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2012北京高考数学(理)压轴题

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2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数 学 理（北京卷）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）1.若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=xx x B x x A ,则B A = ( ) A.}01|{<≤-x x B.}10|{≤<x x C.}20|{≤≤x x D.}10|{≤≤x x 2.若等比数列{}n a 满足n n n a a 161=⋅+，则公比为A ．2B ．4C ．8D ．163.设集合A ＝{0,2,4}，B ＝{1,3,5}，分别从A 、B 中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有( )A ．24个B ．48个C ．64个D ．116个4.在极坐标系中，点)3,2(π到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ． 3 B.942π+ C.912π+D.25.执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是A ．8B ．5C ．3D ．26.若0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则b a ⋅的最大值等于 A ．2B ．3C ．6D ．97. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。

假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300()2t M t M -=，其中M 0为t=0时铯137的含量。

已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克8.对实数a 和b ，定义运算“⊗”：b a ⊗＝⎩⎨⎧>-≤-1,1,b a b b a a ，设函数R x x x x x f ∈-⊗-=),()2()(22，若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪)43,1(-B ．(－∞，－2]∪)23,1(-C.),41()41,1(+∞-D.)43,1(-⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.5i1－2i＝ . 10.已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．11.设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为 ，该双曲线的离心率是 .12.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．13.如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，则BC = ．14.设E ={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}、F ={(x ,y )|x ≤10,y ≥2,y ≤x -4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G =()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知向量(3sin,1)4x m =，2(cos ,cos )44x xn =，()f x m n = (I )若()1f x =，求cos()3x π+的值；(II )在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足1cos 2a C cb +=，求函数()f B 的取值范围.16．（本小题满分13分）如图5，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，,E F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B --． （I ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （II ）求二面角E DF C --的余弦值；（III ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？如果存在，求出BCBP的值；如果不存在，请说明理由。

17.(本题满分13分)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm ） 甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41 乙：10 26 30 30 34 37 44 46 46 47（I ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，写出两个统计结论；（II ）现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一起，按高度分成一、二两个等级，每个等级按不同的价格出售.某市绿化部门下属的2个单位计划购买甲、乙两地种植的树苗.已知每个单位购买每个等级树苗所需费用均为5万元，且每个单位对每个等级树苗买和．．．．．．．．．．．．．不买的可能性各占一半．．．．．．．．．．，求该市绿化部门此次采购所需资金总额X 的分布列及数学期望值()E X 高中数学辅导网18.（本小题满分13分）已知函数2(1)()a x f x x-=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）19.（本小题满分14分）新课 标 第 一网已知椭圆13:22=+y x C 的右顶点为A ，上顶点为B . （Ⅰ）直线t y =与椭圆交于不同的两点,E F ，若(,)D x y 是以EF 为直径的圆上的点，当t 变化时，求D 点的纵坐标y 的最大值；（Ⅱ）过点)2,0(且斜率k 为的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,P Q ，是否存在k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分14分）设数列{}n a 满足.,2222*13221N n na a a a n n ∈=+⋅⋅⋅+++-（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设,1,log 1121nn b b c a b n n n n n ++==+记,21n n c c c S +⋅⋅⋅++=证明：S n ＜1.2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题2012.5一、选择题:二、填空题:（9）－2＋i （10） （11）2；213（12）600（13（14）7三、解答题：.15．解：（1）()21113s i n c o s c o s s i nc o s s i n ,44422222262x x x x x f x π⎛⎫=⋅+++=++ ⎪⎝⎭而()11,s i n .262x f x π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭ 21c o s c o s 212s i n .326262x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）22211c o s ,,222abc a Cc b a c b a b +-+=∴⋅+=即2221,c o s .2b c a b c A +-=∴= 又()0,,3A A ππ∈∴= 又20,,36262B B ππππ<<∴<+<()31,.2f B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭16．（1）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ． …………3分 法一：（2）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，2）B （2，0，0）C （0，)0,3,1(),1,3,0(),,0,32F E .…………4分平面CDF 的法向量为)2,0,0(=DA设平面EDF 的法向量为),,(z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n DE n DF 即)3,3,3(0303-=⎪⎩⎪⎨⎧=+=+n z y y x 取， …………6分721,cos =⋅<n DA n DA ，所以二面角E —DF —C 的余弦值为721；…8分x（3）设332023),0,,(=∴=-=⋅y y DE AP y x P 则，又)0,32,(),0,,2(y x PC y x BP --=-=，323)32)(2(//=+∴-=--∴y x xy y x PC BP 。

