模型构建专题解直角三角形应用中的基本模型

模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型【考点导航】目录【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】【类型二不含特殊角的非直角三角形】【类型三“独立”型】【类型四“背靠背”型】【类型五“叠合”型】【类型六“斜截”型】【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】1(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖CD(垂直于地面)的高度，小明从A点看向无人机B的仰角为45°．从无人机B处测得看山崖顶端C的仰角为30°，测得看山崖底部D处的俯角为60°，无人机B与山崖的水平距离BE为50米．(图中各点均在同一平面内)．(1)求山崖的高度(结果保留根号)；(2)若点A距离地面2米，求小明到山崖的水平距离(结果取整数)．(参考数据：2≈1.414，3=1.732)【答案】(1)20033米(2)135米【分析】(1)利用锐角三角函数求得CE和ED，根据CD=CE+ED，即可得到答案；(2)过点A作AF⊥AD于点F，过点B作BG⊥AF于点G，得矩形BEFG，进而求得BG，利用锐角三角函数求得AG，即可得到答案．【详解】(1)解：由题意可知：∠CBE=30°，∠DBE=60°，BE=50，在Rt△BEC中，tan∠CBE=CE BE，∴CE=tan30°⋅BE=33×50=5033，在Rt△BED中，tan∠DBE=ED BE，∴ED=tan60°⋅BE=3×50=503，∴CD=CE+ED=5033+503=20033米答：山崖的高度约为20033米；(2)解：如图，过点A作AF⊥AD于点F，过点B作BG⊥AF于点G，得矩形BEFG，则FD=2，GF=BE=50，∴BG=EF=ED-FD=503-2，在Rt△ABG中，∠BAG=45°，∴∠ABG=∠GAB=45°，∴AG=BG=503-2，∴AF=AG+GF=503-2+50=503+48≈135米，答：小明到山崖的距离约为135米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔Р的北偏东30°方向上的B处．(1)在这段时间内，海监船与灯塔Р的最近距离是多少海里？(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？(结果保留根号)【答案】(1)在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是502海里．(2)轮船航行的距离AB为502+506海里．【分析】(1)过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．解等腰直角三角形APC，即可求出PC的长度．(2)海监船航行的路程即为AB的长度．先解Rt△PCB，求出BC的长，再由(1)得出AC=PC，再利用线段的和差可得答案．【详解】(1)解：过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．由题意，得∠APC=90°-45°=45°，∠BPD=30°，DE∥AB，∴∠B=30°，AP=100海里．在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠APC=45°，AP=502(海里)．∴PC=AC=22答：在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是502海里．(2)在Rt△PCB中，∵∠BCP=90°，∠B=30°，PC=502海里，∴BC=PC=3PC=506(海里)．tan30°∴AB=AC+BC=502+506(海里)．答：轮船航行的距离AB为502+506海里．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握方向角的含义，锐角三角函数的定义是解本题的关键.2(2023·海南·统考中考真题)如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB=度，∠BCM=度；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．【答案】(1)30，45(2)灯塔M到轮船航线AB的距离为103海里(3)港口C与灯塔M的距离为103-1海里【分析】(1)作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，由三角形外角的定义与性质可得∠AMB= 30°，再由平行线的性质可得∠BCM=45°，即可得解；(2)作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，由(1)可得：∠A=∠BMA=30°，从而得到BM= AB=20海里，再由EM=BM⋅sin∠EBM进行计算即可；(3)作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，证明四边形CDEM是矩形，得到CD=EM=103海里，DE=CM，由BE=BM⋅cos∠EBM计算出BE的长度，证明△CDB是等腰直角三角形，得到CD= BD=103海里，即可得到答案．【详解】(1)解：如图，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，∵∠DBM=∠A+∠AMB=30°+∠AMB=60°，∴∠AMB=30°，∵AB、CM都是正北方向，∴AB∥CM，∵∠DBC=45°，∴∠BCM=45°，故答案为：30，45；(2)解：如图，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，∴BM=AB=20海里，在Rt△BEM中，∠EBM=60°，BM=20海里，=103海里；∴EM=BM⋅sin∠EBM=20×sin60°=20×32∴灯塔M到轮船航线AB的距离为103海里；(3)解：如图，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，∴四边形CDEM是矩形，∴CD=EM=103海里，DE=CM，在Rt△BEM中，∠EBM=60°，BM=20海里，=10海里，2∵在Rt△CDB中，∠DBC=45°，∴△CDB是等腰直角三角形，∴CD=BD=103海里，∴CM=DE=BD-BE=103-10=103-1海里，∴港口C与灯塔M的距离为103-1海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．3(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼DH楼顶D处的俯角为45°，测得楼EF楼顶E处的俯角为60°．已知楼EF和楼DH之间的距离HF为90米，楼EF的高度为12米，从楼EF的E处测得楼DH的D处的仰角为30°，AB∥HF．(点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内)．(参考数据：3≈1.73)(1)求楼DH的高度；(2)求此时无人机距离地面HF的高度．【答案】(1)303+12米(2)57米【分析】(1)过点E作EG⊥DH于点G，则四边形EFHG是矩形，由题意可得EG=FH=90米，HG=EF=12米，在Rt△GED中，利用tan∠DEG=DGEG求出DG，结合DH=DG+GH可得出答案．(2)作CN⊥FH于点N，交EG于点M，先证明CE=DE，在Rt△GED中求出CE的长，在Rt△CEM中求出CM的长，再根据CN=CM+MN可得出答案．【详解】(1)如图，过点E作EG⊥DH于点G，则四边形EFHG是矩形，则EG=FH=90米，HG=EF=12米．