高三数学一轮复习教案：平面向量的数量积与应用举例 必修四

授课人1、知识与技能目标：（1）理解向量夹角与向量在轴上射影的概念；（2）掌握向量的数量积的定义及性质；2、过程与方法目标：（1）通过物理学中力做功这一物理背景，让学生体会从特殊到一般的思维方法；感受知识的产生和发展的迁移过程，训练学生的逻辑思维能力；（2）通过对数量积定义的理解与学习，培养学生观察、举一反三的能力。

3、情感目标：通过本节学习，培养学生知识的迁移，发现、提出、解决数学问题的能力，初步尝试数学研究的过程，发展学生的创新意识。

向量的数量积的定义及性质利用力做功这一物理学背景，启发引导学生去研究向量数量积相关知识，在学生学习本节知识中，要常运用几何直观去引导学生理解定义的实质，揭示其几何意义。

让学生了解本节大致的内容，说明这个物理问题可通过向量解决，激发学生的学习兴趣（2）判断：两向量垂直，则两向量夹角是0902、 向量在轴上的正射影 已知a 和轴l （如图），过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别是O 1，A 1，则向量11A O 叫向量a 在轴l 上的正射影（简称射影）；该射影在轴上的坐标，叫做a 在轴上的数量或在轴的方向上的数量。

l 问题2 （1）类比力做功问题，a 在轴上的正射影是什么？正射影的数量又是什么？ （2）类比向量在轴上的正射影概念，向量a 在向量b 上正射影的数量是多少？练习:已知轴l :向量5|| OA ,OA 的方向与轴l的正方向所成角为060,求OA 在轴l 上的正射影的数量; 讨论： (1) 把练习(1)中所成角改为0012,结果又是多少? (2)把练习(1)中的问题改成求OA 在轴l 上的正射影,应如何去算?还须知道哪个量？O 1A 1 O A的数量积，老师提问学生回答在学生回答过程中老师要配以图形学生回答通过这道练习，让学生体会数量积结果跟哪些量有关，强化定义的记忆，并由此得到数量积的5个重要的性质，培养学生独立分析解决问题的能力这些性质的证明让学生自己课下完成强化学生对数量积定通过本题，强化学生对数量积的定义及几何意义的理解和应用，体验创造的激情，激发学生的学习兴趣。

§5.4平面向量的综合应用题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如图，在△ABC 中，cos ∠BAC ＝14，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，AD ＝152，则△ABC 的面积的最大值为________．答案15解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为BD ＝3DC ，AD →＝14AB →＋34AC →，又AD ＝152，cos ∠BAC ＝14，所以AD →214AB ＋34AC ＝116c 2＋916b 2＋38bc cos ∠BAC ＝116c 2＋916b 2＋332bc ，又154＝116c 2＋916b 2＋332bc ＝14c 234b ＋332bc ≥2×14c ×34b ＋332bc ＝1532bc ，当且仅当c ＝3b 时，等号成立．所以bc ≤8，又sin ∠BAC ＝154，所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ≤12×8×154＝15.(2)(2022·天津)在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，D 是AC 的中点，CB →＝2BE →，试用a ，b 表示DE →为________，若AB →⊥DE →，则∠ACB 的最大值为________．答案32b －12a π6解析DE →＝CE →－CD →＝32b －12a ，AB →＝CB →－CA →＝b －a ，由AB →⊥DE →得(3b －a )·(b －a )＝0，即3b 2＋a 2＝4a ·b ，所以cos ∠ACB ＝a ·b |a ||b |＝3b 2＋a 24|a ||b |≥23|a ||b |4|a ||b |＝32，当且仅当|a |＝3|b |时取等号，而0<∠ACB <π，所以∠ACB，π6.思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→计算解决向量问题――→还原解决几何问题．跟踪训练1(1)在△ABCBC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案A解析AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，AB →|AB →|＋AC →|AC →|在∠A 的角平分线上，BC →＝0，∴|AB →|＝|AC →|，又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则AB →与AC →的夹角为60°，即∠BAC ＝60°，可得△ABC 是等边三角形．(2)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →，AD ＝37，则BC 的长为()A ．37B ．36C ．33D ．6答案A解析因为CD →＝2DB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC→＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，设AB ＝x ，则AD →2＋13AC ，得37＝49x 2＋49×x ×9cos 60°＋19×92，即2x 2＋9x －126＝0，因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以|BC →|＝|AC →－AB →|＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →|·|AC →|cos 60°＝62＋92－2×6×9×12＝37.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC 中，点P 满足2BP →＝PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为()A ．3B ．32C ．1 D.13答案A解析由题意知，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋BC →3＝AB →＋AC →－AB →3＝2AB →3＋AC →3，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，∴AP →＝2AM →3x ＋AN →3y，由M ，P ，N 三点共线，得23x ＋13y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y ＝53＋2x 3y ＋2y 3x ≥53＋22x 3y ·2y3x＝3，当且仅当x ＝y 时等号成立．故2x ＋y 的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC 中，M ，N 分别为边BC ，AC 上的动点，且CN ＝BM ，则AM →·MN→的最大值为________．答案－43解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，则BC →＝(2,0)，CA →＝(－1，3)，设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则CN →＝tCA →(0≤t ≤1)，则M (2t －1,0)，N (1－t ，3t )，∴AM →＝(2t －1，－3)，MN →＝(2－3t ，3t )，∴AM →·MN →＝(2t －1)×(2－3t )＋(－3)×(3t )＝－6t 2＋4t －2＝－－43，当t ＝13时，AM →·MN →取得最大值－43.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，且向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是()A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2]C ．[2，2＋1]D ．[2－2，2＋2]答案A解析a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，|c －a －b |＝|(x －1，y －1)|＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，∴2－1≤|c |≤2＋1.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD ＝2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →＝λAB →＋56AD →，则|AF →|的最小值为()A.11B ．3 C.7D.5答案D解析设|AB →|＝x ，|AD →|＝y ，则S ＝x ·y ·sin 2π3＝32xy ＝93，∴xy ＝18.∵AF →＝λAB →＋56AD →＝λ(AE →＋EB →)＋56AD →＝λAE →，∵E ，F ，D 三点共线，∴λ＋56－λ2＝1⇒λ＝13，∴AF →＝13AB →＋56AD →，∴|AF →|2＝19|AB →|2＋59AB →·AD →＋2536|AD →|2＝19x 2＋59xy ＋2536y 2≥－5＋219·2536·x 2·y 2＝5，当且仅当x ＝52y 时，等号成立．∴|AF →|的最小值为5.(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，△ABC 所在平面内的点P 满足|AP →－AB →－AC →|＝1，则|AP →|的最小值为()A.3－1B ．22－1C ．23－1D.7－1答案C解析因为|AB →＋AC →|2＝AB →2＋AC →2＋2AB →·AC→＝|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →|·|AC →|cos π3＝12，所以|AB →＋AC →|＝23，由平面向量模的三角不等式可得|AP →|＝|(AP →－AB →－AC →)＋(AB →＋AC →)|≥||AP →－AB →－AC →|－|AB →＋AC →||＝23－1.当且仅当AP →－AB →－AC →与AB →＋AC →方向相反时，等号成立．因此|AP →|的最小值为23－1.(3)(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA →·PB →的取值范围是()A ．[－5,3]B ．[－3,5]C ．[－6,4]D ．[－4,6]答案D解析以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (3,0)，B (0,4)．设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，PA →＝(3－x ，－y )，PB →＝(－x ,4－y )，所以PA →·PB →＝x 2－3x ＋y 2－4y＋(y －2)2－254.又＋(y －2)2表示圆x 2＋y 2＝1圆心(0,0)离为52，所以PA →·PB →－254，－254，即PA →·PB →∈[－4,6]，故选D.课时精练1．四边形ABCD 中，AD →＝BC →，(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝0，则这个四边形是()A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．等腰梯形答案A解析由题意，AD →＝BC →，即|AD |＝|BC |且AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形，又(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，故AC ⊥BD 即四边形ABCD 为菱形．2．(多选)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB →·AC →的值()A ．与圆C 的半径有关B ．与圆C 的半径无关C ．与弦AB 的长度有关D ．与点A ，B 的位置有关答案BC解析如图，连接AB ，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AC →|·12|AB →||AC →|＝12|AB →|2，故AB →·AC →的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关．3.如图，在△ABC 中，BD →＝23BC →，E 为线段AD 上的动点，且CE →＝xCA →＋yCB →，则1x ＋3y 的最小值为()A ．8B ．9C ．12D ．16答案D解析由已知得CB →＝3CD →，∴CE →＝xCA →＋yCB →＝xCA →＋3yCD →，∵E 为线段AD 上的动点，∴A ，D ，E 三点共线，∴x ＋3y ＝1且x >0，y >0，∴1x ＋3y ＝1x ＋3y (x ＋3y )＝10＋3y x ＋3xy ≥10＋23y x ·3xy＝16，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立．故1x ＋3y的最小值为16.4．在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，若AG →·AB →＝AG →·AC →＝6，则△ABC 外接圆的半径为()A.3 B.433C ．2D ．23答案C解析由AG →·AB →＝AG →·AC →，可得AG →·(AB →－AC →)＝AG →·CB →＝0，则有AG ⊥BC ，又在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，则△ABC 为等边三角形．则AG →·AB →＝23×12(AB →＋AC →)·AB→|2＋|AB →|2cos ＝12|AB →|2＝6，解得|AB →|＝23，则△ABC 外接圆的半径为12×|AB →|sin π3＝12×2332＝2.5．在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，AB ⊥AD ，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则(PA →＋PC →)·PB →的最小值是()A ．－58B ．－12C ．－38D ．－14答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，所以PB →＝(1－x ，－y )，PA →＋PC →＝(－x ，－y )＋(1－x ,2－y )＝(1－2x ,2－2y )，故(PA →＋PC →)·PB →＝(1－2x )(1－x )＋(2－2y )(－y )＝＋－58，所以当x ＝34，y ＝12时，(PA →＋PC →)·PB →取得最小值－58.6．设向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ·(a ＋b －c )＝0，则|c |的最大值等于()A ．1B ．2C ．1＋52D.5答案D解析向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，c ＝(x ，y )，∵c ·(a ＋b －c )＝0，∴(x ，y )·(1－x ,2－y )＝x (1－x )＋y (2－y )＝0，即x 2＋y 2－x －2y ＝0，整理可得＋(y －1)2＝54，则|c |，半径为52的圆上的点到原点的距离，则|c |＋52＝ 5.7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有()A ．若OA →＋OB →＋OC →＝0，则点O 为△ABC 的重心B ．若OA →OB →0，则点O 为△ABC 的垂心C ．若(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0，则点O 为△ABC 的外心D ．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 为△ABC 的内心答案AC解析选项A ，设D 为BC 的中点，由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，同理可证O 为AB ，AC 边上中线的三等分点，所以O 为△ABC 的重心，选项A 正确；选项B ，向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC ′—→和AB ′—→，则它们的差是向量B ′C ′———→，则当OA →0，即OA →⊥B ′C ′———→时，点O 在∠BAC 的角平分线上，同理由OB →0，知点O 在∠ABC 的角平分线上，故O 为△ABC 的内心，选项B 错误；选项C ，由(OA →＋OB →)·AB →＝0，得(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝0，即OB →2＝OA →2，故|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心，选项C 正确；选项D ，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →，所以OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的垂心，选项D 错误．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆的直径，则PM →·PN →的取值范围是()A ．[1,2]B ．[2,3]C.32，4 D.32，3答案B解析如图所示，取AF 的中点Q ，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得|OQ |＝3，又PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝|PO →|2＋PO →·ON →＋PO →·OM →＋OM →·ON →＝|PO →|2＋PO →·(ON →＋OM →)－1＝|PO →|2－1，根据图形可知，当点P 位于正六边形各边的中点时，|PO |有最小值为3，此时|PO →|2－1＝2，当点P 位于正六边形的顶点时，|PO |有最大值为2，此时|PO →|2－1＝3，故PM →·PN →的取值范围是[2,3]．9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|2PA →＋3PB →|的最小值为________．答案7解析以D 为坐标原点，DA →，DC →分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，设C (0，a )，P (0，b )，B (1，a )，A (2,0)，0≤b ≤a ，则2PA →＋3PB →＝2(2，－b )＋3(1，a －b )＝(7,3a －5b )，|2PA →＋3PB →|＝49＋(3a －5b )2≥7，当且仅当b ＝3a 5时取得最小值7.10．已知P 是边长为4的正△ABC 所在平面内一点，且AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →(λ∈R )，则PA →·PC→的最小值为________．答案5解析取BC 的中点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴AO ⊥BC ，则以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，设P (x ，y )，∴AP →＝(x ，y －23)，AB →＝(－2，－23)，AC →＝(2，－23)，∴AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →＝(4－6λ，23λ－43)x ＝4－6λ，y ＝23λ－23，∴P (4－6λ，23λ－23)，∴PA →＝(6λ－4,43－23λ)，PC →＝(6λ－2,23－23λ)，∴PA →·PC →＝(6λ－4)(6λ－2)＋(43－23λ)(23－23λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝34时，PA →·PC →取得最小值5.11．(2022·广州模拟)在△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD →＝13DC →，若P 为BD 上一点，且满足AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．答案116解析∵λ，μ为正实数，AD →＝13DC →，故AC →＝4AD →，∴AP →＝λAB →＋4μAD →，又P ，B ，D 三点共线，∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝14·λ·4μ＝116，当且仅当λ＝12，μ＝18时取等号，故λμ的最大值为116.12．(2022·浙江)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2…A 8的边A 1A 2上，则PA →21＋P A →22＋…＋PA →28的取值范围是______________．答案[12＋22，16]解析以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A 1(0,1)，AA 3(1,0)，AA 5(0，－1)，A－22A 7(－1,0)，A －22，设P (x ，y )，于是PA →21＋PA →22＋…＋PA →28＝8(x 2＋y 2)＋8，因为cos 22.5°≤|OP |≤1，所以1＋cos 45°2≤x 2＋y 2≤1，故PA →21＋PA →22＋…＋PA →28的取值范围是[12＋22，16]．。

