2014届高三数学(理)二轮复习练习：(九)解三角形

2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 四、三角函数与解三角形（逐题详解）第I 部分1.【2014年江西卷（理04）】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积是A.3B.239C.233 D.33【答案】C【解析】()2222222222cos 2611333cos 2222c a b b a b c ab ba b c ab C abab b abab S ab C b =-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===Q Q g g2.【2014年陕西卷（理02）】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.【2014年浙江卷（理04）】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数2sin3y x =的图象A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】C【解析】函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x 的图象向右 平移个单位，得到y==的图象．故选：C ．4.【2014年全国新课标Ⅱ（理04）】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.【2014年全国新课标Ⅰ（理08）】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B6.【2014年四川卷（理03）】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的 点向左平行移动12个单位长度得到7.【2014年全国大纲卷（03）】设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C【解析】由诱导公式可得b=cos55°=cos （90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b ＞a ，而c=tan35°=＞sin35°=b ，∴c ＞b ＞a 故选：C8.【2014年辽宁卷（理09）】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B【解析】把函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x ﹣）+]．即y=3sin （2x ﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B9.【2014年湖南卷（理09）】 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是 A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A 10.【2014年重庆卷（理10）】已知A B C ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.()162ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A【解析】已知变形为1sin 2sin[()]sin[()]2A CB AC B A +-+=--+展开整理得11sin 22cos()sin 2sin [cos cos()]22A C B A A A C B +-=⇒+-= 即112sin [cos()cos()]sin sin sin 28A CBC B A B C -++-=⇒=而22111sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 224S ab C R A R B C R A B C R ==⋅⋅⋅=⋅⋅= 故2122224R R ≤≤⇒≤≤，故338sin sin sin [8,162]abc R A B C R =⋅=∈， 排除,C D ，因为b c a +>，所以()8bc b c abc +>≥，选择A第II 部分11.【2014年天津卷（理12）】在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_____________. 【答案】14- 【解析】 因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2ac =.所以2221cos 24b c a A bc +-==-.12.【2014年山东卷（理12）】在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uu u r ，当6A π=时，ABCV 的面积为 。

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考点16 正弦定理和余弦定理1.选择题1. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T4)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )A.5B.C.2D.1【解题提示】利用三角形面积公式求得角B,然后结合条件,利用余弦定理,求得AC.【解析】选B.因为S△ABC=acsinB=·sinB=,所以sinB=,所以B=或.当B=时,经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.1.所以B=,使用余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,解得b=.故选B.二、填空题2. (2014·湖北高考文科·T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.【解析】依题意,由正弦定理知=,得出sinB=.由于0<B<π,所以B=或.答案:或【误区警示】由于解题过程中无法判断B是锐角还是钝角,所以由sinB=得到两个结果:B=或.本题的易错点是漏掉其中一个.3.(2014·广东高考理科)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=.【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,=2.方法二:如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即=2.答案:2【创新提示】熟用三角形射影定理可迅速得解.4.（2014·福建高考文科·Ｔ14）14．在中，,则等于_________【解题指南】直接应用余弦定理求解。

【高效整合篇】一．考场传真1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】函数()2s i n ()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A.2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科】在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin a B =，则角A 等于（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π3.【2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ=( )A.35 B.45 D.344.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6B.5．【2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科】在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I )理科】设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______.8.【2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科】设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ．9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷)理科】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB = 3 ，BC =1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB =12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan PBA .二．高考研究一．基础知识整合1．巧记六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限． 2．辨明常用三种函数的易误性质3．识破三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――→横坐标变为原来的1 ω倍 纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． (2)y ＝sin x ―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx ――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．5．“熟记”两个定理 (1)正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (2)余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .二．高频考点突破 考点1 三角变换与求值【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科】已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-【规律方法】此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解能力.【举一反三】【2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】已知s i n c o s 2αα-=，α∈(0，π)，则tan α= ( )A.-1 B. C. D. 1考点2 三角函数的图像与性质【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科】 已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.（I ）若α是第一象限角，且()f α=求()g α的值； （II ）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【规律方法】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查基本运算能力.解决三角函数性质有关的问题时，一是要熟记相关的结论和公式，二是要注意数形结合.【举一反三】【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的最大值．考点3 三角形中边角关系【例3】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科】设ABC ∆的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，且6,2a c b +==，7cos 9B =. （Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求()sin A B -的值.【规律方法】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由2227cos 29a c b B ac +-==求3a c ==的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求()sin A B -的过程则体现了“通性通法”的常规考查.【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科】△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值.考点4 解三角形在实际生活中应用【例4】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）理科】如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长1260m ，经测量，12cos13A=，3cos5C=.（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【规律方法】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科】如图，在等腰直角OPQ ∆中，90POQ ∠= ，OP =M 在线段PQ 上.(Ⅰ) 若OM =PM 的长；（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.三．错混辨析1.忽视函数的定义域出错【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科】已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期;(Ⅱ) 求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.2.忽视边长的固有范围【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知cos (cos )cos 0.C A A B +=（1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围.1.已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f xD ．()f x 既是奇函数，又是周期函数【题后反思】本题三角函数与导数的结合很巧妙，用导数分析函数的最值，体现在知识的交汇处命题的原则.2.已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<<>+=w wx x f 的周期为π，图象的一个对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π，将函数)(x f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个2π单位长度后得到函数)(x g 的图象.（1）求函数)(x f 与)(x g 的解析式（2）是否存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,60ππx ，使得)()(),(),(0000x g x f x g x f 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a 与正整数n ，使得)()()(x ag x f x F +=在()πn ,0内恰有2013个零点【题后反思】本题考查了三角函数的性质、恒等变换、图像以及函数的零点.将函数的所有性质依托于三角函数展示，并且对多方面能力的综合考查.属于难题，但第一问是送给学生的.。

2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（09解三角形）一、选择题：1. (2014江西文)在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ）1.9A - 1.3B .1C 7.2D【答案】D【解析】222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.(2014江西理)在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ）A.3B.239C.233D.33【答案】C【解析】()2222222222cos 2611cos 22c a b b a b c ab b a b c ab C ab ab b ab ab S ab C b =-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===Q Q g所以选C 。

