2019-2020年高一下学期期中考试数学(理)试题 含答案

2019-2020学年重庆八中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等差数列中，，，则该数列公差为A. B. 1 C. D. 22.太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量单位：亿千瓦时的茎叶图如图，若其众数为x，中位数为y，则A. 144B. 141C.D.3.已知向量，，若，则A. 0B. 1C. 4D. 84.下列说法中，一定成立的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.已知等比数列的前n项和为且，，则A. 16B. 19C. 28D. 366.若向量，满足，，，则与的夹角为A. B. C. D.7.中，，则一定是A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.中，D在边AC上满足，E为BD的中点，则A. B. C. D.9.将两直角边长分别为1，2的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体的体积为A. B. C. D.10.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. 5 D. 211.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为A. B. C. D.12.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos C的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量夹角为，则______．14.x0123y13当m变化时，回归直线直线必经过定点______．15.已知数列的前项和为，，，则______．16.如图，在中，D是BC的中点，点E在边AB上，，，AD与CE的交点为若，则______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列中，，．求的通项公式；设，记为数列前n项的和，若，求m．18.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量千辆小时与汽车的平均速度千米小时之间的函数关系为：．在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？保留分数形式若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？19.某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生满分150分，且抽取的学生成绩都在内的成绩并制成频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；同一组中的数据以该组区间的中点值作代表用分层抽样的方法从成绩在和的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率．20.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且．求的外接圆直径；求的取值范围．21.若数列的前项和为，已知，求；设，求使得成立的最小自然数n．22.三角形的勃劳卡德点是以法国军官亨利勃劳卡德命名的，他在1875年曾描述过这一事实，即：对任何一个三角形都存在唯一的角，即勃劳卡德角，使得图中连接三个顶点的线相交于勃劳卡德点Q，如图所示．研究发现：等腰直角三角形中，若是斜边的等腰直角三角形，求线段QA的长度；若中，，，，求的值；若中，若线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，当时，求公比q的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：等差数列中，，，，，故选：B．由已知结合等差数列的通项公式及性质即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．2.答案：C解析：解：由茎叶图可知数据为：53，53，54，55，56，64，67，68，77，77，77，78，数据的中位数为，众数为，所以，故选：C．直接根据图中数据观察以及计算即可得到结论．本题考查茎叶图中位数和众数，通过定义计算即可，属于基础题．3.答案：D解析：解：向量，，则，又向量，且，所以，解得．故选：D．根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．4.答案：B解析：解：对于选项A：令，，，，所以结论错误．对于选项B：由于，所以b为正数，故结论正确．对于选项C：当，，所以结论错误．对于选项D：当a和b为正数时，结论成立，故错误．故选：B．直接利用赋值法和不等式的的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：C解析：解：根据题意，等比数列的前n项和为且，，则，则有，，，则有，解可得；又由，则；故选：C．根据题意，由等比数列的前n项公式变形分析可得，解可得，又由，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式的应用，注意等比数列的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：因为，，，，即，．，又因为，．故选：A．根据夹角公式，根据已知条件求出，然后代入夹角公式求其余弦值，即可求出角．本题考查平面向量的夹角公式，以及数量积的运算．属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意，则由正弦定理得，，，则，、，，则，即，同理可证，，则是等边三角形，故选：A．根据正弦定理化简，利用两角差的正弦公式化简，利用内角的范围好特殊角的正弦值判断出A、B、C的关系，即可判断出的形状．本题考查了正弦定理的灵活应用，注意三角形内角的范围，属于基础题．8.答案：A解析：解：如图，为BD的中点且，故选：A．根据条件可画出图形，然后根据条件及向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可用，表示出向量本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：如图为直角三角形旋转而成的旋转体．；；故选：D．画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．10.答案：A解析：解：由可得，则，，当且仅当且即，时取等号，故选：A．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：因为，所以，即，所以，因为，所以，，由余弦定理可得，，所以，则的面积．故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C，然后结合已知及余弦定理可求ab，代入已知公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．12.答案：D解析：解：当且仅当时，取等号，因为三角形时锐角三角形，所以，所以所以，因为设，，所以，因为函数在上是减函数，在上是增函数，，，所以cos C的取值范围为故选：D．结合基本不等式得，当且仅当时，取等号，根据题意得，又因为，所以，因为设，，利用函数得单调性求出最值，进而得出结论．