平面向量的数量积与平面向量的应用举例教学目的：①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ； 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=四、讲解范例：五、设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x . 解：设x = (t ， s )，由⎩⎨⎧-=+=-⇒-=⋅=⋅429349s t s t b x a x ⎩⎨⎧-==⇒32s t ∴x = (2， -3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2． 记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)23,27(- 例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23- 当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311 当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2133± 六、课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ）A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ） A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(-- C.)54,53(-或)53,54(- D.)54,53(-或)54,53(- 4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = .6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=BC，b=CA，则a与b的夹角为 .7、对点练习：（2014重庆高考）已知向量a与向量b的夹角为60°，且a=（-2，-6）,1b1=√10，则a. b=_______.8、对点练习：已知A（1,2）,B（2,3）,C（-2,5）,试判断△ABC的形状，并给出证明。

§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c如右图：a b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但ac(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当C为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos2 aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba5|a b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = . 6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 证：若 > 0，( a ) b = |a ||b |cos ， (a b ) = |a ||b |cos，a ( b ) = |a ||b |cos ， 若 < 0，( a ) b =| a ||b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos， (a b )= |a ||b |cos ，a (b ) =|a || b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos.3．分配律：(a + b ) c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1 + |b | cos 2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos2，∴c (a + b ) = c a + c b 即：(a + b ) c= a c + b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ①(a4b )(7a2b ) = 0 7a 230a b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222 ||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB ，BC AD ，AC =AD AB ∴|AC|2=AD AB AD AB AD AB 2||222而BD =AD AB ， ∴|BD|2=AD AB AD AB AD AB 2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB = 2222||||||||AD DC BC AB例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：C数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos； 2aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a .设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i ，所以b a 2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a 2121y y x x 2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a ，则222||y x a 或22||y x a.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a 02121 y y x x 三、 两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba 222221212121y x y x y y x x四、 讲解范例：五、 设a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C ( 2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x . 解：设x = (t ， s )， 由429349s t s t b x a x32s t ∴x = (2， 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使 B = 90 ，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x 5， y 2) ∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴B 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当B = 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2， k 3) = ( 1， k 3) ∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C = 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 六、 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83 2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54(D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 . 七、 小结（略） 八、 课后作业（略） 九、 板书设计（略） 十、 课后记：。

