2017年北京各区高考数学模拟题压轴题(含答案)
- 格式：docx
- 大小：1.07 MB
- 文档页数：30
2017年北京各区高考数学模拟题压轴题(含答案)1（2017海淀二模）对于无穷数列{}na ，记{|,}j i T x x a a i j ==-<，若数列{}na 满足：“存在t T ∈，使得只要mk aa t-=（*,m k ∈N 且m k >），必有11m k aa t++-=”，则称数列{}na 具有性质()P t . （Ⅰ）若数列{}na 满足2,2,25,3,nn n an n ≤⎧=⎨-≥⎩判断数列{}na 是否具有性质(2)P ？是否具有性质(4)P ？（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}na 具有性质(0)P ”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{}na 是各项为正整数的数列，且{}na 既具有性质(2)P ，又具有性质(5)P ，求证：存在整数N ，使得12,,,,,NN N N k a aa a +++L L是等差数列.2（2017海淀一模）已知含有n 个元素的正整数集12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(,3)n a a a n <<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：对任意不大于()S A (其中12()nS A a aa =++⋅⋅⋅+)的正整数,k 存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k . （Ⅰ）写出12,a a 的值；（Ⅱ）证明：“12,,,na a a L 成等差数列”的充要条件是“(1)()2n n S A +=”；（Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时，na 的最大值.3（2017西城二模）设集合*2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N L ≥．如果对于2nA 的每一个含有(4)m m ≥个元素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2nA 的一个“相关数”．（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m 为集合2nA 的“相关数”，证明：30m n --≥；（Ⅲ）给定正整数n ．求集合2nA 的“相关数”m的最小值．4（2017西城一模）如图，将数字1,2,3,,2(3)n n L ≥全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为12,,,na a a L ，第二行填入的数字依次为12,,,nb b b L ．记11221||||||||nniin n i S a b a b ab a b ==-=-+-++-∑L ．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a=，35a=，写出3S 的所有可能的取值；（Ⅱ）给定正整数n ．试给出12,,,na a a L 的一组取值，使得无论12,,,nb b b L 填写的顺序如何，nS 都只有一个取值，并求出此时nS 的值；（Ⅲ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，nS 的所有取值的奇偶性相同．5（2017东城二模）对于n 维向量12(,,,)nA a a a =L ，若对任意{1,2,,}i n ÎL 均有0ia =或1ia=，则称A 为n 维T向量.对于两个n维T向量,A B，定义1(,)||ni i i d A B a b ==-å.（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，求(,)d A B 的值. （Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：，若1(1,1,1,1,1)A = 且满足：1(,)2ii d A A+=，*i ÎN .求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0).（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：，若112(1,1,,1)A L 14243个= 且满足：1(,)ii d A A m +=，*m ÎN ，1,2,3,i =L，若存在正整数j 使得12(0,0,,0)jAL 14243个=，jA 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m .123,,,A A A L 123,,,A A A L6（2017东城一模）已知集合12{,,,},1,2,,n i A a a a a ,i nR =∈=L L ，并且2n ≥．定义1()||j i i j nT A a a ≤<≤=-∑（例如：21313213||||||||j i i j a a a a a a a a ??-=-+-+-å）．（Ⅰ）若{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，集合A 的子集N 满足：N M¹，且()()T M T N =，求出一个符合条件的N ；（Ⅱ）对于任意给定的常数C 以及给定的集合12{,,,}n A a a a =L ，求证：存在集合12{,,,}nB b b b =L ，使得()()T B T A =，且1ni i b C ==∑.（Ⅲ）已知集合122{,,,}mA a a a =L 满足：1ii a a +<，1,2,,21i m =-L ，2m ³，12,ma a a b==，其中,a b ÎR 为给定的常数，求()T A 的取值范围．7（2017朝阳二模）各项均为非负整数的数列}{na 同时满足下列条件： ①ma=1()N m ∈*；②1nan ≤- (2)n ≥；③n 是12na aa +++L 的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{na 的前五项；（Ⅱ）若数列}{na 的前三项互不相等，且3≥n 时，na为常数，求m 的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，na 为常数．