重庆市江津中学校2019届高三4月月考数学(文)试题Word版含解析

数学（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】选C.2. 记为等差数列的前项和，若则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，由等差数列的性质可得：，该数列的公差：，故.本题选择B选项.3. 函数，在区间上任取一点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：求出不等式f（x0）≥的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论．详解：若f（x）≥，即sinx≥，解得，则在区间[0，π]上任取一点x0，则f（x0）≥的概率P==,故选：A．点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．4. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意易得：，，，∴故选：C5. ①已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，则①、②两个推理依次是（）A. 类比推理、归纳推理B. 类比推理、演绎推理C. 归纳推理、类比推理D. 归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．故选：A．点睛：本题考查的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，熟练掌握三种推理方式的定义及特征是解答本题的关键．6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】观察三视图可知，这个几何体是挖去个底面圆半径为，高为的圆锥的边长为的正方体，所以几何体的体积是正方体的体积减去个圆锥的体积，即几何体的体积.故本题正确答案为7. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据分式的特点将分式转化为斜率形式，利用数形结合即可得到结论．详解：设z=,设k=，则k的几何意义为动点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣1）的斜率．即z=1+2k，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当P位于直线OA上，斜率k最小为1，当Pw位于B（0，4）时，斜率k最大为5，即1≤k≤5，则3≤1+2k≤11，即的取值范围是[3，11]，故选：A．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）；(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.8. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 是第五圈 6 88 否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．考点：程序框图．9. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为圆C的方程可化为：(x－4)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(4,0)，半径为1.依题意知直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx0＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2.因为|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离.所以≤2，解得－≤k≤0，所以k 的最小值为－.10. 已知函数的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.11. 如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，为双曲线的顶点，为双曲线虚轴的端点，为右焦点，延长与交于点，若是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据∠B1PB2为与夹角，并分别表示出与，由∠B1PB2为钝角，.＜0，得ac﹣b2＜0，利用椭圆的性质，可得到e2-e﹣1>0，即可解得离心率的取值范围．详解：如图所示，∠B1PB2为与的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，=（a，b），=（c，﹣b），∵向量的夹角为钝角时，.＜0，∴ac﹣b2＜0，又b2=-a2+c2，∴a2+ac-c2＞0；两边除以a2得e2-e﹣1>0，解得e的范围为，又∵1＜e＜，∴1＜e＜，故选：C．点睛：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．12. 设函数在区间的导函数为在区间的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”，已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由于，所以，因为在区间上为“凸函数”，所以在区间上恒成立，对时恒成立，即对恒成立，所以，解得，其对应的可行域如下图所示，则的最大值是，故选C.考点：1、导数在函数研究中的应用；2、线性规划.【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用以及线性规划方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：根据题目条件首先对函数进行两次求导，列出关于的不等式组，并且将上述不等式组转换成关于未知数上的不等式，进而得到关于的不等式，再结合线性规划即可求得的最大值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若与平面向量方向相反的单位向量为，则的坐标为__________．【答案】【解析】试题分析：平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），根据|，解得k．详解：平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），∵|，∴，解得k=．则=，故答案为：．点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.14. 已知是上的减函数，那么的取值范围是__________．【答案】【解析】因为函数f(x)=在区间内是减函数，那么可以每一段都是递减的，可知3a-1<0,0<a<1,3a-1+4a,可知实数a的范围是15. 已知四面体中，其外接球的体积为，则该四面体的棱__________．【答案】【解析】试题分析：在△ABC中，由余弦定理得BC=3，故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜边DC，取DC中点O，则有OD=OC=OA=OB，即有O为球心．由外接球体积为，得球半径R=2，，解得AD=2．详解：如图，在△ABC中，由余弦定理得BC==3,满足AC2=AB2+BC2，∴AB⊥BC∵∠BAD=∠CAD=90°，∴DA⊥面ABC∴BC⊥面DAB，即BC⊥BD．故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜边DC，取DC中点O，则有OD=OC=OA=OB，∴O为球心．由外接球体积为，得球半径R=2，，解得AD=2故答案为：2点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16. 