2014届高三数学总复习 4.3平面向量的数量积及平面向量的应用举例教案 新人教A 版1. (必修4P 77练习第2(1)题改编)已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________．答案：－3 2解析：a·b ＝|a |·|b |cos135°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－3 2. 2. (必修4P 80练习第3题改编)已知向量a 、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．答案：π3解析：∵ cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝12，∴ 〈a ，b 〉＝π3.3. (必修4P 81习题2.4第2题改编)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b|＝________．答案： 3解析：|a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a·b ＝12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.4. (必修4P 81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e 1、e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________．答案：－6解析：b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.5. (必修4P 84习题4改编)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是________． 答案：菱形解析：四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0知其为平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝0即DB →·AC →＝0知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形．1. 向量数量积的定义(1) 向量a与b的夹角(2) 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b 的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.2. 向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角，则(1) e·a＝a·e.(2) a⊥b a·b＝0．(3) 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4) cosθ＝a·b|a||b|.(5) |a·b|≤|a|·|b|.3. 向量数量积的运算律(1) 交换律：a·b＝b·a.(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥b x1x2＋y1y2＝0.(2) 设a＝(x，y)，则|a|(3) 若向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ，则有cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.[备课札记]题型1 向量平行与垂直的充分条件例1 已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝(2x ＋3，－x)，x ∈R . (1) 若a⊥b ，求x 的值；(2) 若a∥b ，求|a －b|的值． 解：(1) 若a⊥b ，则a·b ＝(1，x )·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2) 若a∥b ，则有1×(－x)－x(2x ＋3)＝0， 即x(2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，a －b ＝(－2，0)， ∴ |a －b|＝（－2）2＋02＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，a －b ＝(2，－4)， ∴ |a －b|＝22＋（－4）2＝2 5. 综上，可知|a －b|＝2或2 5. 变式训练已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－k a ＋1t b ，m ∈R ，k 、t 为正实数．(1) 若a∥b ，求m 的值； (2) 若a⊥b ，求m 的值；(3) 当m ＝1时，若x⊥y ，求k 的最小值．解：(1) 因为a∥b ，所以1·m－2·(－2)＝0，解得m ＝－4. (2) 因为a⊥b ，所以a·b ＝0， 所以1·(－2)＋2m ＝0，解得m ＝1. (3) 当m ＝1时，a ·b ＝0. 因为x⊥y ，所以x·y ＝0.则x·y ＝－k a 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1t －k （t 2＋1）a ·b ＋(t ＋1t )b 2＝0.因为t ＞0，所以k ＝t ＋1t ≥2，当t ＝1时取等号，即k 的最小值为2.题型2 向量的夹角与向量的模例2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1) 求a 与b 的夹角θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1) ∵ (2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴ 4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴ 64－4a·b －27＝61， ∴ a·b ＝－6.∴ cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴ θ＝2π3.(2) 可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴ |a ＋b|＝13.(3) ∵ AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.备选变式（教师专享）已知非零向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0 ，向量a 、b 的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a 与c 的夹角为________．答案：90°解析：由题意，得c ＝－a －b ，a ·c ＝－a 2－a·b ＝－|a|2－|a||b|cos120°＝－|a|2＋12|a||b|＝－|a|2＋12|a|·2|a|＝－|a|2＋|a|2＝0，所以a⊥c ，即a 与c 的夹角为90°.题型3 平面向量与三角函数的交汇例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋c)·BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值． 解：(1) 因为(2a ＋c)BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0， 所以(2a ＋c)accosB ＋abccosC ＝0， 即(2a ＋c)cosB ＋bcosC ＝0，所以(2sinA ＋sinC)cosB ＋sinBcosC ＝0， 即2sinAcosB ＋sin(B ＋C)＝0. 因为sin(B ＋C)＝sinA ≠0， 所以cosB ＝－12，所以B ＝2π3.(2) 因为b 2＝a 2＋c 2－2accos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac≥3ac，即ac≤4，所以AB →·CB →＝accos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，所以AB →·CB →的最小值为－2.备选变式（教师专享）(2013·山东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cosB ＝79.(1) 求a ，c 的值；(2) 求sin(A －B)的值．解：(1) 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac(1＋cosB)，又a ＋c ＝6，b ＝2，cosB ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2) 在△ABC 中，sinB ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sinA ＝asinB b ＝223，因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2A ＝13，因此sin(A －B)＝sinAcosB －cosAsinB ＝10227. 例4 (2013·泰州市期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ、θ∈R .(1) 求|a|2＋|b|2的值； (2) 若a⊥b ，求θ；(3) 若θ＝π20，求证：a∥b.(1) 解：∵ |a |＝cos 2λθ＋cos 2（10－λ）θ，|b |＝sin 2（10－λ）θ＋sin 2λθ，∴ |a |2＋|b |2＝2. (2) 解：∵ a⊥b ，∴ cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0， ∴ sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，∴ sin10θ＝0， ∴ 10θ＝k π，k ∈Z ，∴ θ＝k π10，k ∈Z .(3) 证明：∵ θ＝π20，cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin[(10－λ)θ]＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－λπ20·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，∴ a ∥b .备选变式（教师专享）(2013·陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosx ，－12，b ＝(3sinx ，cos2x)，x ∈R, 设函数f(x)＝a·b .(1) 求f (x)的最小正周期.(2) 求f (x) 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1) f(x)＝a·b ＝cosx ·3sinx －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.最小正周期T ＝2π2＝π.所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，最小正周期为π. (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由标准函数y ＝sinx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象知，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x) 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．学生错解：解： ∵ e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos60°＝2×1×12＝1，∴ (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋te 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0， 即2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.审题引导： 当(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0时，其夹角一定为钝角吗？ 规范解答： 解： ∵ e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos60°＝2×1×12＝1，(2分)∴ (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.(4分)因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 即2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.(9分)当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝72t 2＝7t ＝－142或t ＝142(舍)．(12分)故t 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.(14分) 错因分析： 向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，可得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但由(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，并不能推出向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角．如t ＝－142时，(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为π，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0仅是向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角的必要条件，而不是充分条件．探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件．1. (2013·南通三模)在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝ 3.若AD →·BC →＝15，则AC →·BD →＝________．答案：13解析：2EF →＝AB →＋DC →，平方并整理得AB →·DC →＝2，即AB →·(AC →－AD →)＝AB →·AC →－AB →·AD →＝2，①由AD →·BC →＝15，得AD →·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →＝15，②②－①，得AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝13.2. (2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ＝________．答案：712解析：∵ AP →⊥BC →，∴ AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋AC →2＋(λ－1)AC →·AB →＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解之得λ＝712.3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上．若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →＝________．答案： 2解析：(解法1)由AB →·AF →＝2，得|AB →|·|AF →|·cos ∠FAB ＝ 2. 由矩形的性质，得|AF →|·cos ∠FAB ＝DF. ∵ AB ＝2，∴ 2·DF ＝2，∴ DF ＝1. ∴ CF ＝2－1.记AE →和BF →之间的夹角为θ，∠AEB ＝α，∠FBC ＝β，则θ＝α＋β. 又∵ BC＝2，点E 为BC 的中点，∴ BE ＝1. ∴ AE →·BF →＝|AE →|·|BF →|·cos θ ＝|AE →|·|BF →|·cos(α＋β)＝|AE →|·|BF →|·(cos αcos β－sin αsin β) ＝|AE →|cos α·|BF →|·cos β－|AE →|sin α·|BF →|sin β＝BE·BC－AB·CF＝1×2－2(2－1)＝ 2.(解法2)以A 为坐标原点、AB 为x 轴建立直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，C(2，2)，E(2，1)，可设F(x ，2)．由AB →·AF →＝2，计算可得x ＝1，AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.4. 设点O 是△ABC 的三边中垂线的交点，且AC 2－2AC ＋AB 2＝0，则BC →·AO →的范围是__________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2 解析：BC →·AO →＝BC →·(AD →＋DO →)＝BC →·AD →＋BC →·DO →＝BC →·AD →＝12(AC →－AB →)·(AB →＋AC →)＝12(AC →2－AB → 2)．∵ AC 2－2AC ＋AB 2＝0，即AB 2＝2AC －AC 2，∴ BC →·AO →＝12AC 2－12(2AC －AC 2)＝AC 2－AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC －122－14.∵ AB 2≥0，∴ 2AC －AC 2≥0，∴ 0＜AC ＜2， ∴ BC →·AO →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.1. 已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x 、y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且|x a ＋y b |＝1. 解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y)．(x a ＋y b )⊥a (x a ＋y b )·a ＝03(3x ＋4y)＋4(4x ＋3y)＝0，即25x ＋24y ＝0.①又|x a ＋y b |＝1|x a ＋y b |2＝1，有(3x ＋4y)2＋(4x ＋3y)2＝1，整理得25x 2＋48xy ＋25y 2＝1，即x(25x ＋24y)＋24xy ＋25y 2＝1，②由①②有24xy ＋25y 2＝1，③ 将①变形代入③可得y ＝±57，再代回①得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2435，y ＝－57和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2435，y ＝57.2. 已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1) 求证：(a －b )⊥c ；(2) 若|k a ＋b ＋c |＞1(k∈R )，求k 的取值范围． (1) 证明：(a －b )·c ＝a ·c －b ·c＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0，∴(a －b )⊥c .(2) 解：|k a ＋b ＋c |＞1|k a ＋b ＋c |2＞1k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c ＞1.∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 夹角均为120°， ∴a 2＝b 2＝c 2＝1，a ·b ＝b ·c ＝a ·c ＝－12.∴k 2－2k ＞0，即k ＞2或k ＜0.3. 设两向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1.∴ (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝t λ. ∴ 2t 2＝7， ∴ t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.4. (2013·辽宁卷)设向量a ＝(3sinx ，sinx)，b ＝(cosx ，sinx)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1) 若|a|＝|b|.求x 的值；(2) 设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值． 解：(1) 由|a |2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin 2x.|b |2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1.由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sinx ＝12，所以x ＝π6.(2) f(x)＝a·b ＝3sinx ·cosx ＋sin 2x＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1，所以f(x)的最大值为32.1. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．3. 应用向量运算将问题转化为与代数函数有关的问题，其中转化是关键．4. 向量与三角的交汇是高考最常见的题型之一，其中用向量运算进行转化，化归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路和基本方法．请使用课时训练（A ）第3课时（见活页）.[备课札记]。

