2012北京昌平高三二模数学文(word版+答案+免费免点数)

2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（文）B本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1．（题1）设集合{|4},sin 40A x x m ==︒≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m A ⊂ B ．m A ⊄ C ．{}m A ∈ D ．{}m A ∉ 【解析】 D ；正确的表示法，m A ∈，{}m A ，{}m A ∉．2．（题2）设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a b ∥，则|3|+a b 等于（ ）AB C D 【解析】 A ；a b ∥，则2(2)104y y ⨯--⋅=⇒=-，从而3(1,2)+=a b ． 3．（题3）下列函数中，既是奇函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ） A ．12t x =B ．1y x -=C ．3y x =D ．2x y =【解析】 C ；AD 不是奇函数，B 在(0,)+∞上是减函数．4．（题4）设i 是虚数单位，则复数(1i)2i z =+⋅所对应的点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 B ；22i z =-+5．（题5）若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π3S =，则6tan a 的值为（ ）A B ．C ． D ． 【解析】 B ；由1112105762a a a a a a a +=+==+=，可得11611S a =，∴62π3a =． 6．（题6） 设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(1,log 2)-- B ．3(0,log 2)C ．3(log 2,1)D ．3(1,log 4)【解析】 C ；32()log 1f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(1,2)上是减函数，由题设有(1)0,(2)0f f ><，得解．7．（题7）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC △的面积，若2221cos cos sin ,()4a Bb Ac C S b c a +==+-，则B ∠=（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【解析】 C ；由余弦定理可知cos cos a B b A c +=，于是sin 1C =，π2C =． 从而22222111()()244S ab b c a b b ==+-=+，解得a b =，因此45B ∠=︒．8．（题8）设圆C 的圆心在双曲线2221(0)2x y a a -=>的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线:0l x -=截得的弦长等于2，则a 的值为（ ）A B C ．2 D ．3【解析】 A ；圆C 的圆心C 0ay ±=，C 到渐近线的距离为d ==C 方程22(2x y -+=．由l 被圆C 截得的弦长是2及圆C 的半径为可知，圆心C 到直线l 的距离为1，即1a =⇒=．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．（题9）把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是．【解析】0.12；1517111310.320.12100100100100-----=．10．（题10）命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是．【解析】存在一个常数列不是等比数列；全称命题的否定是存在性命题．11．（题11）若将下面的展开图恢复成正方体，则ABC∠的度数为．11题图CBA【解析】60︒；恢复的图形如图，ABC△是正三角形，60ABC∠=︒．CBA12．（题12）执行如图程序框图，输出S的值等于．12题图【解析】20；运算顺序如下1,1,23,4,36,10,410,20,54A S i A S i A S i A S i===→===→===→===>，输出S，故20S=．13．（题13）设,x y∈R，且满足20x y-+=，的最小值为；若,x y又满足4y x>-，则yx的取值范围是．【解析】；=1x y=-=-时取等号；画出204x yy x-+=⎧⎨>-⎩的可行域，为射线SP（如图），要求的就是SP上的点与原点连线的斜率，易算出(1,3)S，斜率的范围为(1,3)．14．（题14） 有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ． 【解析】 ①；3y x =在R 上单调增，没有极值点，①错；2()32f x ax bx c '=++，()f x 有极值点的充要条件是()0f x '=有两个不相等的实根，24120b ac ∆=->，也即230b ac ->，②正确；()f x 是奇函数，则(0)00f n =⇒=，由()()f x f x -=-，可得2(1)0m x -=，因此1m =，所以3()48f x x x =-．当(4,4)x ∈-时，2()3483(4)(4)0f x x x x '=-=+-<，故()f x 在(4,4)x ∈-上是单调减函数．三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（题15）已知函数22()2sin cos sin cos ()2222x x x xf x a a =+-∈R⑴当1a =时，求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程式； ⑵当2a =时，在()0f x =的条件下，求cos 21sin 2xx +的值．【解析】⑴π()sin cos 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭最小正周期为2π，由πππ42x k -=+，得3ππ()4x k k =+∈Z⑵当2,()0a f x ==时，解得1tan 2x =，222cos 2cos sin cos sin 1tan 11sin 2(cos sin )cos sin 1tan 3x x x x x x x x x x x x ---====++++．16．