次可逆矩阵及其性质
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— Ｃｎ １ ＋ 一
，
如果 数域 Ｐ上 的 阶方 阵 Ａ 满 足 Ａ 一Ｅ， Ａ 则称 Ａ 为次 正 交 矩 阵． 然 ， Ｊ均 为 次正 显 Ｅ，
＋ｌ Ｊ， ｉ 一 １， ， ． — ， … ”
” 中心对称 矩 阵当且 仅 当 Ｃ 是 Ｊ一． ， Ｃ
２ 主 要 结论 及 证 明
次可逆 矩阵 的若 干性质 ， 出一系列 新 的结论 ． 得
Байду номын сангаас
这 里 阶单位 矩阵 记为 Ｅ ； ”阶次单 位矩 阵 记 为 ｔ ， 次对 角线 上 元 素全 是 １其余 各 位 置 的元 素 ， 即 都是 ０的矩 阵． Ａ 用 表示 矩阵 Ａ 的转 置矩 阵 ， Ａ 表示 矩阵 Ａ 的次转 置矩 阵 ．Ａ ｌ 用 １ 表示 阶矩 阵 Ａ 的 行 列式 ． 容易看 出 ． ＝Ｉ ， ， ， Ｊ 一Ｅ．
定 义 １２ 一 个 阶方 阵 Ａ＝（ 叫做 次 对称 矩 阵 ： 设 ａ ＿ ｌ ］ ｎ） 假 —ａ ～ （， 一１ ２ … ， ） 一个 ＋一 ｊ ， ， ｎ ；
阶方 阵 Ａ一（ ） 口 叫做反 次对称 矩 阵 ； ， 假若 ａ 一－ ａ＋～ （， － ＋一 ｉ 一１ ２ … ， ） ，， ， ． ｚ
［ 摘
的结 果 ．
要］ 给 出 次可 逆 矩 阵 和矩 阵次 逆 的概 念 ， 论 了 次 可 逆 矩 阵 和 矩 阵 次 逆 的 若 干 性 质 ， 出 了一 些 新 讨 得
［ 关键 词］ 次可 逆 矩 阵 ； 阵 的 次 逆 ； 矩 中心 对 称 矩 阵 ； 单位 矩 阵 次
［ 图 分 类 号］ ０１１ ２ 中 ５． １
推论 １ 设 Ａ＝（ 是 阶次可逆 矩阵 ， Ａ 是 中心对称 矩阵． ｎ） 则
． ．
２
推论 ｌ告诉我 们 ， 何 阶次 可逆矩 阵必 定是 中心对 称 矩 阵． 且 当 一２ 时 ， 任 并 ｍ 有 个 独立 元 素．
厶
此时， 次可逆矩阵皆可写成等个线性无关矩阵Ｅ 的线性组合； ｚ ｍ 时， 当， ＋１ 有 一２
乙
厶
个独立元素． 此
２
—
Ｌ １
时 ， 可逆矩 阵 皆可写成 次
～
个线性 无关矩 阵 Ｅ 的线性组 合． 这 里用 表 示第 ｉ 第 列及 第 ｎ （ 行 ＋１
ｉ 行第 ４ １ － 一 列元 素 皆为 １ 其余 元素 皆为 ０的 中心对 称矩 阵） 中心对 称矩 阵 ， ．
（ 卜”） Ｉ一Ａ． 是 因 为 Ａ ” Ａ （） － 这 Ａ＝Ａ ”一ｔ成 立 ． Ａ ， 性质 １ 设 Ａ是 ，阶次可逆矩 阵 ， Ｊ Ｊ ｚ 则 Ａ ＝Ａ， Ａ ＝Ｊ 即 Ｊ Ａ． 证 因 为 Ｊ Ｊ Ａ（ －） ＝Ｊ Ａ ” Ａ＝Ｊ Ａ：Ｅ Ａ ＝Ｊ Ａ（１ Ａ） （ Ａ ） Ｊ Ａ＝Ａ， 以 。 所 ， Ａ＝Ａ 一 ＝Ａ ． Ｊ Ｊ
对于 方阵 Ａ， 如果 存在 次可逆 矩 阵则 是 唯一的． 是 因为如 果 矩 阵 Ｂ 和 ｃ都 是 Ａ 的逆 矩 阵 ， Ａ 这 即 Ｂ
