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§3-10 氢原子问题⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--------μμZe e e e Ze e p 原子：电子对：类氢离子：氢原子：都属于氢原子问题。
前面我们讨论电子在核所产生的电场中运动时，选取了核的位置作为坐标原点。
如把以上结果直接应用到氢原子问题，则只有当原子核固定的时候，才完全准确，即把核的质量看作无穷。
实际上核的质量是有限的，在库仑力的作用下，核与电子都绕它们的质心运动（当然质心位置非常接近核的中心）。
于是氢原子问题成为两体问题。
在经典力学中两体问题可归结为单体问题，在量子力学中，也可以这样做，引入电子相对核的坐标和质心在空间的坐标，可把两体薛定谔方程分解为质心运动方程和一个电子相对核的运动方程。
一、两体问题化为单体问题 两粒子体系的薛定谔方程为222212121212(,,)()(,,)22i r r t U r r r t t ψψμμ⎡⎤∂=-∇-∇+⎢⎥∂⎣⎦ 其中，1μ、2μ、1r 、2r分别为电子与核的质量与位置矢量。
引入相对坐标和质心坐标121122112212r r r r r r r R M μμμμμμ=-⎧⎪++⎨==⎪+⎩ 它们的分量形式为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=212121z z z y y y x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=M z z X M y y Y M x x X 221122112211μμμμμμ 因为xX M x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111μ 222221111222212x M X x M X x M X M X x xμμμμ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 同理2222211222212y M Y M Y y y μμ∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ 2222211222212z M Z M Z z zμμ∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂2222222222222x M X M X x xμμ∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂ 2222222222222y M Y M Y y y μμ∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂ 2222222222222z M Z M Z z z μμ∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂ 所以22221222111222222222211222222222222211222x y z M X Y Z M X x Y y Z z x y z MM X x Y y Z z μμμμ∂∂∂∇=++∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=∇+∇+++ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭质心相对同理⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂-∇+∇=∇z Z y Y x X M M 222222222222μμ相对质心把上面的结果代入到薛定谔方程中，并注意到),,(),,(21t R r t r rψ=ψ，化简后，得2222(,,)()(,,)22i r R t U r r R t t M μ⎡⎤∂ψ=-∇-∇+ψ⎢⎥∂⎣⎦质心相对 式中，2121μμμμμ+=，称为约化质量（或折合质量）。
量子力学基本概念解读量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它基于一系列假设和数学框架，为我们理解和解释微观尺度的物质和能量行为提供了重要的工具。