3. (2014全国新课标Ⅱ理)钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC =AC =（ ） A.5【答案解析】B. 解析：∵△ABC 面积为12，1,AB BC ==∴111sin 45,135222B BB ⋅=⇒=⇒=︒︒当B=45°时，222cos 451222111BC A AC AB BC C AB ⋅︒=+-⋅=⇒=-=+此时，AC=AB=1,故A=90°，这与△ABC 为钝角三角形矛盾. 当B=135°时，222cos1352122125225AC AB B BC C A AC B =+-⋅︒=++⋅⋅⋅=⇒= 故选B.考点：考查正余弦定理的应用，中等题.4、(2014四川文)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A 、240(31)m -B 、180(21)m -C 、120(31)m -D 、30(31)m + 8、解：如图，由图可知，∠DAB=15°，∵tan15°=tan （45°﹣30°）==＝23在Rt △ADB 中，又AD=60，∴DB=AD •tan15°=60×（23=120﹣3在Rt △ADB 中，∠DAC=60°，AD=60， ∴DC=AD •tan60°3∴BC=DC ﹣3120﹣3=12031）（m ）．∴河流的宽度BC 等于12031）m ． 故选：C ． 5. (2014浙江文)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 刀枪面对而距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=， 30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ）A.530 B. 1030 C.934 D. 935 30°75°60mA6.(2014重庆理)已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A .8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤【答案】A【解析】2014-6-12qq373780592...8)(,82nC sinAsinBsi 8)(,]8,4[∈∴]2,1[∈4nC sinAsinBsi 2sin 21.1inC 8sinAsinBs ∴21inC 4sinAsinBs nA)sinBcosBsi cosAsinB 4sinAsinB(Ain 4sinBcosBs B in 4sinAcosAs cos2A)-sin2B(1cos2B)-in2A(1cos2Asin2B -sin2Acos2B -sin2B in2A 2B)sin(2A -sin2B in2A sin2C sin2B in2A ∴21-sin2C 21B)-A -sin(C sin2B sin2A C)B -sin(A sin2A 333222Δ22A c b bc R R bca c b bc A R R R C ab S s s s s ABC 所以，选别的选项可以不考虑成立对>+∴=≥==>+======+=+=+=+=++=+++=+=+=++二、填空题：7. (2014北京文)在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2、815 【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A .8.(2014福建文)在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于__________.9. (2014福建理)在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==则ABC ∆的面积等于________10. (2014广东理)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba.11．(2014湖北文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ， 所以B ＝π3或2π3.12. (2014江苏)若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是 。

解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1， 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3， 解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二 三角形的面积方法技巧 三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π， 解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三 解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12， 又因为△ABC 是锐角三角形， 所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ， 即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准 解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分 由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分 构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明 由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3， 故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解 设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°， 根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12， 所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°， 所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22， 所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12， 所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。

2014年高考题（三角函数、解三角形理科）1．2014年课标卷Ⅰ理6如图1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则)(x f y =在],0[π的图象大致为( )2．2014年课标卷Ⅰ理8若)2,0(πα∈，)2,0(πβ∈，且ββαcos sin 1tan +=，则( )A . 23πβα=-； B . 22πβα=-； C . 23πβα=+； D . 22πβα=+3．2014年课标卷Ⅰ理16已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，2=a ，且)s i n )(s i n 2(B A b -+ C b c sin )(-=，则ABC ∆面积的最大值为4．2014年课标卷Ⅱ理4 钝角三角形ABC 的面积是21，1=AB ，2=BC ，则=AC ( ) A . 5 ； B . 5 ； C . 2 ； D . 15．2014年课标卷Ⅱ理12设函数mx x f πsin 3)(=，若)(x f 存在极值点0x 满足22020)]([m x f x <+，则m 的取值范围是( )A ．),6()6,(+∞--∞ ；B ．),4()4,(+∞--∞ ；C ．),2()2,(+∞--∞ ；D ．),1()1,(+∞--∞5．2014年课标卷Ⅱ理14函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+-+=x x x f 的最大值为已知 33sin =a ， 55cos =b ， 35tan =c ，则( )A ．c b a >> ；B ．a c b >> ；C ．a b c >> ；D ．b a c >>7．2014年大纲卷理16若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2,6(ππ是减函数，则a 的取值范围是8．2014年大纲卷理17A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ， 求B ．12．2014年安徽卷理6设)(x f (R x ∈)满足x x f x f sin )()(+=+π．当0≤π<x 时，0)(=x f ，则=)623(πf ( ) A ．21 ； B ．23 ； C ．0 ； D ．21-13．2014年安徽卷理11 若将函数)42sin()(π+=x x f 的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是13．2014年安徽卷理16设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3=b ，1=c ，B A 2=． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求)4sin(π+A 的值．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=b a40．2014年广东卷理16已知函数)4sin()(π+=x A x f ，R x ∈，且23)125(=πf ．（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．11．2014年湖南卷理9已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是( )A ．65π=x ； B ．127π=x ； C ．3π=x ； D ．6π=x11．2014年湖南卷理18如图，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC ．（Ⅰ）求CAD ∠cos 的值；（Ⅱ）若CAD ∠cos ，求BE 的长．9．2014年重庆卷文13将)sin()(ϕω+=x x f (0>ω，2π-≤2πϕ<)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图象，则=)6(πf10．2014年重庆卷文18在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8=++c b a ．（Ⅰ）若2=a ，25=b ，求C cos 的值；（Ⅱ）若C A B B A sin 22c os sin 2c os sin 22=+，且AB C ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值．14．2014年江西卷理4在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若6)(22+-=b a c ，3π=C ，则ABC ∆的面积是( )A ．3 ；B ．239 ； C ．233 ； D ．3315．2014年江西卷文16已知函数)2cos()cos 2()(2θ++=x x a x f 为奇函数，且0)4(=πf ，其中R a ∈，),0(πθ∈．（Ⅰ）求a ，θ的值；（Ⅱ）若52)4(-=αf ，),2(ππα∈，求)3sin(πα+的值．16．2014年陕西卷文2函数)42cos()(π+=x x f 的最小正周期是( )A ．2π； B ．π ； C ．π2 ； D ．π417．2014年陕西卷文13设20πθ<<，向量)cos ,2(sin θθ=a ，)cos ,1(θ-=b ，若0=⋅b a ，则=θtan18．2014年陕西卷理16ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （Ⅰ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，求B cos 的最小值．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知6π=A ，1=a ，3=b ，则=B20．2014年湖北卷文18某实验室一天的温度(单位：C )随时间t (单位：h )的变化近似满足函数关系：t t t f 12sin12cos310)(ππ--=，)24,0[∈t ．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．21．2014年福建卷文7 将函数x y sin =的图象向左平移2π个单位，得到函数)(x f y =的图象，则下列说法正确的 是( )A ．)(x f y =是奇函数；B ．)(x f y =的周期为π ；C ．)(x f y =的图象关于直线2π=x 对称； D ．)(x f y =的图象关于点)0,2(π-对称22．2014年福建卷理12在ABC ∆中， 60=A ，4=AC ，32=BC ，则ABC ∆的面积等于23．2014年福建卷文18已知函数)cos (sin cos 2)(x x x x f +=，R x ∈． （Ⅰ）求)45(πf 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间．24．2014年山东卷理12在ABC ∆中，已知A tan =⋅，当6π=A 时，ABC ∆的面积为ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3=a ，36cos =A ，2π+=A B ．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．26．2014年天津卷理12在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a c b 41=-，C B sin 3sin 2=，则A cos 的值为27．2014年天津卷文16在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b c a 66=-，C B sin 6sin =．（Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）求)62cos(π-A 的值．28．2014年四川卷文8如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为 75， 30，此时气球的高是m 60，则河流的宽度BC 等于( )A ．m )13(240-；B ．m )12(180-；C ．m )13(120-；D ．m )13(30+29．2014年四川卷文17 已知函数)43sin()(π+=x x f ．（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若α是第二象限角，且απαα2cos )4cos(54)3(+=f ，求ααsin cos -的值．30．2014年北京卷文12在ABC ∆中，1=a ，2=b ，41cos =C ，则=c31．2014年北京卷理16如图，在ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC ．（Ⅰ）求BAD ∠sin 的值； （Ⅱ）求BD ，AC 的长．32．2014年辽宁卷文11将函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移函数2π个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间]127,12[ππ上单调递减；B ．在区间]127,12[ππ上单调递增；C ．在区间]3,6[ππ-上单调递减；D ．在区间]3,6[ππ-上单调递增33．2014年辽宁卷理17在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c a >．已知2=⋅，31cos =B ，3=b ．求： （Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）)cos(C B -的值．34．2014年浙江卷文4为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象( )A ．向右平移12π个单位； B ．向右平移4π个单位； C ．向左平移12π个单位； D ．向左平移4π个单位35．2014年浙江卷理18在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b a ≠，3=c ，B B A A B A cos sin 3cos sin 3cos cos 22-=-． （Ⅰ）求角C 的大小；A C B（Ⅱ）已知54sin =A ，求ABC ∆的面积．36．2014年江苏卷文5已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0>ω，0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标 为3π的交点，则ϕ的值是37．2014年江苏卷文14若ABC ∆的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是38．2014年江苏卷文15已知),2(ππα∈，55sin =α．（Ⅰ）求)4sin(απ+的值； （Ⅱ）求)265cos(απ-的值．。