已知函数，若的图象与轴有个不同的交点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：化简，从而化g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点为函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象有3个不同的交点；作函数的图象，由数形结合求实数a的取值范围．详解：∵，∴|f（x）|=，∵g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，∴函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象有3个不同的交点；作函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象如下，图中A（﹣1，0），B（2，ln3），故此时直线AB的斜率k=；当直线AB与f（x）=ln（x+1）相切时，设切点为（x，ln（x+1））；则=,解得，x=e﹣1；此时直线AB的斜率k=；结合图象可知，≤a＜；故答案为：≤a＜．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为，已知.（1）求角；（2）若点在边上，且的面积为，求边的长.【答案】(1)；(2).【解析】【试题分析】（1）利用正弦定理，将边转化为角，利用三角形内角和定理可求得，故.（2）利用三角形面积公式和余弦定理可求得的值.【试题解析】（1）由及正弦定理可得，故，而，所以，即（2）由及可得是正三角形.由的面积为可得，即，故，在中，由余弦定理可得，即.18. 某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖.现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人.（1）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（2）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较分析；（3）已知本考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率.【答案】(1)4人；(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，利用古典概型概率公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等奖的考生人（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，,,因为,，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分...............19. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，，点在线段上，且平面.（1）求证：平面平面；（2）当四棱锥体积最大时，求四棱锥的表面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【试题分析】（1）利用结合直角梯形，可知四边形是矩形，故，由于平面，所以，故平面.由此证得平面平面.（2）根据体积公式计算得，即只需取得最大值.利用基本不等式可求得的最大值为，再通过体积公式可计算得表面积.【试题解析】（1）由可得，易得四边形是矩形，∴，又平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面（2）四棱锥的体积为，要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值.由条件可得，∴，即，当且仅当时，取得最大值36.，，，，则，∴，则四棱锥的表面积为.20. 已知椭圆的左右顶点分别为点坐标为为椭圆上不同于的任意一点，且满足.（1）求椭圆的方程.（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆的另一角度为的中点为，若，求直线的斜率.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）设，由两点的坐标及可得椭圆的方程；（2）由题可知，斜率一定存在且，设过焦点的直线方程为，设，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出点的坐标，根据，结合椭圆的焦半径公式可得，根据题设条件，即可算出直线的斜率.试题解析：(1)设，∴，∴，整理得：，∵、两点在椭圆上∴椭圆的方程为.(2)由题可知，斜率一定存在且，设过焦点的直线方程为，设，，.联立，则，∴∴，∴，∵，又∵∴∴∴∴.点睛：用代数法解直线与圆锥曲线综合问题时，注意以下几点：（1）设直线方程时，若不知直线的斜率存在与否，则需进行讨论，分斜率不存在和斜率存在两种情况；（2）解题过程中，由于计算量较大，故解题中注意“设而不求”、“整体代换”、“韦达定理”等思想方法的运用，以简化运算，提高解题的效率，另外，对于求出的参数的值，要判断是否满足判别式的要求，这一点容易忽视，本题在求弦长问题时，可直接利用焦半径公式.21. 已知函数（是自然对数的底数）的最小值是.（1）求实数的值；（2）若存在，使得不等式成立，求正整数的最小值.【答案】(1)2；(2)2.【解析】试题分析：（1）根据题干表达式对函数求导研究函数单调性，得到，令，求得a值即可；（2），变形得，构造函数求导研究函数的单调性求得最值即可.详解：（Ⅰ）对求导可得，，于是由解得，由解得，在上单调递减，在上单调递增，，令，则，由知，于是函数在单调递减，又，的值是．（2）由（1）知，故，变形得．令函数，则．令函数，则，又，存在，使得．当，故在单调递减；当，故在单调递增．故．又，故，故，又，故，故正整数的最小值是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.【答案】(1)，；(2)或.【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线参数方程化为普通方程，利用将曲线（Ⅱ）先将直线参数方程转化为（为参数，），再根据直线参数方程几何意义由得，最后将直线参数方程代入，利用韦达定理得关于的方程，解得的值.试题解析: （Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，由曲线的极坐标方程为,∴∴,即曲线的直角坐标方程.（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知，又由可得，即或∴当时，有，符合题意．当时，有，符合题意．综上所述，实数的值为或．23. 已知不等式.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）当a=1时，化简不等式，去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集；（2）化简函数为分段函数，画出函数的图象，然后求解即可．详解：（1）已知，可得当时，若，则，解得若，则，解得若，则，解得.综上得，所求不等式的解集为；（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，由（1）可得点，由此可得，即. 所以，所求实数的范围为.。