8（2017朝阳一模）对于正整数集合12{,,,}n A a a a =L （n *∈N ，3n ³），如果去掉其中任意一个元素ia（1,2,,i n =L ）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.（Ⅰ）判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值. 9（2017丰台二模）若无穷数列{}na 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ； （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由； （Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i--+,,”. 10（2017丰台一模）对于*N ∀∈n ，若数列{}nx 满足11+->n n xx ，则称这个数列为“K 数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m +1，m 2是“K 数列”，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和nS 满足2*1(N )2<-∈n S n n n ？若存在，求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列12na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，若11n n a b n +=+，试判断数列{}n b 是否为“K 数列”，并说明理由．11（2017昌平二模）设集合，.对数列，规定：① 若,则；② 若，则.例如：当，时，.(I)已知等比数列，，且当时，，求数列的通项公式；(II)已知数列，证明：对于任意的，且，存在，使； (III)已知集合,，．设中最大元素为，中最大元素为，求证：.{}1,2,100U =…，T U ⊆{}()n a n ∈*N T =∅0TS={}12kT n ,n ,n =…，12+kTn n n S a a a =++g g g 2nan={}=1,3,5T 135261018=++=++=TSa a a {}()n a n ∈*N 11a =={2,3}T =12T S {}na 12,1,2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩1100≤≤k ∈*N k ⊆T U 1Tk Sa +=,,A U B U A B ⊆⊆=∅I 13n n a -=ABSS ≥AmBr1m r ≥+12（2017.1石景山期末）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n L 的一个子集族D 满足如下条件：若,A D B A∈⊆，则B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AA D∈-∑的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0φ=；A D∈∑表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n L 的任一“向下封闭的”子集族，对A D∀∈,记max k A=，()max (1)AA Df k ∈=-∑（其中max 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ； （ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．1（2017海淀二模）（Ⅰ）数列{}na 不具有性质(2)P ；具有性质(4)P .（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,L ，{1,0,1}T =-是有限集，但是由于21320,1aa a a -=-=，所以不具有性质(0)P ；（必要性）因为数列{}na 具有性质(0)P ，所以一定存在一组最小的*,m k ∈N 且m k >，满足0mk aa -=，即mkaa =由性质(0)P 的含义可得11222112,,,,,m k m k m k m m kma a a a a a a a ++++----====L L 所以数列{}na 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：11,,,kk m a aa +-L 为一个周期中的各项，所以数列{}na 中最多有1m -个不同的项，所以T 最多有21m C -个元素，即T 是有限集.（Ⅲ）因为数列{}na 具有性质(2)P ，数列{}na 具有性质(5)P ，所以存在*','M N ∈N ，使得''2M pM aa +-=，''5N qN aa +-=，其中,p q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质(2),(5)P P 的含义可得k ∀∈N，''''2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=，若''M N <，则取''k N M =-，可得''2N pN a a +-=； 若''M N >，则取''k M N =-，可得''5M qM aa +-=.记max{','}M M N =，则对于Ma ，有2M pM aa +-=，5M q M a a +-=，显然p q ≠，由性质(2),(5)P P 的含义可得k ∀∈N，2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=，所以(1)(1)(2)()()()2M qp M M qp M q p M q p M q p M p M a a a a a a a a q+++-+-+-+-=-+-++-=L(1)(1)(2)()()()5M qp M M pq M p q M p q M p q M q M a a a a a a a a p+++-+-+-+-=-+-++-=L所以25M qpM M aa q a p+=+=+.