在Rt△GED中，∠DGE=90°，∠DEG=30°，∴tan∠DEG=DGEG∴DG =EG ⋅tan ∠DEG=EG ⋅tan30°=90×33=303．∴DH =DG +GH =303+12答：楼CD 高度为303+12 米；(2)如图，作CN ⊥FH 于点N ，交EG 于点M ，则MN =EF =12米．∵∠ACD =45°,∠BCE =60°，∴∠DCE =75°，∵AB ∥EG ，∴∠GEC =∠BCE =60°，∵∠DEG =30°，∴∠CED =30°，∴∠CDE =180°-75°-30°=75°，∴∠CDE =∠DCE ，∴CE =DE ，在Rt △GED 中，∠EGD =90°，∠DEG =30°，∴DE =2DG =603，∴CE =603，在Rt △CEM 中，∠CME =90°，∠CEM =60°，∴sin ∠CEM =CM CE，∴CM =CE ⋅sin ∠CEM =303×sin60°=45，∴CN =CM +MN =45+12=57．∴无人机距离地面BC 的高度为57米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．4(2023秋·海南海口·九年级校考期末)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得尾顶A 的仰角为35°，此时地面上C 点、屋檐上E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m 到达点D 时，又测得屋檐E 点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF =12m ，EF ∥CB ，AB 交EF 于点G (点C ，D ，B 在同一水平线上)．(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7)(1)求屋顶到横梁的距离AG ；(2)求房屋的高AB (结果精确到1m )．【答案】(1)4.2m(2)11.3m【分析】(1)依题意AG ⊥EF ，EG =12EF =6，∠AEG =∠ACB =35°，解Rt △AGE ，即可求解；(2)过E 作EH ⊥CB 于H ，设EH =x ，根据tan ∠EDH =EH DH 得出DH =x tan60°，在Rt △ECH 中，得到CH=xtan35°，根据CH-DH=CD=6m列出方程，解方程得出x≈7.14，进而根据AB=AG+BG，即可求解．【详解】(1)解：∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，EF=12m，∴AG⊥EF，EG=12EF=6m，∠AEG=∠ACB=35°，在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°，∵tan∠AEG=tan35°=AGEG，EG=6，∴AG≈6×0.7=4.2(m)；答：屋顶到横梁的距离AG约为5.6m；(2)解：过E作EH⊥CB于H，设EH=x，在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60°，∵tan∠EDH=EHDH，∴DH=xtan60°；在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°，∵tan∠ECH=EHCH，∴CH=xtan35°∵CH-DH=CD=6m，∴x tan35°-xtan60°=6，解得：x≈7.14，∴AB=AG+BG=7.14+4.2=11.34≈11.3(m)，答：房屋的高AB约为11.3m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．5(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为1003米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B、C、D、P在同一平面内，参考数据：3≈1.732,2≈1.414)．(1)填空：∠ADP=度；(2)求楼CD的高度；(3)求此时无人机距离地面BC的高度(结果精确到1米)．【答案】(1)75(2)110米(3)183米【分析】(1)由平角的性质可得∠APD，过点A作AE⊥CD于点E，则∠DAE=30°，根据三角形内角和定理可得∠ADC；(2)由题意可得AE=BC=100米，EC=AB=10米，在Rt△AED中，tan30°=DEAE =DE100=33，解得DE=10033，结合CD=DE+EC可得出答案；(3)过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE，可得PF=AE=100米，再根据PG=PF+FG可得出答案；【详解】(1)解：∵∠MPA=60°,∠NPD=45°,∴∠APD=180°-∠MPA-∠NPD=75°，过点A作AE⊥CD于点E，则∠DAE=30°，∴∠ADC=180°-90°-30°=60°.∵MN∥AE,∴∠PAE=60°,∴∠PAD=30°,∠ADP=180°-∠APD-∠PAD=75°，故答案为：75(2)解：过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BC=1003米，EC=AB=10米，在Rt△AED中，∠DAE=30°，∵tan30°=DEAE∴DE=AE×tan30°=1003×33=100∴CD=DE+EC=100+10=110米．答：楼CD的高度为110米．(3)解：过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，∵∠DAE=30°∵AD=2DE=200∵∠APD=180°-60-°45°=75°,∠ADP=75°∴AP=AD=200在Rt△APF中，∠PAF=∠MPA=60°∵sin60°=PFPA∴PF=PA sin60°=1003∵FG=AB=10∴PG=PF+FG=1003+10≈183(米)答：此时无人机距离地面BC的高度约为183米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键【类型二不含特殊角的非直角三角形】1(2023秋·全国·九年级专题练习)如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角(锐角)为∠1，则tan∠1=．【答案】1【分析】由勾股定理的逆定理可得∠CED =90°，可得∠EDC =∠ECD =45°，由平行线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】解：如图，取格点E ，连接CE ,DE ，则CE ∥AB ，∵CE =5，DE =5，CD =10，∴DE =CE ，CE 2+DE 2=10=CD 2，∴∠CED =90°，∴∠EDC =∠ECD =45°，∵CE ∥AB ，∴∠1=∠DCE =45°，∴tan ∠1=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．【变式训练】1(2023·江苏宿迁·统考中考真题)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 、C 三点都在格点上，则sin ∠ABC =．【答案】22【分析】取AB 的中点D ，连接AC ,CD ，先根据勾股定理可得AC =BC =10,CD =5，再根据等腰三角形的三线合一可得CD ⊥AB ，然后根据正弦的定义即可得．【详解】解：如图，取AB 的中点D ，连接AC ,CD ，∵AC =12+32=10,BC =12+32=10,CD =12+22=5，∴AC =BC ，又∵点D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，∴sin ∠ABC =CD BC =510=22，故答案为：22．