2008-2011年高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编详解1．（10-11年上学期北师大实验高三摸底考试理14）设()f n 是对一切正整数n 有定义的函数，且(1)1f =，()(1)k f n =-（1n >，k 是n 的素约数的个数）．令()()d nF n f d =∑（其中d n 表示d 是n 的约数，上式表示对n 的一切约数d 的函数()f d 求和），则(9)F = ；(2011)F = ．【解析】 1-；0．解法一：依据定义：11(9)(1)(3)(9)1(1)(1)1F f f f =++=+-+-=-；∵2011是素数，∴1(2011)(1)(2011)1(1)0F f f =+=+-=． 解法二：来计算()F n 的表达式．根据算术基本定理，可以设1212s t t t s n p p p =⋅⋅⋅ ，其中12,,,s p p p 为n 的全部素因子，1(1)i t i s ≥≤≤．设d 是n 的约数，根据f 的定义，当1212i i i k k rrri i i d p p p =⋅⋅⋅ 时，()(1)k f d =-，且(1)f 正好可以视作0k =的情形．而|()()d nF n f d =∑，求和是对n 的全体约数d 求和．由于()f d 的取值只可能是(1)k -，所以只需计算出，取值(1)k -的约数d 的个数即可．这等价于求n 的只有k 个素因子的约数d 的个数．0k =时，显然只有1d =，个数为1；1k =时，11i ri d p =，其中1111,1i i i s r t ≤≤≤≤，d 只能取12222111222,,,,,,,,,,,,s t t t s ssp p p p p p p p p ，个数是121ss i i t t t t =+++=∑ ；一般地对于k 为任意的情形，当d 的素因子取12,,,k i i i p p p 时，1212i i i k k rr r i i i d p p p =⋅⋅⋅ ，由于i j r 能取1到j i t ，由乘法原理，这种情况下的d 的个数是12k i i i t t t ⋅⋅⋅ ；由于d 的素因子可以取任意k 个，所以总的只有k 个素因子的约数d 的个数是12121k k k i i i i i i st t t σ=⋅⋅⋅∑≤≤≤≤≤；由此可知，|1()()1(1)sk k d nk F n f d σ===+-⋅∑∑；考虑多项式12()()()()s h x x t x t x t =--- ．由韦达定理可知： 12()()()()s h x x t x t x t =---1212(1)(1)n n n k n k s k s x x x x σσσσ---=-⋅+⋅-+-⋅++-在上式中两边赋值1x =即得121()1(1)(1)(1)(1)(1)sk k s k F n h t t t σ==+-⋅==---∑∴当1212s t t t s n p p p =⋅⋅⋅ 时，12()(1)(1)(1)s F n t t t =--- ； ∵293=，∴(9)121F =-=-；∵120112011=，∴(2011)110F =-=．2．（10-11年上学期海淀高三期末统考理8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1B F ∥面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{}2B ．255⎧⎫⎨⎬⎩⎭A 1B 1D 1C 1A BC DEC ．{}|222t t ≤≤ D ．2|525t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤【解析】 C ．过平面Γ外一点P 能作无穷多条直线l 平行于平面Γ，这无穷多条直线构成一个过P 点且与Γ平行的平面； 由此可知：过1B 且平行于平面1A BE 的直线有无穷多条，这些直线构成一个平面．先作出这个平面如右图所示：作11B M A E ∥交1CC 于M ，作11B P A B ∥交AB 的延长线于P ，那么11B PM A BE ∥；于是F 既在面1B PM 上又在侧面11CDD C 上，F 的轨迹为两者的交线； 为作出交线，如图所示：延长1B M 交BC 的延长线于R ，连接PB 交DC 的延长线于Q ，则QM 即为平面1B PM 与平面11CDD C 的交线；延长QM 交11C D 于N ，则MN 为F 的轨迹（F 限定在正方体的侧面上而不是整个侧面平面上）；设正方体棱长为2，易知M 是1CC 中点，2PB =，2CR =，111QC CM MC C N ====．任取MN 上一点F ，由于1C 是1B 在平面11CDD C 上的射影，所以1B F 与平面11CDD C 所成的角即为11B FC ∠，其正切为111B C C F ；111max 1C F C M C N ===，1122min 22C F C M ==，∴112tan 22B FC ∠≤≤；选C ；3．（10-11年上学期海淀高三期末统考理14）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 ．【解析】 4；32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+⎪⎨⎪+<<⎩≥． 先把直线方程改写成：3(1)y k x -=+，则直线是过定点(1, 3)C -且斜率为正的直线．设直线与x 轴交于点P ，与1x =交于点Q ，则PBQ 构成直角三角形．如右图所示． 