所以25q p =， 又,p q 是满足2M pM aa +-=，5M qM aa +-=的最小的正整数，所以5,2q p ==，252,5M M M M a a a a ++-=-=，所以k ∀∈N ，252,5M kM k M k M k a a a a ++++++-=-=，所以k ∀∈N，22(1)22M k M k M a a a k++-=+==+L ，55(1)55M k M k M a a a k++-=+==+L ，取5N M =+，则k ∀∈N ， 所以，若k 是偶数，则N kN aa k+=+；若k是奇数，则5(5)5(5)5(5)N k N k N N N a a a k a k a k+++-+==+-=++-=+，所以k ∀∈N ，N kN a a k+=+所以12,,,,,NN N N k a aa a +++L L是公差为1的等差数列.2（2017海淀一模）解：（Ⅰ）121,2a a==.（Ⅱ）先证必要性因为121,2a a ==，又12,,,na a a L 成等差数列，故na n=，所以(1)()2n n S A +=；再证充分性因为12na aa <<⋅⋅⋅<，12,,,na a a L 为正整数数列，故有12341,2,3,4,,n a a a a a n==≥≥⋅⋅⋅≥,所以12()n S A a aa =++⋅⋅⋅+(1)122n n n +≥++⋅⋅⋅+=,又(1)()2n n S A +=，故mam =(1,2,,)m n =L ，故12,,,na a a L 为等差数列. （Ⅲ）先证明12(1,2,,)m mam n -∀≤=⋅⋅⋅.假设存在12p pa->，且p 为最小的正整数.依题意3p ≥,则2112112221p p p a a a ---++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=-，又因为12na a a <<<L ,故当1(21,)p p k a -∈-时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的和.故假设不成立，即12(1,2,,)m ma m n -∀≤=⋅⋅⋅成立.因此112201712221n n n a aa -=++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=-,即22018n≥，所以11n ≥.因为2017S =，则1212017n na a a a -++⋅⋅⋅=-，若20171nn aa -<-时，则当(2017,)nnk a a ∈-时，集合A 中不可能存在若干不同元素的和为k ，故20171nn aa -≥-，即1009na≤.此时可构造集合{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =. 因为当{2,21}k ∈+时，k 可以等于集合{1,2}中若干个元素的和，故当2222{2,21,22,23}k ∈+++时，k 可以等于集合2{1,2,2}中若干不同元素的和， …… 故当8888{2,21,22,,2255}k ∈+++L 时，k 可以等于集合8{1,2,,2}L 中若干不同元素的和， 故当{4973,4974,,497511}k ∈+++L 时，k 可以等于集合8{1,2,,2,497}L 中若干不同元素的和，故当{1009,10091,10092,,10091008}k ∈+++L 时，k 可以等于集合8{1,2,,2,497,1009}L 中若干不同元素的和， 所以集合{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =满足题设， 所以当n 取最小值11时，na 的最大值为1009.3（2017西城二模）解：（Ⅰ）当3n =时，6{1,2,3,4,5,6}A =，4113n +=．[ 1分]①对于6A 的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}，因为234513+++>，所以5不是集合6A 的“相关数”．……[ 2分]②6A 的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}，因为134513+++=，所以6是集合6A 的“相关数”．……[ 3分]（Ⅱ）考察集合2nA 的含有2n +个元素的子集{1,,1,,2}B n n n n =-+L ．[ 4分]B中任意4个元素之和一定不小于(1)(1)(2)42n n n n n -+++++=+．所以2n +一定不是集合2nA 的“相关数”．……[ 6分]所以当2m n +≤时，m 一定不是集合2nA 的“相关数”．……[ 7分]因此若m 为集合2nA 的“相关数”，必有3m n +≥．即若m为集合2nA 的“相关数”，必有30m n --≥．……[ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）得 3m n +≥．先将集合2nA 的元素分成如下n 组：(,21)(1)i i n C i n i =+-≤≤．对2nA 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有三组123,,i i i CC C 同属于集合P ． ⋯⋯[10分]再将集合2nA 的元素剔除n 和2n 后，分成如下1n -组：1(,2)(1)j j n D j n j -=-≤≤．对于2nA 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有一组4j D 属于集合P ．⋯⋯ [11分]这一组4j D 与上述三组123,,i i i CC C 中至少一组无相同元素，不妨设4j D 与1i C 无相同元素．此时这4个元素之和为1144[(21)[(2)]41i n i j n j n ++-++-=+．[12分]所以集合2nA 的“相关数”m 的最4（2017西城一模）解：（Ⅰ） 3S 的所有可能的取值为3，5，7，9. [ 3分]（Ⅱ） 令ia i = (1,2,,)i n =L ，则无论12,,,nb b b L 填写的顺序如何，都有2nSn =．