本题考查余弦定理的应用，考查运算能力，属于中档题．13.答案：1解析：解：单位向量夹角为，则．故答案为：1．利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查．14.答案：解析：解：由题意可得；，由回归直线方程的性质可知，回归直线直线必经过定点是样本中心．故答案为：．利用已知条件求出回归直线方程经过的样本中心坐标即可．本题考查回归直线方程的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：2020解析：解：，当，时，有，即，．故答案为：2020．先由当，时，有，再利用数列的相邻项的关系式求解即可．本题主要考查数列的递推关系式及利用对递推关系式的合理变形求数列的和，属于基础题．16.答案：解析：解：中，D是BC的中点，，，，又E，O，C三点共线，设，且三点A，O，D共线，，解得，，，．故答案为：．根据题意设，利用A，O，D三点共线求出的值，求出、，再计算的值．本题考查了平面向量的加法、减法和数乘的几何意义，以及平面向量数量积计算问题，是中档题．17.答案：解：等差数列中，，．，即，，由题意可得，，，所以，故解析：由已知结合等差数列的通项公式即可求解d，，然后结合等差数列的通项公式即可求解；由结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．18.答案：解：，，当且仅当即时取等号．．当汽车的平均速度为30千米小时时车流量最大，最大车流量为千辆小时．令，整理得：，解得：．解析：分子分母同除以v，再利用基本不等式求最大值；解不等式得出结论．本题考查了基本不等式的应用，不等式的解法，属于中档题．19.答案：解：由，解得，故平均值为；由直方图知，两组的频率分别为，，按分层抽样的方法从成绩不低于125得同学中抽取6名，则，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，共有15种，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，，有7种，故两名同学数学成绩落在同一组得概率为．解析：由频率之和为1，解得a，平均值为由直方图知，两组的频率分别为，，，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，再利用古典概型计算，即可．本题考查频率分布直方图的应用，古典概型，属于基础题型．20.答案：解：因为，由正弦定理可得，，即，所以，因为，故且，故B，由正弦定理可得，，即外接圆直径1，由正弦定理可得，，，由题意可得，，解可得，所以，．解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；由已知结合正弦定理可求2R，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．21.答案：解：，，，所以是以1为首项，公比为3的等比数列，；，，成立，即，解得，所以最小自然数n为200．解析：由，故是以1为首项，公比为3的等比数列，求出；先求出，再利用裂项相消法求出，然后求解不等式，找到最小的自然数n．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及裂项相消法求数列的和、解不等式等基础知识，属于基础题．22.答案：解：由题意知，，，所以；在中，由正弦定理得，，解得；由题意可得，，，，且，，所以，；在中，由正弦定理得，在中，，所以，解得；设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，又线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，所以，；在和中，由正弦定理得，，，所以；所以，且，所以，所以，即；由，；在和中，由正弦定理得：，；得，即；又，展开得，解得；又等腰中，，解得；把代入得，令，代入后平方整理得，，解得或不合题意，舍去，所以公比q的值为．解析：由题意中利用正弦定理求得QA的值；在中由正弦定理求得QB，再利用求出QB，列出等式求出的值；由等比数列求得QB、QC，利用正弦定理列出方程，应用三角恒等变换和方程的知识，求出公比q的值．本题考查了解三角形以及三角恒等变换的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．。

2019-2020学年湖南省长沙一中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知角的终边上有一点，则的值是()A. B. C. D.2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象与x轴的两个相邻交点的横坐标分别为π6、2π3，下面四个有关函数f(x)的叙述中，正确结论的个数为()①函数y=f(x+π3)的图象关于原点对称；②在区间[−π6,π3]上，函数f(x)的最大值为√3；③直线x=56π是函数f(x)图象的一条对称轴；④将函数f(x)的图象向左平移π4个单位，得到g(x)的图象，若A、B、C为这两个函数图象的交点，则△ABC面积的最小值为√2π．A. 1B. 2C. 3D. 43.有一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切．如图(甲).将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图(乙)，这时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是【】A. (π−)cm2B. (π−)C. (π+)D. (π+)4.二进制数101110(2)转化为八进制数为()A. 45(8)B. 56(8)C. 67(8)D. 78(8)5. 已知向量a ⃗ =(0,sinx)，b ⃗ =(1,2cosx)，函数f(x)=32a⃗ ⋅b ⃗ ，g(x)=a ⃗ 2+b ⃗ 2−72，则f(x)的图象可由g(x)的图象经过怎样的变换得到( )A. 向左平移π4个单位长度 B. 向右平移π4个单位长度 C. 向左平移π2个单位长度D. 向右平移π2个单位长度6. 执行如程序框图所示的程序，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为( )A. 3B. 5C. 7D. 97. 设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−b,4)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a +2b 的最小值是( )A. 2B. 4C. 4√2D. 88. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A. 63.6万元 B. 67.7万元 C. 65.5万元 D. 72.0万元9. 如图，设区域D ={(x,y)|0≤x ≤2，−1≤y ≤3}，向区域D 内任投一点，记此点落在阴影区域M ={(x,y)|0≤x ≤2，−1≤y ≤x 2−1}的概率为p ，则a =p 是函数y =ax 2+2x +1有两个零点的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件10. 已知函数f(x)=cos(2x −π3)+2cos 2x ，将函数y =f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数y =g(x)的图象，则函数y =g(x)图象的一个对称中心是( )A. (−π2,1)B. (−π12,1)C. (π6,1)D. (π4,0)11. 