2019届重庆市江津中学、合川中学等七校高三第三次诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，()(){|120,}B x x x x Z =+-<∈，则A B I 等于（ ） A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．{}1,0,1,2,3-【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用交集的定义求解即可. 【详解】因为{}1,2,3A =，()(){}|120,B x x x x Z =+-<∈{}{}|12,0,1x x x Z =-<<∈=，所以集合{}1A B ⋂=，故选A. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．已知复数2z i i =+，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】根据共轭复数的定义，结合复数与对应点的关系，可得结果. 【详解】因为21i =-，所以21i i z i =-=++，则1z i =--，所以z 在复平面中所对应的点为()1,1--， 该点在第三象限 故选：C本题考查共轭复数概念以及复数所对应的点，理解概念，细心计算，属基础题. 3．安徽黄山景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果. 【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为.故选B【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.4．已知向量()2,1a =-r ，()1,7b =r则下列结论正确的是（ ）A ．a b ⊥r rB ．a r //b rC ．()a ab ⊥+r r rD ．()a ab ⊥-r r r【答案】C【解析】采用排除法，一一进行验证，可得结果. 【详解】由()2,1a =-r ，()1,7b =r因为()211750a b ⋅=⨯+-⨯=-≠r r ，故a r 与b r不垂直，所以A 选项不对因为()2711130⨯+-⨯=≠，所以a r 与b r不共线，所以B 选项不对由()3,6a b +=r r，所以()()23160a a b ⋅+=⨯+-⨯=r r r则()a ab ⊥+r r r，所以C 选项正确由()1,8a b -=-r r，所以()()()2118100a a b ⋅-=⨯+-⨯-=≠r r r故a r 与a b -r r不垂直，所以D 选项不对【点睛】本题考查向量的位置关系，以及数量积用坐标进行运算，属容易题.5．已知函数()()23lo ,g ,323x f x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()2f =（ ）A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】C【解析】根据分段函数的概念，由x 的取值带进相应的函数式，可得结果. 【详解】因为23<，所以()()()223log 24f f f =+=， 又43>，所以()44216f ==，故选：C 【点睛】本题考查分段函数的概念，属基础题.6．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则C 的渐近线方程为（ ）A ．13y x =±B．y x = C．y =D ．3y x =±【答案】B【解析】设出渐近线方程,根据直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径,解方程即可求得直线方程的斜率,代入即可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>设双曲线的渐近线方程为y kx =±,即0kx y ±=因为双曲线的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切,圆心为()2,0,半径1r =则圆心到双曲线渐近线的距离等于半径,由点到直线距离公式可得1d ==解方程可得3k =±所以双曲线的渐近线方程为33y x =± 故选:B 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,点到直线距离公式的用法,属于基础题.7．阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3i ≤B ．4i ≤C ．5i ≤D ．6i ≤【答案】B【解析】根据程序框图的结构,可知作用为求和.依次列出前几次循环,即可得输出值为30时的i 值,进而得判断框里的不等式.【详解】由程序框图可知,0,1S i == (1) 1022,2S i =+== 是 (2) 2226,3S i =+== 是 (3) 36214,4S i =+== 是 (4) 414230,5S i =+== 否 由以上循环可知, 4i ≤ 故选:B 【点睛】本题考查了循环结构在程序框图中的应用,由输出结果确定判断框内容,属于基础题. 8．一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．2【答案】D【解析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2. 【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形， 直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2， 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.∴四棱锥的体积是()12212232+⨯⨯⨯=. 故选D. 【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（ ） A ．24 B ．48C ．12D ．60【答案】A【解析】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设等比数列的首项为，则有7(12)38112a -=-，解得3a =．∴该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为33224⨯=．选A ．10．已知函数()sin 3()f x x x x R =+∈, 先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线34x π=对称， 则θ的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．512π D ．23π 【答案】A【解析】试题分析：()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得()2sin(2)3g x x π=+，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得()2sin[2()]3h x x πθ=-+2sin(22)3x πθ=-+，则322432k πππθπ⨯-+=+，k Z ∈，2,23k k Z ππθ=-+∈，因为0θ>，最小值为2236πππθ=-+=．故选A ． 【考点】三角函数图象变换，三角函数的对称轴．11．已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为第二象限内椭圆上的一点，且1230F PF ∠=︒，直线2PF 交y 轴于点M ，若1223F F OM =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．31- C ．51- D ．10 【答案】B【解析】由题可知23OF OM =，解得23tan MF O ∠=，那么有211230PF F F PF ∠=∠=︒，可知1122PF F F c ==，根据正弦定理求出2PF ，再由212PF PF a +=，可得a,c 之间的关系，确定离心率e 。