1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π= C.3x π= D.6x π=2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .3. 【2014高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 .仅当2232a b =即23a b =时等号成立． 【考点】正弦定理与余弦定理，基本不等式． 4. 【2014辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增5. 【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．6. 【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B.5 C. 2 D. 17. 【2014全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.8. 【2014山东高考理第12题】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.9. 【2014四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度10. 【2014高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba.11. 【2014全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）POAM【考点定位】１．解直角三角形；2、三角函数的图象． 12. 【2014全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-= （B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=【答案】C 【解析】13. 【2014高考北京版理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .14. 【2014高考安徽卷理第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.15. 【2014高考福建卷第12题】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==,则ABC ∆的面积等于_________.16. 【2014江西高考理第4题】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ）A.3B.239 C.233 D.3317. ．【2014四川高考理第13题】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，3 1.73≈）18. 【2014浙江高考理第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位19. 【2014浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 .'0y =得，454x =-，代入()2203tan 3225x x θ-=+得，()220353tan 39225x x θ-==+，故tan θ的最大值为539． 考点：解三角形,求最值. 20．【2014重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足 C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A.8)(>+c b bc B.()162ac a b +> C.126≤≤abc D.1224abc ≤≤21. 【2014陕西高考理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π22. 【2014天津高考理第12题】在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______．23. 【2014大纲高考理第3题】设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>24. 【2014大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .25. 【2014高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B === （1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值.26. 【2014高考北京理第15题】如图，在ABC ∆中，,83B AB π∠==，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=. （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长.27. 【2014高考大纲理第17题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .【答案】135B ??． 【解析】试题分析：由题设及正弦定理得：3sin cos 2sin cos ,A C C A =从而得tan A 与tan C 的关系式，由已知tan A 的28. 【2014高考福建理第16题】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.考点：1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.29. 【2014高考广东理第16题】已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且53122f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求A 的值； （2）若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数，综合考查三角函数的求值问题，属于中等题.30. 【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；)24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ.（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ，则在哪段时间实验室需要降温？31. 【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===.(1)求cos CAD ∠的值; (2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.32.【2014高考江苏第15题】已知5sin25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，，.（1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值.33. 【2014高考江西理第16题】已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈- （1）当2,4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.【答案】（1）最大值为2,2最小值为-1. （2）1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩【解析】试题分析：（1）求三角函数最值，首先将其化为基本三角函数形式：当2,4a πθ==时，22()sin()2cos()sin cos 2sin sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+-=-，再结合基本三角函数性质求最34. 【2014高考辽宁理第17题】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果.35. 【2014高考山东卷第16题】已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间. 【答案】（I ）3,1m n ==.（II ）函数()y g x =的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ-∈.【解析】试题分析：（1）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =∙=+.根据()y f x =的图象过点(,3)12π和2(,2)3π-，得到3sin cos 66442sin cos33m n m n ππππ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩， 解得3,1m n ==.（2）由（1）知：()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+.由题意知：()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++，36. 【2014高考陕西第16题】ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.时等号成立），即得2211cos 222a c B ac +=-≥，所以B cos 的最小值为1237. 【2014高考上海理科第题】函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .38. 【2014高考上海理科第21题】如图，某公司要在AB 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和. （1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？39. 【2014高考上海理科第12题】设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .【答案】73π 【解析】原方程可变为2sin()3a x π=+，如图作出函数2sin(),[0,2]3y x x ππ=+∈的图象，再作直线y a =，从图象可知函数2sin(),[0,2]3y x x ππ=+∈在[0,]6π上递增，7[,]66ππ上递减，在7[,2]6ππ上递增，只有当3a =时，直线y a =与函数2sin(),[0,2]3y x x ππ=+∈的图象有三个交点，10x =，23x π=，32x π=，所以12373x x x π++=．【考点】解三角方程，方程的解与函数图象的交点． 40. 【2014高考四川第16题】已知函数()sin(3)4f x x π=+.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值.若sin cos 0αα+≠，则2451(cos sin )cos sin 52αααα=-⇒-=-. 【考41.【2014高考天津第15题】已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫，∴函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-． 考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性． 【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.42.【2014高考浙江理第18题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B =（I ）求角C 的大小； （II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.（II ）由3c =，4sin 5A =，sin sin a c A C =得85a =，由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故43.【2014高考重庆理科第17题】已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.试题解析：解：（I ）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==.。