…………10分把BCBP x y 31,34332=∴==代入上式得， 所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE 。

此时，31=BC BP . …………13分17．解：画出茎叶图如下：…………………………………………2分①甲地树苗高度的平均数为28cm ，乙地树苗高度的平均数为35cm ，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数……………………………4分 ②甲地树苗高度的中位数为27cm ，乙地树苗高度的中位数为35.5 cm ， ∴甲地树苗高度的中位数小于乙地树苗的高度的中位数…………………………6分（2）0,5,10,15,20X =，设5X Y =，则Y ～1(4,)2B ………………………8分04411(0)C ()216P X ===14411(5)C ()24P X === 24413(10)C ()28P X ===34411(15)C ()24P X ===44411(20)C ()216P X ===∴11分∴∴该市绿化部门此次采购的资金总额的数学期望值为10万元…………………13分18．解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x -'=，（0x ≠），……………1分在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞， 单调递增区间是(0,2). ………3分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则00200003(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得01x =，1a =. ……………6分（Ⅲ）()g x =l n (1)x x a x --，则()l n 1g x x a '=+-，………7分解()0g x '=，得1ea x -=，所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数， 在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数.………8分 当1e1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e ]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e )e e g a a =+-. …………9分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e ]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………10分当11<e <e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e )g 和(1)g 中较大者；(e )(1)ee 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-，所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e )e e g a a =+-，e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =.…………12分综上所述，当e0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e )e e g a a =+-，当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =. …………13分19．解（1）由⎩⎨⎧=+=3322y x t y ()2213t x -=⇒，11<<-t2132t EF r -==，圆心为),0(t以EF 为直径的圆的方程为：)1(3)(222t t y x -=-+2分213t t y -+≤⇒（当0=x 时取等）令)),0((cos πθθ∈=t 则)6sin(2sin 3cos πθθθ+=+≤⇒y所以D 的纵坐标最大值为26分（2）2:+=kx y l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=33222y x kx y 消去y:0326)31(22=+++kx x k 330)31(127222>⇒>+-=∆k k k设),(),,(2211y x Q y x P ,PQ 的中点M),(00y x由点差法：)(3)(32121212122212221y y x x x x y y y y x x +-+=--⇒--=- 即000033ky x y xk -=⇒-=①M 在直线l 上200+=⇒kx y ②又⇒)1,0(),0,3(B A →AB )1,3(-=，而→+→OQ OP 与→AB 共线，可得→OM //→AB003y x -=⇒ ③,由①②③得33=k ，12分这与33>k 矛盾，故不存在13分20．解（1）由题意，,222221123221n a a a a a nn n n =++⋅⋅⋅+++---当 2≥n 时，.21222123221-=+⋅⋅⋅+++--n a a a a n n 两式相减，得.2121221=--=-n n a nn 所以，当2≥n 时，.21n n a =………………………………………………………4分当n ＝1时，211=a 也满足上式，所求通项公式().21*N n a nn ∈=…………………6分（2）.121log 1log 12121n a b nnn =⎪⎭⎫ ⎝⎛==…………………………………………………8分 ()11111+-=+-+=n n n n n n c n ……………………………………………………10分⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅⋅⋅++=1114131312121121n n c c c S nn111+-=n ＜1.…………………………………………………12分。

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2012年高考数学北京(理)

