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例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。
为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。
试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。
在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。
在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。
从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。
2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。
如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。
如果体系在初始条件in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。
假设：(a) c=0（无阻尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。
2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。
如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。
用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。
由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。
第十一章结构动力学？？？本章的问题：A.什么是动力荷载？B.结构动力计算与静力计算的主要区别在哪？C.本章自由度的概念与几何组成分析中的自由度概念有何不同？D.建立振动微分方程的方法有几种？E.什么是体系的自振频率、周期？F.什么是单自由度体系的自由振动？G.什么是单自由度体系的受迫振动？H.什么是多自由度体系的自由振动？I.什么是多自由度体系的受迫振动？J.什么叫动力系数？动力系数的大小与哪些因素有关？K.单自由度体系位移的动力系数与内力的动力系数是否一样？L.在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？§11—1 概述前面各章都是结构在静力荷载作用下的计算，在实际工程中往往还遇到另外一类荷载，即荷载的大小和方向随时间而改变，这一章我们将讨论这类荷载对结构的反应。
荷载分：静力荷载：是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。
在静力荷载作用下，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它所引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。
动力荷载：在动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，因而其计算与静力荷载作用下有所不同，二者的主要差别就在于是否考虑惯性力的影响。
有时确定荷载是静荷载还是动荷载要根据对结构的反应情况来确定，若在荷载作用下将使结构产生不容忽视的加速度，即动力效应，就应按动荷载考虑。
在工程结构中，除了结构自重及一些永久性荷载外，其他荷载都具有或大或小的动力作用。
当荷载变化很慢，其变化周期远大于结构的自振周期时，其动力作用是很小的，这时为了简化计算，可以将它作为静力荷载处理。
在工程中作为动力荷载来考虑的是那些变化激烈、动力作用显著的荷载。
如风荷载对一般的结构可当做静荷载，而对一些特殊结构往往当做动荷载考虑。
荷载按动力作用的变化规律，又可分为如下几种：(1) 简谐周期荷载这是指荷载随时间按正弦(或余弦)规律改变大小的周期性荷载，例如具有旋转部件的机器在等速运转时其偏心质量产生的离心力对结构的影响就是这种荷载。
Structural idealization 结构理想化Lateral stiffness 侧向刚度For the moment 目前In the sense that 也就是说Deform 变形Linear elastic limit 线弹性范围Differential equation 微分方程External excitation 外部激励Differentiation with respect to 对…的微分Initial equilibrium position 初始平衡位置Oscillate 振荡Vibrate 振动Intuition suggest that 直觉告诉我们Ever-decreasing amplitude 不断减小的振幅As expected 像预期的一样Diminish in amplitude 振幅减小Damping 阻尼Kinetic energy 动能Strain energy 应变能Incorporate/ include 包含Viscous damper / dashpot 粘滞阻尼器/减震器in part because 部分原因是energy-dissipating mechanism 能量耗散机理inextensible axially 无轴向变形inertial 惯性property 特性degrees of freedom(DOFs) 自由度constrain to 约束到formulate 描述in contrast 相反linearly elastic systems 线弹性体系implicit 隐含valid 有效，成立imply 意味着single-valued function 单值函数hence/ thus 因此emphasize 强调elastic modulus 弹性模量moment of inertia/ second moment ofthe cross-sectional area 惯性矩/ 截面二次矩respectively 分别的clamp/ fix 嵌固，固定rigid 刚性flexural rigidity 弯曲刚度…independent of ……与…无关Intermediate 中间的Static structure analysis 结构静力分析Static condensation 静力凝聚Applying the procedure to 对…应用这一方法Stiffness coefficient 刚度系数Uniform flexural element 均匀弯曲单元Beam-to-column stiffness ratio 梁柱刚度比Elaborate 详细阐述Increase by a factor of 4 增加4倍。