（题16）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，AD BC >，,E F 分别为棱,AB PC 的中点． ⑴求证：PE BC ⊥；⑵求证：EF ∥平面PAD ．FE DCBA P【解析】 ⑴∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD∴PA BC ⊥ ∵90ABC ∠=︒ ∴BC AB ⊥∴BC ⊥平面PAB 又E 是AB 中点， ∴PE ⊂平面PAB ∴BC PE ⊥．⑵证明：取CD 中点G ，连结FG ，EG ，GFE DCBA P∵F 为PC 中点，∴FG PD ∥．∵FG ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴FG ∥平面PAD ； 同理，EG ∥平面PAD ． ∵FG EC G =，∴平面EFG ∥平面PAD ． ∴EF ∥平面PAD ．17．（题17）某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选⑴请完成此统计表；⑵试估计高三年级学生“同意”的人数；⑶从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率． 【解析】 ⑴由分层抽样可知，男生、女生和教师被抽取的人数分别为5,6,2，被调查人答卷⑵23126105426310565⨯+⨯=+=（人）⑶设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为815．18．（题18） 已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；⑶当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围． 【解析】 ⑴22()21f x x ax a '=-+-∵1x =是()f x 的极值点，∴(1)0f '=，即220a a -=，解得0a =或2． ⑵∵(1,(1))f 在30x y +-=上．∴(1)2f =∵(1,2)在()y f x =上，∴21213a ab =-+-+又(1)1f '=-，∴21211a a -+-=-∴2210a a -+=，解得81,3a b ==∴22218(),()233f x x x f x x x '=-+=-由()0f x '=可知0x =和2x =是()f x 的极值点．∵84(0),(2),(2)4,(4)833f f f f ==-=-=∴()f x 在区间[2,4]-上的最大值为8．⑶因为函数()f x 在区间(1,1)-不单调，所以函数()f x '在(1,1)-上存在零点． 而()0f x '=的两根为1a -，1a +，区间长为2， ∴在区间(1,1)-上不可能有2个零点． 所以(1)(1)0f f ''-<，即2(2)(2)0a a a +-<． ∵20a >，∴(2)(2)0,22a a a +-<-<<． 又∵0a ≠，∴(2,0)(0,2)a ∈-．19．（题19）已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，点(A -是其左顶点，点C 在椭圆上且0,||||AC CO AC CO ⋅==．⑴求椭圆的方程；⑵若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点，求CMN △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【解析】 ⑴设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∵左顶点(,||||A AC CO AC CO -⊥=．∴212a =，(C又∵C 在椭圆上， ∴233112b+=，24b = ∴椭圆的标准方程为221124x y +=．⑵设1122(,),(,)M x y N x y∵CO 的斜率为1-，∴设直线l 的方程为y x m =-+，代入221124x y +=，得22463120x mx m -+-=． 22122123644(312)0323124m m m x x m x x ⎧⎪∆=-⋅->⎪⎪+=⎨⎪⎪-⋅=⎪⎩∴||MN ==又C 到直线l的距离d∴CMN △的面积1||2S MN d =⋅⋅=22162m m +-=，当且仅当2216m m =-时取等号，此时m =± ∴直线l的方程为0x y +±=．20．（题20）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，点1(,)n n S S +在直线*11()n y x n n n+=++∈N 上． ⑴求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑵若数列{}n b 满足2n a n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； ⑶设232nn n T C +=，求证：122027n C C C +++>． 【解析】 ⑴∵点1(,)n n S S +在直线11n y x n n+=++*()n ∈N 上， ∴111n n n S S n n++=++． 两边同除以1n +，得111n n S Sn n+-=+，于是n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列．⑵由⑴可知，3(1)12n Sn n n=+-⨯=+，即2*2()n S n n n =+∈N ，∴当1n =时，13a =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+，经检验，当1n =时也成立，∴*21()n a n n =+∈N ． 于是212(21)2n a n n n b a n +=⋅=+⋅． ∵3521211213252(21)2(21)2n n n n n T b b b b n n -+-=++++=⋅+⋅++-⋅++⋅，∴5212123432(23)2(21)2(21)2n n n n T n n n -++=⋅++-⋅+-⋅++⋅，相减，解得：232182399n n T n +⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭．⑶∵232111()23994nn n n T n C +==+-⋅，∴12111442(1)111329914nn n n C C C n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥+⎣⎦+++=⋅+⋅-⋅-234111()927274n n n +=-+⋅2341712092792727n n +>--=≥．希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