2012年高考数学北京(理)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)解析本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、 选择题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1、已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= （A ） （-∞，-1） （B ）（-1，-23） （C ）（-23,3） （D ）(3,+∞) [答案]D[解析]和往年一样，依然是集合（交集）运算，本题考查的是一次和二次不等式的解法.因为A={x ∈R|3x+2＞0}32->⇒x ，利用二次不等式的解法可得{}31>-<=x x x B 或，画出数轴易得：A ∩B={x|x ＞3}.[点评]集合的运算往往与解不等式联系在一起考查，属低档题.（2）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-[答案]D[解析]题目中表示区域如下图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积，因此P=4422241222ππ-=⨯-⨯[点评]这是道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，概率.与面积、体积、长度有关的概率问题属于几何概型.3.设a，b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案]B[解析]a=O,b=0时，a+bi=0是实数，不是纯虚数；而如果a+bi是纯虚数，一定有a=O.[点评]纯虚数的概念要理解到位.（4）执行如图所示的程序框图，输出S值为（A）2（B）4（C）8（D）16[答案]C[解析]本题考查程序框图，设计到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算，k=o,s=1⇒k=1,s=1⇒k=2,s=2⇒k=3,s=8,结束[点评]读懂程序，做好循环结束的判断.本题属低档题.5.如图. ∟ACB=90º.CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²[答案]A[解析]这是平面几何题，主要考查射影定理的各种情况，要求学生对垂直的变化要有深入了解.[点评]平面几何中三角形相似的知识不容忽视.6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6 [答案]B[解析]分两类：（1）奇偶奇形式：3×2×2=12；偶奇奇形式：3×2=6，共有12+6=18 [点评]排列组合题要注意合理分类.（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+B ）30+C ）56+D ）60+[答案]B[解析]本题考查的是三棱锥的三视图问题，问题变化为求表面积，因此对学生的计算基本功以及空间想象能力都存在着综合性的考查.从所给的三视图可以得到该几何体的直观图，如下图所示，结合图中的数据，利用勾股定理计算出各边的长度，进而求出面积.563056101010+=+++=+++=左右后底表S S S S S[点评]把三视图正确地转化为直观图是解决问题的关键.（8）某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）5（B ）7（C ）9（D ）11 [答案]C[解析]该题考查知识点很灵活，要根据图像看出变化趋势，由于目的是看年平均产量最高，就需要随着n 的增大，总年产量变化超过平均值的加入，随着n 的增大，由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C.[点评]考察阅读理解能力，这也对数学的学习平时要求不能过于僵化，要灵活. 第二部分(非选择题共110分)二.填空题（共6小题，每小题5分，共30分）. 9.直线(t 为参数)与曲线(“为多α数)的交点个数为[答案]2[解析]直线方程为x+y=1,圆方程为x 2+y 2=9,画出图形易得两个交点.[点评]把参数方程化为普通方程是解决该问题关键.（10）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1= ，S 2=a 3，则a 2=_________，S n =_________________.[答案]1，42n n[解析]本题考查等差数列的基本计算，难度不大，因为d a d a a a S 211132+=++⇒=211==⇒a d ，所以42)1(,12112n n d n n na S d a a n +=-+==+= [点评]等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式是必须要掌握的内容，并会熟练应用.11.在△ABC 中，若α=2，b+c=7,cos B =14-，则b= [答案]4[解析]在⊿ABC 中，由余弦定414)(744))((42cos 222-=-+=-++=-+=c b c c b c b c ac b c a B化简得8c-7b+4=0,又b+c=7,解得b=4.[点评]正余弦定理是解三角形的有力工具，要烂熟于心.12.在直角坐标系xOy 中.直线l 过抛物线24y x =的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B两点.其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为[答案]3[解析]根据y 2=4x 得焦点坐标F （1,0），因为直线l 的倾斜角为60º，所以直线的斜率为K=tan600=3,利用点斜式，直线方程为y=3x-3,将直线和曲线联立⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y 4)1(32A （3,23）B （332,31-），因此33212121=⨯⨯=⨯⨯=∆A OAF y OF S [点评]直线与抛物线的关系可以转化为求交点坐标问题.（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则∙的值为________， ∙的最大值为 .[答案]1,1[解析]CB DE ∙=〉〈=∙DE cos ,而DA DE =〉〈,cos ,所以∙=1=；容易发现当E 点移动到B 点时，∙取最大值1.[点评]向量问题应多在数形结合上做文章.14.已知f(x)=m(x-2m )（x+m+3）,g(x)=2x -2，若同时满足条件： ①x ∈R ，f(x) ＜0或g(x) ＜0 ②x ∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0则m 的取值范围是 [答案]（-4,-2）[解析]根据g(x)= 2x -2<0，可解的x<1.由于x ∈R ，f(x) ＜0或g(x) ＜0成立，导致f(x)在x ≥1时，必须是f(x)<0的，因此f(x)的开口必须向下，m<0,且此时两个根为x 1=2m,x 2=-m-3,为保证条件①成立，需要⇒⎩⎨⎧<--=<=131221m x m x ⎪⎩⎪⎨⎧-><421m m ，又m<0,故结果为-4<m<0;又②x ∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0，得x ∈(-∞,-4)时，g(x)<0恒成立，因此就需要在这个范围内f(x)有取正数的可能，即-4应该比x 1，x 2中的小根大，当m ∈（-1，0）时，-m-3<-4,此时不成立；当m=-1时，有两相等根-2，此时不成立；当m ∈（-4，-1）时，2m<-4,得m<-2. 