函数f(x)=√1−log 2(x +2)的定义域为( )A. [−2,0]B. (−2,0)C. (−2,0]D. (−2,+∞)12. 已知向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−k,10)，且A 、B 、C 三点共线，则k =( ) A. −43B. 43C. −23D. 23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 用数字2，3组成四位数字，则数字2，3至少都出现一次的概率为______ ． 14. 在等比数列中，，，其前项和为，若对恒成立，则的最小值为__________． 15. 函数在区间上至少有一个零点，则实数的取值范围是 ． 16. 已知为不共线的向量，设条件M ：；条件N ：对一切，不等式恒成立．则M 是N 的 条件．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示： 幸福感指数 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) 男市民人数 10 20 220 125 125 女市民人数1010180175125根据表格，解答下面的问题：(Ⅰ)完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；(参考数据：2×1+3×3+40×5+30×7+25×9=646)(Ⅱ)如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．(以样本的频率作为总体的概率)18.已知向量a⃗=(2cos(π4−x),1)，b⃗ =(cos(π4−x),0)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)图象的对称中心；(2)若动直线x=t(t∈[π4,π2])与函数f(x)和函数g(x)=√3cos2x+1的图象分别交于M，N两点，求线段MN的长度的取值范围．19.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ),其中ω>0,|φ|<π2|,若a=(1,1),b=(cosϕ,−sinφ)，且a⃗⊥b⃗ ，又知函数f(x)的周期为π．(1)求f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位得到g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间．20.为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作.某教育机构为了了解人们对线上授课方式的满意度，从A城市和B城市分别随机调查了20个学校，得到了这些学校学生平均满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：根据学校满意度评分，从低到高，分为三个等级．满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意(1)请估计哪个城市学校满意度等级为不满意的概率大，并说明理由；(2)从满意度为“非常满意”的6所学校中随机抽取3所学校进行先进经验交流，求B城市中至少有2所学校被抽中的概率．21. 已知两定点A(−13,0),B(13,0)，点M 是平面内的动点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，记M的轨迹是C(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 1(1,0)引直线l 交曲线C 于Q ，N 两点，设QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0且λ≠1)，点Q 关于x 轴的对称点为R ，证明直线NR 过定点．22. 已知函数f(x)对一切实数x ，y 都有f(x +y)−f(y)=x(x +2y +1)成立，且f(1)=0．(1)求f(0)的值，并求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−ax 在区间[−2,2]上是单调函数，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：试题分析：由三角函数的定义可知，故选D．考点：三角函数的定义．2.答案：B解析：解：函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象与x轴的两个相邻交点的横坐标分别为π6、2π3，所以T2=2π3−π6=π2，解得T=π，所以ω=2，当x=π6时，f(π6)=2sin(2×π6+φ)=0，整理得π3+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ−π3，当k=0时，φ=−π3，所以f(x)=2sin(2x−π3)，对于①，f(x+π3)=2sin(2x+π3)，故函数的图象不关于原点对称，故①错误；对于②，由于x∈[−π6,π3 ]，所以2x−π3∈[−2π3,π3]，当x=π3时，f(x)max=f(π3)=√3，故②正确；对于③，当x=5π6时，f(5π6)=2sin(5π3−π3)=2sin4π3≠2，故③错误；对于④，函数g(x)=f(x+π4)=2sin(2x+π2−π3)=2cos(2x−π3)，由2sin(2x−π3)=2cos(2x−π3)，所以2x−π3=kπ+π4，(k∈Z)，解得x=kπ2+7π24(k∈Z)，相邻两个交点的横标之差为π2，将x=kπ2+7π24(k∈Z)，代入f(x)=2sin(2x−π3)，得到交点的纵坐标为±√2，所以S△ABC=12×π×2√2=√2π，即最小值，故④正确．故选：B．首先利用已知条件求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用判定①②③④的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的确定，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3.答案：B解析：试题分析：由图可得，∠DAC=30°，∠KOD=120°，可得S阴影=S扇形−S△OKD，过O作OM⊥DK，因为OK=2，OM=1，DK=，求得S扇形，S△OKD即可得到为(π−)，故选B．考点：扇形面积和三角形面积点评：利用已知图形的折叠来分析阴影部分的面积与杀那个行和4.答案：B解析：解：101110(2)=1×25+0×24+1×23+1×22+1×21+0×20=46(10)．再利用“除8取余法”可得：46(10)=56(8)．故选：B．5.答案：B解析：解：由题意可得函数f(x)=32a ⃗ ⋅b ⃗ =32(2sinxcosx)=32sin2x ， g(x)=a ⃗ 2+b ⃗ 2−72=sin 2x +1+4cos 2x −72=3cos 2x −32=32cos2x =32sin(2x +π2)=32sin2(x +π4)，故把g(x)的图象向右平移π4个单位长度，可得f(x)的图象， 故选：B ．由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f(x)=32sin2x ，g(x)=32sin2(x +π4)，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．6.