用三线扭摆法测定物体的转动惯量

实验4-3 用三线扭摆法测定物体的转动惯量
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体的质量、转轴位置及质量相对转轴的分布情况有关。

对于形状简单规则的刚体，测出其尺寸和质量，可用数学方法计算出转动惯量，而对形状复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般要通过实验方法来测定。

三线扭摆法测转动惯量是一种简单易行的方法。

【实验目的】
1．学会使用三线扭摆法测定圆盘和圆环绕其对称轴的转动惯量。

2．学习使用MUJ-5B 计时计数测速仪测量周期。

3．研究转动惯量的叠加原理及应用。

【实验器材】
三线扭摆、钢直尺、游标卡尺、水准仪、钢圆环、铝圆环、MUJ-5B 计时计数测速仪。

【实验原理】
三线扭摆装置如图4-3-1a 所示。

上、下两个圆盘均处于水平，圆盘A 的中心悬挂在支架的横梁上，圆盘B 由三根等长的弦线悬挂在A 盘上。

三条弦线的上端和下端分别在A 圆盘和B 圆盘上各自构成等边三角形，且两个等边三角形的中心与两个圆盘的圆心重合。

A 盘可绕自身对称轴12O O 转动，若将A 盘转动一个不大的角度，通过弦线作用将使B 盘摆动，B 盘一方面绕轴12O O 转动，同时又在铅直方向上做升降平动，其摆动周期与B 盘的转动惯量大小有关。

设B 盘的质量是0m ，当它从平衡位置开始向某一方向转动角度θ时，上升高度为h （如图4-3-1b 所示），那么B 盘增加的势能为
=p E 0m gh (4-3-1)
这时B 圆盘的角速度为d dt
θ，B 盘的动能为 201()2K d E J dt
θ= (4-3-2) 式中0J 是B 盘绕自身中心轴的转动惯量。

如果略去摩擦力，则圆盘系统的机械能守恒，即
2001()2d J m gh dt
θ+= 常量 (4-3-3) 设悬线长为l ，上圆盘悬线到盘心的距离为r ，下圆盘悬线到盘心的距离为R 。

当下圆
盘B 转一小角度θ（05<）时，圆盘上升高度h ，从上盘a 点向下作垂线，与升高前、后的
下盘分别交于c 、1c ，悬线端点b 移到位置1b ，因而下盘B 上升高度为
1h ac ac =-1
2
12)()(ac ac ac ac +-= (4-3-4)
因为 22222()()()()ac ab bc l R r =-=--
2221111()()()ac ab b c =-222(2cos )
l R r Rr θ=-+- 所以
211
22sin ()
2(1cos )2Rr Rr h ac ac ac ac θ
θ⨯-==++ (4-3-5)
在悬线l 较长而B 盘的扭转角θ很小时，有
12ac ac H +≈， sin()22θθ
≈
其中H 为两圆盘之间的距离。

代入式（4-3-5）得
2
2Rr h H θ= (4-3-6)
将式（4-3-6）代入式（4-3-3），两边对t 微分，可得
20020d d Rr d J m g dt dt H dt θθθ
θ+=
即：
2020
0m g d Rr dt J H θ
θ+=
（
4-3-7） 式（4-3-7）是简谐振动的微分方程，其中振动角频率ω的平方为
a)
b)
图4-3-1 三线扭摆
200m g Rr J H
ω= 振动周期 02/T πω=，则下圆盘B 的转动惯量为
200024m gRr J T H π=
(4-3-8) 实验中测出0m 、R 、r 、H 和0T ，就可根据式（4-3-8）求出圆盘B 绕自身对称轴的
转动惯量。

若B 圆盘上放置另一质量为m 的待测刚体（刚体的质心要在轴12O O 上），使原转轴12O O 不变，测出此时的摆动周期T ，待测刚体和B 盘对轴12O O 的总转动惯量
202()4m m gRr J T H
π+= (4-3-9) 转动惯量具有可叠加性，故待测刚体对轴12O O 的总转动惯量为
10J J J =-
将式（4-3-8）和式（4-3-9）代入上式得：
[2210002()4gRr J m m T m T H
π⎤=
+-⎦ （4-3-10） 【实验内容】 一、测量B 盘对于其中心对称轴12O O 的转动惯量
1．调节三线扭摆的角螺丝使A 圆盘面处于水平，再调整三线摆悬线的长度，使B 盘水平，并且使A 、B 两圆盘之间的距离H 大约为60cm 。

2．用米尺测定A 、B 两圆盘之间的距离H ，B 圆盘的直径D ，并记下B 圆盘的质量0m 。

3．用游标卡尺分别测定A 、B 圆盘三线悬挂点之间的距离i a 、i b （i =1，2，3），并求平均值。

4．用MUJ-5B 计时计数测速仪测定B 盘的摆动周期0T 。

首先让B 盘处于静止状态，然后轻轻转动一下A 盘，使B 盘绕12O O 轴做小角度摆动（摆角控制在0
5左右），待B 盘做稳定摆动后，调整光电门和MUJ-5B 计时计数测速仪，测出它摆动20个周期所对应的总时间0t 。

重复三次，算出周期0T 的平均值。

5．将测量数据填入表4-3-1。

二、测量待测圆环对自身对称轴的转动惯量
1．将待测钢圆环放在B 盘上，并使环心与B 盘盘心重合。

2．测量系统的摆动周期T ，方法与上述（一、4）相同。

3．用米尺测量待测钢圆环的内、外直径1D 、2D ，并记下钢圆环的质量m ，将测量数据填入表4-3-2。

利用式（4-3-10）算出钢圆环的转动惯量。

4．用相同的方法测量铝圆环，将测量数据填入自拟表格。

【数据处理】
一、测量圆盘B 绕对称轴12O O 的转动惯量。

表4-3-1 测量圆盘B 的转动惯量
1．计算A 、B 圆盘的悬点到转轴12O O 的距离r 、R 。

由于三线摆的三条弦线的上端和下端分别在A 圆盘和B 圆盘上各自构成等边三角形，所
以，A 、B 圆盘的悬点到转轴12O O 的距离/3r =、/3R 。

2．应用式（4-3-8）计算B 盘的转动惯量0J 。

3．应用公式2()/8J mD =，计算B 盘的转动惯量的理论值0J 理。

5．计算相对误差0000100%r J J E J -=⨯=理
理 。

二．测量钢圆环的转动惯量。

1．应用式(4-3-10) 计算钢环的转动惯量。

表4-3-2测量钢环的转动惯量
2．应用公式2221D )/8J m D =+（，计算钢环的转动惯量的理论值1J 理。

3. 计算相对误差1111100%r J J E J -=⨯=理
理 。

三．测量铝圆环的转动惯量。

计算铝环的转动惯量及相对误差。

【思考题】
1．公式200024m gRr J T H
π=是根据什么条件导出的？在实验时如何做才能满足这些条件？ 2．若在B 盘上所加的待测刚体是一个半径较小的柱体，将柱体对自身轴的转动惯量的实验值与理论值比较，发现误差较大。

试分析产生误差的主要原因。