先考虑1k >的情形：此时若M 介于PQ 间例如点3M ，我们有：333333(,)d B M BN N M BN N P BP =+>+=，也就是M 处在PQ 间时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在QP 延长线上例如点1M ：1111(,)d B M BN N M BP =+>，所以此时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在PQ 延长线上例如点2M ：2222(,)d B M BN N M BQ =+>，所以此时(,)d B M 在Q 点取最小值；又由于1k >时BQ BP >，所以综合知3min (,)2d B M BP k==+； 类似地可以知道：若1k <，则M 分别在QP 延长线上、PQ 间、PQ 延长线上时，(,)d B M 分别在P 点，Q 点，Q 点取最小值，又此时BP BQ >，故min (,)23d B M BQ k ==+； 若1k =则BP BQ =，(,)d B M 在PQ 间任意一点都取到最小值．【点评】 这题用数形结合，采用直角距离的几何意义加分类讨论不难解决，如用函数定义来做也是可以的，但是显然不如几何意义来得直观有效．4． （10-11年上学期海淀高三期末统考文14）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为C P M 2M 1M 3N 3N 2xy O N 1Q BS F E N MR QP DC BA C 1D 1B 1A 11212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 ．【解析】 4；3．解法一（定义法）：12, 2(,)10123, 2121, 1x x d B M x y x x x x x --<-⎧⎪=-+-=-++=-⎨⎪+>⎩≤≤最小值为3．解法二（数形结合）：用直角距离的几何意义，参见上题．5． （10-11年上学期西城高三期末统考理14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O 与直线2250x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆221x y +=上一点与直线2250x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ．【解析】 5，52． 第一问，可直接利用折线距离的几何定义：设直线2250x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ：则()5,0M，()0,25N ；当点Q 在MN 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O N ≥；当点Q 在NM 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O M ≥；当点Q 在MN 之间时，(,)(,d O Q d O M ≥，min (,)(,)5d O Q d O M ==，当Q 点与M 点重合时取到等号．第二问，类似第一问可知，当1P 在单位圆上固定一点时，对于直线MN 上任一点1Q ，当且仅当11PQ x ∥轴时1111(,)d P Q PQ =取最小； 为了求水平距离11PQ 的最小值，如图所示，过1P 作x 轴的平行线交直线MN 于1Q ，过1P 作直线MN 的垂线垂足为1H ；则1111P HPQ 为定值，为直线MN 的倾角的正弦：∴111152PQ PH =；求水平距离11PQ 的最小值即为求11P H 的最小值； 过O 点作直线MN 的垂线，交单位圆于P ，垂足为H ，则当且仅当1P 与P 重合时，11P H 取到最小值PH ；此时过P 作x 轴的平行线交直线MN 于Q ，则11PQ 也取到最小值PQ ；∵2525OH ==，1OP =，∴1PH =，5522PQ PH ==， ∴115min (,)2d P Q PQ ==，当11,P Q 分别与,P Q 重合时取到等号．6．（10-11年上学期西城高三期末统考文14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）Q 2Q 1H 2H 1H Q PP 2P 1NM y O x【解析】 ①③④．O 1-1xyyx -11O -22MN yx-11O①设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1x y +=，这是4条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点P 的“折线距离”等于a 的点的集合同样也是以P 为中心半对角线长为a 的斜45︒正方形，这是欧氏距离下圆的近似；③设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1124x x y ++-+=，整理得1122x x y ++-=-，画出其图像是上图所示的六边形，面积为6．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”和为2()a a c >的点的集合也是类似的对称六边形，以MN 为对称轴，以MN 中点为对称中心，长为2a ，高为2()a c -，水平边长为2c ，面积222()S a c =-，这是欧氏距离下椭圆的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．④设点的坐标为(,)x y ，根据定义有111x x +--=，解得12x =±，这是两条竖直直线，如上图所示．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”差的绝对值为2()a a c <的点的集合也是两条竖直直线，与MN 中点距离为a ，这是欧氏距离下双曲线的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．7．