一、集合（必修一）
1.（2012年朝阳二模文）设集合，则（ D ）
A．B．C．D．
2.（2012年丰台二模文9）已知集合A =｛x｜2x-x2>0｝，B =｛x｜x>1｝，则______．
答案：。

3.（2012年昌平二模文1）若集合,，则（ B ）
A.{}
B. {}
C. {}
D. {}
4.（2012年东城二模文1）若集合，且，则集合可能是（ A ）
A． B. C. D.
六、不等式（必修五）
1.（2012年西城二模文12）已知函数是上的偶函数，则实数
_____；不等式的解集为_____．
答案：，。

2.（2012年昌平二模文6）爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为，下山的速度为（），乙上下山的速度都是（甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间的关系为（ A ）
A． B. C. D. 不能确定
七、常用逻辑用语（选修2-1）
1.（2012年朝阳二模文3）如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则（ C ）
A．命题“或”是假命题B．命题“或”是假命题
C．命题“且”是真命题D．命题“且”是真命题
2.（2012年昌平二模文2）“” 是“垂直”的（ C ）
A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.（2012年海淀二模文2）已知命题：，. 则为（ D ）
A．， B. ，
C. ，
D. ，
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昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习数学试卷（理科）2012. 4第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U = R ，集合}{042≤-=x x |x A ，}2{<=x |x B ，则B A = A. {0≥x |x } B. {20<≤x |x } C. {42≤<x |x } D. {40≤≤x |x } 2. 在复平面内，与复数i+11对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 已知直线l ：为参数）t t y t x (1⎩⎨⎧+==，圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是 A. 2 B.3 C.2 D. 15.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面 图形中，是直角三角形的有 A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3 个6. 某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有 A. 60种 B. 120种 C. 144种 D. 300种 7．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上 任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥QEF P -的体积D.二面角Q EF P --的大小C 1A 1C主视图 左视图8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是A ．20122012S =，20127a a <B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =-，20127a a >第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.10.已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的 方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与 双曲线的右焦点重合，则_______p =.11. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值， 输出相应的y 值,若要使输入的x 值与输出的y 值相等， 则这样的x 值有 ___________个.12. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，CA 切⊙O 于点A ，CD 交AB 的延长线于点E .若3AC =，2ED =，则BE =_____;AO =_____.13. 若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为____________. 14. 若对于定义在R 上的函数f (x ) ,其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR )使得 f (x +λ) +λf (x ) = 0对任意实数x 都成立，则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x ) =0 是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②f (x ) = x 不是“λ—伴随函数”；③f (x ) = x 2是一个“λ—伴随函数”； ④“21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正．．确．的序号是________________（填上所有不．正确．．的结论序号）．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值; （Ⅱ）求||b a +的取值范围.16．(本小题满分13分)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3 次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分; 在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p .(Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率； (Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围.17.