答案：D解析：本题主要考查含有循环结构的程序框图，属于基础题． 按照程序框图执行即可求值． 由输入的x 为2，执行可得 x =2，i =1; x =3，i =2; x =5，i =3; x =9，i =4． 输出x =9． 故选D ．7.答案：D解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−b −1,2)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴−b −1−2(a −1)=0，化为2a +b =1． 又a >0，b >0，∴1a +2b =(2a +b)(1a +2b )=4+ba +4a b≥4+2√b a ⋅4a b=8，当且仅当b =2a =12时取等号．∴1a +2b 的最小值是8． 故选：D ．利用向量共线定理、基本不等式的性质即可得出．本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，属于基础题．8.答案：C解析：解：由表中数据得：4+2+3+54=3.5，y −=49+26+39+544=42，又回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中的b ^为9.4， 故a ̂=42−9.4×3.5=9.1， ∴y ̂=9.4x +9.1．将x =6代入回归直线方程，得y =9.4×6+9.1=65.5(万元)． ∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5(万元)． 故选：C ．根据表中所给的数据，广告费用x 与销售额y(万元)的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出a ^的值，写出线性回归方程．将x =6代入回归直线方程，得y ，可以预报广告费用为6万元时销售额．本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，是一个中档题目．9.答案：A解析：解：阴影部分面积S 阴影=S 矩形−S =(3+1)×2−∫√y+13−1dy =8−23(y +1)32| −13=8−163=83，矩形部分面积S 矩形=(3+1)×2=8，∴所投的点落在阴影部分的概率P=838=13∵函数y=ax2+2x+1有两个零点，∴△=4+4a>0，解得a>−1，∴a=p是函数y=ax2+2x+1有两个零点的充分不必要条件故选：A先根据几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率，再根据函数零点的定义求出a的范围，继而得到答案本题考查了几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关以及充分条件的判断，属于中档题10.答案：A解析：解：∵f(x)=cos(2x−π3)+2cos2x=32cos2x+√32sin2x+1=√3sin(2x+π3)+1，∴将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数y=g(x)的图象，可得：g(x)=√3sin[2(x−π6)+π3]+1=√3sin2x+1，∴令2x=kπ，k∈z，可得x=kπ2，k∈z，∴当k=−1时，可得函数的图象的对称中心为(−π2,1)，故选：A．由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．本题主要考查三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：解：要使函数有意义，则1−log2(x+2)≥0得log2(x+2)≤1，即0<x+2≤2，得−2<x≤0，即函数的定义域为(−2,0]，故选：C．根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合根式成立的条件进行转化是解决本题的关键，是基础题．解析：本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理，属于基础题． 利用向量的坐标运算、向量共线定理即可得出． 解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−k,−7)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−k −4,5)． 又A 、B 、C 三点共线， ∴−7(−k −4)−5(4−k)=0， 解得k =−23． 故选：C ．13.答案：78解析：首先确定数字中2和3的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．然后求出基本事件总数，然后求解概率． 本题考查分类计数原理，古典概型的概率问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个中档题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理． 解：首先确定数字中2和3的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有2333、3233、3323、3332这4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有2233、2323、2332、3223、3232、3322这6种结果， 当数字中有3个2，1个3时，共有3222、2322、2232、2223这4种结果， 根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果， 全是2，或全是3，各有一个，基本事件总数为16，用数字2，3组成四位数字，则数字2，3至少都出现一次的概率为：1416=78． 故答案为：78．14.答案：试题分析：易得而在上单调递增，所以因此的最小值为本题难点在于将不等式对恒成立转化为函数的值域为的一个子集．考点：函数值域，不等式恒成立，等比数列前n项和．15.答案：解析：试题分析：当时，；当时，对称轴，函数在区间上至少有一个零点，只须，即；当时，对称轴，函数在区间上至少有一个零点，则只须.综上，．考点：1.二次函数的图像；2.函数的零点16.答案：充要解析：试题分析：因为，所以不等式恒成立等价于，因此M是N 的充要条件．考点：向量垂直，不等式恒成立17.答案：解：(Ⅰ)幸福感指数在[4,6)，[6,8)内的频数分别为220+180=400和125+175=300，因为总人数为1000，所以，相应的频率÷组距为：400÷1000÷2=0.2，300÷1000÷2=0.15，据此可补全频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46；(Ⅱ)男市民幸福的概率是125+125500=0.5，女市民幸福的概率是175+125500=0.6，一对夫妇都幸福的概率是0.5×0.6=0.3，故所求的概率为C53⋅0．33⋅0．72=0.1323．解析：本题考查频率直方图的应用，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题．(Ⅰ)由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．(Ⅱ)先求出男、女市民幸福的概率，可得一对夫妇都幸福的概率，从而可求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．18.