（10-11年上学期东城高三期末统考理8文8）已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =；②2()f x x =；③()sin cos f x x x =+；④2()1xf x x x =++；⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①④⑤D ．①②⑤【解析】 C ．()f x m x ≤⇔0x =时(0)0f =，0x ≠时()f x m x≤，即过原点的弦斜率有界．①()0f x =显然满足上面性质；②2()f x x =，(0)0f =但0x ≠时()f x x x=无界；③()sin cos f x x x =+，(0)0f ≠；④2()1xf x x x =++，(0)0f =且0x ≠时2()1413f x x x x =++≤； ⑤如右图所示，()f x 是奇函数则(0)0f =；又1212()()2f x f x x x--≤恒成立，所以所有的弦斜率绝对值有界2，自然2也是过原点的弦的界，所以()2f x x≤（也可以直接取20x =得到）．8．（10-11年上学期东城高三期末统考理14）Oxy已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(0,1)内任取两个实数,p q ，且p q ≠，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 [15,)+∞．(1)(1)(1)(1)(1)(1)f p f q f p f q p q p q +-++-+=-+-+，然后1p +，1q +可以作为整体换元； ∴题中条件等价于在区间(1,2)内对于任意两个实数12x x <，都有2121()()1f x f x x x ->-；解法一：也就是区间(1,2)内任一割线斜率都大于1；我们证明这与区间(1,2)内任一切线斜率都大于1等价．如图所示，若区间(1,2)内任一割线斜率都大于1，由于对区间内任一点C ，都存在割线AB 平行于过C 点的切线；而AB 斜率大于1，所以C 点的切线斜率也大于1，由C 的任意性，所以任一切线斜率都大于1； 反之，若区间(1,2)内任一切线斜率都大于1，由于任一条割线AB ，都存在,A B 间一点C ，使得C 点的切线与割线AB 平行；所以AB 的斜率必定大于1；所以任一割线斜率都大于1；∴1212x x ∀<<<，2121()()1f x f x x x ->-12t ⇔∀<<，()1f t '>解法二：1212x x ∀<<<，2121()()1f x f x x x ->- 2121()()f x f x x x ⇔->-2211()()f x x f x x ⇔->- ()f x x ⇔-在区间(1,2)内单调递增 ()f x x ⇔-的导数为正()10f x '⇔-> 12t ⇔∀<<，()1f t '>∴()211af t t t '=->+在区间(1,2)上恒成立；即(12)(1)a t t >++在区间(1,2)上恒成立；而(12)(1)t t ++在区间(1,2)上单调递增且在端点2处趋向于15， ∴15a ≥（可以取到等号），所以a 的取值范围是[15,)+∞．9． （10-11年上学期朝阳高三期末统考理8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点． 已知下列判断： ①1AC ⊥平面1B EF ； ②1B EF ∆在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形； ③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关． 其中正确判断的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 B ．①显然错误，用特殊值法很容易举出反例：例如E 和1D 重合，F 和B 重合，这时平面1B E F 就是对角面11BB D D ，此时1111A C BB D D ⊥但1AC 显然与11A C 不重合，111AC BB D D ⊥不成立； ②如图，设E 在1CC 上的射影为M ，则1B EF ∆在侧面11BCC B 上F EDCB A A 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1C D E MR21C BA yO x的正投影就是1B MB ∆，其面积1212B MB S a ∆=为定值，a 为正方体棱长；③∵平面1B EF 与平面ABCD 不重合且共点F ，故必有交线l ，∴平面1111A B C D 内只要是平行于l 的直线都将平行于平面1B EF ；事实上如图，延长1B F 交1A A 延长线于N ，连接EN 交AD 于R ，则RF 就是平面1B EF 与平面ABCD 的交线，平面1111A B C D 内只要平行于RF 的直线（不经过1B ）必定平行于平面1B EF ； ④分别取F 点与B 点、A 点重合的情形就知道该命题错误； 事实上，由于RF 就是平面1B EF 与平面ABCD 的交线，而1B 在平面ABCD 内的射影为B ，故过B 作BS RF ⊥的延长线于S ，则1B SB ∠就是两个平面的二面角；二面角的大小由BS 长决定．F 位臵不但影响到BF 长，还影响到N 点位臵，进而影响到R 点位臵和BFS ∠大小． 综上知①④错误，②③正确．10．（10-11年上学期朝阳高三期末统考理14）已知数列*{} ()n a n ∈N 满足：*1log (2) ()n n a n n +=+∈N ，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数* ()k k ∈N 叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 ．