—Ｂ Ａ—Ｊ及 Ａ Ｃ＝Ｃ Ａ—Ｊ， ０ 贝
Ｂ— ＢＥ— ＢＪ Ｊ— Ｂ ＡＣ Ｊ— Ｊ Ｊ＝ Ｊ ＡＣ— ｔ ， Ｃ Ｃ ， Ｃ— ＥＣ＝ Ｃ ｔ
显然 单位矩 阵 Ｅ， 次单 位矩 阵 ｔ都是 次 可逆 的． 可 逆矩 阵 Ａ 的次 逆 矩 阵 Ａ ” 是 次 可逆 的 ， ， 次 也 且
［ 献标识码］Ｃ 文
［ 文章 编 号 ］ １ ７ —４ ４ ２ １） ３０ ７ —４ ６ ２１ ５ （０ ０ ０ —１ ７０
１ 引 言 与预 备 知 识
可 逆矩 阵的研 究 已取得 了丰 富的成果 ， 解线 性方程 组 、 阵对 角化 等诸 多领域 都 有着举 足轻重 的 在 矩 地位． 本文从 次对 角线 出发 ， 讨一 种类 似 于逆矩 阵 的问题 ， 出次 可逆 矩阵 和矩 阵次逆 的概 念 ， 论 了 探 给 讨
第 ２ ６卷 第 ３期
２１ ０ ０年 ６月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ６， ． １２ № ３
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．００
次 可逆 矩 阵及其 性质
刘 玉 ， 陈创 鑫
（ 山师 范 学 院 数 学 与 信 息 技 术 系 ， 东 潮 州 ５ １４ ） 韩 广 ２０ １
Ｃ一
可 成ｃ 写 ＝∑ ∑ ｃ ． Ｅ
可 以看 出 中心 对称 矩阵 只是次 可逆矩 阵 的必 要条件 ， 但非 充分条 件． 如 阶 ０ 阵是 中心对 称矩 例 矩 阵但 它不是 次可逆 矩 阵 ， 这是 因为它 与任何 方 阵相 乘都等 于 ０矩 阵 ， 而不等 于 Ｊ ．
定 义 ４ 设 Ａ是 ｎ阶方 阵 ， 果存在 ｎ阶方 阵 Ｂ， 得 如 使
ＡＢ— ＢＡ— Ｊ．
Ｅ ｔ 日期 ］ ２ ０—６２ ； ［ 改 日期 ］ ２ ０ —３１ Ｃ稿 ０ ７０—５ 修 ０ ８０— ７
１８ ７
大 学
数 学
第２ ６卷
称 Ａ 为次可 逆矩 阵 ， 阵 Ｂ称为矩 阵 Ａ 的次逆矩 阵 ， 为 Ａ卜”． 矩 记
引理 １】 设 Ａ 是 × ｌ 矩 阵 ， 则
（ ）Ｊ ｌ 一 Ａ ； Ａ Ｊ ｉ Ａ ， Ｊ 一 Ａ ；
（ ）（ 一Ａ；ｋ ） 一ｋ （ ｉ Ａ） ｉ （ｉ Ａ ｔ 志为常数 ） ； （ｉ Ａ＋ ） ｉ）（ ｉ 一Ａ ＋Ｂ （ Ｂ 为同 型矩阵 ） Ａ， ； （ ）（ Ｂ） ＝Ｂ Ａ （ ｉ Ａ ｖ Ｓ Ｂ为 行 ｑ列矩 阵 ） ． 引理 ２ Ｅ 设 Ａ 是可逆 的 阶矩 阵 ， 也 可逆 ， 有 （ 一（ ） ． Ａ 且 Ａ ） Ａ
对称矩 阵 和 ｎ阶次单 位矩 阵 ． ， 是次 对称矩 阵． 一Ｅ ， ，． 也 ． 一ｌ ， 定义 ２
交矩 阵． 定义 ３ ］ ｃ一（ ∈ ｃ） ， 引理 ３３ ｃ一（ ∈ ｌ ＿ ｆ） ， ” 称为 中心 对称矩 阵 ， 如果 （ 中 的元 素满 足 ｃ）
