等差数列习题课_PPT课件-课件ppt

(3)
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.

等差数列求和公式课 件
一、巩固与预习
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an=a1+(n-1)d
an=an+b a、b为常数， 更一般的，an=am+(n-m)d ，d=
an am
nm .
2. a、b、c成等差数列b为a、c 的 等差中项
b ac
2
2b= a+c .
下一页
3.
若 m n p q 则 a m + a n = a p + a q
三、公式的应用：
Sn
n(a1 2
an
)
....(1)
Sn
na1
n(n 1) 2
d ...(2)
例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝ 的Sn
（1）a1=5,an=95,n=10
S10=500
（2）a1=100,d=－2,n=50 S50=2550
例2. 等差数列－10，－6， －2，2，…前 多少项和是54?
2.若d=S0n,an=naa，1 则nS(nn=2_1_)_nd_a__ (2)
3.推导公式的方法是用倒序相加法
思考：若Sn=an2+bn，则｛an｝是等差数 列吗?
作业：习题2.3. 2.
谢谢观看
练习：
（1）等差数列5，4，3，2，…前多少
项的和 是－30?
15项
（2）求等差数列13，15，17，…81的各
项和
1645
（3）在等差数列{an}中，
已知 a2a5a12a1536 求S16
（4）已知 a6=20 ,你能求出S11吗？
课堂小结：
1.会用两公式
Sn

习题C
12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中， 后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球， 第三层有 6 个球……设各层球数构成一个数列{an}. (1)写出数列{an}的一个递推公式； (2)根据(1)中的递推公式，写出数列{an}的一个通项公式.
例
题
例 9 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1=10，公差 d= – 2，则 Sn 是否存在最大值? 若存
在，求 Sn 的最大值及取得最大值时 n 的值；若不存在，请说明理由.
例
题
例 9 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1=10，公差 d= – 2，则 Sn 是否存在最大值? 若存
例
题
例 3 某公司购置了一台价值为 220 万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年
减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少 d(d 为正常数)万元已知这台设备的使用年限为 10 年，超过 10 年，它的价值将低于购进价值的 5%，设备将报废，请确定 d 的取值范围.
例
题
例 4 已知等差数列{an}的首项 a1=2，公差 d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入 3 个数，使它
例
题
例 4 已知等差数列{an}的首项 a1=2，公差 d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入 3 个数，使它
们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29 是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项? 若不是，说明理由.
例
题
例 5 已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*,且 p+q=s+t. 求证 ap+aq=as+at.

第二章 数列
2.3 等差数列前n项和公式
第一页，编辑于星期一：一点 二十分。
本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的 宝石数为引子，研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公式。 问题探究一：用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加以巩 固。问题探究二：公式的灵活应用，知三求二，用变式2、3加以巩固。
第十一页，编辑于星期一：一点 二十分。
第十二页，编辑于星期一：一点 二十分。
(II)在等差数列 an中,已知: d 4 , n 20 , sn 460
求
a1
及
a 20
.
解: 利用 公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1= -15
再根据
a20= 61
第十三页，编辑于星期一：一点 二十分。
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校
通”工程中的总投入是多少？
第十四页，编辑于星期一：一点 二十分。
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列{an},表示从 2001年起各年投入的资金，其中 那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

(1)当n为偶数时
Sn a1 an 1 an 1 an
2
2
设等差数列{an}前n项和为Sn ,则
Sn a1 a2 an1 an
(2)当n为奇数时
Sn a1 an11 an1 an11 an
2
2
2
1.推导公式:
又 又
① +②
∴
① ②
（算法：倒序相加求和； 用到了等差数列的性质）
2. 等差数列的前 项和 何时有最大值，
最小值？如何求 ？有哪些方法?
？
3. 教材例4还有其它解法吗?
小结：
• 回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法； • 体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的 算法，及数形结合的数学思想； • 掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。 • 学会用函数的观点分析数列。
1.推导公式(教材)：
①
② ① +②
2.记忆公式
a1
an
n
an a1
公式1
Sn
n(a1 2
an )
2.记忆公式
3.剖析公式：
通项公式 共5个量，由三个公式联系 ,知三可求二.
4. 公式的应用
例1、计算：
（1）1+2+3+…+n （2）1+3+5+…+(2n-1) （3）2+4+6+…+2n （4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n
法2.
原式=-1-1-…-1=-n
例2.等差数列-10，-6，-2，2，…的前
多少项的和是54 ？
？
思路：由
代入 化简得