答案：解：(1)f(x)=2cos2(π4−x)2=1+cos(π2−2x)=sin2x+1，令2x=kπ(k∈Z)，则x=kπ2(k∈Z)，∴f(x)的对称中心为(kπ2,1)(k∈Z)；(2)根据题意，|MN|=|f(t)−g(t)|=|sin2t+1−√3cos2t−1|=|sin2t−√3cos2t|=|2sin(2t−π3)|，∵t∈[π4,π2]，∴2t−π3∈[π6,2π3]，∴|MN|∈[1,2]，即线段MN的长度的取值范围为[1,2]．解析：(1)进行向量坐标的数量积运算，并根据二倍角的余弦公式，得出f(x)=sin2x+1，然后得出f(x)的对称中心；(2)根据题意及两角差的正弦公式，即可得出|MN|=|2sin(2t−π3)|，然后根据t的范围，得出线段MN的取值范围．本题考查了二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，正弦函数的对称中心，考查了计算能力，属于基础题．19.答案：解：(1)∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =0…(1分)∴a⃗⋅b⃗ =cosφ−sinφ=√2(√22cosφ−√22sinφ)=√2cos(φ+π4)=0…(3分)∴φ+π4=kπ+π2,k∈Z，即φ=kπ+π4,k∈Z．又∵|φ|<π2，∴φ=π4.…(5分)∵函数f(x)的周期T=π，即2πω=π，ω=2．∴解析式为f(x)=sin(2x+π4)…(6分)(2)由题意知，函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到g(x)的图象∴g(x)=sin[2(x−π6)+π4]=sin(2x−π12)…(8分)∴g(x)的单调递增区间为2kπ−π2≤2x−π12≤2kπ+π2,k∈Z解得kπ−5π24≤x≤kπ+7π24,k∈Z，…(10分)∴g(x)的单调递增区间为[kπ−5π24,kπ+7π24](k∈Z)…(12分)解析：(1)根据所给的两个向量垂直，得出它们的数量积为0，求出φ值，再根据周期公式求出ω，最后写出函数的解析式．(2)根据函数的图象的平移的原则，写出新的函数的解析式，根据正弦曲线的单调区间写出函数的单调递增区间．本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系、正弦函数的单调性和函数的图象的平移，本题解题的关键是正确写出函数的解析式，这是后面解题的依据，本题是一个中档题目．20.答案：解：(1)A城市学校满意度等级为不满意的概率为1020=12，B城市学校满意度等级为不满意的概率为420=15，∴A城市学校满意度等级为不满意的概率大．(2)A城市满意度等级为“非常满意”的学校有2所，记为M，N，B城市满意度等级为“非常满意”的学校有4所，记为a，b，c，d，则抽出的3所学校的所有可能有20种，分别为：MNa ，MNb ，MNc ，MNd ，Mab ，Mac ，Mad ，Mbc ，Mbd ，Mcd ，Nab ，Nac ，Nad ，Nbc ，Nbd ，Ncd ，abc ，abd ，acd ，bcd ，设事件E 为“B 城市至少有2所学校被抽中”， 则事件E 包含的基本事件有16种，分别为：Mab ，Mac ，Mad ，Mbc ，Mbd ，Mcd ，Nab ，Nac ，Nad ，Nbc ，Nbd ，Ncd ，abc ，abd ，acd ，bcd ， ∴B 城市中至少有2所学校被抽中的概率P(E)=1620=45．解析：(1)分别求出A 城市学校满意度等级为不满意的概率和B 城市学校满意度等级为不满意的概率，从而能求出A 城市学校满意度等级为不满意的概率大．(2)A 城市满意度等级为“非常满意”的学校有2所，记为M ，N ，B 城市满意度等级为“非常满意”的学校有4所，记为a ，b ，c ，d ，利用列举法能求出抽出的3所学校中B 城市中至少有2所学校被抽中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．21.答案：解：(1)两定点A(−13,0),B(13,0)，点M 是平面内的动点，且|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， 设M(x,y)，可得√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=4， 上式表示M 到两点(−1,0)，(1,0)的距离之和为4，由4>2， 可得M 的轨迹为以(−1,0)，(1,0)为焦点的椭圆， 方程为x 24+y 23=1；(2)证明：当Q 为椭圆的上顶点(0,√3)，直线l 的方程为y =−√3(x −1)，联立椭圆方程3x 2+4y 2=12， 解得N(85,−3√35)，R(0,−√3)，即有k RN =√34，直线RN 的方程为y =√34x −√3，可令y =0，可得x =4，直线RN 过定点(4,0)，下面证明一般情况，设直线l ：x =my +1，Q(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则R(x 1,−y 1)， 联立方程3x 2+4y 2=12，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，△=144(m 2+1)>0，解得y 1=−3m−6√4+m 24+3m 2，y 2=−3m+6√4+m24+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， (y 1+y 2=−6m4+3m 2，注意到2my 1y 2=3(y 1+y 2)，即−3y 1+2my 1y 2=3y 2)，设F 1R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αF 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +βF 1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(x 1−1,−y 1)=α(x 2−1,y 2)+β(3,0)，于是 x 1−1=α(x 2−1)+3β，−y 1=αy 2，又QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则−y 1=λy 2，my 1=αmy 2+3β，解得α=λ=−y1y 2，β=2m 3y 1，所以α+β=−3y 1+2my 1y 23y 2=9m+18√1+m 2−18m −9m+18√1+m 2=1，则R ，N ，P 三点共线，因此直线PN 经过定点P(4,0)．解析：(1)运用向量的坐标表示和椭圆的定义可得所求轨迹方程；(2)先考虑特殊情况求得NR 经过点(4,0)，再讨论一般情况，结合联立直线方程和椭圆方程，以及三点共线的条件，即可得到所求结论．本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线恒过定点问题，注意先探路，再证明一般情况，考查化简运算能力，属于难题．22.答案：解：(1)令x =1，y =0，则由题意得，f(1)−f(0)=1×2，∴f(0)=f(1)−2=−2；令y =0，则f(x)−f(0)=x(x +1)， ∴f(x)=x 2+x −2．(2)g(x)=f(x)−ax =x 2+(1−a)x −2， 由于g(x)在区间[−2,2]上单调函数，若是单调增函数，则区间在对称轴的右边，即−1−a 2≤−2，解得a ≤−3， 若是单调减函数，则区间在对称轴的左边，即即−1−a 2≥2，解得a ≥5．故实数a 的取值范围是(−∞,−3]∪[5,+∞)．解析：(1)令x =1，y =0，求出f(0)，x 不变，令y =0，求出f(x)；(2)化简g(x)，讨论g(x)是单调增函数，则区间在对称轴的右边；若是单调减函数，则区间在对称轴的左边，列出不等式，解出，最后求并集．本题考查抽象函数值和函数解析式的求法，考查函数的单调性及运用，属于基础题．。