[ 5分]因为 ia i =，所以{1,2,,2}i b n n n ∈++L ，(1,2,,)i n =L ． [ 6分]因为 iia b < (1,2,,)i n =L ，所以22111111||()nnnnnnn i i i i i i i i i i i n i S a b b a b a i i n =====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑． [ 8分]注：12{,,,}{1,2,,}n a a a n =L L ，或12{,,,}{1,2,,2}n a a a n n n =++L L 均满足条件．（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的nS 的值不变．不妨设iia b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中1,2,,i n=L ．则1111||()nnnnn i i i i i i i i i i S a b a b a b A B=====-=-=-=-∑∑∑∑． [ 9分]因为 212(21)(21)2ni n n A B i n n =++===+∑，所以A B+与n具有相同的奇偶性． [11分]又因为 A B +与A B -具有相同的奇偶性，所以 nSA B=-与n 的奇偶性相同，所以 nS 的所有可能取值的奇偶性相同． [13分]解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的nS 的值不变．考虑如下表所示的任意两种不同的填法，1||nn i i i S a b ==-∑，1||nn i i i S a b ='''=-∑，不妨设i ia b <，i i a b ''<，其中 1,2,,i n =L ． [ 9分]1a 2a Lna 1a '2a 'Ln a '1b2bLnb1b '2b 'Ln b '111111()()()()nnnnnnn ni i i i i i i i i i i i i i S S b a b a b b a a ======'''''+=-+-=+-+∑∑∑∑∑∑．对于任意{1,2,,2}k n ∈L ，① 若在两种填法中k 都位于同一行， 则k 在nnSS '+的表达式中或者只出现在11nn iii i b b =='+∑∑中，或只出现在11nn iii i a a =='+∑∑ 中，且出现两次， 则对k 而言，在nnSS '+的结果中得到2k±． [11分]② 若在两种填法中k 位于不同行， 则k 在nnSS '+的表达式中在11nn iii i b b =='+∑∑与11nn iii i a a =='+∑∑中各出现一次，则对k 而言，在nnSS '+的结果中得到0．由 ① ② 得，对于任意{1,2,,2}k n ∈L ，n nS S '+必为偶数．所以，对于表格的所有不同的填法，nS 所有可能取值的奇偶性相同． [13分]5（2017东城二模）解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，由定义1(,)||ni i i d A B a b ==-å，可得(,)4d A B =. …………4分（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维向量序列，使得1(1,1,1,1,1)A =，(0,0,0,0,0)mA=.因为向量1(1,1,1,1,1)A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第(1,2,3,4,5)i i =个分量1变化了21i n -次之后变成0，所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要12345(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n -+-+-+-+-123452(2)1n n n n n =++++--次，此数为奇数. 又因为*1(,)2,ii d A Ai +=?N ，说明中的分量有T 123,,,,mA A A A L iA 2个数值发生改变，进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾.所以该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0). ……………9分（Ⅲ）此时. ……………13分易见当为12的因子时，给 (1分).答出给(1分).答出中任一个给(1分)，都对给(2分)6（2017东城一模）解：（Ⅰ）由于{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，所以{6,7,8,9,10}N =，{5,6,7,8,9}N =，{4,5,6,7,8}N ={3,4,5,6,7}N =，{2,3,4,5,6}N =，回答其中之一即可 ………3分（Ⅱ）若集合12{,,,}nA a a a =L ，如果集合A 中每个1i A +2(1)m -1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =m 1,2,3,4,6,125,8,10m =7,9,11m =元素加上同一个常数t ，形成新的集合12{,,,}n M a t at a t =+++L . ……………5分根据1()||j i i j nT A a a ≤<≤=-∑定义可以验证：()()T M T A =. ……………6分取1nii C a t n=-=∑，此时11112{,,,}nnniiii i i n C a C a C a B a a a nn n===---=---∑∑∑L .通过验证，此时()()T B T A =，且1nii bC==∑. ……………8分（Ⅲ）由于2m ³21314121()()()()()m T A a a a a a a a a =-+-+-++-L324222()()()m a a a a a a +-+-++-L4323()()m a a a a +-++-LM2(ma +121212=(21)(23)(23)(21)m m m mm a m a a a m a m a +-------+++-+-L L 212121=(21)()(23)()()m m m m m a a m a a a a -+--+--++-L2121=(21)()(23)()()m m m m b a m a a a a -+--+--++-L ………11分由于2120m aa b a-<-<-， 2230m a a b a -<-<-， 2340m a a b a-<-<-，M10m m a a b a+<-<-.