专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 5．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识． 6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．高频考点一 平面向量数量积的运算例1、(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B.15 C ．9 D ．6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．答案 (1)C (2)1 1故选C.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. (2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.高频考点二 用数量积求向量的模、夹角例2、(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.答案 (1)D (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【变式探究】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析 (1)|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos ∠ABC ＝BA sup 6(→)·BC→|BA →|·|BC →|＝32.由〈BA →，BC →〉∈[0°，180°]，得∠ABC ＝30°. (2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ， 所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)A (2)－2【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【举一反三】(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)223(2)C(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.高频考点三 平面向量与三角函数例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．【变式探究】已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA→⊥OB →，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－45C.45D.34答案 A高频考点四 向量在平面几何中的应用例4、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【感悟提升】解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．【变式探究】(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形 D ．菱形答案 (1)12(2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，(2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形． 高频考点五、 向量在解析几何中的应用例5、(1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝______.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y－3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即y x＝± 3.【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．【变式探究】已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12答案 BHE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.高频考点六 向量的综合应用例6、(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( ) A ．1B.13C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3(2)由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎪⎫2－12＝3.【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．【变式探究】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域面积是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2 D ．4 3答案 D解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2， 知〈OA →，OB →〉＝π3.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB 中，取OC →＝λOA →，过点C 作CD ∥OB 交AB 于点D ，作DE ∥OA 交OB 于点E ，显然OD →＝λOA →＋CD →.由于CD OB ＝AC AO ，CD OB ＝2－2λ2，∴CD →＝(1－λ)OB →，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →， ∴λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上，∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，其面积为S ＝4S △OAB ＝4×12×2×2sin π3＝4 3.1.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D 【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅()22223cos602BA BC BA a a a +⋅=+=故选D.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B【解析】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a ba b ab +-=-，所以选项D 正确．故选B ．【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B 【答案】D 【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=，则||2b =，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a =，又22(2)4||222c o s 602A B A C a a b a a b ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=-，故,B C错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，而22(2)4AD a a b a b =++=+，所以()4C a b +⊥B ，故选D.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ． 15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t ，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-=（，-4)，【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. BA1．（2014·北京卷）已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________． 【答案】 5【解析】∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5.2．（2014·湖北卷）设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________． 【答案】±33．（2014·江西卷）已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________． 【答案】2 23【解析】cos β＝a ·b |a||b|＝（3e 1－2e 2）·（3e 1－e 2）|3e 1－2e 2||3e 1－e 2|＝9e 21－9e 1e 2＋2e 229e 21－12e 1·e 2＋4e 229e 21－6e 1·e 2＋e 22＝ 9－9×13＋29－12×13＋4·9－6×13＋1＝83×2 2＝2 23.4．（2014·全国卷）若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22【答案】B【解析】因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )＝0，即2＋＝因为(＋b )⊥b ，所以(＋b )＝0，即b ＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝2＝ 2.5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 【答案】A【解析】由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1. 6．（2014·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．【答案】16【解析】因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16.7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 【答案】CCE →·CF →＝(λ－1, 3(λ－1))·(μ－1, 3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.8．(2013年高考湖北卷)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C ．－322D ．－3152解析：AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，向量AB →＝(2,1)在CD →＝(5,5)上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝|AB →|AB sup10(→)·CD →|AB →||CD →|＝AB sup10(→)·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A9．(2013年高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B.[]2－1，2＋2C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案：A10．(2013年高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值． 解析：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.11．(2013年高考陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝ (3sin x ，cos 2x )，x ∈R，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12.因此，f (x )在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．22＋ 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，a ·b ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.3．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( ) A.32 B.22 C.52 D.72答案 A4．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →， ∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C.5.在△ABC 中，如图，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109C.259D.269 答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫avs4alco1(o(AC ,sup6(→))＋13CB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫avs4alco1(o(AB ,sup6(→))＋13BC →)＝⎝⎛⎭⎪⎫avs4alco1(f(2,3)AC →＋13AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫avs4alco1(f(1,3)AC →＋23AB →)＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)的值为________． 答案 －4解析 由题意得，AP ＝2，PM ＝1， 所以PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM → ＝2×2×1×cos180°＝－4.7．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案1328．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)． 答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线． 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心． 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又∵|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35. 因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22， 因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. 11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．把a ＝－x 2代入①，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0)． 所以动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)． 12．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围．解 (1)因为a ∥b ， 所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝22，所以A ＝π4，或A ＝3π4.因为b ＞a ，所以A ＝π4.f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，32－1≤f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12.∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.13.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.解 (1)由m ·n ＝－35， 得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. 15.在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R).(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值.解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)， ∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减，得m －n ＝y －x .令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.。