2012届高考数学二轮复习资料 专题四 三角函数（学生版）【考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.(6)构造辅助角(以特殊角为主):sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=.3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点；(2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破; (3)求对称轴方程:令x ωϕ+=2k ππ+()k Z ∈,求对称中心: 令x ωϕ+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22k x ππωϕ-≤+≤22k ππ+()k Z ∈;22k x ππωϕ+≤+≤322k ππ+()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】考点1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.例1.已知函数f (x )=)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且3cos ,5a f a =求（）.练习1: （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0，2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于( )A.2B. 3C.D.考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题. 例 2.(2011年高考天津卷文科7)已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则( )A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 练习2.(2011年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f考点3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.（2009年高考江苏卷第15题）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b.练习3.（天津市十二区县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分）已知向量2,1),(cos ,cos )444x x x m n == ， ()f x m n =⋅ ．（I ）若()1f x =,求cos()3x π+值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=， 求函数()f A 的取值范围.考点4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 例4. (2011年高考安徽卷文科16) 在 ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，，，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.练习4. （2011年高考山东卷文科17)在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （I ） 求sin sin CA的值；（II ） 若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【易错专区】1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为( )（A ） 2. (2011年高考山东卷理科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=( )（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）233.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数()s i n (2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是( )（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 4.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos 2则ba=（ ）(A) (B) (C)5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)796.(2011年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ）（A （B ）（C （D ）7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ） A 54-B 53-C 32D 43 8. (2011年高考全国新课标卷理科11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） （A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C 的值为（ ）A ．3 B ．6C ．3 D ．610．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为( )A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈11．(2011年高考陕西卷理科6)函数()cos f x x =在[0,)+∞内( )（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两一个零点（D ）有无穷个零点12.(2011年高考重庆卷理科6)若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为( )（A ）43(B) 8-(C)1 (D) 2313. (2011年高考四川卷理科6)在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是( ) (A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3π，π) 14.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f （x ）=Atan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.15.(2011年高考安徽卷理科14)已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________16. (2011年高考全国新课标卷理科16)在ABC ∆中，60,B AC ==2AB BC+的最大值为 。

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时同角三角函数的基本关系式页)1. (必修4P 16例1改编)α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________．答案：817解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sin α＝817.2. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝________． 答案：－12解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos(17π＋π3)＝－cos π3＝－12.3. sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________． 答案：2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.4. (必修4P 21例题4改编)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos[π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜ －π12.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＝－223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.5. (必修4P 22习题9(1)改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos ()π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝__________．答案：－2解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝cos θ－（－cos θ）cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2) 商数关系：tan α＝sin αcos α.2. 诱导公式记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． [备课札记]题型1 同角三角函数的基本关系式例1 (必修4P 23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1) 求tan α的值； (2) 将1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 解：(1) (解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①，sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理，得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵ α是三角形内角，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(解法2)∵ sin α＋cos α＝15，∴ (sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴ 2sin αcos α＝－2425，∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵ sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴ sin α>0，cos α<0.∵ sin α－cos α>0，∴ sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(2) 1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵ tan α＝－43，∴ 1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.变式训练已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0，2π)．(1) 求sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值；(2) 求m 的值；(3) 求方程的两根及此时θ的值． 解：(1) 由韦达定理可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①，sin θ·cos θ＝m2②，而sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝ sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2) 由①两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，将②代入得m ＝32. (3) 当m ＝32时，原方程变为2x 2－(1＋3)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.∵ θ∈(0，2π)，∴ θ＝π6或π3. 例2 (必修4P 23第10(2)题改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝(（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α)(（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α)＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简：cos α2·1－sinα21＋sinα2＋sin α2·1＋cosα21－cosα2＝________． 答案：±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 解析：∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角． 又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角． ∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第四象限角，∴原式＝±2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin （π－α）＋5cos （2π－α）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin （－α）的值．解：∵ sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴ －sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴ sin α＝－2cos α，且cos α≠0. ∴ 原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.备选变式（教师专享）已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1) sin(2π－α)；(2) sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n∈Z )．解：∵ cos(π＋α)＝－12，∴ －cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，∴ sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32.(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.1. (2013·广东文)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________． 答案：15解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2. 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)＝________． 答案：－12解析：由条件，知π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴ a 5＝π3，∴ cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－12. 3. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________．答案：－24解析：因为sin α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－19＝－223，从而tan α＝－24. 4. 已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos(α－π6)＝____________．答案：0解析：依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝cos π2＝0.1. 已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15.(1) 求sinx －cosx 的值； (2) 求tanx 的值．解：(1) ∵ sinx ＋cosx ＝15，∴ 1＋2sinxcosx ＝125，∴ 2sinxcosx ＝－2425，又∵ 0<x<π，∴ sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴ cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴ sinx －cosx ＝1－2sinxcosx ＝75.(2) sinx ＋cosx sinx －cosx ＝17，tanx ＋1tanx －1＝17，tanx ＝－43.2. 已知3cos 2(π＋x)＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，求6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)的值．解：由已知得3cos 2x ＋5sinx ＝1，即3sin 2x －5sinx －2＝0，解得sinx ＝－13或sinx ＝2(舍去)．这时cos 2x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝89，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝18，故6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋4×18－3×89＝－256.3. 已知在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝15.(1) 求sinA·cosA；(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3) 求tanA 的值．解：(1) 因为 sinA ＋cosA ＝15①，两边平方得1＋2sinAcosA ＝125，所以sinA·cosA＝－1225. (2) 由(1) sinAcosA ＝－1225<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A 为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(3) (sinA －cosA)2＝1－2sinAcosA ＝1＋2425＝4925.又sinA>0，cosA<0，sinA －cosA>0， 所以sinA －cosA ＝75②，所以由①，②可得sinA ＝45，cosA ＝－35，则tanA ＝sinA cosA ＝45－35＝－43.4. 已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π；② 转化为锐角．3. 在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。