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，△ABC 的三个顶点都在边长是1的小正方形的顶点上，则tan ∠BAC =．【答案】43【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，则∠AEC =90°，求出AE 和CE 的长，再解直角三角形求出tan ∠BAC 即可．【详解】解：如图，过C 作CE ⊥AB 于E ，∴∠AEC =90°，∵小正方形的边长为1，∴AE =3，CE =4，∴tan ∠BAC =CE AE =43．故答案为：43．【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3(2023春·浙江杭州·九年级专题练习)在△ABC 中，AC =42，BC =6，∠C 为锐角且tan C =1．(1)求△ABC 的面积；(2)求AB 的值；(3)求cos ∠ABC 的值．【答案】(1)12(2)25(3)55【分析】(1)过点A 作AD ⊥BC ，根据∠C 的正切值确定∠C 的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD 、CD ，最后利用三角形的面积公式算出△ABC 的面积；(2)先利用线段的和差关系求出BD ，然后在Rt △ABD 中利用勾股定理求出AB ；(3)在Rt △ABD 中利用直角三角形的边角间关系求出∠B 的余弦值．【详解】(1)解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴∠ADC =∠ADB =90°，∵∠C 为锐角且tan C =1，∴∠C =45°，∴∠DAC =90°-∠C =45°，∴∠DAC =∠C =45°，∴AD =DC ，在Rt △ACD ，∵sin C =AD AC，AC =42，∴DC =AD =AC ∙sin C =42×22=4，∵BC =6，∴S △ABC =12BC ∙AD =12×6×4=12．∴△ABC 的面积为12．(2)∵DC =AD =4，BC =6，∴BD =BC -DC =6-4=2，在Rt △ABD 中，AB =AD 2+BD 2=42+22=25．∴AB 的值为25．(3)在Rt △ABD 中，AB =25，BD =2，∴cos ∠ABC =BD AB =225=55．∴cos ∠ABC 的值为55．【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．4(2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 为BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，连接BE ．已知DE =2.(1)若tan C =12，求AB 的长度；(2)若∠C =30°，求sin ∠BEA ．【答案】(1)25(2)277【分析】(1)根据tan C =12，得到△CDE 中各边长的比值关系，计算出CD 的长度，根据中点的性质得到BC 的长度，最后再用tan C =12计算出AB 即可．(2)过点B 作BH ⊥AC 于点H ，根据∠C =30°，DE =2，算出CD 的长度，根据中点的性质得到BC 的长度，就可以算出BH 和CH 的长度，得到HE 的长度，勾股定理算出BE ，即可得到结论．【详解】(1)∵DE ⊥AC ，∴∠DEC =90°，∵tan C =12，DE =2，∴DE CE=12，∴CE =2DE =4，∴CD =25，∵点D 为BC 的中点，∴BC =2CD =45．在Rt △ABC 中，tan C =12，∴AB BC=12，∴AB =25．(2)过点B 作BH ⊥AC 于点H ，∵∠C =30°，DE =2，∴CD =4，CE =23，∵点D 为BC 的中点，∴BC =2CD =8，在Rt △BHC ，∠C =30°，∴BH =4，CH =43，∴EH =CH -CE =23．由勾股定理得：BE =27，∴sin ∠BEA =BH BE =427=277，【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函数的含义，并能运用到题目中是解题关键．5(2023·宁夏吴忠·校考二模)问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D 、N 和E 、C ，DN 和EC 相交于点P ，求cos ∠CPN 的值．方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M 、N ，可得MN ∥EC ，则∠DNM =∠CPN ，连接DM ，那么∠CPN 就变换到Rt △DMN 中，问题解决：(1)求出图1中cos ∠CPN 的值；(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN 与CM 相交于点P ，求tan ∠CPN 的值．【答案】(1)cos ∠CPN =55(2)tan ∠CPN =1【分析】(1)结合已知可得cos ∠CPN =cos ∠DNM =MNDN，求出结果即可；(2)取格点D ，连接CD ，DM ．由∠DCM =∠D =45°得，tan ∠CPN =tan ∠DCM =1．【详解】(1)解：∵EC ∥MN ，∴∠CPN =∠DNM ，∴cos ∠CPN =cos ∠DNM ，∵∠DMN =90°，MN =12+12=2，DN =32+12=10，∴cos ∠CPN =cos ∠DNM =MN DN =210=55；(2)解：如图2中，取格点D ，连接CD ，DM ，如图所示：∵CD ∥AN ，∴∠CPN =∠DCM ，∵CM =12+22=5，DM =12+22=5，CD =12+32=10，∴CM =DM ，∵CM 2+DM 2=5+5=10=CD 2，∴△DCM 是等腰直角三角形，∴∠DCM =∠CDM =45°，∴tan ∠CPN =tan ∠DCM =tan45°=1．【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及勾股定理逆定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题．6(2023秋·全国·九年级专题练习)在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =1，∠A =α，求sin2α(用含sin α，cos α的式子表示)．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB =2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出sin2α=CD OC=sin α⋅AC 12=sin α⋅cos α12=2sin α⋅cos α．阅读以上内容，回答下列问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1．(1)如图3，∠ACB =90°，AB =1，若BC =12，则sin α=，sin2α=；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式(用含sin α，cos α的式子表示)．【答案】(1)12，32(2)tan2α=2sin α⋅cos α1-2sin 2α【分析】(1)根据勾股定理求得AC ，再根据三角函数的定义即可求得sin α和cos α，再根据sin2α=2sin α⋅cos α求解即可；(2)取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB =2α，OC =12AB =12，在Rt △ACD 中表示出CD ，勾股定理求得OD ，即可求解．