简支梁的相关计算

教学队伍教学内容教学方法实践教学教学效果教科研成果课第十章弯曲梁的设计第一节梁平面弯曲的概念和弯曲内力一、弯曲的概念实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。

如图10.1.1，图10.1.2所示，这类杆件受力的共同（横向力）与杆轴线相垂直，变形时杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。

以弯曲变形为主的杆件称为梁图10.1.1 火车轮轴图10.1.2 起重机大梁工程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。

如图10.1.3所示。

图10.1.3 梁的纵向对称如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平面曲线。

这种弯弯曲。

平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只讨论平面弯曲问题。

二、梁的计算简图及基本形式梁上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。

(一)、梁的简化为了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。

（二）、荷载分类作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：、集中荷载当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集所受的切削力便可视为集中力P，如图10.1.4（a）所示，其单位为牛（N）或千牛（kN）。

中力偶当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。

如所示。

它的单位为牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。

、均布载荷沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。

分布载荷的大小用载荷集度 q 表示，均布集度 q 10.1.4（c）所示。

其单位为牛／米（ N ／ m ）或千牛／米（ k ／ m ）。

（三）、梁的基本形式按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。

这三种情况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。

根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式。

、简支梁梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。

如图10.1.5（a）。

、外伸梁外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。

如图10.1.5悬臂梁一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。

如图10.1.5（c）图10.1.4 载荷类 图10.1.5 梁的类以上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。

三、 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩计算于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。

支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡条件求得。

在外下，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。

求解梁横截面上内力的方法是截面法。

图10.1.6 截面法求梁的内0.1.6所示的简支梁，受集中力1P 和2P 作用。

为了求出距A 端支座为x 处横截面m-m 上的内力，首先按静力学中的平衡方程求出支R B 。

然后用截面法沿m-m 截面假想地把梁截开，并以左边部分为研究对象（图10.1.6(b)）。

因为原来梁处于平衡状态，故左段梁在处内力的共同作用下也应保持平衡。

截面m-m 上必有一个与截面相切的内力Q 来代替右边部分对左边部分沿截面切线势所起的约束作用；又因为R A 与P 1对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横截面m-位于载荷平面的内力偶，其力矩为M ，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。

由此可见，梁弯曲时，般存在两个内力因素，其中Q 称为剪力，M 称为弯矩。

剪力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。

由 ΣFy = 0 得 01=--Q PR A 1PR Q A -=由 ΣMC = 0 得 0)(1=-+-a x Px R M A )(1a x p x R M A --=，C 为横截面的形心。

若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在m-m 截面上也必然有剪力Q ' 和弯矩M '，并且它们分别与 Q等、方向相反。

和弯矩的正负按梁的变形来确定。

凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。

如图10.1.7所示。

凡上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。

如图10.1.8所示。

图10.1.7 剪力的符 图10.1.8 弯矩的综上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则：对于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号由“外力左上右下，产生的确定。

对于弯矩：梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和。

正负号由“外力矩左顺的弯矩为正”确定。

利用上述规则，可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩。

.1.1 简支梁受集中力kN p 1=，力偶m kN m ⋅=1，均布载荷m kN q /4=，如图10.1.9所示，试求Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面上矩。

图10.1.9简支梁解：（1）求支座反力。

,0)(=∑F M B 即 02505.01000750=⨯⨯+-⨯-⨯q m R P A可得 N R A 250=,0=∑yF即05.0=+⨯--B A R q P R可得 N R B 2750=（2）计算剪力和弯矩（应取简单的一侧为研究对象）。

Ⅰ-Ⅰ N R Q A 2501==m N R M A ⋅=⨯=⨯=502.02502001 Ⅱ-Ⅱ kN R q Q B 5.175.24.044.02-=-⨯=-⨯=m N q R M B ⋅=⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯=-7802.04.01041040027502004.0400332.1.2 图10.1.10（a ）是薄板轧机的示意图。

下轧辊尺寸表示在图10.1.10（b ）中轧制力约为kN 410,并假定均匀分布在的范围内。

试求轧辊中央截面上的弯矩及截面C 的剪力。

)M=(xM(xQQ=)上述两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，故分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

为了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，在设计计算中常把各截面上的剪力和弯矩用图一平行于梁轴线的横坐标x来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与。