，
如果 数域 Ｐ上 的 阶方 阵 Ａ 满 足 Ａ 一Ｅ， Ａ 则称 Ａ 为次 正 交 矩 阵． 然 ， Ｊ均 为 次正 显 Ｅ，
＋ｌ Ｊ， ｉ 一 １， ， ． — ， … ”
” 中心对称 矩 阵当且 仅 当 Ｃ 是 Ｊ一． ， Ｃ
２ 主 要 结论 及 证 明
次可逆 矩阵 的若 干性质 ， 出一系列 新 的结论 ． 得
Байду номын сангаас
这 里 阶单位 矩阵 记为 Ｅ ； ”阶次单 位矩 阵 记 为 ｔ ， 次对 角线 上 元 素全 是 １其余 各 位 置 的元 素 ， 即 都是 ０的矩 阵． Ａ 用 表示 矩阵 Ａ 的转 置矩 阵 ， Ａ 表示 矩阵 Ａ 的次转 置矩 阵 ．Ａ ｌ 用 １ 表示 阶矩 阵 Ａ 的 行 列式 ． 容易看 出 ． ＝Ｉ ， ， ， Ｊ 一Ｅ．
定 义 １２ 一 个 阶方 阵 Ａ＝（ 叫做 次 对称 矩 阵 ： 设 ａ ＿ ｌ ］ ｎ） 假 —ａ ～ （， 一１ ２ … ， ） 一个 ＋一 ｊ ， ， ｎ ；
阶方 阵 Ａ一（ ） 口 叫做反 次对称 矩 阵 ； ， 假若 ａ 一－ ａ＋～ （， － ＋一 ｉ 一１ ２ … ， ） ，， ， ． ｚ
［ 摘
的结 果 ．
要］ 给 出 次可 逆 矩 阵 和矩 阵次 逆 的概 念 ， 论 了 次 可 逆 矩 阵 和 矩 阵 次 逆 的 若 干 性 质 ， 出 了一 些 新 讨 得
［ 关键 词］ 次可 逆 矩 阵 ； 阵 的 次 逆 ； 矩 中心 对 称 矩 阵 ； 单位 矩 阵 次
［ 图 分 类 号］ ０１１ ２ 中 ５． １
推论 １ 设 Ａ＝（ 是 阶次可逆 矩阵 ， Ａ 是 中心对称 矩阵． ｎ） 则
． ．
２
推论 ｌ告诉我 们 ， 何 阶次 可逆矩 阵必 定是 中心对 称 矩 阵． 且 当 一２ 时 ， 任 并 ｍ 有 个 独立 元 素．
厶
此时， 次可逆矩阵皆可写成等个线性无关矩阵Ｅ 的线性组合； ｚ ｍ 时， 当， ＋１ 有 一２
乙
厶
个独立元素． 此
２
—
Ｌ １
时 ， 可逆矩 阵 皆可写成 次
～
个线性 无关矩 阵 Ｅ 的线性组 合． 这 里用 表 示第 ｉ 第 列及 第 ｎ （ 行 ＋１
ｉ 行第 ４ １ － 一 列元 素 皆为 １ 其余 元素 皆为 ０的 中心对 称矩 阵） 中心对 称矩 阵 ， ．
（ 卜”） Ｉ一Ａ． 是 因 为 Ａ ” Ａ （） － 这 Ａ＝Ａ ”一ｔ成 立 ． Ａ ， 性质 １ 设 Ａ是 ，阶次可逆矩 阵 ， Ｊ Ｊ ｚ 则 Ａ ＝Ａ， Ａ ＝Ｊ 即 Ｊ Ａ． 证 因 为 Ｊ Ｊ Ａ（ －） ＝Ｊ Ａ ” Ａ＝Ｊ Ａ：Ｅ Ａ ＝Ｊ Ａ（１ Ａ） （ Ａ ） Ｊ Ａ＝Ａ， 以 。 所 ， Ａ＝Ａ 一 ＝Ａ ． Ｊ Ｊ
对于 方阵 Ａ， 如果 存在 次可逆 矩 阵则 是 唯一的． 是 因为如 果 矩 阵 Ｂ 和 ｃ都 是 Ａ 的逆 矩 阵 ， Ａ 这 即 Ｂ
—Ｂ Ａ—Ｊ及 Ａ Ｃ＝Ｃ Ａ—Ｊ， ０ 贝