2019-2020学年银川一中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 角733°是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是A.B.C.D.3. 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为( )A.B.C.D.4. sin(3π2−x)=35，则cos2x =( )A. −725B. 1415C. −1625D. 19255. 在△ABC 中，点M 是AB 的中点，N 点分AC 的比为AN ：NC =1：2，BN 与CM 相交于E ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13a⃗ +12b ⃗ B. 12a⃗ +23b ⃗ C. 25a⃗ +15b ⃗ D. 35a⃗ +45b ⃗ 6. 在△ABC 中，若a 2−c 2=2b ，tanAtanC =2，则b 等于( )A. 3B. 4C. 6D. 77. 已知f(x)=x 2，则f(3)的值为( )A. 0B. 2xC. 6D. 98. 已知sinα=√32，则sin(π−α)的值为( )A. 12B. −12C. √32D. −√329. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=4，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−2，则a ⃗ 与b ⃗ 所成的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π610. 函数y =sinx −cosx 的图象可由函数y =sinx +cosx 的图象经过下列哪种变换得到( )A. 向右平移π4个单位 B. 向右平移π2个单位 C. 向左平移π4个单位D. 向左平移π2个单位11. 如图，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λμ等于( ) A. √32 B. 2√33C. 12 D. 212. 已知，则=( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知B ，C 两点在圆O ：x 2+y 2=1上，A(a,0)为x 轴上一点，且a >l.给出以下命题：①OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为一1； ②△OBC 面积的最大值为1；③若a =√2，且直线AB ，AC 都与圆O 相切，则△ABC 为正三角形；④若a =√2，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，则当△OBC 面积最大时，|AB|=√6−√22； ⑤若a =√52，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，圆O 上的点D 满足OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线BC 的斜率是±12． 其中正确的是______ (写出所有正确命题的编号)．14. 已知α∈(π6,π)，a ⃗ =(sin(2α+β),sinβ)，b ⃗ =(3,1)，且a ⃗ //b ⃗ ，设tanα=x ，tanβ=y ，记y =f(x)，当f(x)=13时，α=______．15. 在△ABC 中，BC =3，CA =4，AB =5，M 是边AB 上的动点(含A ，B 两个端点).若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则|λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ −μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______ ． 16. 如图为函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π )的图象的一部分，该函数的解析式是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，一个角形海湾AOB，∠AOB=2θ(常数为锐角)⋅拟用长度为l(l为常数)的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中PQ⏜=l；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD=l．(1)求方案一中养殖区的面积S1；(2)求方案二中养殖区的最大面积(用θ，l表示)；(3)为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．18.已知0<α<π2，−π2<β<0，cosα=3√1010，cos(π4−β2)=√33．(1)求cos(α+π4)的值；(2)求sin(α+β2)的值．19. 已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，函数．(1 )求的值；(2)求的表达式；(3)若关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得的所有解的和记为，求的所有可能取值及相应的的取值范围．20. 平面曲线C 上的点到点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1的距离．(1)求曲线C 的方程；(2)点P 在直线y =−1上，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，A 、B 分别为切点，求证：A 、B 、F 三点共线；(3)若直线PF 交曲线C 于D 、E 两点，设DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFE ⃗⃗⃗⃗⃗ , DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证λ+μ为定值，并求这个定值．21.已知a⃗=(√3sin(π+ωx),cosωx)，b⃗ =(sin(32π−ωx),−cosωx)，ω>0，设f(x)=a⃗⋅b⃗ 的最小正周期为π．(Ⅰ)求f(x)的单调增区间；(Ⅱ)当x∈(−π3,π6)时，求f(x)的值域；(Ⅲ)求满足f(α)=0且−1<α<π的角α的值．22.已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x−sin2x.(I)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．【答案与解析】1.答案：A解析：解：733°=2×360°+13°，733°的终边与13°终边相同，是第一象限角，故选：A．直接利用终边相同的角化简，判断象限角即可．本题考查象限角的判断，终边相同角的判断方法，基本知识的考查．2.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于向量的大小和方向相等就是相等向量，故成立，对于B，由于，对于D，，故排除法．应该是，选C．考点：向量的加减法点评：主要是考查了向量的加减法是运算，属于基础题。