综上可知：m ∈（-4,-2）[点评]本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数图像的开口，根的大小，涉及到指数函数的平移的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，典型的“小题大做”.三、解答题公6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x f x x-=.（1） 求f （x ）的定义域及最小正周期； （2） 求f （x ）的单调递增区间.[解析] (1)由sinx ≠0得，x ≠πk ,即函数定义域为{x |x ≠πk ,k ∈Z}(sin cos )2sin cos()sin 2cos 21)1sin 4x x x x f x x x x x π-==--=--,所以T=π(2)由πππππk x k 224222+≤-≤+-，即ππππk x k +≤≤+-838，又x ≠πk , 故单调增区间是Z k k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎢⎣⎡-83,,8πππππ [点评]本题是三角函数题，考查知识比较基础，属容易题. 16. （本小题共14分）如图1，在Rt △ABC 中，∟C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∠BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2.（1） 求证：A 1C ⊥平面BCDE ；（2） 若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3） 线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由[解析]（1）∵DE ⊥A 1D ，且DE ⊥CD,∴DE ⊥底面A 1D C, ∴DE ⊥A 1C,又因为A 1C ⊥CD, A 1C ⊥平面BCDE.(2)以C 点为坐标原点，CA 1为竖轴，CB 为横轴，CD 为纵轴建立空间直角坐标系，则C （0,0,0）M （0,1，3），=CM （0,1，3）, =BE (-1,2,0),)32,0,3(1=B A ,设平面A 1BE 的法向量为),,(111z y x =，解得)23,21,1(=n ，设所求线面角为α，sin α=4,22πα=∴(3)设点P 坐标为（m,0,0）, )32,0,(1-=m P A ,)32,2,0(1-=D A ,设平面A 1DP 的法向量为2n ，解得)63,2,1(2m m n =，又平面A 1BE 与平面A 1DP 垂直，02=∙n ，解得m=-2,故在BC 上不存在这样的点P.[点评]立体几何问题的考查往往以垂直、平行为重点，进一步考查三种角，我们可以充分利用好垂直条件，建立空间直角坐标系求解或证明.17（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c 其中a ＞0，a+b+c=600.当数据a,b,c 的方差s 2最大时，写出a,b,c 的值（结论不要求证明），并求此时s 2的值.（注：2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ,其中x 为数据x 1,x 2…，x n 的平均数）.[解析]（1）P=32600400= （2）P=1031000300=（3）a=600,b=0,c=0,方差最大值为8万[点评]本题第三问考查学生的能力很强，化简计算观察的考查非常到位. 18．（本小题共13分）已知函数f （x ）=ax 2+1（a>0）,g(x)=x 3+bx.(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值； (2) 当a 2=4b 时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值.[解析]（1）∵)1()1(g f '='∴2a=3+b ， ∵f(1)=g(1)，∴a=b ， ∴a=b=3.（2）令F(x)=f(x)+g(x)= x 3+ax 2+42a x+1∴6,20423)(2122a x a x a ax x x F -=-==++='，得由于a>0,所以-2a <-6a∴(-∞,-2π),(- 6π,+∞)为增区间，（-2π,- 6π）为减区间，F(-1)=a-42a ，F(-2a )=1，且 F(-1) ≤F(-2a) ② -2a>-1,即a<2时，最大值为F(-1)=a-42a②当-2a ≤-1，即a ≥2时，最大值为F(-1)=a-42a 或F(-2a )=1，而F(-1)=a-42a =-（2a-1）2+1≤1，所以最大值为1.[点评]本题考查的是导数中较为常规的题目，切线、单调性、极值和最值这些内容也都是学习的重点，难点在第二问中的讨论，思维含量要求很高.19．（本小题共14分）已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R)（1） 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2） 设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M 、N ,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线.[解析]（1）利用椭圆的标准方程，易解得27<m<5 (2) 由得消去y y x kx y ⎩⎨⎧=++=82422（2k 2+1）x 2-16kx+24=0 ∴1224,1216222211+=+=+k x x k k x x 直线BM 的方程为)1,23(221111+⇒+=+y x G x x y y三点共线可以用2211223x y y x k k AN AG -=+⇒=,结合韦达定理代入化简可得结论. [点评]此题难度在于运算，思维含量适中，对学生来讲易于解答.20．（本小题共13分）设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m ，n)为所有这样的数表构成的集合.对于A ∈S(m,n),记r i (A)为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m ），C j (A)为A 的第j 列各数之和（1≤j ≤n ）：记K(A)为∣r 1(A)∣,∣R 2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C 1(A)∣,∣C 2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值.（1） 对如下数表A ，求K （A ）的值；（2）设数表A ∈S （2,3）形如求K （A ）的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S （2,2t+1），求K （A ）的最大值.[解析]（1）k （A ）=0.7;[点评]本题第二、三问难度较大，不易解决，属难题.。