这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。

利用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。

所以画剪力图和弯矩图往往和刚度计算中的重要步骤。

剪力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为几段，分段列出剪力。

取横坐标x表示截面的位置；纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。

下面通过分析例题说明剪力图和弯矩图的绘制方法及步骤例10.1.3 如图10.1.11（a）所示起重机横梁长l，起吊重量为P。

不计梁的自重，试绘制图示位置横梁的剪力，并指出最大剪力和最大弯矩所在的截面位置。

图10.1.11简支梁受集中力（1）绘制横梁的计算简图根据横梁两端A、B轮的实际支承情况，将其简化为简支梁（图10.1.11（a）。

起吊简化为作用于沿横梁行走的小车两轮中点所对应的梁的梁截面C处的集中力。

（2）计算A、B两端的支座的约束反力根据静力平衡方程得于是便得到如图10.1.11(c)所示的横梁的弯矩图。

（5）确定剪力和弯矩的最大值 由图10.1.11c ，结合剪力方程，可以看出，当b a >时，BC 段各截面的剪力值最大；AC 段各截面的剪力值最大。

小车行驶时，力P 作用点的坐标发生变化，最大剪力值也随之发生变化。

小车接近支座，剪力达到最大值PP Q →max 。

由图10.1.11c ，结合弯矩方程，可以分析得出，集中力F 作用的C 点所在截面处有最大弯矩。

当小车位于梁的中点时，即因乘积ab 最大，所以最大弯矩值也最大，为4max PlM =例10.1.4 如图10.1.12（a ）所示简支梁，在全梁上受集度q 的均布载荷。

试作此梁的剪力图和弯矩图。

解：1）求支座反力。

由0=∑A M 及0=∑B M 得2ql F F By Ay ==2）列剪力方程和弯矩方程。

取A 为坐标轴原点，并在截面x 处切开取左段为研究对象，如图10.1.12（b ）所示，则)0(2l x qx qlqx F F Ay S <<-=-= (10.1.1)的最大值在梁的中点，82max ql M =。

.1.5 如图10.1.13（a ）所示简支梁，在C 点处受大小为Me 的集中力偶作用。

试作其剪力图和弯矩图。

解：1）求支反力。

,0,0=-=∑e Ay BM l F M得：l M F eAy =图10.1.13 简支梁受集中力偶∑=-=0Ay By yF F Fl M F F e Ay By ==）列出剪力方程和弯矩方程。

)0()(l x lM F x F e Ay S <<-=-=因C 点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。

C 段)0()(a x x lM x F x M eAy ≤≤-=-=C 段图和弯矩图。

例10.1.6 简支梁受kN P kN P1,321==的集中力作用（图10.1.14（a ））。

已知约束反力，,5.1,5.2kN R kN R B A ==其所示。

试绘出该梁的剪力图和弯矩图.。

图10.1.14解：（1）绘剪力图。

剪力图从零开始,一般自左向右,逐段画出。

根据规律可知，因A 点有集中力,A R 故在A 点剪力向上突变2.5kN ，从A 点右侧到C 点左侧，两点之间无力作用，故剪力图平行与x 轴的直线。

因C 点有集中力1P ,故在由2.5kN 向下突变3kN ，C 点左侧的剪力值为2.5kN ，C 点右侧的剪力值为kN 5.0-。

同样的道理，依次，可完成其剪.14（b ））。

需要说明，剪力图最后应回到零。

图中虚线箭头只表示画图走向和突变方向。

（2）绘弯矩图。

弯矩图也是从零开始，自左向右边，逐段画出。

A 点因无力偶作用，故无突变。

因AC 段剪力平行线，故其弯矩图为一条从零开始的上斜线，其斜率为2.5（图10.1.14（c ）中斜率仅为绘图方便而标注），C 点)(5.215.2m kN ⋅=⨯。

CD 段的弯矩图为一条从m kN ⋅5.2开始的下斜线，斜率为0.5，故D 点的弯矩值为)(5.125.05.2m kN ⋅=⨯-，同样的DB 段弯矩图，最后回到零（图10.1.14（c ））。

例10.1.7 外伸梁受力如图10.1.15（a ）所示，m kN M ⋅=4，kN P 10=，kN R A 6-=，kN R B 16=。

其它尺寸如图所绘出梁的剪力图和弯矩图。

图10.1.15解：（1）绘剪力图。