2019-2020学年南通市启东中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,−1)，B(2,0)，过A 的直线交x 轴于点C(a,0)，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则a =( )A. 14B. 34C. 1D. 432. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，则下列等式恒成立的是( )A. b =acosC +ccosAB. b =acosA +ccosCC. b =asinC +csinAD. b =acosC −ccosA3. 如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM//平面ADE ；②CN//平面ABF ；③平面BDM//平面AFN ；④平面BDE//平面NCF ． 以上四个命题中，真命题的序号是( )A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④4. 经过点M(2,2)且在两轴上截距相等的直线是( )A. x +y =4B. x +y =2C. x =2或y =2D. x +y =4或x =y5. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 1B. −1C. 0D. √26. 已知x 、y 满足x 2+(y −2)2=3，则yx 的取值范围是( )A. [−√3,√3]B. [−√33,√33] C. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)D. (−∞,−√33]∪[√33,+∞)7. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且ca =cosB1+cosA ，则△ABC 为( )A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 三边均不相等的三角形8. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，若l//α，l//β，α∩β=m ，则( )A. l 与m 平行B. l 与m 相交C. l 与m 异面D. l 与m 垂直9. 在 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是，若，则 △ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形10. 若圆(x −1)2+(y +2)2=r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线2x −y +6=0的距离等于√5，则r 的取值范围是( )A. (0,2√5)B. (√5,3√5)C. (√5,2√5)D. (2√5,3√5)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.其中真命题是 .(写出所有真命题的序号)12. 已知直线ax −y +a =0与直线x +2y −2=0平行，则实数a 的值为______．13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2√3的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O 的表面上，则球O 的体积为______．14. 在△ABC 中，若，则角的值是 ．15. 已知集合A ={x|(12)x >14}，B ={x|log 2(x −1)<2}.则A ∩B = ______ ． 16. 在△ABC 中，，则的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，AB//CD ，AB =2AD =2，∠ADC =∠BCD =120°，四边形EDCF 为正方形，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)证明：在线段AB上存在一点G，使得EG//平面BDF；(2)求该五面体的体积．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(2sinx,2cosx),n⃗=(√3cosx,cosx),f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−1．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移π6单位，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间[0,π8]上的最小值．19.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度1000km/ℎ，飞行员先看到山顶的俯角为18°30′，经过150s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度(精确到1m)(sin18.5°≈0.317，sin81°≈0.988)20. 已知抛物线C ：y 2=4x ．(Ⅰ)过抛物线C 上的点P 向x 轴作垂线PQ ，交x 轴于点Q ，求PQ 中点R 的轨迹D 的方程； (Ⅱ)在曲线D 上求一点M ，使它到点N(3,0)的距离最小．21. 在△ABC 中，若|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅cosA +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅cosC =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅sinB (1)求角B 的大小； (2)求△ABC 的面积S ．22.如图，已知⊙O：x2+y2=1和定点A(2,2)，由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ，Q为切点，且满足|PQ|=|PA|．(Ⅰ)求实数a，b之间满足的关系式；(Ⅱ)求线段PQ的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线的斜率公式和二倍角公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．设直线AC的倾斜角β是直线AB倾斜角α的2倍，即有tanβ=tan2α，运用两点的斜率公式和二倍角公式，解方程可得a的值．解：设直线AC的倾斜角β是直线AB倾斜角α的2倍，即有tanβ=tan2α=2tanα1−tanα，由k AC=1a ，k AB=12，即有1a =2×121−14，解得a=34．故选B．2.答案：A解析：解：选项A，等式右边=a⋅a2+b2−c22ab +c⋅b2+c2−a22bc=2b22b=b=左边，即选项A正确；选项B，等式右边=a⋅b2+c2−a22bc +c⋅a2+b2−c22ab≠左边，即选项B错误；选项C，由正弦定理知，asinA =bsinB=csinC，若选项C成立，则sinB=sinAsinC+sinCsinA，∵A+B+C=π，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosC，sinA=cosA，∴A=C=π4，B=π2，即只有当A=C=π4，B=π2时，选项C才是正确的，故并不是恒成立，选项C错误；选项D，等式右边=a⋅a2+b2−c22ab −c⋅b2+c2−a22bc=2(a2−c2)2b≠左边，即选项D错误．