本文将对一些量子力学的基本概念进行解读，帮助读者更好地理解这一复杂而又精确的学科。
1. 量子：量子是指物质和能量的最小单位，具有离散的性质。
量子力学认为，微观物体的属性不是连续的，而是以离散的方式存在。
例如，光是由以太波浪一流行理解而成的，也就是无数绕行形成的，而量子力学认为光是由无数个粒子组成的微粒流行理解而成的。
2. 叠加态：在经典物理学中，一个物体的状态可以明确地用确定的数值来表示，例如它的位置和速度。
然而，在量子力学中，物体的状态可以同时处于多个可能的状态之下，这种状态成为叠加态。
叠加态的概念十分重要，因为它涉及到了概率性质的存在。
3. 量子叠加原理：量子力学的基本原理之一是量子叠加原理。
它指出，如果一个粒子可以存在于多个可能的状态之下，那么它的状态就可以通过这些状态的线性组合来表示。
这意味着，当我们观察一个粒子时，它的状态会“坍缩”成一个确定的状态，并且观察结果的概率与叠加态中各个状态的系数平方成正比。
4. 不确定性原理：不确定性原理是量子力学的核心概念之一。
由于观察粒子会导致其状态坍缩，因此无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
不确定性原理指出，存在一个固定的限度，即无法同时准确知道某一物理量的两个共轭变量。
这意味着，我们无法同时确定粒子的位置和速度，而只能通过概率分布来描述其状态。
5. 波粒二象性：在量子力学中，物质和能量可以表现出波动性和粒子性的特征，这就是波粒二象性。
根据波粒二象性，光既可以被看作是波，也可以被看作是由光子这样的微粒组成，而电子、质子等粒子也具有类似的性质。
这种奇特的现象违背了经典物理学中对物质和能量的直观理解。
6. 量子纠缠：量子纠缠是量子力学中一个引人注目的现象。
它指出，当两个或多个粒子被同时创建时，它们的状态会相互关联，无论它们之间有多远的距离。
物理高考量子力学简介量子力学是现代物理学的重要分支之一，主要研究微观粒子的行为和相互作用规律。
自20世纪初得以建立以来，量子力学对于我们对宇宙的认知产生了革命性的影响。
本文将简要介绍量子力学的基本概念和原理。
1. 光的粒子性和波动性——光量子假设1900年，德国物理学家普朗克提出了能量的“量子化”假设，从而首次揭示了光的粒子性。
他认为辐射能量只能以一些离散的小包（光子）的形式进行传递。
这一假设解释了黑体辐射谱线分布与实验观察结果之间的矛盾。
日后，爱因斯坦进一步发展了普朗克的理论，提出了光电效应假设，并成功解释了光电效应现象。
然而，光束经过狭缝时出现了干涉和衍射现象，这暗示着光具有波动性。
为了解决这一矛盾，法国物理学家路易·德布罗意于1924年提出了光的波粒二象性理论。
他认为微观粒子（如电子）也具有波动性，波动性表现为粒子的德布罗意波。
2. 波函数与测量——量子态叠加原理量子力学中最基本的表述形式是波函数（Ψ）。
波函数包含了有关微观粒子（如电子）的所有可能信息，包括位置、动量、自旋等。
根据波函数，可以计算出各种物理量的平均值和概率分布。
然而，在测量过程中，根据量子态叠加原理，粒子会处于多种可能的状态之中。
只有进行测量时，波函数才会坍缩为某个确定的状态。
这种非确定性是量子力学的重要特征，体现了量子世界的奇妙性质。
3. 不确定性原理——海森堡不确定性原理值得注意的是，量子力学中存在一个重要的原理，即不确定性原理。
由德国物理学家海森堡于1927年提出，不确定性原理表明，对于一对互相对易的物理量，如位置和动量，无论使用何种手段进行测量，其测量结果必然存在一定程度的误差，即无法同时确定它们的准确值。
这意味着，对于微观世界的测量，我们无法同时精确地知道粒子的位置和动量。
不确定性原理限制了我们对真实世界的认识，也提醒我们尊重自然界的规律。
4. 角动量与自旋——自旋角动量除了位置和动量之外，角动量也是量子力学研究的重要内容。
量子力学通俗讲解量子力学是研究微观粒子的一门科学。
它的基本理论是，每一个量子都有自己的特定性质，这种性质是不可复制的，也就是说，同样的物质由不同的人制造出来，会表现出不同的性质。
那么既然量子具有特定性质，如何保证它们在运动过程中不会发生碰撞，形成新的量子？答案是，量子之间不发生直接接触。
量子力学，实际上是由量子、场等抽象概念构成的。
其核心是描述原子和分子的运动规律，以及微观粒子之间的相互作用。
它认为物质的组成、结构和相互作用等都不是物质实体本身所固有的，而是要通过测量才能够确定。
量子力学也称为量子场论，它提供了关于自然界基本粒子的一套完整的理论，但目前还未得到广泛应用。