2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(北京卷带解析

2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(北京卷带解析

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷带解析1．已知集合={x R|3x+2>0}A ∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B =（ ） A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3-D ．(3,)+∞ 2．设不等式0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的是（ ）A ．4π B．22π- C ．6π D ．44π- 3．设,a b R∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．如图，090ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( )A. CE CB AD DB ∙=∙B. CE CB AD AB ∙=∙C. 2AD AB CD ∙= D. 2CE EB CD ∙=6．从0,2中选一个数字.从 1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．28+．30+ C ．56+．60+8．某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11A DBCE第3页共4页◎第4页共4页第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）9．直线21x ty t=+⎧⎨=--⎩(t为参数)与曲线3cos3sinxyαα=⎧⎨=⎩(“为多α数)的交点个数为10．已知{}na为等差数列，nS为其前n项和，若112a=，23S a=，则2a=nS=11．在△ABC中，若2,7a b c=+=,1cos4B=-，则b=12．在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。

2012年北京市高考压轴卷 理科数学试题

2012年北京市高考压轴卷 理科数学试题

2012年普通高校招生考试 数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若复数i x x z )1()1(2---=为纯虚数，则实数x 的值为( ) （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）1-或12．设{}213A x x =-≤，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是( ) （A ）()-∞，-1 （B ）(1]-∞-， （C ）(2)-∞-， （D ）(2]-∞-，3．已知函数⎩⎨⎧><=，，0,ln 0,)(x x x e x f x 则=)]1([e f f ( )（A ）e1（B ）e （C ）e1-（D ）e - 4．“不等式0)1(>-x x ”是“不等式11<x”成立的 ( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．已知直线l ，m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂ ，，，m γ⊥，则有( ) （A ）αγ⊥且//m β （B ）αγ⊥且l m ⊥ （C ）//m β且l m ⊥ （D ）//αβ且αγ⊥ 6．等差数列{}n a 中，10590,8S a ==，则4a =( )（A ）16 （B ）12 （C ）8 （D ）6 7．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积是12，则该几何体的俯视图可以是( )8．已知函数()f x 的定义域为[1,5]-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图，下列关于函数()f x 的命题： ①函数()y f x =是周期函数； ②函数()f x 在[0,2]上是减函数；③如果当[1,]x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点. 其中真命题的个数是( )（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．若tan 2,α=则sin cos αα= .10.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1:2:3，则购鞋尺寸在[)39.5,43.5内的顾客所占百分比为______.11.执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填12. 已知向量(1,2)a = ，(0,1)b = ，设,2u a kb v a b =+=-，若//u v ，则实数k 的值是13.设22(13)40a x dx =-+⎰，则二项式26()a x x +展开式中不含．．3x 项的系数和是14．以下正确命题的为①命题“存在R x ∈，220x x --≥”的否定是：“不存在R x ∈，220x x --<”； ②函数x x x f )21()(31-=的零点在区间11(,)32内；③在极坐标系中，极点到直线:l πsin()4ρθ+= ④函数()x x f x ee -=-的图象的切线的斜率的最大值是2-；⑤线性回归直线 y bxa =+ 恒过样本中心(),x y ，且至少过一个样本点.三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数2()sin cos f x x x x ωωω=⋅0>ω），直线1x x =，2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为4π． （I ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围.16．（本小题共13分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且.62,546-=-=S a （1）求}{a n 通项公式； （2）求数列}a {n 的前n 项和.n T17．本小题共14分乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.18．（本小题共13分）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD —A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD ，∠DAB =60°，AB =2AD ，DD′=3AD ，E 、F 分别是AB 、D′E 的中点．（Ⅰ）求证：DF ⊥CE ；（Ⅱ）求二面角A —EF —C 的余弦值．19．