机械振动系统，师汉民，华中科技大学出版社cos sin i t e t i t ωωω=+Ch1 单自由度线性系统自由振动1.3 无阻尼自由振动()()0mxt kx t += 解()()22002()cos sin cos cos n n n n nnv v x t x t t x t A t ωωωϕωϕωω=+=++=-振幅和相位由初始条件确定。
确定自然频率的方法： 1、 静变形法：kx mg =，n g xω=2、 能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能Tmax=势能Vmax 。
1.4 有阻尼自由振动22()()()020n n mx t cx t kx t s s ξωω++=⇒++= ，通解wt Ae通常自然频率可以很容易的通过实验测定，但阻尼比ξ的计算或辨识则比较困难，需要利用自由振动衰减曲线计算。
在间隔1个振动周期T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值A1和A2，A1/A2=EXP(ξωn T)Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励()()()cos cos mxt cx t kx t F t kA t ωω++= →22()2()()cos n n n x t x t x t A t ξωωωω++= ，设通解cos()X t ωϕ-，ϕ表响应对激励的滞后通解X1为：()20020002cos n t n n d dd v x v x xe t ξωξωξωωωω-+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，瞬态响应，逐步衰减。
特解X2为：()()i t H Ae ωϕω-，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频率！222222222222cos arctan cos arctan 112112n n n n n n n n AA t t i ωωξξωωωωωωωωωωξξωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭幅频特性221()12n n X H Ai ωωωξωω==-+，相频特性222()arctan1n nωξωϕωωω=-若激励表示为i t Ae ω，响应表示为i t Xe ω，可表述()()()x t H f t ω=，则()()()i t x t H Ae ωϕω-=共振频率212r n ωωξ=-，有阻尼自然频率21d n ωωξ=-，因此，对共振的研究应考虑阻尼比ξ=0.707的特殊点。
第二章自由振动分析2-1（a ）由例2 2W Tgk22()W K Tg 因此max()()D t kT 其中k=0、1、2……T D =0.64sec如果很小，T D =T222200()49.9/0.64sec 386/sec kips k kips inin 50/k kips in（b ）211ln ln n n v v v v 222121()11.2ln0.3330.86210.05292()10.33320.053025.3%(a ’)21D2T21D TT 249.950/1kkips in(c)2c mW mg2T4cTg21D T T 241WcTg2240.05292000.64sec 386/sec 10.0529kipsc in 0.539sec/ckips inT=T D 0.538sec/ckips in 0.54sec/ckips in2-22k m40 4.472(1/sec )(0)(0)()sin(0)costDDDv v t et v t(0)(0)()sin(0)(0)(0))costDDDv v t et v v v t22(0)(0)()(0)cossinDtDDDv v t ev tt21D()(0)cos(0)(0)sintDDDt ev t v v t2(0)(0)()(0)c o s s i n1tD D v v t ev tt 0.055922(2)(4.47)c c cm(a) c=00D5.6(1)sin 4.470.7cos4.47 1.384.47v t in(1) 5.6cos 4.47 4.47(0.7)sin 4.47 1.69/secv t in (1) 1.4v in ,(1) 1.7/secv in (b) c=2.80.0559(2.8)0.15724.4710.1574.41D(1/sec )(0.157)(4.41)5.60.7(0.157)(4.47)(1)sin 4.410.7cos 4.414.41t e(1)0.764t in(0.157)(4.41)20.157(5.6) 4.41(0.7)(1) 5.6cos 4.41sin 4.4110.157t e (1) 1.10/sect in (1)0.76v in ,(1) 1.1/secv in 第三章谐振荷载反应3-1根据公式有21sin sin 1R t wt wt0.8w w2.778sin 0.8sin1.25R twt wt将t 以80°为增量计算)(t R 并绘制曲线如下：0 80°160°240°320°400°480°560°640°720°800°00.5471.71 -0.481 -3.214 0.357 4.33-0.19 -4.9244.9241.25w wt)(t R3-2解：由题意得：22mkips s in ，20kkips in ，(0)(0)0v v ，w w20 3.162sec2k w rad m8wt（a ）0c1sin cos 2R twt wt wt将8wt 代入上式得：()412.566R t （b ）0.5ck s in0.50.0395222 3.162cc c c mw1exp1cos exp sin 2R twtwtwt wt将8wt 代入上式得：()7.967R t （c ） 2.0ck s in2.00.158222 3.162cc c c mw1exp1cos exp sin 2R twtwtwt wt将8wt 代入上式得：() 3.105R t 3-3解：（a ）：依据共振条件可知：1003860.0810.983sec4000k kg wwrad m W由2LTVw 得：10.9833662.96022wL V ft s（b ）：122max2221212tgovv 1w w 0.41.2gov in 代入公式可得：max1.921tv in（c ）：2L T Vw45m i n 66Vhf t s226611.51336V wrad secL11.513 1.04810.983w w0.4代入数据得：122max22212=1.85512t govv in3-4解：按照实际情况，当设计一个隔振系统时，将使其在高于临界频率比2下运行，在这种情况下，隔振体系可能有小的阻尼。
