1.3.1并集和交集

[ 思考]
集合 A∪B 中的元素个数就是集合 A 和 B 的所有元素的个
数和吗？
提示：不一定．因为集合元素满足互异性，所以若集合 A 和 B 有公
共元素，则只能出现一次．
并集的性质
【性质①】A∪A=A
任何集合与其本身的并集都等于自身
【性质②】A∪∅=A
任何集合与空集的并集都等于这个集合本身
【拓展】A，B，A∪B这三者的关系有如下5种情况：
要注意集合中元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解．注
意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范
围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题
目验证．
[ 变式训练]
1．已知集合 A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合 A
而 A 与 B 的并集是由 A 与 B 两个集合中的所有元素(重复元素只出
现一次)组成的，即集合 A∪B 中的元素可能 A 与 B 两个集合都有，也可
能 A 有 B 没有，或者 A 没有 B 有．
一般地，集合 A∩B 比 A 与 B 两个集合的范围都小或元素都少；集
合 A∪B 比 A 与 B 两个集合的范围都大或元素都多．当且仅当 A＝B 时，
B
B
3．已知集合 M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则 M∪N＝
A．{－1,0,1}
B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2}
D．{0,1}
答案：B
(
)
知识点二
交集
(一)教材梳理填空
且
B 的元素组成的集合，称
文字 一般地，由所有属于集合 A__属于集合

§ 1.3.1集合的基本运算—交集与并集1、教学目标（1）通过实例，抽象概括两个集合的并集与交集的概念，从三种语言理解交集与并集含义，发展学生数学抽象素养；（2）会求两个简单集合的并集与交集，能用Venn 图表达集合的关系及运算，发展学生直观想象素养与数学运算素养.2、教学重点与难点教学重点：集合的交集与并集的概念； 用集合语言表达数学对象或数学内容. 教学难点： “且”、“或”的理解及正确进行集合的交与并.3、教学过程：环节1：呈现情境，提出问题我们知道，实数有加、减、乘、除等运算。

集合是否也有类似的运算呢？请观察、思考下列集合之间的关系：问题1：(1)记A={x|x 是有理数}，B={x|x 是无理数}，C={x|x 是实数}，集合A,B,C 之间有什么关系？(2)某文具店现有铅笔、中性笔、直尺、笔记本、橡皮5种商品出售，现计划再进中性笔、直尺、笔记本、订书机、三角板5种商品。

那么进货后该文具店有哪些商品可出售？共几种？用集合A 、B 、C 分别表示文具店现有品种、计划进货品种、进货后共有品种，那么集合A,B,C 之间有怎样的关系？（或改为观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合C 与集合A,B 之间的关系吗？（1）{}5,3,1=A ,{}6,4,2=B ,{}6,5,4,3,2,1=C ; （2）A={x|x 是有理数}，B={x|x 是无理数}，C={x|x 是实数}.师生活动：学生讨论，教师引导完成。

(3)异分母分数41,31通分时，要先求它们的公分母。

记{}*∈==N k k x x A .3|, {}*∈==N k k x x B .4|,那么41,31的公分母的集合C 是什么？集合A,B,C 之间有怎样的关系？（4）设{}是矩形x x A |=，{}是菱形x x B |=，{}是正方形x x C |=，集合A,B,C 之间有怎样的关系？【设计意图】从具体、学生熟悉的例子入手，使学生感受建立集合运算的必要性，并通过归纳、抽象建构并集、交集概念。

A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={5，8}
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合 B的所有元素组成的集合叫做A与 B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
A
B
A∩B
性质
⑴ A∩A = A A∩φ = φ A∩B =B∩A
⑵ A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A
例6 设A={x x2+4x=0}, bbbbbcB={x x2+2(a+1)x+a2－1=0},
(1) 若A∩B=B,求a的值．
(2) 若A∪B=B,求a的值．
探究
(A∩B)∩C = A∩( B∩C ) A∩B∩C
(A∪B)∪C= A∪( B∪C ) A∪B∪C
课堂小结
1. 理解两个集合交集与并集的概念 bb和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 bbb数轴法和图示法． 3．注意灵活、准确地运用性质解题;
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B
的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
A
B
A∪B
观察集合A,B,C元素间的关系:
则A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例3 设A={x x＞－2},B={x x＜3}, 求A∩B, A∪B．
例4 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．