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中, 122AA AB ==,E 为AD 中点,F 为1CC 中点.（Ⅰ）求证:1AD D F ⊥； （Ⅱ）求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.18．（本小题满分13分） 已知函数∈+--=a x a xax x f ,ln )1()(R . （Ⅰ）当1>a 时，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若)(x f 在]1[e ,上的最小值为2-，求a 的值. 19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆M :)0(12222>>=+b a b y a x ,离心率36=e ,椭圆与x 正半轴交于点A ，直线l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C 两点，B (1,1).(Ⅰ) 求椭圆M 的方程；（Ⅱ）如果椭圆上有两点Q P 、,使PBQ ∠的角平分线垂直于AO ，问是否存在实数)0(≠λλ使得AC PQ λ=成立？20. (本小题满分13分)实数列 3210a ,a ,a ,a ，由下述等式定义123,0,1,2,3,.n n n a a n +=-=（Ⅰ）若0a 为常数，求123,,a a a 的值； （Ⅱ）求依赖于0a 和n 的n a 表达式；（Ⅲ）求0a 的值，使得对任何正整数n 总有1n n a a +>成立.昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习数学( 理科)试卷2012.4 参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．127π 10. x y 21±= , 52 11. 3 12. 1 ， 2313． 7 14. ① ③三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ ……… 2分 得3tan =θ 又∵22π≤θ≤π-……… 4分 即：θ=3π………6分 （Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a )3sin(45π--=θ ……… 9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ ……… 11分 21)3s i n (1≤π-≤-∴θ 4)3s i n (42≤π--≤-∴θ∴33≤+≤||b a ……… 13分16．（本小题满分13分)解：（Ⅰ）设“选手甲在A 区射击得0分”为事件M ,“选手甲在A 区射击至少得3分”为事件N ,则事件M 与事件N 为对立事件, 6427)411(41)(3003=-⋅⋅=)(C M P ………2分 6437642711=-=-=)M (P )N (P ………4分(Ⅱ) 设选手甲在A 区射击的得分为ξ,则ξ的可能取值为0，3，6,9.6427)41-(10)(3===ξP ;6427)411(41C 3)(213=-⋅⋅==ξP ; 649)411()41(6)(223=-==ξC P ; 641)41(9)(3===ξP所以ξ的分布列为49641964966427364270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 设选手甲在B 区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4.2)-(10)(p P ==η；)1(2)1(C 2)(12p p p p P -=-⋅⋅==η;24)(p P ==η所以η的分布列为p p )p (p )p (E 441221022=⋅+-⋅+-⨯=η∴根据题意， 有 ξηE E > ∴1169494<<∴>p ,p ……… 13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABCD A BC D -中四边形ABCD 是正方形, AD CD ∴⊥1DD ABCD AD ABCD ⊥⊂ 平面，平面1AD DD ∴⊥ 1DD CD D = 11AD CDD C ∴⊥平面111D F CDDC ⊂ 平面 1A D D F∴⊥ ……… 4分 （Ⅱ）证明：在正四棱柱1111ABCD A BC D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF . M ∴为1AD 中点.E 为AD 中点，F 为1CC 中点. 111//2ME DD ME DD ∴=且……… 6分 又1121DD CF DD //CF =且 ∴四边形CEMF 是平行四边形. MF //CE ∴ ……… 8分CE ⊄ 平面1AD F ,MF ⊂平面1AD F .//CE ∴平面1AD F .………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F……… 10分∴平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n .1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，分则有10,0.AF AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩ 取1z =，得(2,1,1)=n .111cos ,6DD DD DD ⋅〈〉==n n n . ………13分 平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值为618．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f (x )的定义域为｛x |0>x ｝……………1分.2222))(1()1(11)(x a x x x x a a x x a x a x f --=+-+=+-+='…………3分1>a 令0)(>'x f ，即a x x x a x x ><>--或得1,0))(1(2，∴)(x f 的增区间为（0，1），),(+∞a ……………4分 令0)(<'x f ，即a x xa x x <<<--1,0))(1(2得， ∴)(x f 的减区间为),1(a ……………5分 （Ⅱ）①当1≤a 时， 0)(≥'x f 在]1[e ,上恒成立， ∴)(x f 在]1[e ,恒为增函数. … 6分21)1()]([min -=-==∴a f x f ，得.(3舍去）=a ……… 7分②当e a <<1 时，令0)(='x f ，得1或a x =. 