【详解】(1)解：由勾股定理可得：AC =AB 2-BC 2=32，由三角函数的定义可得sin α=BC AB =121=12，cos α=AC AB =321=32，由材料可得：sin2α=2sin α⋅cos α=2×12×32=32，故答案为：12，32(2)解：取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如下图：则∠COB =2α，OC =OB =12AB =12，2α<90°，α<45°，∴在Rt △ABC 中，AC =cos α，BC =sin α，∴CD =AC ×BCAB=sin α⋅cos α，∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，sin ∠BCD =sin α=BD BC=BDsin α，∴BD =sin 2α，∴OD =12-sin 2α，∴tan2α=CD OD =sin α⋅cos α12-sin 2α=2sin α⋅cos α1-2sin 2α．【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形．【类型三“独立”型】1(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB ，无人机在离教学楼底部B 处16米的C 处垂直上升31米至D 处，测得教学楼顶A 处的俯角为39°，则教学楼的高度AB 约为米．(结果精确到0.1米)【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】【答案】18.0【分析】过A 作AF ⊥CD 于点F ，可得DE ∥AF ，根据题意可知CD =31米，BC =16米，由作图知AB =CF ，AF =BC =16米，在Rt △ADF 中利用三角函数可求出DF 的长，即可求得AB 的长．【详解】过A 作AF ⊥CD 于点F ，∴DE ∥AF ，CD =31米，BC =16米，AB =CF ，AF =BC =16米，在Rt △ADF 中，∠AFD =90°，tan ∠DAF =DFAF，∴DF=AF⋅tan∠DAF=16×0.81=12.96(米)，∴AB=CF=DC-DF=31-12.96=18.04≈18.0(米)，答：教学楼的高度AB约为18.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助仰角构造出直角三角形，然后利用三角函数进行求解是关键．【变式训练】1(2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习)如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i=1:2(坡度i=坡面铅直高度与水平宽度的比)斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E(A、B、C、D、E在同一平面内)，在E处测得建筑物顶端A的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)()A.27.1米B.30.8米C.32.8米D.49.2米【答案】C【分析】延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，首先根据坡度求出DG，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG=BC=8米，DE=40米，BF=CG=2米，在Rt△CDG中，i=1：2，∴DG=4米，在Rt△AFE中，∠AFE=90°，FE=FG+GD+DE=52米，∠E=43°，∴AF=FE⋅tan34°≈52×0.67=34.84(米)，∴AB=AF-BF=34.84-2≈32.8(米)；即建筑物AB的高度约为32.8米．故选：C．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；【答案】36-103【分析】在Rt△ADB中，由BD=AD⋅tan∠BAD可求BD，再由CD=BC-BD，即可求解．【详解】解：如图，由题意得：AD=30米，BC=36米，∠BAD=30°，在Rt△ADB中，BD=AD⋅tan∠BAD，=30×3=103，3∴CD=BC-BD=36-103，∴甲楼的高为(36-103)米；故答案：36-103．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．3如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5m，风筝飞到C处时的线长BC为30m，这时测得∠CBD=53°，求此时风筝离地面的高度．(精确到0.1m，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)【答案】此时风筝离地面的高度为25.5m【分析】根据矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，AB=1.5m，BC=30m，由图可知，人垂直于地面，即BA 垂直于地面，点C 到地面的高度为CE ，即CE 垂直于地面，且BD ⊥CE ，∴四边形ABDE 是矩形，∴AB =DE =1.5m ，在Rt △BCD 中，∠BDC =90°，∠CBD =53°，∴sin ∠CBD =CDBC，∴CD =BC ∙sin ∠CBD =30×sin53°=30×0.8=24m ，∴CE =CD +DE =24+1.5=25.5m ，∴此时风筝离地面的高度为25.5m ．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角函数的计算方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．【类型四“背靠背”型】1(2023春·山东青岛·九年级统考开学考试)科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离(结果保留整数)(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin23°≈513，tan23°≈512)．【答案】B ，C 两地的距离约是10千米．【分析】根据平行线的性质可知∠DBA =∠BAC =67°，推出∠ABC =90°，再根据正切的定义求出BC 的长．【详解】解：如图：∵BD∥AC，∴∠DBA=∠BAC=67°，∴∠ABC=180°-23°-67°=90°，≈10(千米)．∴BC=BA⋅tan67°≈4×125答：B，C两地的距离约是10千米．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．【变式训练】1(2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习)如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为km．【答案】30+103【分析】根据题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=302km，过B作BE⏊AC 于E，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=302km，过B作BE⏊AC于E，∴∠AEB=∠CEB=90°，在Rt△ABE中，∵∠CAB=45°，AB=302km，AB=30km，∴AE=BE=22在Rt△CBE中，∵∠ACB=60°，∴∠CBE=30°，×30=103km，tan×BE=3∴CE=∠CEB3∴AC=AE+CE=30+103km，∴A，C两港之间的距离为30+103km，故答案为：30+103．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．