那么，量子到底是什么呢？有人这样解释：假如我把一颗石子丢向你，你马上起身躲开，那么石子会砸到地面上，因为你的运动轨迹被限制在了一个小小的圆圈内。
但如果我将石子放在了桌子边沿，石子就无法落在地面，它会永远悬在空中，因为它没有运动轨迹。
由此，我们可以看到，当石子与桌子接触时，是无法判断它到底被挡住或者飞出的，这种情况下，石子根本无法被量子化。
那我们就来说说什么是光子，什么又是光波。
那么，什么又是光子呢？顾名思义，光子就是光的粒子，在量子力学里，光子的最大特点就是不能再分，也就是光子既不能创生，也不能消灭。
而光波呢？这里指的是光子所携带的能量，它的最大特点就是能量可以叠加，当光子在高能级和低能级的状态发生变化，它所携带的能量也就改变了。
“叮”，闹钟响了，今天又是星期一，你正忙着上学，你并不知道，地球上发生了一件惊天动地的事，那就是——一声巨响，世界上第一次被量子化了！有一个女孩穿越时空回到了过去，她是谁呢？没错，她就是爱因斯坦！爱因斯坦打开时空之门后，便从另外一个世界返回了，他望着眼前的场景感叹到：“真是太神奇了！这一切的发展超乎了我的想象！”爱因斯坦用了两个小时把量子力学介绍给了全世界，那个女孩就是——玛丽亚·格佩特梅耶娃·居里，她后来凭借自己的努力创立了世界上第一个私人核反应堆。
量子力学知识总结1. 简介量子力学是现代物理学中的一个重要分支，它描述了微观世界中粒子的行为。
与经典物理学不同，量子力学采用了概率的观点来解释微粒的运动。
本文将对量子力学的基本概念和原理进行总结。
2. 波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性。
根据德布罗意波动方程，物质具有波动性质。
这意味着粒子不仅可以被看作是经典的粒子，还可以被看作是波动的能量表现。
3. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要概念。
根据海森堡的不确定性原理，我们无法同时准确地测量粒子的位置和动量。
粒子的位置和动量之间存在一种基本的限制，我们只能通过取得一种的精确测量结果。
4. 波函数和波包在量子力学中，波函数被用来描述粒子的状态。
波函数的模方给出了粒子出现在不同位置的概率分布。
而波包则是在时间和空间上局限的波函数。
波包是由多个波函数叠加而成，它代表了一定位置和动量的粒子。
5. 编写量子力学方程式当处于一个给定的势能场中时，可以利用薛定谔方程来求解量子系统的波函数。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化规律。
另外，也可以利用量子力学中的其他方程来求解特定的问题，如波动方程和旋量方程等。
6. 量子力学中的测量在量子力学中，测量是一个重要的概念。
通过测量，我们可以获得粒子的某个性质的值。
然而，根据量子力学的原理，测量结果是不确定的，我们只能获得一个概率分布。
7. 量子纠缠和量子隐形传态量子纠缠是量子力学中一个非常奇特且重要的现象。
当两个或多个粒子被纠缠在一起时，它们之间的状态将紧密关联。
即使它们被分开，它们的状态依然是相互关联的。
量子隐形传态是利用量子纠缠来实现信息传递的一种方法，它可以实现超光速的通信。
8. 应用量子力学在现代科学和技术中有着广泛的应用。
例如，量子力学在核物理、电子学、化学等领域中起着重要作用。
此外，量子计算、量子通信和量子加密等前沿技术也是在量子力学原理的基础上发展起来的。
9. 总结量子力学是一门复杂且具有深远影响的学科。
习题十七17－1 计算电子经过V U 1001=和V U 100002=的电压加速后，它的德布罗意波长1λ和2λ分别是多少？分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长与该运动粒子的运动速度之间的关系。
解：电子经电压U 加速后，其动能为eU E k =，因此电子的速度为：m2e v U = 根据德布罗意物质波关系式，电子波的波长为：)(23.12nm U emU h m h ==v ＝λ若V U 1001=，则12301.＝λnm ；若V U 100002=，则012302.＝λnm 。
17－2 子弹质量m =40 g, 速率m/s 100=v ,试问:(1) 与子弹相联系的物质波波长等于多少?(2) 为什么子弹的物质波性不能通过衍射效应显示出来?分析 本题考察德布罗意波长的计算。