一、知识梳理１．向量的夹角（１）定义：已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．（２）范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤１80°.（３）共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝１80°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b 垂直，记作a⊥b.２．平面向量的数量积定义已知两个向量a，b，它们的夹角为θ，把|a||b|·cos__θ叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b投影|a|cos__θ叫作向量a在b方向上的射影，|b|cos__θ叫作向量b在a方向上的射影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos__θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos__θ的乘积（１）a·b＝b·a.（２）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．（３）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.４．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝错误!|a|＝错误!夹角cos θ＝错误!cos θ＝错误!a⊥b的充要条件a·b＝0x１x２＋y１y２＝0常用结论１．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．２．平面向量数量积运算的常用公式（１）（a＋b）·（a—b）＝a２—b２.（２）（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２.（３）（a—b）２＝a２—２a·b＋b２.二、教材衍化１．已知a·b＝—１２错误!，|a|＝４，a和b的夹角为１３５°，则|b|为（）Ａ．１２Ｂ．6Ｃ．３错误!Ｄ．３解析：选Ｂ．a·b＝|a||b|cos １３５°＝—１２错误!，所以|b|＝错误!＝6．２．已知向量a＝（２，１），b＝（—１，k），a·（２a—b）＝0，则k＝________．解析：因为２a—b＝（４，２）—（—１，k）＝（５，２—k），由a·（２a—b）＝0，得（２，１）·（５，２—k）＝0，所以１0＋２—k＝0，解得k＝１２．答案：１２３．已知|a|＝５，|b|＝４，a与b的夹角θ＝１２0°，则向量b在向量a方向上的射影为________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的射影为|b|cos θ＝４×cos １２0°＝—２．答案：—２一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）两个向量的夹角的范围是错误!.（）（２）向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．（）（３）若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．（）（４）a·b＝a·c（a≠0），则b＝c.（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）没有找准向量的夹角致误；（２）不理解向量的数量积的几何意义致误；（３）向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．１．已知△ABC的三边长均为１，且错误!＝c，错误!＝a，错误!＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝１２0°，|a|＝|b|＝|c|＝１，所以a·b＝b·c＝a·c＝１×１×cos １２0°＝—错误!，所以a·b＋b·c＋a·c＝—错误!.答案：—错误!２．已知点A（—１，１），B（１，２），C（—２，—１），D（３，４），则向量错误!在错误!方向上的射影为________．解析：错误!＝（２，１），错误!＝（５，５），由定义知，错误!在错误!方向上的射影为错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!３．设向量a＝（—１，２），b＝（m，１），如果向量a＋２b与２a—b平行，那么a与b的数量积等于________．解析：a＋２b＝（—１＋２m，４），２a—b＝（—２—m，３），由题意得３（—１＋２m）—４（—２—m）＝0，则m＝—错误!，所以a·b＝—１×错误!＋２×１＝错误!.答案：错误!平面向量数量积的运算（师生共研）（一题多解）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝２，∠BAD＝错误!，若错误!·错误!＝２错误!·错误!，则错误!·错误!＝________．【解析】法一：因为错误!·错误!＝２错误!·错误!，所以错误!·错误!—错误!·错误!＝错误!·错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!.因为AB∥CD，CD＝２，∠BAD＝错误!，所以２|错误!|＝|错误!|·|错误!|cos错误!，化简得|错误!|＝２错误!.故错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝|错误!|２＋错误!·错误!＝（２错误!）２＋２错误!×２cos错误!＝１２．法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D（m，m），C（m＋２，m），B（n，0），其中m＞0，n＞0，则由错误!·错误!＝２错误!·错误!，得（n，0）·（m＋２，m）＝２（n，0）·（m，m），所以n（m＋２）＝２nm，化简得m＝２．故错误!·错误!＝（m，m）·（m＋２，m）＝２m２＋２m＝１２．【答案】１２错误!平面向量数量积的三种运算方法（１）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．（２）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a·b＝x１x２＋y１y２.（３）利用数量积的几何意义求解．[提醒] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．１．（２0２0·河南新乡二模）已知a＝（１，２），b＝（m，m＋３），c＝（m—２，—１），若a∥b，则b·c＝（）Ａ．—7 Ｂ．—３C．３Ｄ．7解析：选Ｂ．因为a＝（１，２），b＝（m，m＋３），a∥b，所以１×（m＋３）—２m＝0，所以m＝３，所以b·c＝m（m—２）—（m＋３）＝—３，故选Ｂ．２．（一题多解）在▱ABCD中，|错误!|＝8，|错误!|＝6，N为DC的中点，错误!＝２错误!，则错误!·错误!＝________．解析：法一：错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝错误!·错误!＝错误!错误!２—错误!错误!２＝错误!×8２—错误!×6２＝２４．法二（特例图形）：若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，则N（４，6），M（8，４）．所以错误!＝（8，４），错误!＝（４，—２），所以错误!·错误!＝（8，４）·（４，—２）＝３２—8＝２４．答案：２４平面向量数量积的应用（多维探究）角度一平面向量的模（１）已知平面向量a，b的夹角为错误!，且|a|＝错误!，|b|＝２，在△ABC中，错误!＝２a＋２b，错误!＝２a—6b，D为BC的中点，则|错误!|等于（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8（２）已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝２，BC＝１，P是腰DC上的动点，则|错误!＋３错误!|的最小值为__________．【解析】（１）因为错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（２a＋２b＋２a—6b）＝２a—２b，所以|错误!|２＝４（a—b）２＝４（a２—２b·a＋b２）＝４×错误!＝４，则|错误!|＝２．（２）建立平面直角坐标系如图所示，则A（２，0），设P（0，y），C（0，b），则B（１，b），则错误!＋３错误!＝（２，—y）＋３（１，b—y）＝（５，３b—４y）．所以|错误!＋３错误!|＝错误!（0≤y≤b）．当y＝错误!b时，|错误!＋３错误!|min＝５．【答案】（１）A （２）５错误!求向量的模的方法（１）公式法：利用|a|＝错误!及（a±b）２＝|a|２±２a·b＋|b|２，把向量模的运算转化为数量积的运算．（２）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．角度二平面向量的夹角（１）（２0１9·高考全国卷Ⅲ）已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝２a—错误!b，则cos〈a，c〉＝________．（２）若向量a＝（k，３），b＝（１，４），c＝（２，１），已知２a—３b与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【解析】（１）设a＝（１，0），b＝（0，１），则c＝（２，—错误!），所以cos〈a，c〉＝错误!＝错误!.（２）因为２a—３b与c的夹角为钝角，所以（２a—３b）·c<0，即（２k—３，—6）·（２，１）<0，所以４k—6—6<0，所以k<３．【答案】（１）错误!（２）（—∞，３）错误!（１）研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或１80°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，１80°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos θ＝错误!求解．（２）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．角度三两向量垂直问题（１）（２0２0·福建厦门一模）已知a＝（１，１），b＝（２，m），a⊥（a—b），则|b|＝（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．２（２）已知向量错误!与错误!的夹角为１２0°，且|错误!|＝３，|错误!|＝２．若错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!，则实数λ的值为________．【解析】（１）由题意知a—b＝（—１，１—m）．因为a⊥（a—b），所以a·（a—b）＝—１＋１—m＝0，所以m＝0，所以b＝（２，0），所以|b|＝２．故选Ｄ．（２）因为错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0．又错误!＝λ错误!＋错误!，错误!＝错误!—错误!