故选：A．根据余弦定理，对选项A，B和D中等式右边的式子进行化简，看能否恒等于左边；结合正弦定理、三角形的内角和与两角和公式可判断选项C．本题考查解三角形，熟练运用正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．3.答案：A解析：解：由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCD−EFMN，由图可得：①②③④均正确，故选：A．先由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCD−EFMN，再由图结合线面平行，面面平行的判定定理可得①②③④正确，得解，本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，属中档题．4.答案：D解析：本题主要考查用两点式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M(2,2)代入，求得k=4，可得直线方程，综合可得结论．解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为y−02−0=x−02−0，即x=y．当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M(2,2)代入可得2+2=k，求得k=4，可得直线方程为x+y=4．故所求直线方程为x=y或x+y=4．故选D．5.答案：B解析：解：如图，∵∠A =90°； ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0； 又AB =1；∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0−1 =−1． 故选：B ．可画出图形，根据条件可得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1，而BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 进行数量积的运算即可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．考查向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算．6.答案：D解析：设直线方程为y =kx ，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，求得yx 的取值范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线的斜率公式，属于基础题．解：由题意可得，yx 表示圆x 2+(y −2)2=3上的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率，设为k ， 故此直线方程为y =kx ，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，可得√k 2+1≤√3， 求得k ≤−√33或k ≥√33，故yx 的取值范围是k ≤−√33或k ≥√33，故选D ．7.答案：C解析：解：由余弦定理，可得cosA=b2+c2−a22bc ，cosB=a2+c2−b22ac，代入已知等式，得ca =a2+c2−b22ac1+b2+c2−a22bc去分母化简，整理可得，b(a2+c2−b2)=2bc2+c(b2+c2−a2)…(2分)整理，得(c+b)(b2+c2−a2)=0，∵b+c>0，∴b2+c2−a2=0，…(6分)因此，b2+c2=a2可得△ABC是以A为直角的直角三角形，.…(8分)故选：C．把余弦定理代入已知条件，化简可得(c+b)(b2+c2−a2)=0，故有b2+c2=a2，由此即可判断△ABC的形状．本题主要考查余弦定理的应用，判断三角形的形状，式子的变形，是解题的关键，属于中档题．8.答案：A解析：本题考查了空间中的直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．解：如图所示，α，β是两个不同的平面，l是一条直线，当l//α，l//β，且α∩β=m时，l//m．故选A．9.答案：D解析：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA(sinB−sinA)=0，从而可得或B=A或B=π−A(舍去)．解：∵c−acosB=(2a−b)cosA，C=π−(A+B)，∴由正弦定理得：sinC−sinAcosB=2sinAcosA−sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB−sinAcosB=2sinAcosA−sinBcosA，∴cosA(sinB−sinA)=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴或B=A或B=π−A(舍去)，故选：D．10.答案：B解析：解：∵圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心到直线2x−y+6=0的距离为d= =2√5，√5当r=√5时，圆上只有一个点到直线的距离等于√5，当r=3√5时，圆上有三个点到直线的距离等于√5，∴圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线2x−y+6=0的距离等于√5时，圆的半径r的取值范围是：√5<r<3√5，故选：B．先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于√5，以及圆上只有一个点到直线的距离等于√5的条件，可得要求的r的范围．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．11.答案：④.解析：本题由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④．12.答案：−12解析：解：∵直线ax−y+a=0与直线x+2y−2=0平行，∴a1=−12≠a−2，解得a=−12，∴实数a的值为−12．故答案为：−12．利用直线ax−y+a=0与直线x+2y−2=0平行的性质能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：解析：本题考查球体的体积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题．由题中条件得出圆锥的母线长l，根据圆锥的侧面展开图弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径r，再利用勾股定理可计算出圆锥的高h，利用公式2R=l2ℎ求出球O的半径，最后利用球体体积公式可得出答案．解：设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，球O 的半径为R ， 则πl =2πr ，得r =l2=√3，圆锥的高为ℎ=√l 2−r 2=√(2√3)2−(√3)2=3， ∴球O 的直径为2R =l 2ℎ=(2√3)23=4，∴R =2．因此，球O 的体积为V =43π×R 3=32π3．故答案为：32π3．14.答案：解析：试题分析：根据题意，由于，那么由正弦定理可知因为A >B ，因此可知角A 的值为两个解，分别是60°或120°。