【解析】 2026．123234(1)log 3log 4log 5log (2)k k a a a a k +⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+ln3ln 4ln5ln(2)ln(2)ln 2ln3ln 4ln(1)ln 2k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+ 若k 为企盼数，则123k a a a a ⋅⋅⋅⋅ 为整数设为t ，则ln(2)ln 2k t +=，则有22t k +=，也就是2k +必须为2的整数幂次；由于12011k ≤≤，∴322013k +≤≤，这个范围内2的整数幂次只有4,8,16,32,64,128,256,512,1024∴[1, 2011]内所有的企盼数的和为481632641282565121024292026++++++++-⨯=．11．（10-11年上学期朝阳高三期末统考文8）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（ ） A ．有无数条 B ．有2条 C ．有1条 D ．不存在 【解析】 A ．∵平面1D EF 与平面11ADD A 不重合且共点1D ，所以必有交线l ，1D EF ∴平面11ADD A 内只要是平行于交线l 的直线都与平面平行，故必有无数条满足题设的直线；为了看得更清楚，如图所示，设DC 中点为M ，11D C 中点为N ，则平面EMN ∥平面11ADD A ．设MN 与1D F 交于点S ，则ES 就是平面EMN 与平面1D EF 的交线；过S 作SR CD ∥交1DD 于R ，连接AR ，则AR ES ∥，于是平面11ADD A 内只要与AR 平行的直线（不经过1D ）都必定与平面1D EF 平行．12． （10-11年上学期丰台高三期末统考理14）定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（x π⎛⎫∈π ⎪2⎝⎭，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ． 【解析】 γαβ>>．()g x x =，()1g x '=，∴1α=；F E DC B A A 1B 1C 1D 1SD 1C 1B 1A 1AB C D E FMNR()ln(1)h x x =+，1()1h x x '=+，∴1ln(1)1ββ+=+；()cos x x ϕ=，()sin x x ϕ'=-，∴cos sin γγ=-，∵γπ⎛⎫∈π ⎪2⎝⎭，，∴3π4γ=因为11y x =+在[)0,+∞内单调递减且从1趋向于0，ln(1)x +在区间[)0,+∞内单调递增从0趋向于+∞，∴两者有唯一交点，即β有唯一解；∵1ln(01)01>++，1ln(11)0.69311<+=+ ，∴01β<< ∴γαβ>>13．（10-11年上学期丰台高三期末统考文14） 若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ： ①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，；②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ．【解析】 ②④．①不是拓扑，因为{}a τ∈，{}c τ∈，但{}{}a c τ∉ ； ②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足； ③不是拓扑，因为全集{,,}X a b c τ=∉；④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．14． （10-11年上学期石景山高三期末统考文8）已知(1,1)1f =，(,)*f m n ∈N （m 、*)n ∈N ，且对任意m 、*n ∈N 都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=． 给出以下三个结论：（1）(1,5)9f =；（2）(5,1)16f =；（3）(5,6)26f =．其中正确的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【解析】 A ．如下图所示，用一个表格来表示这个二元函数的取值，用行代表m 的取值，用列代表n 的取值．n m 1 2 3 4 5 6 1 1 3 5 7 9 11 2 2 4 6 8 10 12 3 4 6 8 10 12 14 4 8 10 12 14 16 18 5 16 18 20 22 24 26那么根据条件①，行m 固定时，每行的数成为一个公差为2的等差数列；根据条件②，1n =时，第一列的数构成一个公比为2的等比数列；据此不难写出每行每列的值，容易验证3个结论全部成立，所以选A ．15． （10-11年上学期昌平高三期末统考文8）在集合{}a b c d ，，，上定义两种运算⊕和⊗如下：a ab b bc ad a a d ac a a bd a那么()d a c ⊗⊕=（ ）A ． aB ．bC ．cD ．d【解析】 A ．直接读图知道，a c b ⊕=；d b a ⊗=．16． （10-11年上学期房山区高三期末统考理14文14，2009崇文一模理7文8）平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数：①()sin πf x x =；②2()π(1)3f x x =-+；③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④0.6()log (1)f x x =+；⑤1()1f x x =-，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号）【解析】 ②④．