所以2(21)()()()m b a T A m b a --<<- (13)分7（2017朝阳二模）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 （Ⅱ）因为10-≤≤n an，所以20,1032≤≤≤≤a a，又数列}{na 的前3项互不相等， （1）当02=a时，若13=a，则3451aa a ====L ，且对3≥n ，12)2(0+-=-++n m n n m 都为整数，所以2=m ；若23=a，则3452aa a ====L ，且对3≥n ，24)2(20+-=-++n m n n m 都为整数，所以4=m ；（2）当12=a时， 若3=a ，则3450a a a ====L ，且对3≥n ，nm n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数，所以1-=m ，不符合题意； 若23=a，则3452aa a ====L ，且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ；综上，m 的值为2,3,4. ………8分（Ⅲ）对于1≥n ，令12nnSa a a =+++L ， 则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S nS n S nn n n n n .又对每一个n ，n S n都为正整数，所以11++n S n mSnS n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有nS n S nn =++11成立.当nSn S nn =++11时，则nSS n S n S S ann n n n n =-+=-=++)1(11. 从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a an S n n n n n n n n n .由题设知1212||12<++≤+-++n n n a an n ，又22++n Sn 及1+n a 均为整数，所以=++22n S n =+1n a11+=+n S n S n n ，故1212nn n S S Snn n ++====++L 常数.从而==-+=-=++nSS n S n S S an n n n n n )1(11常数.故存在正整数M ，使得n M ≥时，na 为常数. ………13分8（2017朝阳一模）解：（Ⅰ）集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”. ……………3分（Ⅱ）设集合12{,,,}nA a a a L =所有元素之和为M .由题可知，iM a -（1,2,,i n =L ）均为偶数，因此ia （1,2,,i n =L ）的奇偶性相同.（ⅰ）如果M 为奇数，则ia （1,2,,i n =L ）也均为奇数，由于12nM a aa =+++L ，所以n 为奇数.（ⅱ）如果M 为偶数，则ia （1,2,,i n =L ）均为偶数，此时设2iia b =，则12{,,,}nb b b L 也是“和谐集”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”.此时各项之和也为奇数，集合A 中元素个数为奇数.综上所述，集合A 中元素个数为奇数. …………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A 中元素个数为奇数，当3n =时，显然任意集合123{,,}a a a 不是“和谐集”.当5n =时，不妨设12345a aa a a <<<<，将集合1345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a aa a +=+ ①，或者5134aa a a =++ ②；将集合2345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534aa a a +=+ ③，或者5234aa a a =++ ④.由①、③，得12a a =，矛盾；由①、④，得12a a =-，矛盾；由②、③，得12a a =-，矛盾；由②、④，得12a a =，矛盾.因此当5n =时，集合A 一定不是“和谐集”.当7n =时，设{1,3,5,7,9,11,13}A =， 因为35791113+++=+，19135711++=++，91313711+=+++，13511713+++=+，19113513,++=++3791513++=++，1359711+++=+，所以集合{1,3,5,7,9,11,13}A =是“和谐集”. 集合A中元素个数n的最小值是7. ………………13分9（2017丰台二模）解 ：（Ⅰ）因为{}na 具有性质“(3,2,0)P ”，所以3n n aa +-=，2n ≥.由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. …………2分因为67818a a a ++=，所以610a =，即310a =. …………4分 （Ⅱ）{}na 不具有性质“(2,1,0)P ”. …………5分设等差数列{}nb 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. …………6分设等比数列{}nc 的公比为q ，由 32c =，18c =，得214q =，又q >，所以12q =，故42nn c -=， …………7分所以4312nnan -=-+.若{}na 具有性质“(2,1,0)P ”，则2n n a a +-=，1n ≥.因为29a=，412a=，所以24aa ≠，故{}na 不具有性质“(2,1,0)P ”. ……8分（Ⅲ）因为{}na 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n in aa d +-=，2n ≥.①因为{}na 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.