2(2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中)某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．(1)填空：∠DBE=度，∠BED=度；(2)求A、C两点间的距离：(结果保留根号)(3)求这座大楼CD的高度．(结果保留根号)【答案】(1)45；30(2)253-25米(3)5033米【分析】(1)根据俯角和仰角的定义求解即可；(2)设AB=x，在Rt△ABC中可得AC=BG=EF=3x，在Rt△BGD中可得DG=BG=3x，在Rt△EFD中可得DF=3EF=3x，最后由FG=DF+DG=50=3x+3x列方程求解即可；(3)由CD=CG+GD=x+3x求解即可．【详解】(1)如图，由题意可得，∠CBG=30°，∠DBG=45°，∠FED=60°，BE=GF=50，AC=BG=EF，AB=CG，∴∠DBE=45°,∠BED=30°，故答案为：45；30；(2)设AB=x，则AB=CG=x，在Rt△ABC中可得AC=BG=EF=3x，在Rt△BGD中可得DG=BG=3x，在Rt△EFD中可得DF=3EF=3x，∴FG=DF+DG=50=3x+3x解得：x=2533-13，∴AC=3x=253-25；(3)由(2)可得，x=2533-13，CD=CG+GD=x+3x∴CD=CG+GD=3+12533-13=5033【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．3(2023·黑龙江大庆·统考一模)如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．(点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号)(1)填空：∠ADC=度，∠BCD=度；(2)求此时无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离；(3)求教学楼BC的高度．【答案】(1)105，135(2)无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离为57-303米(3)教学楼BC的高度为303-27米【分析】(1)延长BC交DH于点G，根据题意可得∠HDC=45°，∠MDA=30°，∠BGD=90°，则∠ADC= 180°-∠MDA-∠HDC=105°，再根据三角形的外角定理求出∠BCD=∠HDC+∠BGD即可；(2)过点A作AF⏊DH，垂足为F．根据题意可得DG=BE，FG=AB=57米，AF=BG=DE=30米，则DF =AF30°tan ，再根据DG =FG -DF 即可求解；(3)在Rt △DGC 中，CG =DG ⋅45°tan ，则BC =BG -CG ，即可求解．【详解】(1)解：如图：延长BC 交DH 于点G ，由题意得：∠HDC =45°，∠MDA =30°，∠BGD =90°，∴∠ADC =180°-∠MDA -∠HDC =105°，∵∠BCD 是△CGD 的一个外角，∴∠BCD =∠HDC +∠BGD =135°，故答案为：105，135；(2)解：过点A 作AF ⏊DH ，垂足为F ．由题意得：DG =BE ，FG =AB =57米，AF =BG =DE =30米，在Rt △ADF 中，∠ADF =30°，DF =AF 30°tan =3033=303(米)，∴DG =FG -DF =57-303 米，∴BE =DG =57-303 米，∴此时无人机与教学楼BC 之间的水平距离BE 的距离为57-303 米；(3)解：在Rt △DGC 中，∠GDC =45°，DG =57-303 米，∴CG =DG ⋅45°tan =57-303 米，∴BC =BG -CG =30-57-303 =303-27 米，∴教学楼BC 的高度为303-27 米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．【类型五“叠合”型】1(2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习)文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．(结果精确到1m，参考数据：，，，．)【答案】文峰塔的高度约为38米【分析】延长交于点G，设米，在中，求出的长，进而得出的长，中，利用，进行求解即可．【详解】解：延长交于点G．由题意得：米，米，．设米．在中，，∴(米)．∴米．在中，，∴，解得．经检验：是原方程的根．∴(米)．答：文峰塔的高度约为38米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，熟记锐角三角函数的定义．【变式训练】1(2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习)如图，小明为了测量小河对岸大树BC 的高度，他在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，沿斜坡走352米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF 的坡比为1:2，E ，A ，C 在同一水平线上．(1)求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度．(2)大树BC 的高度约为多少米?(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)【答案】(1)小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为32米(2)大树BC 的高度约为334米【分析】(1)作DH ⊥AE 于H ，在Rt △ADH 中，DH AH=12，则AH =2DH ．由勾股定理得AH 2+DH 2=AD 2,即可求出答案；(2)延长BD 交AE 于点G .设BC =x 米．求出GA =GH +AH =2.5+3=5.5(米).在Rt △BGC 中，tan ∠DGH =BC GC ，则CG =BC tan ∠DGH≈x 0.60=53x 米.在Rt △BAC 中，∠BAC =45°，则AC =BC =x米．由GC -AC =AG 得到53x -x =5.5，即可求得答案．【详解】(1)作DH ⊥AE 于H ，如图所示，在Rt △ADH 中，∵DH AH=12，∴AH =2DH ．∵AH 2+DH 2=AD 2，∴(2DH )2+DH 2=325 2，∴DH =32米.答：小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为32米.(2)如图，延长BD 交AE 于点G .设BC =x 米．由题意，得∠DGH =31°，∴GH =DH tan ∠DGH≈52=2.5米．∵AH =2DH =3米，∴GA =GH +AH =2.5+3=5.5(米).在Rt △BGC 中，tan ∠DGH =BCGC，∴CG =BC tan ∠DGH≈x 0.60=53x 米.在Rt △BAC 中，∵∠BAC =45°，∴AC =BC =x 米．∵GC -AC =AG ，∴53x -x =5.5，解得x =334．答：大树BC 的高度约为334米.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是解题的关键．2(2023·江苏苏州·校考二模)如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计)【答案】(1)(2)【分析】()在中，已知，，利用角的正切可得出结果()在中，由正切函数的定义求出的长，最后解，即可求出的长，即古树的高度．【详解】(1)由题意知，，，(2)，，。