因为一共有12排花盆,所以这个花坛的花盆总数为
7.2.2等差数列前n项和
情境导入
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
一般地，数列{an}的前n项和记为Sn ，于是有
Sn=a1 + a2 + a3 + …+an-1+an，
(1)
(1)式也可以写为
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1．
(2)
将(1)式与(2)式相加，可得
花坛一共用了多少盆鲜花.
布置作业
7.2.2等差数列前n项和
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
归纳总结
布置作业
要计算一共用了多少盆鲜花,就是要计算等差列10,12,14,⋯,32各项的和.设想将
等腰梯形倒过来,与原来的等腰梯形合并在一起,如图所示,可以发现每一排的花盆数
都是42，即
10+32=12+30=14+28=…=32+10.
归纳总结Βιβλιοθήκη 布置作业7.2.2等差数列前n项和
情境导入
情境导入
探索新知
典型例题
由此得到等差数列的前n项和公式
因为an=a1+(n -1)d，所以上面的公式又可写成
巩固练习
归纳总结
布置作业
7.2.2等差数列前n项和
情境导入
探索新知
例4 在等差数列{an}中，a1=5，a9=85，求S9．
解
根据等差数列的前n项和公式
情境导入
探索新知
典型例题
小 结
巩固练习
情境导入
归纳总结
布置作业

分析：首项=2 公差=3
解：（1）第10项： （2）第98项：
2+3 ×（10-1）=29 2+3 ×（98-1）=293
例2 已知数列2、5、8、11、14、 17，......122,这个数列有多少项。
规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到 这个数列的项数。
等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）÷公差 + 1
这个数列的项数= （122-2）÷3+1=41
小结：
等差数列项的有关规律
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。 （1）它的第21项是多少? （2）这串数共有多少个？
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例2：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
等差数列二
复习
1、计算
（1）7+10+13+16+...+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99

am+an=ap+aq
新知导入 问题：
等比中项与等差中项的区别? 提示： (1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项 (2)两个数 a,b 的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等 比中项有两个
新知讲解 拓展
两个等比数列合成数列的性质
若数列{an},{bn }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列
(2)若{an}等比数列，公比为
,证明数列{log₃an} 为等差数列.
证明：
( 1 ) 由a₁=3,d=2,
得{an}的通项公式为an=2n+1.
设bn=3an,
则
又
b所₁=以3³，=2{73an}是以27为首项，9为公比的等比数列.
合作探究
例5已知数列{an}的首项a₁=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2, 证明数列{3an}为等比数列；
合作探究 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an},{bn}.
由题意，知 an=1050×1.05n-1
bn=1-[90%+0.4%(n-1)] =0.104—0.004n
其 中 ，n=1,2,..,24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)
设BA=a₁,AA₁=a₂,A₁A₂=a₃,…,A₅A₆=a₇ ,
则
解： 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2, 所 以
AB=BA=a₁=2
同理 故数列{an}是首项a₁=2, 公 比 的等比数列，
课堂总结
1复习 2拓展 3例题 4课堂练习
板书设计
1温故知新 2拓展
3例4~6
4课堂练习

等差数列
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数

10n n2 n2 10n

50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1

10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使

第二章 数列
温故知新
等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n，令d2＝A，a1－d2＝B，则得 Sn＝________.[答案] An2＋Bn数 Nhomakorabea 必修5
第二章 数列
新课引入
用分期付款的方式购买家用电器需 11 500 元，购买当天先付 1 500 元，以后每月交付 500 元，并加付利息，月利率为 0.5%， 若从交付 1 500 元后的第 1 个月开始算分期付款的第 1 个月，问：
所以S3m＝3ma1＋3m3m2 －1d＝210.
数学 必修5
第二章 数列
方法二：利用公式 Sn＝na1＋2 an，以及等差数列的性质 p
＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.
ma1＋am＝60，
①
由已知有m3ma1a＋1＋a2am3m＝＝1020S，3m，
② ③
2a2m＝am＋a3m，
④
由①②③④可得 S3m＝210.
【错解】 an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－ 1]＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项 的差是同一个常数，
∴{an}是等差数列． 【错因】 已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需 分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．
数学 必修5
解得a＝m202， b＝1m0.
所以 S3m＝9am2＋3bm＝210.
数学 必修5
第二章 数列
等差数列前n项和的性质应用
一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶 数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.
[思路点拨] 可以利用列方程组方法求解，也可以利用等 差数列前n项和的性质求解．

