双曲线-复习课精品课件

左支，
且2 a ＝2，解得 a ＝1，又 c ＝3，
则 b 2＝ c 2－ a 2＝8，
2

所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ ＝1( x ≤－1).
8
2
2
(2)设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 为双曲线右支
4
3
上一点， 1 ＝3 2 ，则∠ F 1 PF 2的大小为( C )
2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ||PF1 | −
|PF2 || = 2a，运用平方的方法，建立与 ｜PF1 ｜·｜PF2 ｜ 的联系.
跟踪训练
1. 已知平面内有两个定点 F 1(－5，0)和 F 2(5，0)，动点 P 满足｜ PF 1｜
－｜ PF 2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是(
双曲线及其性质
[学习要求] 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
以及它的简单几何性质.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 双曲线的定义
满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线：


= 2，

又൞ ＝ 2，

解得 a ＝ 2 ， c ＝2， b ＝ 2 ，
2 ＝ 2 − 2 ，
2
2
∴所求方程为 － ＝1.
2
2
考点三
双曲线的几何性质
◉角度(一) 渐近线
例3
2
2
(1)(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离

y2 x 1 的焦点坐标是 (0, 4 k ) . 3. 双曲线 k 4
2
(0, 6 ) 、焦距是 y2-2x2=1的焦点为 2
6.
4. 方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 是 . -2<<-1
y2 x 1. 已知双曲线与椭圆 27 36 1 有共同的焦点，且与
双曲线定义与方程式的应用
一、巩固练习
x2 y 1 a 2 b2 1. 焦点在x轴上的双曲线的标准方程是 . y2 x2 2 1 2 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 a . b
其中 c2=a2+b2 .
2
焦点为(c, 0) 2
焦点为(0, c)
y2 x 1的焦点且垂直x轴的弦的长度 2. 过双曲线 3 4 4 3 为 . 3
；
因此，在应用定义时，首先要考查
2 2
a与c的大小
.
3. 双曲线的标准方程是 x y 1 其中b2=c2-a2 2 2
a
b
y2 x2 2 1 2 _______________. 焦点在y轴上的双曲线的方程是 a b
4. 小结
椭圆的焦点由_________________________ 决定， x2与y2的系数的大小 x2与y2的系数的正负 ______________________ 决定. 双曲线的焦点则由 在双曲线的标准方程中 、b、c的关系是_______ . c2=a2+b2 a 方程Ax 2 By 2 1表示双曲线的充要条件 _____ . 是 AB<0
－（ex0 +a） ；
y2 x 2 y2 x 2 4、 2 2 1与 2 2 1 是共轭双曲线，与有公共 a b a b

B.[ ,+∞)
C.(1, +1]
D.[ +1, +∞)
解析：设右支上一点P(x0，y0)，P到左准线距离为：x0＋
P到右焦点距离为ex0－a，∴x0＋ ＝ex0－a.
∴x0＝a·
≥a.∴e2－2e－1≤0，
解得1－ ≤e≤1＋ ，又∵e>1，∴1<e≤1＋
答案：C
3．双曲线 －y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线
若
成立，则λ的值为 ( )
A.
B.
C.
D.
解析：设△PF1F2的内切圆半径为R，
S ＝ |PF1|·R，S ＝ |PF2|·R，
S
＝ |F1F2|·R，
∴|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，
∴|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，
∴λ＝
答案：B
1．(2010·合肥摸拟)已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的
e＝
c a
(e>1 )
x＝
y＝
标准方程
＝1(a>0，b>0)
＝1(a>0，b>0)
若点P在右半支上， 若点P在上半支上，
性质
焦 半
则|PF1|＝ ex1＋a ， | PF2|＝ ex1－a ；
则|PF1|＝ey1＋a ， |PF2|＝ ey1－a ；
若点P在左半支上， 若点P在下半支上，
径 则|PF1|＝ －(ex1＋a)， 则|PF1|＝ －(ey1＋a)，
2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线 方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线． (2)求已知渐近线的双曲线的方程． (3)渐近线的斜率与离心率的关系．

第九章 平面解析几何
23
解析：通解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P 为双曲线右支上一点，则 S△PF1F2＝12 mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又 e＝ac＝ 5，所以 a＝1，选 A. 优解：由题意得，S△PF1F2＝tanb425°＝4，得 b2＝4，又ac22＝5，c2＝b2＋a2，所 以 a＝1.
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第九章 平面解析几何
6
性质
实、虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴
长
a，b，c 的关系
c2＝__a_2＋__b__2 _ (c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_y_＝__±__x__，离心
率为 e＝ 2.
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第九章 平面解析几何
7
常用结论 1．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min ＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2ab2，异 支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.
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第九章 平面解析几何
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1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
别为 F1，F2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P.若△PF1F2 的面积为