曲线与方程
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空间向量的标准正交分解与坐标表示一．带着目标去学习：1、；
2、；
3、。
二．读课本探新知：
1.问题串：
2.教材基础知识清单：
三．解决问题提高能力
例题1
变式
例题2
变式
四．感悟反思总结
五．练习巩固提高
§2.1.1 曲线与方程（1）
1．理解曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程．
，找出疑惑之处）
3436
复习1：画出函数2
=(12)
y x
2
-≤≤的图象．
x
复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：
到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．
问题：能否写成y x
=，为什么？
新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程(,)0
F x y=之间，
如果具有以下两个关系：
1．曲线C上的点的坐标，都是的解；
2．以方程(,)0
F x y=的解为坐标的点，都是
的点，
那么，方程(,)0
F x y=叫做这条曲线C的方程；
曲线C叫做这个方程(,)0
F x y=的曲线．
注意：1︒如果……，那么……；
2︒“点”与“解”的两个关系，缺一不可；
3︒曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；
4︒曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．
试试：
1．点(1,)
P a在曲线2250
+-=上，则a=___ ．
x xy y
2．曲线220
+-=上有点(1,2)
x xy by
Q，则b= ．
新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．
※典型例题
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)
=±．
k k>的点的轨迹方程式是xy k
变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50
y-=吗？
例2设,A B两点的坐标分别是(1,1)
--，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．
变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)
A，(2,0)
B-，(2,0)
C．中线AO（O为原点）所在直线的方程是0
x=吗？为什么？
反思：BC边的中线的方程是0
x=吗？
小结：求曲线的方程的步骤：
①建立适当的坐标系，用(,)
M x y表示曲线上的任意一点的坐标；
②写出适合条件P的点M的集合{|()}
P M p M
=；
③用坐标表示条件P，列出方程(,)0
f x y=；
④将方程(,)0
f x y=化为最简形式；
⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
※动手试试
练1．下列方程的曲线分别是什么？
(1)
2
x
y
x
=(2)
2
2
2
x
y
x x
-
=
-
(3) log a x
y a
=
练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？
三、总结提升
※ 学习小结
1．曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程的步骤：
①建系，设点；
②写出点的集合；
③列出方程；
④化简方程；
⑤验证．
※ 知识拓展
求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．
A ．2
x y x
= B ．y =
C ．y =
D ．2log 2x y =
2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，
β∈R ，α+β=1， 则点C 的轨迹为 ( ) ． A ．射线 B ．直线 C ．圆 D ．线段
3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）．
A ．10x y -+=
B ．10x y -+=(01)x ≤≤
C ．10x y +-=
D ．10x y -+=(01)x ≤≤
4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3
A 和点(1,1)
B ，则a = ，b = ． 5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12
PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ．
1．点(1,2)
C是否在方程
A-，(2,3)
B-，(3,10)
2210
-++=表示的曲线上？为什么？
x xy y
2 求和点(0,0)
O，(,0)
A c距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．。