解：(1)子弹的动量)s /m kg (410010403⋅=⨯⨯==-v m p与子弹相联系的德布罗意波长)m (1066.141063.63434--⨯=⨯==p h λ (2) 由于子弹的物质波波长的数量级为m 1034-, 比原子核的大小(约m 1014-)还小得多,因此不能通过衍射效应显示出来.17－3 电子和光子各具有波长0.2nm ，它们的动量和总能量各是多少？分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长公式。
解：由于电子和光子具有相同的波长，所以它们的动量相同，即为： )/(1032.3102.01063.624934s m kg hp ⋅⨯=⨯⨯==---λ 电子的总能量为：)(1030.81420J hcc m E e -⨯=+=λ而光子的总能量为：)(1095.916J hcE -⨯==λ17－4 试求下列两种情况下，电子速度的不确定量：（1）电视显像管中电子的加速电压为9kV ，电子枪枪口直径取0.10mm ；（2）原子中的电子，原子的线度为1010－m 。
分析 本题考察的是海森堡不确定关系。
解：（1）由不确定关系可得： 2≥∆⋅∆x p x 依题意此时的mm x 10.01=∆，因此有：)/(6.021s m x m m p x =∆≥∆=∆ x v 电子经过9kV 电压加速后，速度约为s m /1067⨯。
由于x v v ∆>>，说明电视显像管内电子的波动性是可以忽略的。
（2）同理，此时的m x 10210-=∆，因此有：)/(102.1262s m x m m p x ⨯=∆≥∆=∆ x v 此时v 和x v ∆有相同的数量级，说明原子内电子的波动性是十分显著的。
17－5 有一宽度为a 的一维无限深方势阱，试用不确定关系估算其中质量为m 的粒子的零点能量。
并由此计算在直径1410－m 的核内质子的最小动能。
分析 本题考察的是海森堡不确定关系。
根据位置坐标的变化范围来确定速度变化的范围，从而得到动能的最小值。
解：由不确定关系2≥∆⋅∆x p x ，可得： xm m p x ∆≥∆=∆2 x v 所以一维方势阱内粒子的零点能量为：222208821max m m E =∆≥∆=2x v 由上述公式，可得核内质子的最小动能为：)(103.381422J maE k -⨯==17－6 如果一个电子处于原子某状态的时间为810－s ，试问该能态能量的最小不确定量为多少？设电子从上述能态跃迁到基态，对应的能量为3.39eV ，试确定所辐射光子的波长及该波长的最小不确定量。
分析 本题考察的是海森堡能量和时间的不确定关系。
解：根据能量和时间的不确定关系2≥∆⋅∆t E ，有： )(103.5227J tE -⨯=∆≥∆ 辐射光子的波长为：)(367nm Ehc =＝λ 由上式可得波长的最小不确定量为： )(1059.362nm E Ehc -⨯=∆=∆λ 17－7 氦氖激光器发出波长为632.8nm 的光，谱线宽度nm 910－＝λ∆，求这种光子沿x 方向传播时，它的x 坐标的不确定量。
分析 本题考察的是海森堡不确定关系。
解：根据德布罗意关系λh p x =，等式两边同时取微分并只取其绝对值，此时有： λλ∆=∆2hp x根据不确定关系，可得：)(10442522m p x x ⨯=∆≈∆=∆≈∆λλλπλ 17－8 一个细胞的线宽为310－m ，其中一粒子质量为1410－g ，按一维无限深方势阱计算，这个粒子当1001=n 和1101n =时的能级和它们的差各是多大？分析 本题的考察是一维无限深方势阱中的能级分布问题。
根据该势阱中的能级分布公式可求出不同能级之间的能量差。
解：对于一维无限深方势阱中的粒子而言，其能量为：),3,2,1(,22222 ==n ma n E n π 因此对于n ＝100能级，其能量为：)(104.51002372222100J maE -⨯=⨯=π类似的对于n ＝101能级，其能量为：)(105.51012372222101J maE -⨯=⨯=π 两个能级之间的差为：)(101.037100101J E E E -⨯=-=∆17－9 一粒子被禁闭在长度为a 的一维箱中运动,其定态为驻波. 试根据德布罗意关系式和驻波条件证明: 该粒子定态动能是量子化的, 求出量子化能级和最小动能公式(不考虑相对论效应).分析 本题考察德布罗意波长和定态的概念.