模型构建专题：解直角三角形应用中的模型——形成思维模式，快准解题◆类型一叠合式1．(2017·烟台中考)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)()A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米第1题图第2题图2．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．3．(2017·菏泽中考)如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.4．埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．【方法10】5．(2017·株洲中考)如图所示，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．(1)求点H到桥左端点P的距离；(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.◆类型二背靠式6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为() A．300米B．1502米C．900米D．(3003＋300)米第6题图第7题图7．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行________海里．8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．9．(2017·青岛中考)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73)．【方法10】10．(2017·荆州中考)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方23米处的点C 出发，沿斜面坡度i ＝1∶3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米．已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB ⊥BC ，AB ∥DE ，求旗杆AB 的高度(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号)．参考答案与解析1．C2.32解析：如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D .在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，AC ＝60海里，∴CD ＝12AC ＝30海里．在Rt △CBD 中，∵∠CDB ＝90°，∠CBD ＝90°－30°＝60°，∴BC ＝CDsin ∠CBD＝203(海里)，∴海警船到达事故船C 处所需的时间大约为203÷40＝32(小时)．3．解：如图，作AE ⊥CD .∵CD ＝BD ·tan60°＝3BD ，CE ＝BD ·tan30°＝33BD ，∴AB ＝CD －CE ＝233BD ＝42米，∴BD ＝213米，CD ＝3BD ＝63米．答：⑪号楼的高度CD 为63米．4．解：如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E .设BD ＝x 米．∵∠CBD ＝60°，∴tan ∠CBD ＝CDBD ＝3，∴CD ＝3x 米．∵AB ＝2000米，∴AD ＝(x ＋2000)米．∵∠CAD＝45°，∴tan ∠CAD ＝CDAD ＝1，∴3x ＝x ＋2000，解得x ＝10003＋1000，∴CD ＝3(10003＋1000)＝(3000＋10003)(米)，∴CE ＝CD ＋DE ＝3000＋10003＋500＝(3500＋10003)(米)．答：黑匣子C 点距离海面的深度为(3500＋10003)米．5．解：(1)在Rt △AHP 中，∵AH ＝5003米，由tan ∠APH ＝tan α＝AH HP ＝5003PH ＝23，可得PH ＝250米．∴点H 到桥左端点P 的距离为250米．(2)设BC ⊥HQ 于C .在Rt △BCQ 中，∵BC ＝AH ＝5003米，∠BQC ＝30°，∴CQ ＝BCtan30°＝1500米．∵PQ ＝1255米，∴CP ＝245米．∵HP ＝250米，∴AB ＝HC ＝250－245＝5(米)．答：这架无人机的长度AB 为5米．6．D7．22 解析：作PC ⊥AB 于点C .∵甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，∴∠P AC ＝30°，AP ＝4×2＝8(海里)，∴PC ＝AP ×sin30°＝8×12＝4(海里)．∵乙货船从B 港沿西北方向出发，∴∠PBC ＝45°，∴PB ＝PC ÷sin45°＝4÷22＝42(海里)，∴乙货船航行的速度为42÷2＝22(海里/时)．8．解：在Rt △ADC 中，∠ACD ＝30°，tan ∠ACD ＝ADCD，CD ＝9米，∴AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝9×33＝33(米)．在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，tan ∠BCD ＝BD CD，∴BD ＝CD ＝9米，∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9≈14(米)．答：对面楼房AB 的高度约为14米．9．解：过点B 作BD ⊥AC 于点D .∵B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，∴∠ABD ＝67°，∴AD ＝AB ·sin67°≈520×1213＝480(km)，BD ＝AB ·cos67°≈520×513＝200(km)．∵C 地位于B 地南偏东30°方向，∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BD ·tan30°＝200×33＝20033(km)，∴AC ＝AD ＋CD ＝480＋20033≈480＋115＝595(km)． 答：A 地到C 地之间高铁线路的长为595km.10．解：如图，延长ED 交BC 的延长线于点F ，则∠CFD ＝90°.∵tan ∠DCF ＝i ＝13＝33，∴∠DCF ＝30°.∵CD ＝4米，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD ·cos ∠DCF ＝4×32＝23(米)，∴BF ＝BC ＋CF ＝23＋23＝43(米)．过点E 作EG ⊥AB 于点G ，则GE ＝BF ＝43米，GB ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5(米)．又∵∠AEG ＝37°，∴AG ＝GE ·tan ∠AEG ＝43·tan37°≈33米，则AB ＝AG ＋BG ≈(33＋3.5)米，故旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米．。