①()sin πf x x =：∵sin π0,m m =∈Z ，∴(,0)m 在()f x 上，()f x 经过无穷个格点(,0)m ；②2()π(1)3f x x =-+：(1)3f =，当1,m m ≠∈Z 时易见()f m 为无理数，∴()f x 只经过(1,3)这个格点； ③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭： 当2,m m ∈Z ≤时221()33m m f m --⎛⎫== ⎪⎝⎭都为整数，∴()f x 经过无穷个格点2(,3)m m -；④0.6()log (1)f x x =+：(0)0f =；若(), ,f m n m n =∈Z ，则315nm ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于3,5互素，左边当且仅当0n =时才为整数，∴()f x 只经过原点这个格点；⑤1()1f x x =-：若(), ,f m n m n =∈Z ，则(1)1m n -=，解得(,)(2,1)m n =或01-（，），∴()f x 经过两个格点．17．（2010北京卷理8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，动点P ，Q 在棱AD ，CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的体积（ ） A ．与x ，y ，z 都有关 B ．与x 有关，与y ，z 无关 C ．与y 有关，与x ，z 无关 D ．与z 有关，与x ，y 无关【解析】 D ；如图所示，三角形EFQ 的面积是定值且在平面11A B CD 上．所以体积只与P 到平面11A B CD 的距离有关．作PP CD '∥交BC 于P '，作1P M B C '⊥于M ．因为平面11A B CD ⊥平面11BCC B ．11P M A B CD '⊥．且2cos 452P M P C z ''=︒=． 所以体积与z 有关，与x ，y 无关．选D ．P 'D 1C 1B 1A 1PQMFED C B A QP FEB 1C 1D 1A 1D C BA18．（2010北京卷文8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，点Q 在棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上，若1EF =，DP x =，1A E y =（x y ,大于零），则三棱锥P EFQ -的体积（ ）A ．与x y ,都有关B ．与x y ,都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关 【解析】C ； 如图所示，三角形EFQ 的面积是定值且在平面11A B CD 上．所以体积只与P 到平面11A B CD 的距离有关．作PP CD '∥交BC 于P '，作1P M B C '⊥于M ．因为平面11A B CD ⊥平面11BCC B ．11P M A B CD '⊥．且2cos 452P M P C x ''=︒=． 体积与x 有关，与y 无关．故选C ．19．（2010北京理14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为_____；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为_______． 说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 沿x 轴负方向滚动．【解析】 4；π1+．xyOAB CP C (A )P (B )A (C )P C B (P )BPCBA上图给出了正方形PABC 一个完整周期的滚动情况．初始时边PA 在x 轴上，首次滚动是以A 为圆心顺时针旋转90︒，这时B 到了x 轴上，P 到了原先B 的位臵，P 的轨迹是以A 为圆心1为半径的90︒弧；第二次滚动以落到x 轴上的B 点为圆心顺时针旋转90︒，然后C 到了x 轴上，A 到了原先C 的位臵，P 的轨迹是以B 为圆心2为半径的90︒弧；第三次滚动以落到x 轴上的C 点为圆心顺时针旋转90︒，然后P 到了x 轴上，B 到了原先P 的位臵，P 的轨迹是以C 为圆心1为半径的90︒弧；第四次滚动以落到x 轴上的P 点为圆心顺时针旋转90︒，然后A 到了x 轴上，C 到了原先A 的位臵，P 点在这个滚动中静止不动．这时PA 边又回到了x 轴上，下一次滚动又以A 为圆心开始，故这4次滚动构成一个周期．由图像知()f x 的最小正周期就是P 连续两次落到x 轴上之间的距离，即正方形的周长4；所围成的面积2221π11π11π121π122222222S =⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅=+．yxOCBAPQP FEB 1C 1D 1A 1D C B AP 'D 1C 1B 1A 1PQM FED C BAl 3l 2l 1P 0P 3P 2P 120．（2010北京卷文14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，设顶点(,)P x y 的纵坐标与横坐标的函数关系式是()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为_____；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为_______．说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 沿x 轴负方向滚动．