的图形面积.
l3
D2
l1
l2
L2
D1L1DL证明(3) 若区域不止由一条闭曲线所 围成. 添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA,AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
Q P 由(2)知 ( )dxdy x y D
G
L3
E D
L2
B A
L1
C F
{
2 2
求平面图形面积的方法 : 定积分： A f ( x )dx
a b
二重积分： A d
D
1 曲线积分： A ydx xdy 2 L
二、平面曲线积分与路径无关的条件
１.曲线积分与路径无关的定义
定义 设 D是一个开区域 , P ( x , y ), Q( x , y ) 在 D内具有 连续的一阶偏导数 , 对任意给定的 A, B D, 以及从 点 A 点 B 的任意两条曲线 L1 , L2 D y
0
2
(1 3 cos t 2 cos 2 t ) sin 2 tdt
0
2
2 (1 sin 2 t ) sin 2 tdt
0
2
8 [sin 2 t sin 4 t ]dt
2

0
3 . 8 2 16

例 2 计算 I (e x sin y my )dx (e x cos y m )dy ,其中
L
L 为由点 (a ,0) 到点(0,0)的上半圆周 x 2 y 2 ax , y 0 .
解 设 P e x sin y my , Q e x cos y m P Q x e cos y m , e x cos y 计算 y x 补线 OA , 它与L 所围区域为D , 则
时针方向, 记 L 和 l¯ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用 格林公式,得
y

l
xd y yd x x2 y2
l
o D1
L

L l
xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 x y D1

l
x
xd y yd x x2 y2

L l Pdx Qdy L l
1 1 2
Pdx Qdy
2
L l
3
Pdx Qdy
3


L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3 对 D来说为正方向)
L3 D3
L
( 2 )若 ( 0,0 ) D，则
L
xdy ydx 2 . 2 2 x y
练习 计算

L
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x ) d y , 其中L为上半
圆周 y 4 x x 2 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式,添加辅助线段 AO ,它与L 所围 区域为D , 则 原式
第10章 曲线积分与曲面积分
10.1 第一类(对弧长的)曲线积分 10.2 第一类(对面积的)曲面积分 10.3 第二类(对坐标的)曲线积分 10.4 格林公式及其应用 10.5 第二类(对坐标的)曲面积分 10.6 高斯公式 通量与散度 10.7 斯托克斯公式 环量与旋度
一、格林(Green)公式 二、平面曲线积分与路径无关的条件
AMOA

OA

m 2 m a 0 a2 . 8 8
xd y yd x 例3 计算 L x 2 y 2 , 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑的连续闭曲线，方向为逆时针方向.
解 令
则当 x 2 y 2 0 时,
设L所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
c o
A C
x
同理可证
P dxdy P ( x , y )dx L y D
两式相加得
Q P Pdx Qdy ( )dxdy L x y D
L3 D3
证明(2) 若区域D由分段光滑的 闭曲线围成.如图, 将 D 分成三个既是 X 型又是 Y 型的区域 D1 , D2 , D3 .
一、格林(Green)公式
１.区域连通性的分类
设 D 为平面区域, 如果 D 内任一闭曲线所围 成的部分都属于 D , 则称 D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域 无“洞”区域
复连通区域 有“洞”区域
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
d
y d
x 1 ( y)
E D B
x 2 ( y)
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy
Q[ 2 ( y ), y ]dy Q[ 1 ( y ), y ]dy
c c d
Q dxdy Q( x , y )dy L x D
格林公式的实质: 沟通了沿平面闭曲线的
第二类曲线积分与二重积分之间的联系.
便于记忆形式:

D
x P
y dxdy L Pdx Qdy . Q
３.格林公式的简单应用
(1) 计算第二类曲线积分； (2) 计算平面图形的面积 .
例1 计算 :

L
xy dy x ydx，其中 L为
D
2 2 ( x y )d D
d
2

2 cos
2
0
4 2 3 r dr 4


2 2

cos d
4
3 . 2
另解 x 1 cos t
y sin t
t : 0 2

L
xy 2dy x 2 ydx
[(1 cos t ) sin 2 t cos t (1 cos t )2 sin t ( sin t )]dt
y
M
I
L OA

OA

AMOA

D
OA
o
A(a ,0)
x
m 2 Q P ( )dxdy m dxdy a , AMOA 8 x y D D