精选题库试题理数1. (2014 纲领全国 ,11,5 分 )已知二面角α-l-β为60°,AB ?α ,AB⊥ l,A为垂足 ,CD ? β,C∈ l, ∠ACD=135° ,则异面直线AB 与 CD 所成角的余弦值为()A. B. C. D.1.B1.依题意作图 ,平移 CD 至 AD', 作 AE ⊥ l,且 D'E∥ l,连接 BE,BD', 则 D'E⊥面 BAE, 则∠EAB=60° ,∠ D'AE=45°,设 AB=1,AE=1, 则 BE=1,D'E=1,D'A=.在 Rt△ BED' 中 ,BD'=.∴ cos∠ BAD'===,即异面直线AB 与 CD 所成角的余弦值为.应选 B.2. (2014 重庆 ,10,5 分 )已知△ ABC 的内角 A,B,C 知足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积 S知足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边 ,则以下不等式必定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6 ≤ abc ≤ 12D.12 ≤ abc ≤ 242.A2.设△ABC 的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=π-B,A+B= π-C.于是 sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+? sin 2A+sin 2B=-sin 2C+? sin 2A+sin 2B+sin2C= ? 2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=? 2sin C= ? 4sin Asin Bsin C=? sin Asin BsinC= .则 S= absin C=2R 2·sin Asin Bsin C= R2∈ ,∴R∈ ,∴ abc=8R3sin Asin Bsin C=R3∈ ,知 C、D 均不正确 ,bc(b+c)>bc ·a=R3≥ 8,∴A 正确 .事实上 ,注意到 a、b、c 的无序性 ,而且 16>8,若 B 成立 ,A 必定成立 ,清除 B.应选 A.3.(2014 江西 ,4,5 分 )在△ ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c.若 c2 =(a-b) 2+6,C=,则△ ABC 的面积是 ()A.3B.C.D.33.C3.c2=(a-b) 2+6, 即 c2=a2 +b2-2ab+6① .∵ C= ,由余弦定理得c2=a2+b2-ab② ,由①和②得ab=6,∴ S△ABC = absin C=×6×=,应选 C.4.(2014 课标全国卷Ⅱ ,11,5 分 )直三棱柱 ABC-A 1B 1C1中,∠ BCA=90° ,M,N 分别是 A 1B1,A 1C1的中点 ,BC=CA=CC 1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为()A. B. C. D.4.C4.解法一 :取 BC 的中点 Q,连接 QN,AQ, 易知 BM ∥QN, 则∠ ANQ 即为所求 ,设 BC=CA=CC 1=2,则 AQ=,AN=,QN=,∴ cos∠ ANQ====,应选 C.解法二 :以 C1为坐标原点 ,成立如下图的空间直角坐标系,设 BC=CA=CC 1=2,则 A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),∴=(-1,0,-2),=(1,-1,-2),∴ cos<,>====,应选 C.5.(2014 课标全国卷Ⅱ ,4,5 分 )钝角三角形ABC 的面积是,AB=1,BC=,则 AC=()A.5B.5.B5.S△ABC =AB·BCsin B=×1×sin B=,∴ sin B=,若B=45°,则由余弦定理得AC=1, ∴△ ABC为直角三角形,不切合题意,所以B=135°,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BCcos B=1+2-2×1××=5, ∴ AC=.应选 B.6.（ 2014 重庆一中高三放学期第一次月考，10）（原创）已知分别是的三边上的点，且知足，，，，.则（）（ A ）（ B）（ C）（ D）6. D6.因为＝，∴；又因为，可得, 所以DE ⊥ AC;，则可得, 所以可得.7. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，9) 向边长分别为的三角形地区内随机投一点，则该点与三角形三个极点距离都大于 1 的概率为（）A． B. C. D.7.A7.设△ ABC的三边AB=5，BC=6，AC=. 依据余弦定理可得，又因为∠ B ∈（ 0，π），所以. 所以△ ABC 的面积为. 而在△ ABC 的内部且离点 A 距离小于等于 1 的点组成的地区的面积为，同理可得在△ABC的内部且离点 B、C 距离小于等于 1 的点组成的地区的面积分别为，，所以在△ ABC 内部，且与三角形三个极点距离都大于 1 的平面地区的面积为，依据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.8.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 6) 已知，是椭圆两个焦点， P 在椭圆上，，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为( )(A)(B)(C)（D）8.A8.在中，由余弦定理可得：，反解得，又因为的面积为，因为当时面积最大，故的最大角为，所以可得a=2b，又因为 c=3，所以可得，椭圆方程为.9.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试， 10) 如图，半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD ，它的下底 AB 是⊙ O 的直径，上底 CD 的端点在圆周上．若双曲线以 A ，B 为焦点，且过 C，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为9. D9.分别过点作的垂线，垂足分别为，连接, 设,则＝, 等腰梯形的周长,令则，所以，，所以，当即，,此时，,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长. 应选D.10. (2014 四川 ,13,5 分)如图 ,从气球 A 上测得正前面的河流的两岸B,C 的俯角分别为67°,30 °,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC 约等于 ________m.( 用四舍五入法将结果精准到个位.参照数据 :sin 67°≈ 0.92,cos 67°≈ 0.39,sin 37°≈ 0.60,cos 37≈°≈1.73)0.80,10.6010.不如设气球 A 在地面的投影为点D,则 AD=46, 于是BD=AD· tan(90 -°67 °)=46 ×=19.5,DC=AD ·tan(90 -°30 °)=46 ×≈79.6,∴ BC=DC-BD=79. 6-19.5 ≈ 60(m).11. (2014 广东 ,12,5 分)在△ ABC 中 ,角 A,B,C 所对应的边分别为a,b,c.已知 bcos C+ccos B=2b,则=________.11.211.利用余弦定理 ,将 bcos C+ccos B=2b 转变为 b·+c ·=2b,化简得=2.12. (2014 福建 ,12,4 分)在△ ABC 中 ,A=60 °,AC=4,BC=2,则△ ABC 的面积等于 ________.12.212.由=,得 sin B=sin A=×=1,∴ B=90°,故 C=30°,∴ S△ABC = AC·BCsin C=×4×2×=2.13.(2014 江苏 ,14,5 分)若△ ABC 的内角知足sin A+sin B=2sin C, 则 cos C 的最小值是________.13.13.∵ sin A+sin B=2sin C,由正弦定理得a+b=2c,∴ cos C====≥=,当且仅当a= b 时等号成立 ,故 cos C 的最小值为.14.(2014 天津 ,12,5 分 )在△ ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知 b-c= a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为 ________.14.-14.