，所以（λ错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝0，即（λ—１）错误!·错误!—λ错误!２＋错误!２＝0，所以（λ—１）|错误!||错误!|cos １２0°—9λ＋４＝0．所以（λ—１）×３×２×（—错误!）—9λ＋４＝0．解得λ＝错误!.【答案】（１）D （２）错误!错误!（１）当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x１x２＋y１y２＝0．（２）当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0．（３）数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.１．已知向量a＝（２，１），b＝（２，x）不平行，且满足（a＋２b）⊥（a—b），则x＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．１或—错误!Ｄ．１或错误!解析：选Ａ．因为（a＋２b）⊥（a—b），所以（a＋２b）·（a—b）＝0，所以|a|２＋a·b—２|b|２＝0，因为向量a＝（２，１），b＝（２，x），所以５＋４＋x—２（４＋x２）＝0，解得x＝１或x＝—错误!，因为向量a，b不平行，所以x≠１，所以x＝—错误!，故选Ａ．２．（２0２0·安徽黄山模拟）已知向量a，b满足|a|＝４，b在a方向上的投影为—２，则|a—３b|的最小值为（）Ａ．１２Ｂ．１0 Ｃ．错误!Ｄ．２解析：选Ｂ．设a与b的夹角为θ.由于b在a方向上的射影为—２，所以|b|cos θ＝错误!＝—２，所以a·b＝—8，又|b|cos θ＝—２，所以|b|≥２，则|a—３b|＝错误!＝错误!≥错误!＝１0，即|a—３b|的最小值为１0，故选Ｂ．３．（一题多解）已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足２错误!＝错误!，设向量错误!，错误!的夹角为θ，则cos θ＝________．解析：法一：因为２错误!＝错误!，所以E为BC的中点．设正方形的边长为２，则|错误!|＝错误!，|错误!|＝２错误!，错误!·错误!＝错误!·（错误!—错误!）＝错误!|错误!|２—|错误!|２＋错误!错误!·错误!＝错误!×２２—２２＝—２，所以cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!.法二：因为２错误!＝错误!，所以E为BC的中点．设正方形的边长为２，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A（0，0），B（２，0），D（0，２），E（２，１），所以错误!＝（２，１），错误!＝（—２，２），所以错误!·错误!＝２×（—２）＋１×２＝—２，故cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!平面向量与三角函数（师生共研）已知两个不共线的向量a，b满足a＝（１，错误!），b＝（cos θ，sin θ），θ∈R.（１）若２a—b与a—7b垂直，求|a＋b|的值；（２）当θ∈错误!时，若存在两个不同的θ，使得|a＋错误!b|＝|m a|成立，求正数m的取值范围．【解】（１）由条件知|a|＝２，|b|＝１，又２a—b与a—7b垂直，所以（２a—b）·（a—7b）＝8—１５a·b＋7＝0，所以a·b＝１．所以|a＋b|２＝|a|２＋２a·b＋|b|２＝４＋２＋１＝7，故|a＋b|＝错误!.（２）由|a＋错误!b|＝|m a|，得|a＋错误!b|２＝|m a|２.即|a|２＋２错误!a·b＋３|b|２＝m２|a|２，即４＋２错误!a·b＋３＝４m２，7＋２错误!（cos θ＋错误!sin θ）＝４m２.所以４错误!sin错误!＝４m２—7．由θ∈错误!，得θ＋错误!∈错误!，因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知４错误!sin错误!∈[6，４错误!），即6≤４m２—7＜４错误!，即错误!≤m２＜错误!，又m＞0，所以错误!≤m＜错误!.即实数m的取值范围为错误!.错误!平面向量与三角函数的综合问题（１）题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．（２）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（cos（A—B），sin（A—B）），n＝（cos B，—sin B），且m·n＝—错误!.（１）求sin A的值；（２）若a＝４错误!，b＝５，求角B的大小及向量错误!在错误!方向上的射影．解：（１）由m·n＝—错误!，得cos（A—B）cos B—sin（A—B）sin B＝—错误!，所以cos A＝—错误!.因为0<A<π，所以sin A＝错误!＝错误!＝错误!.（２）由正弦定理错误!＝错误!，得sin B＝错误!＝错误!＝错误!，因为a>b，所以A>B，则B＝错误!，由余弦定理得错误!错误!＝５２＋c２—２×５c×错误!，解得c＝１．故向量错误!在错误!方向上的射影为|错误!|cos B＝c cos B＝１×错误!＝错误!.平面向量的综合运用一、平面向量在平面几何中的应用（１）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足错误!＝错误!＋λ（错误!＋错误!），λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ．内心Ｂ．外心C．重心Ｄ．垂心（２）在平行四边形ABCD中，AD＝１，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若错误!·错误!＝１，则AB＝________．【解析】（１）由原等式，得错误!—错误!＝λ（错误!＋错误!），即错误!＝λ（错误!＋错误!），根据平行四边形法则，知错误!＋错误!＝２错误!（D为BC的中点），所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选Ｃ．（２）在平行四边形ABCD中，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!—错误!错误!，又因为错误!＝错误!＋错误!，所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!错误!）＝错误!２—错误!错误!·错误!＋错误!·错误!—错误!错误!２＝|错误!|２＋错误!|错误!||错误!|cos 60°—错误!|错误!|２＝１＋错误!×１×错误!|错误!|—错误!|错误!|２＝１．所以错误!|错误!|＝0，又|错误!|≠0，所以|错误!|＝错误!.【答案】（１）C （２）错误!错误!向量与平面几何综合问题的解法（１）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．（２）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．二、平面向量与函数、不等式的综合应用（１）设θ是两个非零向量a，b的夹角，若对任意实数t，|a＋t b|的最小值为１，则下列判断正确的是（）Ａ．若|a|确定，则θ唯一确定Ｂ．若|b|确定，则θ唯一确定Ｃ．若θ确定，则|b|唯一确定Ｄ．若θ确定，则|a|唯一确定（２）（一题多解）已知向量a，b为单位向量，且a·b＝—错误!，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为________．【解析】（１）设g（t）＝（a＋t b）２＝b２t２＋２t a·b＋a２，当且仅当t＝—错误!＝—错误!时，g（t）取得最小值１，所以b２×错误!—２a·b×错误!＋a２＝１，化简得a２sin ２θ＝１，所以当θ确定时，|a|唯一确定．（２）法一：因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t（a＋b）（t∈R），所以a＋c＝（t＋１）a＋t b，所以（a＋c）２＝（t＋１）２a２＋２t（t＋１）a·b＋t２b２，因为向量a，b为单位向量，且a·b＝—错误!，所以（a＋c）２＝（t＋１）２—t（t＋１）＋t２＝t２＋t＋１≥错误!，所以|a＋c|≥错误!，所以|a＋c|的最小值为错误!.法二：因为向量a，b为单位向量，且a·b＝—错误!，所以向量a，b的夹角为１２0°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝（１，0），b＝错误!，则a＋b＝错误!，因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t错误!（t∈R），所以a＋c＝错误!，所以|a＋c|＝错误!＝错误!≥错误!，所以|a＋c|的最小值为错误!.【答案】（１）D （２）错误!错误!通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．三、平面向量与解三角形的综合应用已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（sin A，sin B），n＝（cos B，cos A），m·n＝sin ２C.（１）求角C的大小；（２）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且错误!·（错误!—错误!）＝１8，求c.【解】（１）m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin（A＋B），对于△ABC，A＋B＝π—C，0<C<π，所以sin（A＋B）＝sin C，所以m·n＝sin C，又m·n＝sin ２C，所以sin ２C＝sin C，cos C＝错误!，又因为C∈（0，π），所以C＝错误!.（２）由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得２sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得２c＝a＋b.因为错误!·（错误!—错误!）＝１8，所以错误!·错误!＝１8，即ab cos C＝１8，ab＝３6．由余弦定理得c２＝a２＋b２—２ab cos C＝（a＋b）２—３ab，所以c２＝４c２—３×３6，c２＝３6，所以c＝6．错误!（１）解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．（２）还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．四、平面向量与解析几何的综合应用（１）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝１的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．（２）已知F为双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若错误!＝３错误!，则此双曲线的离心率为________．【解析】（１）由椭圆错误!＋错误!＝１可得F（—１，0），点O（0，0），设P（x，y）（—２≤x≤２），则错误!·错误!＝x２＋x＋y２＝x２＋x＋３错误!＝错误!x２＋x＋３＝错误!（x＋２）２＋２，—２≤x≤２，当且仅当x＝２时，错误!·错误!取得最大值6．（２）由F（—c，0），A（0，b），得直线AF的方程为y＝错误!x＋b.