模型构建专题：解直角三角形应用中的模型——形成思维模式，快准解题◆类型一叠合式1．(2017·烟台中考)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)()A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米第1题图第2题图2．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．3．(2017·菏泽中考)如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.4．埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．【方法10】5．(2017·株洲中考)如图所示，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．(1)求点H到桥左端点P的距离；(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.◆类型二背靠式6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为() A．300米B．1502米C．900米D．(3003＋300)米第6题图第7题图7．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行________海里．8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．9．(2017·青岛中考)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73)．【方法10】10．(2017·荆州中考)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方23米处的点C 出发，沿斜面坡度i ＝1∶3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米．已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB ⊥BC ，AB ∥DE ，求旗杆AB 的高度(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号)．参考答案与解析1．C2.32解析：如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D .在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，AC ＝60海里，∴CD ＝12AC ＝30海里．在Rt △CBD 中，∵∠CDB ＝90°，∠CBD ＝90°－30°＝60°，∴BC ＝CDsin ∠CBD＝203(海里)，∴海警船到达事故船C 处所需的时间大约为203÷40＝32(小时)．3．解：如图，作AE ⊥CD .∵CD ＝BD ·tan60°＝3BD ，CE ＝BD ·tan30°＝33BD ，∴AB ＝CD －CE ＝233BD ＝42米，∴BD ＝213米，CD ＝3BD ＝63米．答：⑪号楼的高度CD 为63米．4．解：如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E .设BD ＝x 米．∵∠CBD ＝60°，∴tan ∠CBD ＝CDBD ＝3，∴CD ＝3x 米．∵AB ＝2000米，∴AD ＝(x ＋2000)米．∵∠CAD＝45°，∴tan ∠CAD ＝CDAD ＝1，∴3x ＝x ＋2000，解得x ＝10003＋1000，∴CD ＝3(10003＋1000)＝(3000＋10003)(米)，∴CE ＝CD ＋DE ＝3000＋10003＋500＝(3500＋10003)(米)．答：黑匣子C 点距离海面的深度为(3500＋10003)米．5．解：(1)在Rt △AHP 中，∵AH ＝5003米，由tan ∠APH ＝tan α＝AH HP ＝5003PH ＝23，可得PH ＝250米．∴点H 到桥左端点P 的距离为250米．(2)设BC ⊥HQ 于C .在Rt △BCQ 中，∵BC ＝AH ＝5003米，∠BQC ＝30°，∴CQ ＝BCtan30°＝1500米．∵PQ ＝1255米，∴CP ＝245米．∵HP ＝250米，∴AB ＝HC ＝250－245＝5(米)．答：这架无人机的长度AB 为5米．6．D7．22 解析：作PC ⊥AB 于点C .∵甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，∴∠P AC ＝30°，AP ＝4×2＝8(海里)，∴PC ＝AP ×sin30°＝8×12＝4(海里)．∵乙货船从B 港沿西北方向出发，∴∠PBC ＝45°，∴PB ＝PC ÷sin45°＝4÷22＝42(海里)，∴乙货船航行的速度为42÷2＝22(海里/时)．8．解：在Rt △ADC 中，∠ACD ＝30°，tan ∠ACD ＝ADCD，CD ＝9米，∴AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝9×33＝33(米)．在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，tan ∠BCD ＝BD CD，∴BD ＝CD ＝9米，∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9≈14(米)．答：对面楼房AB 的高度约为14米．9．解：过点B 作BD ⊥AC 于点D .∵B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，∴∠ABD ＝67°，∴AD ＝AB ·sin67°≈520×1213＝480(km)，BD ＝AB ·cos67°≈520×513＝200(km)．∵C 地位于B 地南偏东30°方向，∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BD ·tan30°＝200×33＝20033(km)，∴AC ＝AD ＋CD ＝480＋20033≈480＋115＝595(km)． 答：A 地到C 地之间高铁线路的长为595km.10．解：如图，延长ED 交BC 的延长线于点F ，则∠CFD ＝90°.∵tan ∠DCF ＝i ＝13＝33，∴∠DCF ＝30°.∵CD ＝4米，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD ·cos ∠DCF ＝4×32＝23(米)，∴BF ＝BC ＋CF ＝23＋23＝43(米)．过点E 作EG ⊥AB 于点G ，则GE ＝BF ＝43米，GB ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5(米)．又∵∠AEG ＝37°，∴AG ＝GE ·tan ∠AEG ＝43·tan37°≈33米，则AB ＝AG ＋BG ≈(33＋3.5)米，故旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米．。