当a x <<1时，0)(<'x f ∴)(x f 在),1(a 上为减函数； 当e x a <<时，0)(>'x f ∴)(x f 在),(e a 上为增函数；2)ln()1(1)()]([min -=+--==∴a a a a f x f ，得（舍）……… 10分③当e a >时，0)(≤'x f 在],1[e 上恒成立，此时)(x f 在],1[e 恒为减函数.2)1()()]([min -=+--==∴a eae ef x f ，得 .e a = ………12分 综上可知 .e a = ……… 13分 19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知2)(136abe -==,得 223b a = ……… 2分 )11(,B 点 在椭圆上11122=+ba 解得：34422==b ,a ……… 4分 故椭圆M 的方程为：143422=+y x ……… 4分 （Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为 - k ，因此PB 、QB 的直线方程分别为y = k (x -1)+1， y = -k (x -1) +1 ……… 6分由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆ ，得31-≠k ……… 8分 点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P13163122+--=⋅∴k k k x P 即1316322+--=∴k k k x P ，同理1316322+-+=k k k x Q ………10分 ∴=PQk 311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P)1,1(),0,2(--C A 31=∴AC k 即：AC PQ k k =∴向量//，则总存在实数λ使λ=成立. ………13分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）0131a a -=,0291a a +-=,03277a a -= ……… 2分（Ⅱ）由123,nn n a a +=-得1112(3)(3)(3)n n n n n n a a +++-=--- ……… 3分 令(3)n n n a b =-，所以112(3)nn n n b b ++-=-所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-23112342222(3)(3)(3)(3)n nb -=+++++---- 2111222()[()()()]3333n b -=+--+-++-1122()(1())133()31()3n b ----=+--- 1122(1()),153n b -=+-- ……… 6分所以1122(1())(3)3153n n n a a -=+---- ……… 7分 所以1112(3)[(3)32]15n n n n a a --=⋅-+-+⋅ 1102(13)(3)[(3)32]15n n n a --=--+-+⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a -=+-⋅+-⋅⋅ ……… 8分 （Ⅲ）1111101[2(1)3](1)35n n n n n n n a a a +++++-=+-⋅+-⋅⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a --+-⋅--⋅⋅ 0112(1)43()55n n n a =⋅+-⋅⋅- 所以101121()()(1)4()3535n nn n n a a a +-=+-⋅⋅- ……… 10分如果0105a ->，利用n 无限增大时，2()3n的值接近于零，对于非常大的奇数n ，有10n n a a +-<；如果0105a -<，对于非常大的偶数n ，10n n a a +-<，不满足题目要求.当015a =时，112,5n n n a a +-=⋅于是对于任何正整数n ，1n n a a +>，因此015a =即为所求. ……… 13分。

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)的零点个数。

答案：3个解析：对f(x)求导得f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。

由于f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，f''(-1) = -6 < 0，故x = ±1是f(x)的极值点，因此f'(x)有3个零点。

2. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,4)，点C(5,1)，求三角形ABC的外接圆方程。

答案：(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10解析：设三角形ABC的外接圆方程为x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，代入A、B、C三点坐标，解得D = -2，E = -4，F = -1，所以外接圆方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10。

3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n - 1，求数列{an}的前n项和S_n。

答案：S_n = 2^(n+1) - n - 2解析：根据数列的通项公式，S_n = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + ... + (2^n - 1) = 2^(n+1) - n - 2。

4. 已知等差数列{an}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求该数列的第10项a_10。

答案：a_10 = 21解析：等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，代入a_1 = 3，d = 2，n = 10，得a_10 = 3 + (10 - 1) 2 = 21。

5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0,1]上单调递增，且f(0) = 2，f(1) = 3，求a、b、c的值。

答案：a = 1，b = -2，c = 2解析：由f(0) = 2，得c = 2；由f(1) = 3，得a + b + c = 3，结合f(x)在[0,1]上单调递增，得a = 1，b = -2。