根据题意知，直线AF与渐近线y＝错误!x相交，联立得错误!消去x得，y B＝错误!.由错误!＝３错误!，得y B＝４b，所以错误!＝４b，化简得３c＝４a，所以离心率e＝错误!.【答案】（１）6 （２）错误!错误!向量在解析几何中的２个作用载体作用向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题工具利用a⊥b⇔a·b＝0（a，b为非零向量），a∥b⇔a＝λb（b≠0）可解决垂直、作用平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法[基础题组练]１．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）已知错误!＝（２，３），错误!＝（３，t），|错误!|＝１，则错误!·错误!＝（）Ａ．—３Ｂ．—２C．２Ｄ．３解析：选Ｃ．因为错误!＝错误!—错误!＝（１，t—３），所以|错误!|＝错误!＝１，解得t＝３，所以错误!＝（１，0），所以错误!·错误!＝２×１＋３×0＝２，故选Ｃ．２．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知非零向量a，b满足|a|＝２|b|，且（a—b）⊥b，则a与b的夹角为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．设a与b的夹角为α，因为（a—b）⊥b，所以（a—b）·b＝0，所以a·b＝b２，所以|a|·|b|cos α＝|b|２，又|a|＝２|b|，所以cos α＝错误!，因为α∈（0，π），所以α＝错误!.故选Ｂ．３．（２0２0·河北衡水模拟三）已知向量a＝（１，k），b＝（２，４），则“k＝—错误!”是“|a＋b|２＝a２＋b２”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．由|a＋b|２＝a２＋b２，得a２＋２a·b＋b２＝a２＋b２，得a·b＝0，得（１，k）·（２，４）＝0，解得k＝—错误!，所以“k＝—错误!”是“|a＋b|２＝a２＋b２”的充要条件．故选Ｃ．４．（２0２0·河南安阳二模）如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝４，CD＝8．若错误!＝—7错误!，３错误!＝错误!，则错误!·错误!＝（）Ａ．１１Ｂ．１0Ｃ．—１0 Ｄ．—１１解析：选Ｄ．以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．则A（0，0），B（４，0），E（１，４），F（５，１），所以错误!＝（５，１），错误!＝（—３，４），则错误!·错误!＝—１５＋４＝—１１．故选Ｄ．５．已知向量|错误!|＝３，|错误!|＝２，错误!＝m错误!＋n错误!，若错误!与错误!的夹角为60°，且错误!⊥错误!，则实数错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．6 Ｄ．４解析：选Ａ．因为向量|错误!|＝３，|错误!|＝２，错误!＝m错误!＋n错误!，错误!与错误!夹角为60°，所以错误!·错误!＝３×２×cos 60°＝３，所以错误!·错误!＝（错误!—错误!）·（m错误!＋n错误!）＝（m—n）错误!·错误!—m|错误!|２＋n|错误!|２＝３（m—n）—9m＋４n＝—6m＋n＝0，所以错误!＝错误!，故选Ａ．6．（２0２0·河南郑州一模）已知e１，e２为单位向量且夹角为错误!，设a＝３e１＋２e２，b＝３e２，则a在b方向上的射影为________．解析：根据题意得，a·b＝9e１·e２＋6e错误!＝9×１×１×错误!＋6＝—错误!＋6＝错误!，又因为|b|＝３，所以a在b方向上的射影为错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!7．（２0２0·江西临川九校３月联考）已知平面向量a＝（２m—１，２），b＝（—２，３m—２），且a⊥b，则|２a—３b|＝________．解析：因为a⊥b，所以a·b＝—２（２m—１）＋２（３m—２）＝0，解得m＝１，所以a＝（１，２），b＝（—２，１），所以２a—３b＝（２，４）—（—6，３）＝（8，１），所以|２a—３b|＝错误!＝错误!.答案：错误!8．（２0２0·石家庄质量检测（一））已知错误!与错误!的夹角为90°，|错误!|＝２，|错误!|＝１，错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ∈R），且错误!·错误!＝0，则错误!的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，２），C（１，0），所以错误!＝（0，２），错误!＝（１，0），错误!＝（１，—２）．设M（x，y），则错误!＝（x，y），所以错误!·错误!＝（x，y）·（１，—２）＝x—２y＝0，所以x＝２y，又错误!＝λ错误!＋μ错误!，即（x，y）＝λ（0，２）＋μ（１，0）＝（μ，２λ），所以x＝μ，y＝２λ，所以错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!9．已知向量m＝（sin α—２，—cos α），n＝（—sin α，cos α），其中α∈R.（１）若m⊥n，求角α；（２）若|m—n|＝错误!，求cos ２α的值．解：（１）若m⊥n，则m·n＝0，即为—sin α（sin α—２）—cos２α＝0，即sin α＝错误!，可得α＝２kπ＋错误!或α＝２kπ＋错误!，k∈Z.（２）若|m—n|＝错误!，即有（m—n）２＝２，即（２sin α—２）２＋（２cos α）２＝２，即为４sin２α＋４—8sin α＋４cos２α＝２，即有8—8sin α＝２，可得sin α＝错误!，即有cos ２α＝１—２sin２α＝１—２×错误!＝—错误!.１0．在平面直角坐标系xOy中，点A（—１，—２），B（２，３），C（—２，—１）．（１）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（２）设实数t满足（错误!—t错误!）·错误!＝0，求t的值．解：（１）由题设知错误!＝（３，５），错误!＝（—１，１），则错误!＋错误!＝（２，6），错误!—错误!＝（４，４）．所以|错误!＋错误!|＝２错误!，|错误!—错误!|＝４错误!.故所求的两条对角线的长分别为４错误!，２错误!.（２）法一：由题设知：错误!＝（—２，—１），错误!—t错误!＝（３＋２t，５＋t）．由（错误!—t错误!）·错误!＝0，得：（３＋２t，５＋t）·（—２，—１）＝0，从而５t＝—１１，所以t＝—错误!.法二：错误!·错误!＝t错误!２，错误!＝（３，５），t＝错误!＝—错误!.[综合题组练]１．（２0２0·安徽滁州一模）△ABC中，AB＝５，AC＝１0，错误!·错误!＝２５，点P是△ABC内（包括边界）的一动点，且错误!＝错误!错误!—错误!λ错误!（λ∈R），则|错误!|的最大值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．△ABC中，AB＝５，AC＝１0，错误!·错误!＝２５，所以５×１0×cos A＝２５，cos A ＝错误!，所以A＝60°，BC＝错误!＝５错误!，因为AB２＋BC２＝AC２，所以B＝90°.以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（５，0），C（５，５错误!），设点P为（x，y），0≤x≤５，0≤y≤５错误!，因为错误!＝错误!错误!—错误!λ错误!，所以（x，y）＝错误!（５，0）—错误!λ（５，５错误!）＝（３—２λ，—２错误!λ），所以错误!所以y＝错误!（x—３），直线BC的方程为x＝５，联立错误!解得错误!此时|错误!|最大，为错误!＝错误!.故选Ｂ．２．（２0２0·广东广雅中学模拟）如图所示，等边△ABC的边长为２，AM∥BC，且AM＝6．若N为线段CM的中点，则错误!·错误!＝（）Ａ．２４Ｂ．２３Ｃ．２２Ｄ．１8解析：选Ｂ．法一：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（２，0），C（１，错误!），因为△ABC为等边三角形，且AM∥BC，所以∠MAB＝１２0°，所以M（—３，３错误!）．因为N是CM的中点，所以N（—１，２错误!），所以错误!＝（—１，２错误!），错误!＝（—５，３错误!），所以错误!·错误!＝２３．法二：依题意知|错误!|＝|错误!|＝２，错误!与错误!的夹角为60°，且错误!＝３错误!，错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（３错误!＋错误!）＝错误!（错误!—错误!）＋错误!错误!＝２错误!—错误!错误!.错误!＝错误!—错误!＝３错误!—错误!＝３（错误!—错误!）—错误!＝３错误!—４错误!.则错误!·错误!＝错误!·（３错误!—４错误!）＝6错误!＋6错误!—8错误!·错误!—错误!错误!·错误!＝２３．３．如图，AB是半圆O的直径，P是错误!上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB ＝6，MN＝４，则错误!·错误!＝________．解析：连接AP，BP，则错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!，所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!·错误!—错误!·错误!＋错误!·错误!—|错误!|２＝—错误!·错误!＋错误!·错误!—|错误!|２＝错误!·错误!—|错误!|２＝１×6—１＝５．答案：５４．已知△ABC是边长为２的等边三角形，P为平面ABC内一点，则错误!·（错误!＋错误!）的最小值是________．解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，错误!），B（—１，0），C（１，0），设P（x，y），则错误!＝（—x，错误!—y），错误!＝（—１—x，—y），错误!＝（１—x，—y），所以错误!·（错误!＋错误!）＝（—x，错误!—y）·（—２x，—２y）＝２x２＋２（y—错误!）２—错误!，当x＝0，y＝错误!时，错误!·（错误!＋错误!）取得最小值为—错误!.答案：—错误!５．（创新型）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝（cos B，２cos２错误!—１），n＝（c，b—２a），且m·n＝0．（１）求∠C的大小；（２）若点D为边AB上一点，且满足错误!＝错误!，|错误!|＝错误!，c＝２错误!，求△ABC的面积．解：（１）因为m＝（cos B，cos C），n＝（c，b—２a），m·n＝0，所以c cos B＋（b—２a）cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin C cos B＋（sin B—２sin A）cos C＝0，sin A＝２sin A cos C，又sin A≠0，所以cos C＝错误!，而C∈（0，π），所以∠C＝错误!.（２）由错误!＝错误!知，错误!—错误!＝错误!—错误!，所以２错误!＝错误!＋错误!，两边平方得４|错误!|２＝b２＋a２＋２ba cos ∠ACB＝b２＋a２＋ba＝２8．１又c２＝a２＋b２—２ab cos ∠ACB，所以a２＋b２—ab＝１２．２由１２得ab＝8，所以S△ABC＝错误!absin ∠ACB＝２错误!.。