解直角三角形之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。

将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。

在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。

为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。

【重要模型】模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边(高)CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。

1(2023年西藏自治区中考数学真题)如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东60°的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．(结果保留根号)2(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；3(2023年湖北中考数学真题)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C =18°，求斜坡AB的长．(结果精确到米)(参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)4(2023年四川省达州市中考数学真题)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？(结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。

专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。

将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。

在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。

为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。

模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。

湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，i=是指坡面的铅直高度AF斜面坡度3:4长．（结果精确到米）（参考数据：sin18例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC 是解题的关键。

【重要等量关系】如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC-BC=DB；如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。

图5图6图7图8图9如图5，BE+EC=BC；如图6，EC-BC=BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。

模型构建专题：解直角三角形应用中的模型——形成思维模式，快准解题◆类型一叠合式1．(2017·烟台中考)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)()A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米第1题图第2题图2．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．3．(2017·菏泽中考)如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.4．埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．【方法10】5．(2017·株洲中考)如图所示，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．(1)求点H到桥左端点P的距离；(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.◆类型二背靠式6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为() A．300米B．1502米C．900米D．(3003＋300)米第6题图第7题图7．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行________海里．8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．9．(2017·青岛中考)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73)．【方法10】10．(2017·荆州中考)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方23米处的点C 出发，沿斜面坡度i ＝1∶3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米．已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB ⊥BC ，AB ∥DE ，求旗杆AB 的高度(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号)．参考答案与解析1．C2.32解析：如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D .在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，AC ＝60海里，∴CD ＝12AC ＝30海里．在Rt △CBD 中，∵∠CDB ＝90°，∠CBD ＝90°－30°＝60°，∴BC ＝CDsin ∠CBD＝203(海里)，∴海警船到达事故船C 处所需的时间大约为203÷40＝32(小时)．3．解：如图，作AE ⊥CD .∵CD ＝BD ·tan60°＝3BD ，CE ＝BD ·tan30°＝33BD ，∴AB ＝CD －CE ＝233BD ＝42米，∴BD ＝213米，CD ＝3BD ＝63米．答：⑪号楼的高度CD 为63米．4．解：如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，交海面于点E .设BD ＝x 米．∵∠CBD ＝60°，∴tan ∠CBD ＝CDBD ＝3，∴CD ＝3x 米．∵AB ＝2000米，∴AD ＝(x ＋2000)米．∵∠CAD＝45°，∴tan ∠CAD ＝CDAD ＝1，∴3x ＝x ＋2000，解得x ＝10003＋1000，∴CD ＝3(10003＋1000)＝(3000＋10003)(米)，∴CE ＝CD ＋DE ＝3000＋10003＋500＝(3500＋10003)(米)．答：黑匣子C 点距离海面的深度为(3500＋10003)米．5．解：(1)在Rt △AHP 中，∵AH ＝5003米，由tan ∠APH ＝tan α＝AH HP ＝5003PH ＝23，可得PH ＝250米．∴点H 到桥左端点P 的距离为250米．(2)设BC ⊥HQ 于C .在Rt △BCQ 中，∵BC ＝AH ＝5003米，∠BQC ＝30°，∴CQ ＝BCtan30°＝1500米．∵PQ ＝1255米，∴CP ＝245米．∵HP ＝250米，∴AB ＝HC ＝250－245＝5(米)．答：这架无人机的长度AB 为5米．6．D7．22 解析：作PC ⊥AB 于点C .∵甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，∴∠P AC ＝30°，AP ＝4×2＝8(海里)，∴PC ＝AP ×sin30°＝8×12＝4(海里)．∵乙货船从B 港沿西北方向出发，∴∠PBC ＝45°，∴PB ＝PC ÷sin45°＝4÷22＝42(海里)，∴乙货船航行的速度为42÷2＝22(海里/时)．8．解：在Rt △ADC 中，∠ACD ＝30°，tan ∠ACD ＝ADCD，CD ＝9米，∴AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝9×33＝33(米)．在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，tan ∠BCD ＝BD CD，∴BD ＝CD ＝9米，∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9≈14(米)．答：对面楼房AB 的高度约为14米．9．解：过点B 作BD ⊥AC 于点D .∵B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，∴∠ABD ＝67°，∴AD ＝AB ·sin67°≈520×1213＝480(km)，BD ＝AB ·cos67°≈520×513＝200(km)．∵C 地位于B 地南偏东30°方向，∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BD ·tan30°＝200×33＝20033(km)，∴AC ＝AD ＋CD ＝480＋20033≈480＋115＝595(km)． 答：A 地到C 地之间高铁线路的长为595km.10．解：如图，延长ED 交BC 的延长线于点F ，则∠CFD ＝90°.∵tan ∠DCF ＝i ＝13＝33，∴∠DCF ＝30°.∵CD ＝4米，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD ·cos ∠DCF ＝4×32＝23(米)，∴BF ＝BC ＋CF ＝23＋23＝43(米)．过点E 作EG ⊥AB 于点G ，则GE ＝BF ＝43米，GB ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5(米)．又∵∠AEG ＝37°，∴AG ＝GE ·tan ∠AEG ＝43·tan37°≈33米，则AB ＝AG ＋BG ≈(33＋3.5)米，故旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米．。