量子物理习题课(07.12)

例：电视显象管中电子的加速电压为9kV，电子 枪枪口直径为0.1mm， 求：出枪口之后电子的横向速度，并加以讨论。
解：
x 1 10 mm m 9.11 10 kg
6.63 10 34 V x 1.2m / s 31 4 mx 9.11 10 1 10
德布洛意的获奖论文
爱因斯坦评价： “揭开了自然界巨大帷幕的一角” “瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢”
1、德布洛意物质波的假设
任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的 运动和波的传播不能相互分离。 粒 子 性
E mc h
2
p mv
h

波 动 性
德布洛意关系式
物质波假设的提出：
—— “宇宙是匀称的，和谐的”科 学观念与“类比思维” ，“辨证思维”科学思想 和科学方法的完美结合及体现。

激发态能级的宽度 E

1.0 10 26 J
说明原子光谱的谱线必有一定的宽度。
玻尔和索末菲
玻 尔 和 泡 利
玻 尔 、 海 森 堡 和 泡 利
§16-6
量子力学简介
一、波函数、概率密度
1、 自由粒子的波函数
x 平面波的波动方程： y A cos 2 t
其中A为任意常数，E和b均为确定的常数 2 求：归一化的波函数；几率密度 ？
iE x ( x, t ) A exp( t ) cos( ) (b / 2 x b / 2) b

b / 2

| ( x, t ) | dx
起点，终点，轨道均不确定，只能作概率性判断 亮纹： 光子到达概率大 次亮纹： 光子到达概率小 暗纹： 光子到达概率为零 光强分布 —— 光子落点概率分布, “光子波”—— 概率波

x h /(2p) 2( / )
△x≥0.048 m＝48 mm
10. 同时测量能量为1keV作一维运动的电子的位 置与动量时，若位置的不确定值在0.1 nm (1nm = 10-9 m)内，则动量的不确定值的百分比△p/p至少 为何值？ (电子质量me=9.11×10-31 kg，1eV=1.60×10-19
三. 玻尔的氢原子理论
1.玻尔理论的三个基本假设:
h 3）轨道角动量量子化假设 L n n (n 1,2,3) 2 2 r n r1 ( n 1, 2, 3, ) 2. 氢原子轨道半径 n 玻尔半径 r1 0.53 A
E1 13.6 3. 氢原子能级 En 2 2 eV (n 1, 2, 3, ) n n 氢原子基态能级 E1 13.6eV
5. 在康普顿散射中,若反冲电子的速度为光速的60 ％, 则因散射使电子获得的能量是其静止能量的 (A) 2倍 (B) 1.5倍 (C) 0.5倍． (D) 0.25倍 [D] 6. 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光 波长的 1.2倍，则散射光光子能量与反冲电子动能 EK 之比 / EK 为 [D] (A) 2 . (B) 3 . (C) 4 . (D) 5．
荷e =1.60×10-19 C，普朗克常量h =6.63×10-34 J· s)
9 . 光子的波长为 3000 Å，如果确定此波长 的精确度 / 10-6，试求此光子位置的不确 定量． 思路:
p
p h/
h / 2 ( h / )( / )
U
五. 不确定关系 x p x △x 表示粒子在x方向上的位置不确定范围，△px 表示粒子在x方向上动量的不确定范围，该式表示: 对于微观粒子，不可能 同时用确定的坐标和确定

hc 1.24106 eVm
e
c 2
0.51
10 eV 6
最后，对
hc 2ec 2E
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这 个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世 界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二 象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是 E 3 kT （k 为玻耳兹曼常数），求 T=1K 时，氦原子的德
3.7 10
eV
9
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度 为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT，这样，其相庆的德布罗意波 长就为
hc hc 2c 2 E 2kc2T
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波 动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性 就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须 用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。 4. 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平 方的乘积，即 0.51106 eV ，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式， 这样，便有
h
p
2
在这里，利用了 以及
h
2eE
hc
2ec2 E
1.24 10 6 m 2 0.51106 3
0.7110 9 m 0.71nm
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有

量子物理基础参考答案一、选择题参考答案：1. D ；2. D ；3. D ；4. C ；5. D ；6. C ；7. C ；8. A ；9. A ；10. D ；11. D ；12. C ；13. C ；14. A ；15. D ；16. E ；17. C ；18. C ；19. B ；20. A ；21. D ；22. C ；23. B ；24. B ；25. A ；26. C ；27. D ；28. A ；29. A ；30. D ；31. C ；32. B ；33. C ；34. C ；35. C ；36. D ；37. C ；38. D ；39. A ；40.D二、填空题参考答案：1、J 261063.6-⨯，1341021.2--⋅⋅⨯s m kg2、>，>3、14105⨯，24、V 45.1，151014.7-⋅⨯s m5、θφcos cos P c v h c hv+'=6、2sin 2sin 2212ϕϕ7、π，︒08、定态，（角动量）量子化，跃迁9、（1）4 , 1 （2）4 ,310、10 ,311、6.13 , 4.312、913、1:1, 1:414、122U em he15、m 101045.1-⨯, m 291063.6-⨯16、231033.1-⨯， 不能17、241063.6-⨯18、≥19、（1）粒子在t 时刻在()z y x ,,处出现的概率密度；（2）单值、有限、连续；（3）12*=ψ=ψψ⎰⎰⎰⎰dxdydz dV V20、不变 21、a x n a π2sin 2， dx a x n a a π230sin 2⎰三、计算题参考答案：1、分析 光子的能量、动量和质量与波长的关系为c h cE m h c E p hc E λλλ=====2 解： 利用上面的公式，当nm 001.0 nm,20 nm,1500=λ时，分别有 J 1099.1 J,1097.9 J,1033.1131919---⨯⨯⨯=Em/s kg 1063.6 m/s,kg 1031.3 m/s,kg 1043.4222628⋅⨯⋅⨯⋅⨯=---p kg 1021.2kg,1010.1kg,1048.1303436---⨯⨯⨯=m2、解： 由光电效应方程可得V 45.1=-=eW h U a ν m/s 1014.725max ⨯==meU a v3、解： 康普顿散射公式得散射光的波长为2sin 22sin 22C 0200ϕλλϕλλ+=+=c m h 其中m 1043.212C -⨯=λ，则当︒︒︒=90 ,60 ,30ϕ时，代入上式得波长分别为 nm 0074.0nm,0062.0nm,0053.0=λ4、解： 氢原子从基态1=f n 激发到3=i n 的能级需要的能量为eV 1.12Δ13=-=E E E对应于从3=i n 的激发态跃迁到基态1=f n 的三条谱线的光子能量和频率分别为 Hz 1092.2eV 1.12 :1315⨯===→=νE n n f iHz 1046.2eV 2.10 Hz1056.4eV 89.1 :12315221411⨯==⨯===→=→=ννE E n n n f i5、解： 经电场加速后，电子的动量为meU p 2=根据德布罗意关系，有m 1023.111-⨯==Ph λ6、解： 一维无限深阱中概率密度函数（定态）为)2cos 1(1sin 2)(*)()(2ax n a a x n a x x x ππψψρ-=== 当12cos -=a x n π时，即 ,212,,.23,2212a nk n a n a a n k x +=+=时，发现粒子的概率最大．当∞→n 时，趋近于经典结果．7、解：分析 在一维无限深井区间],[21x x 发现粒子的概率为 ⎰=21d )(*)(x x x x x P ψψ 在区间]43,0[a 发现粒子的概率为 909.0d sin 2d )(*)(4302430===⎰⎰a ax ax a x x x P πψψ。