5.2不等式和绝对值不等式(四)课件(人教A版选修4-5)

9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．

ac ab bc
a b b c 0 当且仅当________________时，等号成立。
2、如果a, b是实数，你能比较 a b 与 a b 的 大小吗？并说明理由。
a b ab
ab 0 且 a b 当且仅当__________________ 时，等号成立。
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工， 这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km 处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区， 每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。 要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应 该建于何处？
分析：如果生活区建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程 之和为S(x)km,那么 S x 2 x 1 0 x 2 0 于是，上面的问题就化 归为数学问题：当x取何值时，函数 S x 2 x 1 0 x 2 0
[系列4 ]
绝对值三角不等式
y
a b
O
a
b
x
创设情境
在数轴上，你能指出实数a的绝对值 a 的几何意义吗？
a
0 a
A x
它表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离 那么， a b 的几何意义呢？ 数轴上A,B两点之间的距离
B b
ab
B -b
A
a
ab
O
x
探究
设a, b为实数， 你能比较 a b 与 a b 之间的大小关 系吗？
当ab>0时， a b a b
当ab<0时， a b a b 当ab=0时， a b a b 你能将上述情况综合起来吗？

5x-6 ≥ 0 5x-6<0
(Ⅰ)或 (Ⅱ)
分析：对绝对值里面的代数式符号讨论
解 原式可化为
-(5x-6)<6-x 5x-6<6-x 解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5 取它们的并集得：（0，2）
变1 解不等式 | 5x-6 | < 6 – x 分析 利用|x|<a 另解： 原不等式转化为 -(6-x)<5x-6<(6-x) -(6-x)<5x-6 x <2 5x-6 < 6-x 因此,原不等式的解集为 (0 , 2) 总结: |f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x) |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x) 变2 解不等式
课堂小结 含绝对值的不等式的解法的基本思想是去 掉绝对值符号. 常用方法 (1)定义法(常用零点划分法)； (2)公式法 ； (3)平方法； (4)换元法; 绝对值的几何意义 (5)数形结合法 函数法
即
∴
x> 0
∴ 0< x <2
x x 6
2
-3≤x≤3
例2 解不等式|x-2|+|x-1|≥5 分析 方法1: 去绝对值; 零点划分法 方法2: 几何意义; 方法3: 函数法. 思考1.总结解不等式
x a x b c和 x a x b c (a b)
的基本思路. 2.不等式|x-a|+|x-b|≥|a-b|的解集是什么?
5.2.1 含有绝对值的 不等式的解法
复习：
1.绝对值的定义: |x|= 2.几何意义:
x2
B O
x 0 -x

择决定命运，环境造就人生！
明朝未ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选