（本小题共14分） 已知函数()3213f x x ax bx =++()R a,b ∈. （Ⅰ）若曲线()C :y f x =经过点()12P ,，曲线C 在点P 处的切线与直线2140x y +-=垂直，求a,b 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数()()()2713g x m f x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦（m 为实常数，1m ≠±）的极大值与极小值之差；（Ⅲ）若()f x 在区间()12,内存在两个不同的极值点，求证：02a b <+<.20．（本小题共13分）已知直线1:+=x y l ，23:22=+y x O 圆,直线l 被圆截得的弦长与椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的短轴长相等,椭圆的离心率23=e(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.A 【解析】因为复数i x x z )1()1(2---=为纯虚数，所以⎩⎨⎧≠--=-0)1(012x x ，解得1-=x ，选A.2.A 【解析】集合}21{}3123{≤≤-=≤-≤-=x x x x A ，而}{a x x B >=，因为A B ⊆，所以1-<a ，选A.3.A 【解析】∵f (1e )=1ln e =—1< 0； ∴=)]1([e f f f (—1)=11e e-=. 4.C 【解析】不等式0)1(>-x x 的解为1>x 或0<x ；不等式11<x的解当0<x 时，成立，当0>x 时，得1>x ，所以不等式11<x的解为1>x 或0<x ，所以不等式0)1(>-x x ”是“不等式11<x”成立的充要条件，选C.5.B 【解析】m m αγαγ⊂⊥⇒⊥，，又l m l γ⊂⇒⊥．6.D 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，9045102910101110=+=⨯+=d a d a S ，即18921=+d a ，又8415=+=d a a ，解 得2,01==d a ，，所以6314=+=d a a ，选D. 7.C 【解析】若俯视图为A,则几何体为边长为1的正方体，所以体积为1，不满足条件；若为B,则该几何体为底面直径为1，高为1的圆柱，此时体积为ππ411)21(2=⨯，不满足条件；若为D, 几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的41部分，此时体积为ππ41141=⨯⨯，不满足条件，若为C ，该几何体为底面是直角三角形且两直角边为1，高为1的三棱柱，所以体积为211121=⨯⨯，满足条件，所以选C. 8.D 【解析】由导数图象可知，当01<<-x 或42<<x 时，0)('>x f ，函数单调递增，当20<<x 或54<<x ，0)('<x f ，函数单调递减，当0=x 和4=x ，函数取得极大值2)0(=f ，2)4(=f ，当2=x 时，函数取得极小值)2(f ,所以函数)(x f 不是周期函数，①不正确；②正确；因为在当0=x 和4=x ，函数取得极大值2)0(=f ，2)4(=f ，要使当],1[t x -∈函数)(x f 的最大值是4，当52≤≤t ，所以t 的最大值为5，所以③不正确；由a x f =)(知，因为极小值)2(f 未知，所以无法判断函数a x f y -=)(有几个零点，所以④不正确，所以真命题的个数为1个，选D.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.25 【解析】521421tan tan cos sin cos sin 222=+=+=+αααααα.10. 55% 【解析】后两个小组的频率为25.02125.02)0875.00375.0(=⨯=⨯+，所以前3个小组的频率为75.025.0-1=，又前3个小组的面积比为3:2:1，所以第三小组的频率为375.075.03213=⨯++，第四小组的频率为175.020875.0=⨯，所以购鞋尺寸在[)39.5,43.5的频率为%5555.0175.0375,0==+.11. 4 【解析】第一次运算为2,3==a b ，第二次运算为3,7==a b ，第三次运算为4,15==a b ，第四次运算为5,31==a b ，第五次运算不满足条件，输出31=b ，所以4≤a ，填4..12.12-【解析】)3,2()1,0()2,1(2=-=，)2,1()1,0()2,1(k k +=+=，因为//u v ，所以031)2(2=⨯-+k ，解得21-=k .13. 161 【解析】6)()31(203202-=-=-⎰x x dx x ，所以246-=+-=a ，二项式为62)2(xx -，展开式的通项为k kk k k k k xC xx C T )2()2()(31266261-=-=--+，令3312=-k ，即3=k ，所以33364)2(-=x C T ，所以3x 的系数为1602363-=-C ，令1=x ，得所有项的系数和为1，所以不含3x 项的系数和为161)160(1=--.14.②③④ 【解析】①命题的否定为“任意的R x ∈，220x x --<”，所以不正确；②因为x x x f )21()(31-=，又0)21()31()31(3131<-=f ，0)21()21()21(2131>-=f ，所以函数的零点在区间11(,)32，所以正确；③把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出2)1()('-≤+-=--=-x x x x ee e e xf ，当且仅当x xee 1=，即0,1==x e x 时取等号，所以正确；⑤线性回归直线 y bx a =+ 恒过样本中心(),x y ，但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为②③④.三、解答题（共6小题，共80分） 15.解：（Ⅰ）11()sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x πωωωω==+=+，由题意知，最小正周期242T ππ=⨯=，222T πππωω===，所以2ω=， ∴()sin(4)3f x x π=+（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移个8π个单位后，得到sin(4)6y x π=-的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin(2)6y x π=-的图象.()sin(2).6g x x π=-所以　令26x t π-=，∵02x π≤≤,∴566t ππ-≤≤()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，即函数()y g x =与y k =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知1122k -≤-<或1k -= ∴1122k -<≤或1k =-.16.