解 粒子在长度为a 的一维箱中运动,形成驻波条件为2λn a = 即na 2=λ 由德布罗意关系式anh hp 2==λ 在非相对论条件下, 粒子动能和动量关系为mp E k 22= 22228)2(21ma h n a nh m E k == ,3,2,1=n 可见粒子的动能是量子化的, 1=n 时动能最小,22218)2(21ma h a nh m E k == 顺便指出,这些公式与严格求解量子力学方程所得结果完全相同.17－10 若一个电子的动能等于它的静能,试求该电子的德布罗意波长.分析 本题考察相对论能量和动量的关系及德布罗意关系.解： 由题意知,电子020E c m E k ==, 0202E c m E E k =+=由相对论能量和动量关系可知20222E c p E +=)s /m kg (1073.43220202⋅⨯==-=-c m c E E pnm 0014.0==ph λ 17－11 设在一维无限深势阱中，运动粒子的状态用ax a x a x ππψ2cos sin 16)(= 描述，求粒子能量的可能值及相应的几率。
分析 本题考察的是波函数的态叠加原理。
解：一维无限深势阱的本证波函数为：)0(),sin(2)(a x ax n a x n <<=πψ 相应的能量本征值为：),3,2,1(,22222 ==n man E n π 将状态波函数用本征波函数展开得：[])()(213sin sin 1cos sin 16)(312x x a x a x a a x a x a x ψψππππψ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=＝ 因此，根据态叠加原理，状态处于n ＝1，3本征态上的几率均为1/2，测得的能量可能值分别为2222ma π ，22229ma π 。
17－12 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为)0(),sin(2)(a x ax n a x n <<=πψ 若粒子处于n ＝1的状态，在4~0a 区间发现粒子的概率是多少？ 分析 本题考察的是粒子的概率密度的计算问题。
对于给定的波函数，其模的平方即为该粒子在空间出现的概率密度。
解：对于n ＝1的状态的粒子，其波函数为：)sin(2)(1ax a x πψ= 因此该粒子在4~0a 区间发现粒子的概率为：091.02412cos 11sin 21)(40022401=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰πππψa a a dx a x a dx a x a dx x W a a a17－13 原子内电子的量子态由s l m m l n ,,,四个量子数来表征，当l m l n ,,一定时，不同的量子态数目是多少？l n ,一定时，不同的量子态数目是多少？当n 一定时，不同的量子态数目是多少？分析 本题考察的是各个量子数之间的对应关系。
解：由于量子态由四个量子数表征，因此量子态的数目由这四个量子数的取值范围所决定。
当l m l n ,,一定时，自旋磁量子数21±＝s m ，因此量子态数目为2； l n ,一定时，磁量子数l m 可取（12+l ）个值，而自旋磁量子数21±＝s m ，因此此时的量子态数目为2（12+l ）；当n 一定时，轨道量子数可取n 个值，磁量子数l m 可取（12+l ）个值，而自旋磁量子数21±＝s m ，因此此时的量子态数目为： 2102)12(2nl n l =+∑-=17－14 试写出n =4, l =3壳层所属各态的量子数。
分析 本题考察的是各个量子数之间的对应关系。
解： 当n =4, l =3时,磁量子数l m 可能值为3,2,1,0±±±,共7个值. 自旋量子数s m 的可能值为21±. 17－15 写出以下各电子态的角动量的大小：（1）1s 态，（2）2p 态，（3）3d 态，（4）4f 态。
分析 本题考察的是角动量的大小与轨道量子数之间的关系。
解：角动量的大小为：)1(+=l l L因此，将1s 、2p 、3d 、4f 等电子态的轨道量子数代入上式即可求出该量子态下的角动量的大小来。
（1）1s 态，0=l ，所以01=L ；（2）2p 态，1=l ，所以 22=L ；（3）3d 态，2=l ，所以 62=L ；（4）4f 态，3=l ，所以 122=L 。
17－16 写出铁(Fe), 铜(Cu)的基态电子组态。
分析 本题考察的是如何根据四个量子数来确定原子的电子组态。
解： Fe: 26626224333221s d p s p s sCu: 110626224333221s d p s p s s。