自主梳理1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量___.|a ||b |cos θ_____叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作__ a ·b ＝|a ||b |cos θ_____，其中向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影。

投影的绝对值称为射影； 注意 在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。

规定：零向量与任一向量的数量积为___ 0_____. 即00a ⋅= （2）平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影____|b |cos θ_____的乘积. (3) 平面向量数量积的重要性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__ |a |cos θ________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____a·b ＝0____________； ③当a 与b 同向时，a·b ＝__|a||b|___；（两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是__ a·b ＝0__）当a 与b 反向时，a·b ＝__－|a||b|______，a·a ＝__ a 2___＝_|a |2___，|a |＝___a·a ____；（两个非零向量a 与b 平行的充要条件是__ a·b ＝±|a||b|___）④cos θ＝__a·b|a||b|________；⑤|a·b |_≤___|a||b |.2．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b ＝__ b·a ______；(2)分配律：(a ＋b )·c ＝___________ a·c ＋b·c _____； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝__λ(a ·b )______________.3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ·b ＝ x 1x 2＋y 1y(2) 设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ x 1x 2＋y 1y 2＝0 . (3) 设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则Ccos θ＝_____121222221122x y x y +⋅+_____.(4)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝ 22x y + 或|a |＝ x 2＋y 2. (5)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB →＝______(x 2－x 1，y 2－y 1) ___，所以|AB →|＝______222121x -x )+y -y )（（_____.点评：1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围. 2.a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .3.一般地，(a·b )c ≠(b·c )a 即乘法的结合律不成立.因a·b 是一个数量，所以(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b·c )a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下(a·b )c ≠(b·c )a .4.a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立.5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，〈AB →，BC →〉应为120°，而不是60°. 自我检测1.已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2， |b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝___－3 2 _____.2.在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．163．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 B 2(22)a b a b -=-＝2244a a b b -⋅+＝8＝2 2.4.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为___32_____.5.已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为___655___. 6.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有____②④____ ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；③(b·c )a －(a·c )b 不与c 垂直；④(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9|a |2－16|b |2.7.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．解析 由题意得AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2， BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)．8.若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，所以MA →·MB→＝－2.题型一 平面向量的数量积的运算例1 （1）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________.2(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →， |AD →|＝1，则AC →·AD →等于( ) A.2 3B.32C.33D . 3解法1基底法: ∵BC →＝3BD →，∴AC →＝BC →－BA →＝3BD →－BA →＝3(AD →－AB →)＋AB → ＝3AD →＋(1－3)AB →. 又AD ⊥AB ，|AD →|＝1.∴AC →·AD →＝3AD 2→＋(1－3)AB →·AD →＝ 3.法2定义法设BD ＝a ，则BC ＝3a ，作CE ⊥BA 交的延长线于E ，可知∠DAC ＝∠ACE ， 在Rt△ABD 与Rt△BEC 中， Rt△ABD ∽Rt△BEC 中，BD ADBC EC=,CE ＝3， ∴cos∠DAC ＝cos∠ACE ＝3AC.∴AD →·AC →＝|AD →|·|AC →|cos∠DAC ＝|AD →|·|AC →| cos∠ACE ＝ 3. 法3坐标法变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是正东方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )＝___－3___.(2)如下图，在ABC △中，3==BC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高，则AC AD ⋅的值等于 （ ） A ．0B ．49C ．4D ．49-【思路点拨】充分利用已知条件的3==BC AB ，︒=∠30ABC ，借助数量积的定义求出． 【答案】B 【解析】因为3==AC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高,23=AD 29cos 4AD AC AD AC CAD AD ⋅=⋅∠==.（3）设向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c|的最大值等于( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 【解析】 ∵a·b＝－12，且|a|＝|b|＝1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°.如图所示，将a ，b ，c 的起点平移至同一点O ，则a －c ＝CA →，b －c ＝CB →，∠ACB＝60°，于是四 点A ，O ，B ，C 共圆，即点C 在△AOB 的外接圆上，故当OC 为直径时，|c|取最大值．由余弦定理，得AB ＝OA 2＋OB 2－2·OA·OB·cos〈a ，b 〉＝3，由正弦定理，得2R ＝AB sin 120°＝2，即|c|的最大值为2.题型二 向量的夹角与向量的模例2 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |； (3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积. 例2 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)可先平方转化为向量的数量积.|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.变式训练2 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角.解 (1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )·a ＝a 2＋a·b ＋a·c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120°＝ 3. 设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝a ＋b ＋c ·a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.(3)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.（4）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________解 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )， PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， ∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4y )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2，∵点P 是腰DC 上的动点，∴0≤y ≤a ，因此当y ＝34a 时，|PA →＋3PB →|2的最小值为25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.题型三 平面向量的垂直问题例3 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π). (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数) (1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直.(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，|k a ＋b ||a －k b |∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α). 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.而0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.变式训练3 (1) 已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.①证明：a ⊥b ；② 若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t ).① 证明 ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .②解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，∴c·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＝0， 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a·b ＝0， ∴c·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0，∴k ＝f (t )＝t 3－3t4(t ≠0).（2） 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．① 求证：a ＋b 与a －b 垂直； ②用k 表示a ·b ；③ 求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.点拨： 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 ①由题意得，|a |＝|b |＝1，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直．②|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1，(3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b .由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．③由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.（3）设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． ① 若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； ②求|b ＋c |的最大值；③ 若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . ① 解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.②解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝22sin cos )(4cos 4sin )ββββ++-（ ＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.③证明 由tan αtan β＝16得sin sin 16cos cos αβαβ=即16cos cos sin sin 0αβαβ-=所以a ∥b .（4）如图4－4－1所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE . 解 AD →·CE →＝(AC →＋12CB →)·(CA →＋23AB →)＝－|AC →|2＋12CB →·CA →＋23AB →·AC →＋13AB →·CB →＝－|AC →|2＋12|CB →||CA →|cos 90°＋223|AC →|2cos 45°＋23|AC →|2cos 45°＝－|AC →|2＋|AC →|2＝0， ∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .,（5） 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值解：当A = 90︒时，⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23-当B = 90︒时，⋅BC = 0，BC =AC -= (1-2, k -3) = (-1, k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311 当C= 90︒时，⋅= 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2133±题型四 向量的数量积在三角函数中的应用例4 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.变式迁移4 （1）已知△ABC 的面积S ，12AB →·AC →＝3S ，且cos B ＝35，求cos C .解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A12AB →·AC →＝12bc cos A ＝3S ＝32bc sin A >0， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos A ＝3sin A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010.由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－1010. （2）．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是△ABC 的重 心，且56sin A ·GA ＋40sin B ·GB ＋35sin C ·GC ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，m ·n 的最大值为5，求实数k 的值． 解：(1)由G 是△ABC 的重心，得GA ＋GB ＋GC ＝0， ∴GC =-(GA +GB)，由正弦定理，可将已知等式转化为GA +40b GB +35c (-GA -GB)=0a ⋅⋅⋅56整理，得(56a －35c )·GA ＋(40b －35c )·GB ＝0.∵GA ，GB 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧56a －35c ＝0，40b －35c ＝0.由此，得a ∶b ∶c ＝5∶7∶8.不妨设a ＝5，b ＝7，c ＝8，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 由(1)得B ＝π3，所以A ＋C ＝23π，故得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.设sin A ＝t ∈(0,1]，则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1，t ∈(0,1]．令f (t )＝－2t 2＋4kt ＋1，则可知当t ∈(0,1]，且k >1时，f (t )在(0,1]上为增函数，所以，当t ＝1时，m ·n 取得最大值5.于是有：－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝32，符合题意，所以，k ＝32.（3）已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径，①判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由；②求BP CQ ⋅的最大值。

城东蜊市阳光实验学校教案51平面向量的数量积〔或者者内积〕一、课前检测1.(东城区08年高三)Rt△ABC 的斜边BC=5，那么AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的 值等于.2.(08届上期末)如图，在△ABC 中，→→=DC 21BD ，→→=ED 3AE ，假设→→=a AB ， →→=b AC ，那么=→BE 〔〕A ．1133a b +B ．1124a b -+ C ．1124a b +D ．1133a b -+ 二、知识梳理1.向量的夹角：2.数量积的定义：3.数量积的几何意义：4.数量积的性质：5.数量积的运算法那么〔运算律〕三、典型例题分析例1|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求：(2a ＋3b )·(3a －2b )． 变式训练1|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝5，求|2a －3b |的值．变式训练2假设向量a 与b 的夹角为60°，|b|=4，〔a+2b 〕·〔a －3b 〕=－72，那么向量a 的模是〔〕A.2B.4C.6D.12小结与拓展：例2如图，在等腰直角ΔABC 中，∠C=90°，|AB|=22.求〔1〕AB AC ⋅的值；〔2〕AB CA ⋅的值；〔3〕).(AB CA BC +⋅变式训练3在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a,那么CA BC ⋅的值是() A.20B.20- C.320 D.320-变式训练4ABC BC AB ABC ∆>⋅∆→→则中,0为〔〕A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定小结与拓展：例3|→a |=2，|→b |=3，→a 和→b 夹角为450，求当向量→a +λ→b 与λ→a +→b 夹角为锐角时，λ的取值范围。

变式训练5|a|=10，|b|=12，且〔3a 〕·〔51b 〕=－36，那么a 与b 的夹角是〔〕 A.60°B.120°C.135°D.150° 变式训练6.假设向量c 垂直于向量a 和b ，d=λa+μb〔λ、μ∈R，且λμ≠0〕，那么〔〕A.c∥dB.c⊥dC.c 不平行于d ，也不垂直于dD.以上三种情况均有可能小结与拓展：四、归纳与总结〔以学生为主，师生一一共同完成〕1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教学反思〔缺乏并查漏〕。