数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．若1122aii i +=++，则a =（）A.5i -- B.5i -+ C.5i- D.5i+2．已知集合，，则（）A.B.C.D.3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（）A.8B.9C.10D.114．执行如图的程序框图，则输出x 的值是（）A.2016B.1024C.12D.-15．已知实数,x y 满足不等式组220{10 0x y x y y ++≥+-≤≥，则32z x y =-的最大值为（）A. B.3 C. D.116.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于()A.34B.23C.12D.137.某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题分别为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛．规定：每场竞赛的前三名得分分别为a ，b ，c （a b c >>，且a ，b ，*c N ∈），选手的最终得分为各场得分之和．最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在四场竞赛中，已知甲最终分为15分，乙最终得分为7分，丙最终得分为10分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“读”这场竞赛的第三名是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.甲和丙都有可能8．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近的路线共有（）A.360种B.210种C.60种D.30种9．()A.B.C.D.10.如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的一点，且满足OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则PM PN⋅的最大值为（） A.22 B.32C.1D.11.如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为()A.23B.42C.12D.5212．已知实数,x y 满足()()3ln 23ln 235x y x y x y -≤+-+-+，则x y +=（）A.125B.145C.167D.187第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量()sin ,1a θ= ，()sin ,0b θ=- ，()cos ,1c θ=- ，且()2//a b c -，则sin2θ等于________．14．在nx ⎛⎝展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式中常数项是__________．15．下图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________3cm ．16．设椭圆C 的两个焦点是1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆C 交于P 、Q ，若212PF F F =，且1156PF F Q =，则椭圆的离心率为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，已知11a =，3246234S S S ++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12212n n n n n a ab a a ++++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数.（2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差21S 与女生学习时间方差22S 的大小.（只需写出结论）19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边形，45ABC ∠= ，2AD AP ==，AB DP ==，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上.(Ⅰ)求证：AD PC ⊥；(Ⅱ)试确定点F 的位置，使得直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等.20．已知,A B 分别为椭圆C ：22142x y +=的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于,A B 两点的任意一点，直线,PA PB 的斜率分别记为12,k k ．（1）求12,k k ；（2）过坐标原点O 作与直线,PA PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点,M N ，问：MON ∆的面积是否为定值？请说明理由．21．已知a R ∈，函数()()2ln 12f x x x ax =+-++.（1）若函数()f x 在[)1,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；（2）令1,a b R =-∈，已知函数()22g x b bx x =+-，若对任意()11,x ∈-+∞，总存在[)21,x ∈-+∞，使得()()12f x g x =成立，求实数b 的取值范围.请考生从第（22）、（23）中任选一题作答.并用2B 铅笔在答题卡上把所选题的题号涂黑.注意选做题目的题号必须与所涂题号一致.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为：{ x cos y sin θθ==（θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；（2）将曲线2C 经过伸缩变换'{'2x y y==后得到曲线3C ，若M ，N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求MN 的最小值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知()()21f x x a x a R =--+∈.（1）当1a =时，解不等式()2f x >.（2）若不等式()2112f x x x a +++>-对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.。

【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性和定义域,结合集合并集的定义进行求解即可.
【详解】由题意得 , ,故 .
故选：A
【点睛】本题考查了对数不等式的解法，考查了集合并集的定义，考查了数学运算能力.
2.已知复数 满足： （ 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数除法运算得到 ，由共轭复数定义求得结果
【详解】因为 ，所以
所以
故选：C
【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.
3.已知命题 ，则 为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题判断即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题 ， ，
， .
故选：D
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.
当 时， ，则 ，
所以函数在 上单调递增，
令 ， ，
当 时， ，故切线的斜率变大，
当 时， ，故切线的斜率变小，可排除C，
故选：D
【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.
11.若定义在R上的增函数 图像关于点 对称，且 ，令 ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的 ，两面积作差即可求解.
【详解】由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为
设三角形的腰为
由正弦定理可得 ，解得
所以三角形的面积为：
所以每块八卦田的面积约为：