Ｂ— ＢＥ— ＢＪ Ｊ— Ｂ ＡＣ Ｊ— Ｊ Ｊ＝ Ｊ ＡＣ— ｔ ， Ｃ Ｃ ， Ｃ— ＥＣ＝ Ｃ ｔ
显然 单位矩 阵 Ｅ， 次单 位矩 阵 ｔ都是 次 可逆 的． 可 逆矩 阵 Ａ 的次 逆 矩 阵 Ａ ” 是 次 可逆 的 ， ， 次 也 且
［ 献标识码］Ｃ 文
［ 文章 编 号 ］ １ ７ —４ ４ ２ １） ３０ ７ —４ ６ ２１ ５ （０ ０ ０ —１ ７０
１ 引 言 与预 备 知 识
可 逆矩 阵的研 究 已取得 了丰 富的成果 ， 解线 性方程 组 、 阵对 角化 等诸 多领域 都 有着举 足轻重 的 在 矩 地位． 本文从 次对 角线 出发 ， 讨一 种类 似 于逆矩 阵 的问题 ， 出次 可逆 矩阵 和矩 阵次逆 的概 念 ， 论 了 探 给 讨
第 ２ ６卷 第 ３期
２１ ０ ０年 ６月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ６， ． １２ № ３
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．００
次 可逆 矩 阵及其 性质
刘 玉 ， 陈创 鑫
（ 山师 范 学 院 数 学 与 信 息 技 术 系 ， 东 潮 州 ５ １４ ） 韩 广 ２０ １
Ｃ一
可 成ｃ 写 ＝∑ ∑ ｃ ． Ｅ
可 以看 出 中心 对称 矩阵 只是次 可逆矩 阵 的必 要条件 ， 但非 充分条 件． 如 阶 ０ 阵是 中心对 称矩 例 矩 阵但 它不是 次可逆 矩 阵 ， 这是 因为它 与任何 方 阵相 乘都等 于 ０矩 阵 ， 而不等 于 Ｊ ．
定 义 ４ 设 Ａ是 ｎ阶方 阵 ， 果存在 ｎ阶方 阵 Ｂ， 得 如 使
ＡＢ— ＢＡ— Ｊ．
Ｅ ｔ 日期 ］ ２ ０—６２ ； ［ 改 日期 ］ ２ ０ —３１ Ｃ稿 ０ ７０—５ 修 ０ ８０— ７
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大 学
数 学
第２ ６卷
称 Ａ 为次可 逆矩 阵 ， 阵 Ｂ称为矩 阵 Ａ 的次逆矩 阵 ， 为 Ａ卜”． 矩 记
引理 １】 设 Ａ 是 × ｌ 矩 阵 ， 则
（ ）Ｊ ｌ 一 Ａ ； Ａ Ｊ ｉ Ａ ， Ｊ 一 Ａ ；
（ ）（ 一Ａ；ｋ ） 一ｋ （ ｉ Ａ） ｉ （ｉ Ａ ｔ 志为常数 ） ； （ｉ Ａ＋ ） ｉ）（ ｉ 一Ａ ＋Ｂ （ Ｂ 为同 型矩阵 ） Ａ， ； （ ）（ Ｂ） ＝Ｂ Ａ （ ｉ Ａ ｖ Ｓ Ｂ为 行 ｑ列矩 阵 ） ． 引理 ２ Ｅ 设 Ａ 是可逆 的 阶矩 阵 ， 也 可逆 ， 有 （ 一（ ） ． Ａ 且 Ａ ） Ａ
对称矩 阵 和 ｎ阶次单 位矩 阵 ． ， 是次 对称矩 阵． 一Ｅ ， ，． 也 ． 一ｌ ， 定义 ２
交矩 阵． 定义 ３ ］ ｃ一（ ∈ ｃ） ， 引理 ３３ ｃ一（ ∈ ｌ ＿ ｆ） ， ” 称为 中心 对称矩 阵 ， 如果 （ 中 的元 素满 足 ｃ）