1.3.1并集和交集1．已知集合A＝{－1,0}，B＝{0,1}，C＝{1,2}，则(A∩B)∪C等于( )A．∅B．{1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}解析：A∩B＝{0}，所以(A∩B)∪C＝{0}∪{1,2}＝{0,1,2}．故选C.2．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数为( )A．1 B．3C．4 D．8解析：由已知可得B中必含元素3.又A∪B＝{1,2,3}，故B可能含1,2，所以B＝{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共4个．故选C.3．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}解析：因为A∩B＝{2}，所以2∈A,2∈B，所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2.即A＝{1,2}，B＝{2,5}，所以A∪B＝{1,2,5}，故选D.4．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则如下Venn图中的阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：由题图可知，阴影部分为{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }．由已知易得M ∪N ＝{－1,0,1,2}，M ∩N ＝{0,1}，所以{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }＝{－1,2}．5．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，显然⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，解得a ＝4. 6．若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，则P ∩Q 等于( )A ．{x |3≤x <4}B ．{x |3<x <4}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |2≤x ≤3} 解析：因为P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，所以P ∩Q ＝{x |3≤x <4}，故选A.7.已知集合M={x|-3<x ≤5},N={x|x<-5,或x>4},则M ∪N=( )A.{x|x<-5,或x>-3}B.{x|-5<x<4}C.{x|-3<x<4}D.{x|x<-3,或x>5}解析：在数轴上分别表示集合M 和N,如图所示,则M ∪N={x|x<-5,或x>-3}.8.已知集合A={1,3,m 2},B={1,m},A ∪B=A,则m 等于( )A.3B.0或3C.1或0D.1或3解析：因为B ∪A=A,所以B ⊆A,因为集合A={1,3,m2},B={1,m},所以m=3,或m2=m,所以m=3或m=0.故选B.9．已知集合M ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}，P ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}，则M ∩P 等于 .解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以M ∩P ＝{(1,2)}． 10．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ .解析：∵A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}＝{2}，∴a ＝2.11．集合A ＝{x |x 2－px ＋15＝0，x ∈N }，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈N }，若A ∪B ＝{2,3,5}，则A ＝ ，B ＝ .解析：设A ＝{x 1，x 2}，B ＝{x 3，x 4}，∵x 1，x 2是方程x 2－px ＋15＝0的两根，∴x 1x 2＝15.又A ∪B ＝{2,3,5}，∴x 1，x 2∈{2,3,5}，∴x 1＝3，x 2＝5或x 1＝5，x 2＝3，即A ＝{3,5}，同理，可得B ＝{2,3}．12.集合A={x|x ≤-1或x>6},B={x|-2≤x ≤a},若A ∪B=R,则实数a 的取值范围为_________. 解析:由图示可知a ≥6. 所以a 的取值范围为{a|a ≥6}13.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是_________,若A∩B=∅,则a的范围为_________.解析:根据题意,集合A={x|1≤x≤2},若A∩B=A,则有A⊆B,必有a>2,若A∩B= ,必有a≤1.14.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=________.解析:如图所示,可知a=1,b=6, 2a-b=-4.15．已知集合M＝{2,3，a2＋4a＋2}，N＝{0,7，a2＋4a－2，2－a}，且M∩N＝{3,7}，求实数a 的值．解：因为M∩N＝{3,7}，所以7∈M.又M＝{2,3，a2＋4a＋2}，故a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.当a＝－5时，N中的元素为0,7,3,7，这与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝1时，M＝{2,3,7}，N＝{0,7,3,1}，所以M∩N＝{3,7}，符合题意．故a＝1.16.已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a(a>0)}．(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．解: (1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，观察数轴可知，⎩⎪⎨⎪⎧2≥a ，4≤3a ，所以43≤a ≤2. (2)A ∩B ＝∅有两类情况：B 在A 的左边和B 在A 的右边，如图．观察数轴可知，a ≥4或3a ≤2，又a >0，所以0<a ≤23或a ≥4. 17．已知A ＝{x |－2≤x ≤4}，B ＝{x |x >a }．(1)若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ≠∅，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．解：(1)由于A ∩B ≠A ，所以如图可得，在数轴上实数a 在－2的右边，可得a ≥－2.(2)由于A ∩B ≠∅，且A ∩B ≠A ，所以在数轴上，实数a 在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a <4.18．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x <－1，或x >16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝∅；(2)A ⊆(A ∩B )．解：(1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立．此时2a ＋1>3a －5，即a <6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}．(2)因为A ⊆(A ∩B )，所以A ∩B ＝A ，即A ⊆B .显然A ＝∅满足条件，此时a <6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5<－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16.解得a >152. 综上，满足条件A ⊆(A ∩B )的实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <6或a >152.。