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则由条件得⎩⎨⎧-=+-=+62645511d a d a ，解得⎩⎨⎧=-=3201d a ，所以}{n a 通项公式)1(320-+-=n a n ，则233-=n a n（2）令0233≥-n ，则323≥n ，所以，当7≤n 时，0<n a ，当8≥n 时，0>n a .所以，当7≤n 时，]23)1(20[)(2121∙-+--=+++-=+++=n n n a a a b b b T n n n n n 263232+-= n n n a a a a a b b b T ++++++-=+++= 872121)(当8≥n 时，n a a a a a a a a ++++++++++-= 8721721)(2154263232+-=n n 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-=8,154263237,2632322n n n n n n T n17.（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则334341111()C ()()2228P A -==． （Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， 乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==，所以 125()16P B P P =+=． （Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， 334341111(5)2C ()()2224P X -===， 335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=，336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=．比赛局数的分布列为：X 4 5 6 7 P18 14 516 51618.（Ⅰ）,60AD AE DAE DAE =∠=∴△为等边三角形，设1AD =，则1,2,90DE CE CD DEC ==∴∠= ，即CE DE ⊥．DD '⊥底面ABCD ， CE ⊂平面ABCD ， 'CE DD ∴⊥． ''''CE DECE DD E CE DD CE DF DF DD E DE DD D ⊥⎫⎫⊥⎪⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊆⎪⎭⎪=⎭平面平面． （Ⅱ）取AE 中点H ，则12AD AE AB ==，又60DAE ∠= ，所以△DAE 为等边三角形． 则DH AB ⊥，DH CD ⊥．分别以'DH DC DD 、、所在直线为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设1AD =，则1113(0,0,0),,0),,0),'(0,0,3),,),(0,2,0)2242D E A D F C -．133(,),(0,1,0),,0)422EF AE CE =-==- ．设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则1304420x y z y ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，取1n =．平面CEF 的法向量为2(,,)n x y z =，则13042302x y z x y ⎧-+=⎪⎪-=，取2n =．13130401320,cos 21=⋅=>=<n n α． 所以二面角A EF C --的余弦值为13-．19.解：（Ⅰ）⇒()22f x x ax b '=++，直线2140x y +-=的斜率为12-，∴曲线C 在点P 处的切线的斜率为2, ()1122f a b '∴=++=……①曲线()C :y f x =经过点()12P ,， ()1123f a b ∴=++=……②由①②得：2,37.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()32127333f x x x x =-+，∴()()232123m g x x x -=-，()()2413g x m x x ⎛⎫'∴=-- ⎪⎝⎭, 由()00g x x '=⇒=，或43x =.当210m ->，即1m ,>或1m <-时，x ，()g x '，()g x 变化如下表由表可知：()()()403g x g x g g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极大极小()()2232320118181m m ⎡⎤=---=-⎢⎥⎣⎦当210m ,-<即11m -<<时，x ，()g x '，()g x 变化如下表由表可知：()()()403g x g x g g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极大极小()()2232321018181m m =---=--综上可知：当1m ,>或1m <-时，()()g x g x -=极大极小()232181m -； 当11m -<<时，()()g x g x -=极大极小()232181m -- （Ⅲ）因为()f x 在区间()12,内存在两个极值点 ，所以()0f x '=， 即220x ax b ++=在(1,2)内有两个不等的实根．∴2(1)120,(1)(2)440,(2)12,(3)4()0.(4)f a b f a b a a b '=++>⎧⎪'=++>⎪⎨<-<⎪⎪∆=->⎩由 （1）+（3）得：0a b +>，由（4）得：2a b a a +<+，由（3）得：21a -<<-，∴2211()224a a a +=+-<，∴2ab +<．故02a b <+<20.解： (Ⅰ)则由题设可知1=b ，又23=e 2=a 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. (Ⅱ)解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=． 设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=-- 及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ 当且仅当0=⋅恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件.解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++= 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩. 由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--=8分设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+ 所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件.。