2.3.1 等差数列的前n项和
请翻到教材P42 ！
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握等差数列前 n 项和公式，理解公式的推导方法． (2)能较熟练应用等差数列前 n 项和公式求和．
2．过程与方法 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验 从特殊到一般的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推 理的能力． 3．情感、态度与价值观 通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望， 树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体 验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功．
●教学流程
演示结束
1.了解等差数列前n项公
课 标 解 读
式的推导过程．(难点) 2.掌握等差数列前n项和 公式及其应用．(重点) 3.能灵活应用等差数列前 n项和的性质解题．(难点、
易错点)
等差数列的前n项和公式
【问题导思】 1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下，高斯 是怎样求 1＋2＋3＋…＋100 的结果的？ 【提示】 对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能 很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2 ＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍 S＝100＋99＋98＋… ＋2＋1.
∴an＝25n－1
n＝1， n≥2.
忽略 Sn 与 an 的关系致误 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋n－1，试判断 {an}是否为等差数列，为什么？ 【错解】 an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1) －1]＝2n. 又 an－an－1＝2n－2(n－1)＝2， 即数列{an}的每一项与前一项的差是同一个常数， 所以{an}是等差数列．
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式 an，或是求前 n 项 和 Sn，还是求项数 n.

可设为｛an｝且a1=5,d=1,an=80
∴5+(n-1)=80
∴n=76(也可根据数列特征求出80-4=76）
∴S76=3230，∴5+6+7+…+79+80=3230
应用新知
思考：如何求下列数列的和？
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
思考1：上述两个式子是什么数列的和？
高斯（1777---1855），
德国数学家、物理学家和
天文学家。他和牛顿、阿
基米德，被誉为有史以来
的三大数学家。有“数学
王子”之称。
创设情景
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100
1+100=101
2+ 99=101
3+ 98=101
……
50+ 51=101
101×50=5050
a1
n
an
n(a1 an )
Sn
2
识记新知
我们可结合梯形的面积公式来理解记忆
等差数列前 n 项和公式.
a1
n
a1
n(n 1)
S n na1
d
2
an (n-1)d
将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.
应用新知
分析：
（1）可以直接利用公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ =
( + )
求和；

（2）可以先利用 和 的值求出d，再利用公式 = +

nm
即：an=am+(n－m)d
an=a1+(n－1)d am=a1+(m－1)d
得：an=am+(n－m)d
[例题2]：已知{an}是等差数列，a5=10，a12=31， 求首项a1与公差d .
解法二：∵a12=a5+(12－5)d
∴ d = a12 a5 3110 3
12 5
个量：an 、a1 、n 、d，若知道其中任三个量， 都能求出第四个量。
[例题1]：梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽 110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列， 计算中间各级的宽度.
解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差 数列，由条件知： a1= 33，a12=110，n = 12
d=-3 d=lg2
5) 1，3，7，15，31 63
6) 2， 2， 2， 2， 2， 2 7) 5 , 2 , 1 , 1 , 1 , 0
63236
d= 1 6
1.等差数列的定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的 公差，公差通常用字母d表示。 数学表达式 ：a n – a n - 1 = d（d为常数）（n≥2）
da132
得
：aa11

4d 10 11d 31
3 若把an看作是函数值y，n看作是自变量x， 那么等差数列的通项公式：an=a1+(n－1)d就是一 个一次函数: y = dx + (a1 – d)
因此：等差数列的图形是直线上的一系列等距
离的点。
由图象可得： an am d
=4a1+16d ∴a3+ a4+ a6+ a7 =26 [解法二]：∵a3+a7 =(a2+d)+(a8－d) = a2+ a8 =13

设等差数列{an}的前n项和为Sn,即： Sn=a1+a2+…+an
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
Sn=(a1+an)n/2
S100=(1+100)×100/2=5050
等差数列求和公式
等差数列{an}首项为a1，第n项为an.
Sn=
n(a1+an) 2
Sn
=na1+
n(n-1) 2
d
练一练
Sn==nn(aa112++na(nn)2-1) d
自己动手编一道有关等差 数列求和的练习题. 要求：
1. 已知……，求Sn ； 2. 已知……，求a1 ； 3. 已知……，求dan ； 4. 已知……，求n ；
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。