由 2sin B=3sin C 得 2b=3c, 即 b= c,代入 b-c= a,整理得 a=2c,故 cosA===-.15.(2014 课表全国Ⅰ， 16，5 分 )已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边 ,a=2,且 (2+b)(sinA-sin B)=(c-b)sin C, 则△ ABC 面积的最大值为________.15.15.因为 a=2,所以 (2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理222可得 (a+b)(a-b)=(c-b)c, 即 b+c -a =bc,由余弦定理可得 cos A=== ,又 0<A<π,故 A= ,又 cos A= =≥,所以 bc≤4,当且仅当b=c 时取等号 ,由三角形面积公式知 S△ABC = bcsin A=bc ·=bc ≤,故△ABC 面积的最大值为.16. (2014 安徽合肥高三第二次质量检测，15)中，角所对的边分别为，以下命题正确的选项是________（写出正确命题的编号）.①总存在某内角，使②若，则③存在某钝角，有；④若，则的最小角小于；⑤若，则.16.①④⑤16.在中，当时，，所以①正确；当时，，知足，不满足，故②错误；设为钝角，则，所以，故③错误；因为，所以，所以，因为与是一组基底，所以，所以，由余弦定理求得，故④正确；若，则，正确，因为在三角形中大边所对的角较大.故正确的选项是①④⑤ .17. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，16) 在中，内角所对的边长分别为，已知角为锐角,且，则实数范围为 ________.17.17.因为，由正弦定理，所以，即，又角为锐角，所以，所以，所以，即，，解得或，故的取值范围是.18.(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，13) 在△中，三个内角，，所对的边分别为，，，若,则=.18.18.由正弦定理，，所以，即，∴19. (2014 周宁、政和一中第四次联考，13) 在中，角所对的边分别为.若，则.19.119.由及正弦定理得，.20.(2014 江苏苏北四市高三期末统考别在边上，且，, 13) 在平面四边形中，已知．若向量与的夹角为，则，，点的值为分▲．20.720.如下图，设直线与订交于，由题意知，令，则由，可得，，故为等边三角形，在中，由余弦定理求得，，，，21.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 9)在△中，已知，，且的面积为，则边长为▲．21.721.，，，由余弦定理得，.22. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量展望面，各极点都在同一球面上，若该棱柱的体积为, 15)已知三棱柱.的侧棱垂直于底，则此球的表面积等于 _________.22.22.三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，解得，依据余弦定理得，，外接球的半径为，球的表面积为23. (2014 纲领全国 ,17,10 分 )△ ABC 的内角 A 、B、C.的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccosA,tan A=,求 B.23.查察分析23.由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故 3tan Acos C=2sin C,因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C,tan C=.(6 分 )所以 tan B=tan=-tan(A+C)=(8 分)=-1,即 B=135°.(10 分 )24. (2014 湖南 ,18,12 分 )如图 ,在平面四边形ABCD 中 ,AD=1,CD=2,AC=. (Ⅰ )求 cos∠ CAD 的值 ;(Ⅱ )若 cos∠ BAD=-,sin∠ CBA=,求 BC 的长 .24.查察分析24.(Ⅰ )在△ADC 中 ,由余弦定理 ,得cos∠ CAD===.(Ⅱ )设∠ BAC=α,则α=∠ BAD- ∠ CAD.因为 cos∠CAD=,cos∠ BAD=-,所以 sin∠ CAD===,sin∠BAD===.于是 sinα=sin(∠BAD-∠ CAD)=sin ∠BADcos ∠CAD-cos ∠BADsin ∠ CAD=×-×=.在△ ABC 中 ,由正弦定理 ,得=,故 BC===3.25. (2014 陕西 ,16,12 分 )△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c. (Ⅰ )若 a,b,c 成等差数列 ,证明 :sin A+sin C=2sin(A+C);(Ⅱ )若 a,b,c 成等比数列 ,求 cos B 的最小值 .25.查察分析25.(Ⅰ )∵ a,b,c 成等差数列 ,∴ a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(Ⅱ )∵ a,b,c 成等比数列 ,∴b2=ac.由余弦定理得cos B==≥=,当且仅当a=c 时等号成立 .∴ cos B 的最小值为.26.(2014 安徽 ,16,12 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (Ⅰ )求 a 的值 ;(Ⅱ )求 sin的值.26.查察分析26.(Ⅰ )因为 A=2B, 所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·.因为 b=3,c=1, 所以 a2=12,a=2.(Ⅱ )由余弦定理得cos A===-.因为 0<A<π,所以 sin A===.故 sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.27.(2014 浙江 ,18,14 分)在△ ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠ b,c= ,cos2A-cos 2B=sin Acos A-sin Bcos B.(Ⅰ )求角 C 的大小 ;(Ⅱ )若 sin A=,求△ABC 的面积 .27.查察分析27.(Ⅰ )由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由 a≠b,得 A≠B,又 A+B ∈ (0, π得),2A- +2B- =π,即 A+B=,所以C=.(Ⅱ )由 c=,sin A=,=,得 a=,由 a<c,得 A<C. 进而 cos A=,故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以 ,△ABC 的面积为S= acsin B=.28.(2014 辽宁 ,17,12 分 )在△ ABC 中 ,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 a>c.已知·=2,cos B= ,b=3.求 :(Ⅰ )a 和 c 的值 ;(Ⅱ )cos(B-C) 的值 .28.查察分析28.(Ⅰ )由·=2 得 c·acos B=2,又 cos B= ,所以 ac=6.由余弦定理 ,得 a2+c2=b2+2accos B.又 b=3,所以 a2+c2=9+2 ×2=13.解得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.因 a>c,所以 a=3,c=2.(Ⅱ )在△ ABC 中 ,sin B===,由正弦定理 ,得 sin C= sin B=×=.因 a=b>c,所以 C 为锐角 ,所以 cos C===.于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= ×+×=.29.(2014 北京 ,15,13 分)如图 ,在△ABC 中 ,∠ B= ,AB=8, 点 D 在 BC 边上 ,且CD=2,cos ∠ ADC=.(Ⅰ )求 sin∠ BAD;(Ⅱ )求 BD,AC 的长 .29.查察分析29.(Ⅰ )在△ADC 中 ,因为 cos∠ ADC=,所以 sin∠ ADC=.所以 sin∠ BAD=sin( ∠ADC- ∠ B)=sin ∠ADCcos B-cos ∠ ADCsin B=×-×=.(Ⅱ )在△ ABD 中 ,由正弦定理得BD===3.在△ ABC 中 ,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC·cos B22=8 +5 -2 ×8×5× =49.所以 AC=7.30.（ 2014 重庆一中高三放学期第一次月考，20）（原创）在中，内角、、的对边分别是、、，且。