2012年高考数学压轴题19套

2012年高考数学压轴题19套

数学压轴题集1. 已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+ （1）求()F x 的单调区间； （2）若以()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立， 求实数a 的最小值；（3）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xfx ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.解：（1）()()()ln (0),aF x f x g x x x x =+=+>'221()(0)a x a F x x x x x-=-=>.………2分 因为0a>由'()0(,)F x x a >⇒∈+∞，所以()F x 在上单调递增；由'()0(0,)F x x a <⇒∈，所以()F x 在(0,)a 上单调递减. ………………………………………………………………5分 （2）''0002201()(03),()(03)2x a x a F x x k F x x x x --=<≤==≤<≤恒成立，………7分 即200max 1(),2ax x ≥-+当01x =时取得最大值12。

所以，12a≥，所以min 12a =.……10分 （3）因为xe ≥，所以ln ln 1x x x x ax a a x ≥-⇔≤-，令ln (),[,)1x x h x x e x =∈+∞-，则'2ln 1()(1)x x h x x --=-.………………………………………………………………12分 因为当xe ≥时，'1(ln 1)10x x x--=->，所以ln 1ln 120x x e e e --≥--=->，所以'()0h x >，所以min()()1e h x h e e ==-，所以 1ea e ≤-.………………………16分 2.已知数列{}na 中,11=a, a a a a ,1(12≠-=为实常数）,前n 项和n S 恒为正值，且当2≥n 时,1111+-=n n n a a S .（1）求证:数列{}nS 是等比数列；（2）设n a 与2+n a 的等差中项为A ,比较A 与1+n a 的大小；（3）设m 是给定的正整数，2=a.现按如下方法构造项数为m 2有穷数列{}n b ：当m m m k2,,2,1 ++=时，1+⋅=k k k a a b ；当m k ,,2,1 =时，12+-=k m k b b .求数列{}nb 的前n 项和为),2(*∈≤N n m n T n .解：（1）当3≥n时, Nn n n n nnS S S S a a S ---=-=+-+11111111,化简得112+-=n n n S S S )3(≥n ,又由11=a ,12-=a a 得31111a a a--=, 解得)1(3-=a a a ,∴2321,,1a S a S S ===，也满足112+-=n n n S S S ,而n S 恒为正值,∴数列{}nS 是等比数列. 4 分（2）{}nS 的首项为1，公比为a ，1-=n na S.当2≥n 时,21)1(---=-=n n n n a a S S a ,∴⎩⎨⎧≥-==-2,)1(1,12n a a n a n n . 当1=n 时,221312331333[()]222248n a a aa A a a a ++-+-=-==-+≥,此时1+>n a A .…6分当2≥n时, 12121)1(2)1()1(2--+++---+-=-+=-n nn n n n n a a a a a a a a a a A2)1(2)12()1(2322---=+--=n n a a a a a a .∵nS 恒为正值 ∴0>a 且1≠a ,若10<<a ,则01<-+n a A ,若1.>a ,则01>-+n a A .综上可得,当1=n 时, 1+>n a A ；当2≥n时，若10<<a ，则1+<n a A ，若1.>a ,则1+>n a A . 10 分（3）∵2=a∴⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n ,当m k m 21≤≤+时, 3212-+=⋅=k k k k a a b .若*∈≤N n m n ,,则由题设得1212221,,,+--===n m n m m b b b b b b=+++=+++=+--1212221n m m m n n b b b b b b T3)21(241)41(22222141341245434n m n m n m m m ----------=--=+++ .13 分 若*∈≤≤+N n m n m ,21,则n m m m n b b b T T ++++=++ 213212122142223)21(2-+---++++-=n m m m m 41)41(23)21(212214--+-=----m n m m m 3)12(2212-=-m m . 综上得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-=---m n m m n T m m n m n21,3)12(21,3)21(2212214. 16 分 3.A 是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数()x Φ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x Φ∈； ②存在常数L (01)L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212(2)(2)x x L x x Φ-Φ≤-（1）设3()1,[2,4]x x x Φ=+∈，证明：()x A Φ∈；（2）设()x A Φ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x =Φ，那么，这样的0x 是唯一的；（3）设()x A Φ∈，任取1(1,2),x ∈令1(2),1,2,,n n x x n +=Φ=证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，不等式1211k k p k L x x x x L-+-≤--成立.证明：（1）对任意3[1,2],(2)12,[1,2],x x x x ϕ∈=+∈于是333(2)5x ϕ≤≤，…………2分又331352<<<，所以(2)(1,2)x ϕ∈。