【解析】 4；π1+．解析与上题完全类似．21． （2009北京理8）点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“A 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A 点”【解析】 A本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型． 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设()A m n ，，(1)P x x -， 则(221)B m x n x --+，，∵A ，B 在2y x =上，∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎪⎨-+=-⎪⎩ 消去n ，整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= ①∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立， ∴方程①恒有实数解，∴应选A ．22．（2009北京理14）已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，n *∈N ，则2009a =________；2014a =_________．【解析】 1，0．本题主要考查周期数列等基础知识．属于创新题型．依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====． ． ∴应填1，0．23． （2009北京卷文8）设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合{}0|123i S P P D PP PP i =∈=，≤，，，，则集合S 表示的平面区域是（ ）A ．三角形区域B ．四边形区域C ．五边形区域D ．六边形区域【解析】 D ．本题结合平面几何，考察集合的知识． 如图，(123)i l i =，，是线段0i P P 的中垂线，每条中垂线都将y=x-1y=x 2yxPOB Ay xO BC A P平面分成两部分，满足0i PP PP ≤的点P 的集合为直线i l 包含0P 的那一侧．因此S 表示的平面区域如图阴影所示．24．（2009北京卷文14）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个．【解析】 6；设集合{}D a b c =，，满足要求，其中a b c <<，因为1c D +∉，所以要使c 不是“孤立元”，只能1c D -∈，于是只能1b c =-；同样的，因为1a D -∉，所以1a D +∈，从而1b a =+． 因此满足要求的集合只能是连续三个数组成的集合，即只有{123}{234}，，，，，， {345}{456}{567}{678}，，，，，，，，，，，满足条件．集合与新概念结合的题型，有一定的难度，考察对数学新定义的理解能力．25． （2008北京卷理8文8）如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）【解析】 B过M N ，两点分别作1AA 的平行线，交AB BC ，（或AD CD ，）于点M N ''，，连结M N ''，交BD于点O ，则MM N N ''为平面四边形．又MN ⊥平面11BB D D ，故1MN BB ⊥，从而MN MM '⊥；又MM '⊥平面ABCD ，故MM M N '''⊥，故MM N N ''为矩形，从而y M N ''=． 当11322x BD a <=时，23BO x =，2263y MN M N BO x ''====；当11322x BD a >=时，23BO x =， ()2222263y MN M N DO BD BO a x ''====-=-； 故图象大致为B ．26．（2008北京卷理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点(, )k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，1112155512 55k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩； ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．【解析】 (1, 2)，(3, 402)211x x =+，32112x x x =+=+，…，54114x x x =+=+，65115x x x =+-=，……，于是5111k x x +==，522k x +=，533k x +=，544k x +=，*555()k x k +=∈N ；PNMABCD A 1B 1C 1D 1DCBAxyOx yOx y OOy x543211y y y y y =====，6512y y =+=，……，于是51525354551k k k k k y y y y y k +++++=====+．故第6棵树的种植点的坐标为(1, 2)；200854013=⨯+，20083x =，2008402y =，故第2008棵树的种植点坐标为(3, 402)．27．（2010海淀一模理8）已知数列()1212:,,,0,3n nA a aa a a a n <<< ≤≥具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：① 数列0,1,3具有性质P ；② 数列0,2,4,6具有性质P ； ③ 若数列A 具有性质P ，则10a =； ④ 若数列123a a a ，，具有性质P ，则1322a a a +=． 