2014年解三角形与三角函数高考真题 一选择题1.【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π=2.【2014辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 3.【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B.5 C. 2 D. 14. 【2014四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度5.【2014全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）6.2014全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-=（B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=7.【2014江西高考理第4题】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ）A.3B.239 C.233 D.33 8.【2014浙江高考理第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位9.【2014陕西高考理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 二．填空题1.【2014大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .2.【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .3.【2014高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 .4.【2014天津高考理第12题】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b ca ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为_______．5.【2014高考福建卷第12题】在ABC ∆中，60,4,A AC BC =︒==则ABC ∆的面积等于_________.6. 【2014高考安徽卷理第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是_______7. 【2014高考北京版理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为【2014高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 8.【2014山东高考理第12题】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC∆的面积为________.9.【2014全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为________10.【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________． 三．解答题1. (2014重庆)（本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα的值.2. (2014江苏) (本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.3.(2014天津)（本小题满分13分）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.4.（2014福建）（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.5.(2014山东)（本小题满分12分）已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.6.（2014大纲）（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .7.(2014陕西)（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.。

2014年高考数学（理）二轮复习精品资料-高效整合篇专题03三角函数与解三角形（预测）解析版Word 版含解析（一） 选择题（12*5=60分）1.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试理科】已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=（ ）A ．13-B ．23-C ．13D ．232.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向 右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（ ） .A sin 2y x = .B cos 2y x = .C 2sin(2)3y x π=+.D sin(2)6y x π=-3.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】已知cos 23θ=，则44sin cos θθ-的值为 （ ）A3 B 3- C 1811 D 29-【解析】4.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（理）】已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．15[,]24B ．17[,]24C ．39[,]44D ．37[,]245.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度6.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试理】函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是 （ ） A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ7.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．1()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()4sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．13()4sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】若sin()3πα-=-且3(,)2παπ∈，则sin()22πα+=（ ）A ．3-B ．6-C ．6．3得9.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递减函数10.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为（ ）A ．()g x x =B ．()g x x =C ．3())4g x x π=-D ．()4g x x =11.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A.(sin )(cos )f f αβ>B.(sin )(cos )f f αβ<C.(cos )(cos )f f αβ<D.(cos )(cos )f f αβ>12.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（理）】已知方程sin xk x=在()0,+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，则下列结论正确的是（ ）A.2sin 22cos ααα=B.2cos 22sin ααα= C.2sin 22cos βββ=D.2cos 22sin βββ=（二）填空题（4*5=20分）13.【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】函数()2sin()4f x x π=-，[,0]x π∈-的单调递减区间单间为__________．14.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】在△ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b15.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】已知2242-=--)sin()cos(πααπ，则_______sin cos =+αα.16.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：①19211124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若12()()f x f x =-，则12x x =-.③()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. ④将函数()f x 的图象向右平移34π个单位可得到1cos22y x =的图象. ⑤()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称． 其中正确说法的序号是 .（二） 解答题（10+5*12=70分）17. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知函数(i n c o s )()2c o s ,x f x x x x R -=∈．(I)求函数()f x 图像的对称中心；(Ⅱ)求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的最小值和最大值故函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ1，最小值为－2．18.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（理）】已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图3所示.（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若123f απ⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.试题解析：（1）由图象知，()max 2f x A ==，19.[山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x R π=-+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =，2a b c =+，18bc =.求a 的值.12cos 2sin(2)226x x x π=+=+…………………………………………3分20.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图像经过点(,1)M π-．（1）求()f x 的解析式；（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且3()5f A =，5()13f B =-，求()f C 的值．21.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,A C B C 的长．由①②解得6,6AC BC ==． …………………12分22.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知函数2()cos cos ()f x x x x m m R =-+∈的图像过点(,0)12M π. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图像各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数()g x 的图像.若,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，4a c +=，且当x B =时，()g x 取得最大值，求b 的取值范围.由226222πππππ+≤-≤-k x k ，k Z ∈，得36ππππ+≤≤-k x k ，（四）附加题（15分）23.如图4所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（1）设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.【解析】。