②因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质， 所以由①得1m ji m a a jd +=+；由②，得2m ij m a a id +=+， …………9分所以12mma jd aid +=+，即21jd d i=. …………10分 ②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， …………11分所以1n j i n j ia a d i+---=，2n i ≥+， ……………12分所以{}na 具有性质“1(,2,)j i P j i i d i --+”. ………13分10（2017丰台一模）解：（Ⅰ）由题意得(1)11m +->，①2(1)1mm -+>，②解①得 1m >；解②得 1m <-或2>m ．所以2>m ，故实数m 的取值范围是2>m ． …………4分（Ⅱ）假设存在等差数列{}na 符合要求，设公差为d ，则1>d ，由 11=-a ，得 (1)2-=-+nn n Sn d ，由题意，得2(1)122--+<-n n n d nn对*∈n N 均成立，即(1)n d n-<① 当1n =时，d R ∈; ② 当1n >时，1<-n d n ， 因为1=1+111n n n >--，所以1d ≤，与1d >矛盾，故这样的等差数列{}na 不存在． …………8分（Ⅲ）设数列{}na 的公比为q ，则11-=n naa q ，因为{}na 的每一项均为正整数，且1(1)10+-=-=->>n n n n n a a a q a a q ，所以10>a ，且1>q .因为111()+---=->-n n n n n n aa q a a a a ，所以在1{}--nn aa 中，“21-aa ”为最小项．同理，在111{}22nn aa --中，“211122a a -”为最小项． 由{}na 为“K 数列”，只需211->a a ， 即 1(1)1->a q ，又因为1{}2na 不是“K 数列”， 且“211122a a -”为最小项，所以2111122a a -≤， 即 1(1)2-≤a q ， 由数列{}na 的每一项均为正整数，可得1(1)2-=a q ，所以11,3==a q 或12,2==a q .① 当11,3==a q 时，13-=n na， 则31nn b n =+，令*1()nn n cb b n N +=-∈，则13321321(1)(2)n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++，又1232133(2)(3)(1)(2)n nn n n n n n +++⋅-⋅++++2348602(1)(3)++=⋅>+++n n n n n n ， 所以{}nc 为递增数列，即 121nn n cc c c -->>>>L ，所以111221n nnn n n b b b b b bb b +---->->->>-L ．因为21333122b b -=-=>， 所以对任意的*∈n N ，都有11n nb b +->，即数列{}nc 为“K 数列”．② 当12,2==a q 时，2=nn a ，则121n n b n +=+．因为21213b b -=≤， 所以数列{}nb 不是“K 数列”． 综上：当13-=n na 时，数列{}nb 为“K 数列”，当2=nn a 时，数列{}nb 不是“K 数列” ． …………13分11（2017昌平二模）解：（I ） 设，由题意，化简得，即，或．所以数列的通项公式为，或．………………4分 （II ）当时，，令，有；当，时，，令，则．所以，，，使．………8分 （III ）当时，1n n a q -=2312a a +=2120q q +-=4=-q 3=q {}na 1(4)n na -=-13n na -=1k =22=a {1}T =122===TS a a 2100≤≤k ∈*N k 12+=kk a {}1,2,T k =…，121(+)2+=++==k T k k S a a a a g g g k ∀∈*N 1100k ≤≤∃⊆T U1T k S a +=1≥+m r因为中最大元素为，得，中最大元素为，得，所以，即符合题意.当，时,即 又，所以即时.，，所以，与已知矛盾，故不合题意．综上，．………………13分12（2017.1石景山期末）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D φ= ……2分此时0112(1)(1)(1)(1)(1)0AA D∈-=-+-+-+-=∑ (4)分（Ⅱ）设{1,2,3}n L 的所有不超过k 个元素的子集族为kDAm13-≥=m A m S a Br111231+139+3(31)332--≤+++=+++=-<≤r rr m B r S a a a a g g g g g g ≥ABS S 1≥+m r 1<+m r ∈*Nm .m r ≤=∅A B I .m r ≠1≤-m r 111231+139+3(31)332--≤+++=+++=-<≤m mm r A m S a a a a g g g g g g 13-≥=r B r S a <ABSS 1<+m r 1m r ≥+（ⅰ）易知当2D D =时，(1)AA D∈-∑达到最大值，所以201122(1)32(2)(1)(1)(1)122nnn n n n f C C n --+=-+-+-=-+=…6分（ⅱ）设D 是使得max k A =的任一个“向下封闭”的子集族，记'''D D D =U ，其中'D 为不超过2k -元的子集族，''D 为1k -元或k 元的子集则(1)AA D∈-∑='''''(1)(1)(2)(1)AAAA D A D A D f k ∈∈∈-+-≤-+-∑∑∑ ………8 分现设''D 有l （kn l C ≤）个{1,2,3}n L 的k 元子集，由于一个1k -元子集至多出现在1n k -+个{1,2,3}n L 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k k C -个1k -元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC n k --+个不同的1k -元子集．''11(1)(1)(1)111k Ak k k k nn n A DlC k k l l C C C n k n k n k --∈-≤-=-≤-=--+-+-+∑1(1)(2)()Ak kn n A Df k C C f k -∈-≤--+=∑由（ⅰ）得11221()(1)(1)(1)(1)(1)kkk i innnni f k C C C C ==-+-+-++-=-∑L (13)分。