其中真命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 B ．①∵134+=，132-=-都不在数列中，∴数列0,1,3不具有性质P ； ②容易验证数列0,2,4,6具有性质P ；③取i j n ==，n n n a a a +>不在数列中，则0j i a a -=在数列中，而数列中最小的数10a ≥，因此10a =；④由③的分析知，10a =．由于210a a >=，32a a +3a >不在数列中，因此32a a -必然在数列中．又32a a >，故3210a a a ->=，于是322a a a -=，等式1322a a a +=成立．28．（2010海淀一模理14）在平面直角坐标系中，点集{}22(,)|1A x y x y =+≤，{}(,)|4,0,340B x y x y x y =-≤≥≥，则 ⑴ 点集{}1111(,)|3,1,(,)P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；⑵ 点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ．【解析】 π；18π+；点集A 就是整个单位圆；点集B 所表示的区域是如图所示的直角三角形OMN ，其中4OM =，3MN =．⑴ 点集P 是将点集A 中的所有点横坐标加3纵坐标加1得到的，即都进行了一个向量(3,1)n =的平移，所以整体上集合A 也按照向量n进行了平移，得到的点集P 还是一个半径为1的圆，圆心在(3,1)，所以面积依旧是π； ⑵ 点集Q 实际上可以写成：2222(,)(,)x y BQ x y A ∈=+ ，其中22(,)x y A +看成是A 按照向量22(,)x y 的平移得到的点集． 而22(,)x y A +得到的是以22(,)x y 为圆心半径为1的圆，所以Q 就是所有圆心在OMN ∆里半径为1的圆的并；如图所示：当半径为1的圆在OMN ∆边界上滑动时，分别得到矩形ONQP ，矩形NMSR ，矩形MOUT ；在顶点滚动时，得到三个扇形；所以最终Q 就是图示阴影部分．不难求得面积21111π118π2S ON NM MO OM ON =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+ 【点评】 解决本题的关键在于发现实质P 是A 的平移，Q 是A 的全体平移的并．如果只从集合,P Q 的描述性表示入手的话是很抽象的．本题可以推广到一般情形：如果,A B 是两个闭图形，则{}1212|,A B X X X A X B +=+∈∈都是A 的全体平移2X A +的并．yxM N O P QRS TU45-129．（2010海淀一模文14）若点集{}22(,)|1A x y x y =+≤，{}(,)|11,11B x y x y =--≤≤≤≤，则 ⑴点集{}1111(,)|1,1,(,)P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；⑵点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x yA x yB ==+=+∈∈所表示的区域的面积为___________ ．【解析】 π；12π+；点集A 就是整个单位圆；点集B 所表示的区域是边长为2的正方形KLMN ，如图所示．⑴ 点集P 是将点集A 中的所有点横纵坐标均加1得到的，即都进行了一个向量(1,1)n =的平移，所以整体上集合A 也按照向量n进行了平移，得到的点集P 还是一个半径为1的圆，圆心在(1,1)，所以面积依旧是π； ⑵点集Q 实际上可以写成：2222(,)(,)x y BQ x y A ∈=+ ，其中22(,)x y A +看成是A 按照向量22(,)x y 的平移得到的点集．而22(,)x y A +得到的是以22(,)x y 为圆心半径为1的圆，所以Q 就是所有圆心在正方形KLMN 里半径为1的圆的并；如图所示：当半径为1的圆在KLMN 边界上滑动时，分别得到4个长为2宽为1的矩形；在顶点滚动时，得到4个扇形；所以最终Q 就是图示阴影部分．不难求得面积π424412π4S =+⨯+⨯=+．30．（2010朝阳一模理14）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是 x -，另一个是3x +．设第n 次生成的数的个数为n a ，则数列{}n a 的前n 项和n S = ；若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T = ．【解析】 21n -； 1 (1)3 (2)4 6 (3)n n n n =⎧⎪=⎨⎪-⎩≥．11a =，22a =，34a =，每次生成数的个数都比上一次翻倍，所以12n n a -=，21n n S =-；为了研究所有生成数中不同数的个数，我们用一个双排单链表来考察一下生成数的过程： 1n =时，只有1个数x ；2n =时，共有3个数：3x x x →+↓- 3n =起，生成的所有数形成了一个双排单链表3A ，其中箭头代表生成过程：3633x x x x xx →+→+↓-+←---4n =时的链表4A 如下：TS V UR QPOLKNMy O x-2-12133696336x x x x x x x x x x -→+→+→+↑↓-+←-+←-←----这个链表k A 具有这样的规律： ①第一排从左往右，第二排从右往左，都是公差为3的等差数列；第一排的x 与第二排的x -对应； ②两排项数相同但是错开1项，除掉第一排的尾项与第二排的首项以外，其余项一一对应且互为相反数；③在生成数的过程中，第一排的数只能生成其右边和下边的数，第二排的数只能生成其左边和上边的数，箭头表明了生成的过程；④从n k =到1n k =+时，根据③，链表k A 的中间段不可能再生成新数，只有第一排尾项与第二排首项能生成新数，第一排尾项为两排右边各加一项，变成1k A +两排的新尾项；k A 第二排首项为两排左边各加一项，变成1k A +两排的新首项；⑤根据④，1k A +的链表每排项数比k A 的链表多2，3A 每排有3项，4A 每排有5项，∴(3)k A k ≥每排有23k -项；⑥当1x =时，k A 的第一排被3除余1，第二排被3除余2，所以两排的项不会重复，从而k A 列出了前k 次生成的所有不同的数；∴n T 为链表n A 的项数，即46(3)n T n n =-≥；另外23T =，11T =． 