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数的图象和性质1. (必修4P 25练习2改编)函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________． 答案：4π解析：函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的最小正周期为T ＝2π12＝4π. 2. (必修4P 39第2题改编)将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动 π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 解析：∵ 向右平移π10个单位，∴ 用x －π10代替y ＝sinx 中的x ；∵ 各点横坐标伸长到原来的2倍，∴ 用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴ y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.3. (必修4P 45第9题改编)如图，它表示电流I ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin(ωt ＋φ)的解析式为________________．答案：I ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π3t ＋π3解析：由图可知A ＝3，ω＝100π3.代入⎝ ⎛⎭⎪⎫150，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫120，0，解得φ＝π3，于是I ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π3t ＋π3.4. (必修4P 32练习6改编)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调递增区间是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )解析：－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k∈Z )，所求单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )．5. (必修4P 32第5题改编)函数y ＝2sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．答案：[1，2]解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|2. 三角函数的图象和性质“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、 ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、 ⎛⎭⎪⎫3π2，－1、 (2π，0)．余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记]题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 (2013·南京三模)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：23解析：由图象可知函数的四分之三周期为15π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＝34T ，T ＝3π，ω＝2π3π＝23.变式训练已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：3解析：由图知，A ＝2，将(0，2)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2代入函数，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12w ＋φ＝2，2sin φ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧φ＝π4，ω＝3.题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6(x∈R )的图象，只需把函数y ＝2sinx (x∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？解：y ＝2sinx 用6x p +代替x ，左移 6p个单位 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6再用3p 代替x ，各点横坐标伸长到原来的3倍。

2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)D即249255ACAC=++，整理得25240AC AC +-=，由于0AC >，解得3AC =，由正弦定理得sin 3sin sin sin 5AC AB B AC B C C AB =⇒==. 考点：1.余弦定理；2.正弦定理8.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】若tan()2πα-=，则sin 2α= .9.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则AC = .10.已知}{n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则)cos(82a a +的值为________.【答案】12-. 【解析】试题分析：由于数列{}na 为等差数列，所以159538a a a a π++==，所以1951623a aa π+==，故 ()19161cos coscos 5cos 3332a a ππππ⎛⎫+==+=-=- ⎪⎝⎭.考点：1.等差数列的性质；2.诱导公式二．能力题组1.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：①()sin cos f x x x =； ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ③()sin 3cos f x x x=+； ④()2sin 21f x x =+．其中“同簇函数”的是 （ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x xx+=-（ ）A.2875-B.2875C.21100- D.211003.在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量()2224,p a b c =+-，()1,q S =满足//p q ，则C ∠= .考点：1.平面向量共线；2.三角形的面积公式；3.余弦定理；4.同角三角函数的商数关系4.下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5；③把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得xy 2sin 3=的图象；④函数)2sin(π-=x y 在),0(π上是减函数. 其中真命题的序号是5.数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-()2,3,4,n =，若数列{}na 有一个形如()3sin na n ωϕ=+12+的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .三．拔高题组1.在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2,60c C ==.（1）求sin sin a bA B++的值； （2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆．ABC S ∆=1sin 2ab C 计算ABC ∆的面积.2.已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos )a x xb x x ==-，(1,0)c =-（1）若,,6x a c π=求向量的夹角; （2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数)(x f =b a ⋅2+1的最大值.试题解析：（1）当6x π=时，31(,)2a = cos ,||||a ca c a c <>=3=0,a c π≤<>≤ 5,6a c π∴<>的夹角为；3.已知向量)1,(sin ),31cos ,3(x b x a =-=，函数ba x f•=)(.将函数()yf x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移3π个单位，得到函数()yg x 的图象.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若ba ⊥,求()yg x 的值.试题解析：（1）31cos sin 3)(-+=•=x x b a x f=31)6sin(2-+πx ， )(22622Z k k x k ∈+≤+≤-∴πππππ4.设()6cos ,3a x =-，()cos ,sin 2b x x =，()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合；（2）若锐角α满足()323f α=-，求4tan 5α的值.()23236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用相关公式求出函数()f x 的最小正周期，并令226x k ππ+= ()k Z ∈求出函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合；（2）先利用已知条件()323f α=-并结合角α为锐角这一条件求出角α的值，并最终求出4tan 5α的值.5.如图，已知点()3,4A ，()2,0C ，点O 为坐标原点，点B 在第二象限，且3OB =，记AOC θ∠=. （1）求sin 2θ的值；（2）若7AB =，求BOC ∆的面积.考点：1.三角函数的定义；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.两角和的正弦公式；5.三角形的面积6.已知函数()()=-f x x x x2sin cos sin.（1）当0xπ<<时，求()f x的最大值及相应的x值；（2）利用函数siny x=的图象经过怎样的变换得到()f x的图象.方法2：把函数sin=图象上的点横坐标变为原来y x的12倍，7.已知函数(3sin 2cos 2f x x x=-）.（1）求函数()f x 的最小正周期和最值； （2）求函数()f x 的单调递减区间．（2）由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ， 得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ，∴单调递减区间为)](65,3[z kk k ∈++ππππ. 考点：1.辅助角公式；2.三角函数的周期；3.三角函数的最值；4.三角函数的单调区间8.已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且sin 3cos b A a B =.（1）求角B 的大小；（2）若2()3sin cos cos f x x x x =+，求()f A 的最大值.9.已知(22cos 3a x =，()1,sin 2b x =，函数()1f x a b =⋅-，()21g x b =-.（1）求函数()g x 的零点的集合；（2）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间.【答案】（1）函数()g x 的零点的集合是,2k x x k Z π⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； （2）函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】10.在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =设内角B x =，ABC ∆的面积为y .（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的值域.（2）203x π<<，72666x πππ∴-<-<，故1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， ()033f x ∴<≤，即函数()f x 的值域为(0,33.考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值 11.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若),2,0(,1)62(πθπθ∈=+f 求).4cos(πθ-试题解析：（1）由图象知2A =()f x 的最小正周期54()126T πππ=⨯-=,故22Tπω== 将点(,2)6π代入()f x 的解析式得sin()13πϕ+=,又||2πϕ<, ∴6πϕ= 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+； （2）()2sin(2)6f x x π=+，2sin 2()2sin 2cos 1262662f θπθπππθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭13cos 0sin 22πθθθ⎛⎫∴=∈= ⎪⎝⎭又，所以62cos cos cos sin sin 444πππθθθ+⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭.考点：1.三角函数的图象；2.同角三角函数的平方关系；3.两角差的余弦公式12.已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求54f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，103213f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()6325f βπ+=，求()cos αβ+的值.所以()1235416cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式13.设向量()6cos ,3a x =-，()cos ,sin 2b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若23a =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大、最小值.考点：1.平面向量模的计算；2.平面向量的数量积；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值。

⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。