下面给出了链表k A ：3(3)3(2)3(1)3(2)3(3)3(2)x k x x k x k x k x k x x k --→→+-→+-↑↓-+-←-+-←-←---31．（2010朝阳一模文14）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是 x -，另一个是3x +．设第n 次生成的数的个数为n a ，则数列{}n a 的前n 项和n S = ；若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则4T = ．【解析】 21n -；10．11a =，22a =，34a =，每次生成数的个数都比上一次翻倍，所以12n n a -=，21n n S =-； 4n =，1x =时，生成的所有数为：21471052147-→→→↑↓←←-←--∴410T =．32．（2010东城一模理14） 如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数()f x 的定义域内，就有()f a ，()f b ，()f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“Л型函数”．则下列函数：①()f x x =； ②()sin g x x = (0,π)x ∈； ③()ln h x x = [2,)x ∈+∞， 是“Л型函数”的序号为 ．【解析】 ①③；若,,0a b c >，a b c +>，则a b a b c +>+>，故①满足；若,,2a b c ≥，a b c +>，则(1)(1)1a b ab a b --⇒+≥≥，ln ln ln()ln()ln a b ab a b c +=+>≥，故③满足；②反例：3a b ==，π2c =时，,,a b c 构成三角形，但πsin sin 1sin 2a b +<=，故sin ,sin ,sin a b c 不构成三角形．33． （2010石景山一模理14文14）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2,n n *∈N ≥，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若{}n a 是等方差数列，则{}2n a 是等差数列；②{}(1)n -是等方差数列；③若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （k *∈N ，k 为常数）也是等方差数列； ④若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）【解析】 ①②③④．由定义可知，{}2n a 是公差为p 的等差数列，①正确；()()221110(2,*)n n n n -⎡⎤⎡⎤---=∈⎣⎦⎣⎦N ≥为常数，故(){}1n -是等方差数列，②正确；若221(2,*)n n a a p n n --=∈N ≥，则()()()22222222(1)1121(1)kn k n kn kn kn kn kn k k n a a a a a a a a kp -----+--=-+-++-= 为常数，③对；设{}n a 公差为d ，则221111()()()n n n n n n n n p a a a a a a d a a ----=-=-+=+，结合11()()n n n n p d a a p d a a +-=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得2110()20n n d a a d d +-=-=⇒=，故{}n a 是常数列，④对．34．（2010西城一模理14）设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ．【解析】 2m ≥；11a -≤≤．第一问，依定义，22()x m x +≥在[1,)-+∞上恒成立，即220mx m +≥在[1,)-+∞上恒成立；由于0m ≠，分两种情况讨论：①0m <时，若2mx >-，22mx m <-，矛盾；所以这种情形不存在；②0m >时，在[1,)-+∞上，一次函数22mx m +在1x =-处取到最小值22m m -+，根据题意，只需要最小值220m m -+≥即可，解得2m ≥； ∴实数m 的取值范围是2m ≥； 第二问，用数形结合的思想来解决．如图所示，先作出()y f x =的图象，其图象是由三条直线构成的折线，与x 轴有三个交点2(2,0)a -、(0,0)、2(2,0)a ；极大值点22(,)a a -；极小值点22(,)a a -； 而(4)f x +是()f x 沿x 轴向左平移4个单位得到的图象，当且仅当(4)f x +的右端直线整体处于()f x 的左端直线上方时，才有(4)()f x f x +≥恒成立（如图所示的实线与虚线）；即当且仅当22242a a --≤时()f x 才是4高调函数，解得a 的取值范围是[]1,1-．35．（2010西城一模文14）设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．y=f (x+4)y=f (x )2a 2-a 2a 2yO x。
