武汉科技大学_信号与系统习题精解第9章

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武汉科技大学-信号与系统习题精解第1章

第1章信号及信号的时域分析1.1本章要点本章在时域范围内讨论信号的分类和信号的基本运算，通过本章的学习，读者应该了解信号的各种分类、定义及相关波形；了解各类常用信号及其性质，掌握几种奇异信号的特性及运算方法；了解和掌握信号的基本运算方法，深刻理解卷积与输入、输出信号和系统之间的物理关系及其性质，为后续课程打下牢固的基础。

1、信号的分类（1）连续信号与离散信号一个信号，如果在连续时间范围内(除有限个间断点外)有定义，就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。

仅在离散时间点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。

（2）确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。

即给定某一时间值，就能得到一个确定的信号值。

随机信号是时间的随机函数，即给定某一时间值，其函数值并不确定的信号。

（3）周期信号与非周期信号对于连续信号)(t f ，若存在0>T ，使得)()(t f rT t f =+，r 为整数，则称)(t f 为周期信号；对于离散信号)(n f ，若存在大于零的整数N ，使得)()(n f rN n f =+，r 为整数，则称)(n f 为周期信号。

不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。

① 几个周期信号相加而成的信号的周期问题几个周期信号相加，所产生的信号可能是周期信号，也可能是非周期信号，这主要取决于几个周期信号的周期之间是否存在最小公倍数0T 。

以周期分别为1T 、2T （角频率分别为21,ΩΩ）的两个信号相加产生的信号()t f 为例，如果===ΩΩ211221n n T T 有理数，21,n n 均为整数，则()t f 为周期信号，其周期0T 为 22112211022Ω=Ω===ππn n T n T n T （1-1） ② 离散正（余）弦信号的周期问题时域连续的正（余）弦信号一定是周期信号，但时域离散的正（余）弦信号不一定是周期信号，要求周期N 为正整数。

《信号与系统》课后习题参考答案

《信号与系统》课后习题参考答案第二章连续信号与系统的时域分析2-9、（1）解：∵系统的微分方程为：)(2)(3)(t e t r t r '=+'，∴r(t)的阶数与e(t) 的阶数相等，则h(t)应包含一个)(t δ项。

又∵系统的特征方程为：03=+α，∴特征根3-=α∴)()(2)(3t u Ae t t h t -+=δ∴)]()(3[)(2)(33t e t u e A t t h t t δδ--+-+'=')()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'=-将)(t h 和)(t h '代入微分方程（此时e(t)= )(t δ），得：)()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'-+3)(2)]()(2[3t t u Ae t t δδ'=+-∴A=-6则系统的冲激响应)(6)(2)(3t u et t h t --=δ。

∴⎰⎰∞--∞--==t td ue d h t g τττδτττ)](6)(2[)()(3⎰∞-=t d ττδ)(2⎰∞---t d u e τττ)(63 )()(6)(203t u d e u t t ⎰-∞--=τττ )()3(6)(203t u e t u t --=-τ)()1(2)(23t u e t u t -+=- )(23t u e t -=则系统的阶跃响应)(2)(3t u et g t -=。

2-11、解：①求)(t r zi ： ∵系统的特征方程为：0)3)(2(652=++=++αααα，∴特征根：21-=α，32-=α ∴t t zi e C eC t r 3221)(--+= (t ≥0) ②求)(t r zs ：t t e A eA t h 3221)(--+= (t ≥0)，可求得：11=A ，12-=A （求解过程略） ∴)()()(32t u e e t h t t ---=∴)(*)()(*)()]()[(*)()(*)()(3232t u e t u e t u e t u e t u e e t u e t h t e t r t t t t t t t zs --------=-==)()2121()()(21)()(3232t u e e e t u e e t u e e t t t t t t t -------+-=---= ③求)(t r ：)(t r =)(t r zi +)(t r zs ++=--)(3221t te C e C )2121(32t t t e e e ---+- t tt e C e C e 3221)21()1(21---++-+= (t ≥0) ∵)()(t u Ce t r t -=，21=C 21=C ∴ 011=-C ， ∴ 11=C0212=+C 212-=C ∴=-)0(r 21211)0(21=-=+=+C C r zi ， ='-)0(r 2123232)0(21-=+-=--='+C C r zi 2-12、解：（1）依题意，得：)(2)(*)()(t u e t h t u t r tzi -=+)()()(t t h t r zi δ=+∴)(2)]()([*)()(t u e t r t t u t r t zi zi -=-+δ)(2)()()()1(t u e t r t u t r t zi zi --=-+∴)()12()()()1(t u e t r t r t zi zi -=---，两边求导得：)()12()(2)()(t e t u e t r t r t t zi ziδ-+-=-'-- )(2)()()(t u e t t r t r t zi zi--=-'δ ∴)(11)(112)()()1(t p p t p t t r p zi δδδ+-=+-=- ∴)()(11)(t u e t p t r t zi -=+=δ （2）∵系统的起始状态保持不变，∴)()(t u e t r t zi -=∵)()()(t t h t r zi δ=+，∴)()()(t u e t t h t--=δ∴)]()([*)()()(*)()()(33t u e t t u e t u e t h t e t r t r t t t zi ----+=+=δ )()()(t u te t u e t u e tt t ----+=)()2(t u e t t --= 2-16、证：∑∑∞-∞=--∞-∞=--=-=k k t k t k t u e k t t u e t r )3()3(*)()()3(δ∑∞-∞=--=k k t k t u e e )3(3 ∵当t-3k>0即3t k <时：u(t-3k)为非零值又∵0≤t ≤3，∴k 取负整数，则：3003311)(---∞=∞=----===∑∑e e e e e et r t k k k t k t 则t Ae t r -=)(，且311--=e A 。

武汉科技大学信号与系统期末试题答卷.doc

（3）在临界稳定条件下，求冲激响应。
E(s)+
+
图五
Y(s)
s
K
s24s
4
Ks
Ks
Ks
解：（
G ( s)
/(1
（3
分）
1）H (s)
4s 4
)
s2
(4 K )s 4
1 G (s) s2
s2
4s，系统稳定。（3分）
（3）当K=4时，系统临界稳定，此时系统函数
则系统冲激响应h(t)
示。
f (t)ABCDr (t)
理想高理想低
图三
11
－101－101
图四
解：（1）f ( 2t)
1F (
j )
F11( j
)，f1(t)
F1( j
) F11[ j (
2)]
2
2
F1( j )
1
1
2)]
( )
(
4) G4(
2)（4分）
F [ j (
F1( j )
2
2
（2）
（2分）
（3）F ( j ) 2G2( )
2
)（4分）
3
3
2
3
五、（15分）已知某线性时不变因果系统的微分
得分
方程为r (t ) 3r (t) 2r (t) 2e (t)
3e(t )，激励
e(t )的波形如图2所示。试求：
图2
（1）该系统的单位冲激响应h(t )；
（2）激励e(t )的拉氏变换E(s)；
（3）给定初始状态r (0)
0, r (0) 1时的零输入响应rzi
2分）
（2）由零输入响应知系统有两个特征根：

《信号与系统》第九章习题解答

shown in Figure 1. (a) Determine the system function of the system, is this system causal? (b) Determine the unit impulse response of this system. (c) If the input is x ( t ) = u ( − t ) , determine the output y ( t ) . (d) Draw a block diagram representation of this system.
17
Chapter 9
例：某连续时间 LTI 系统的系统函数为 H ( s ) =
Problem Solution
s +1 为常数。，其中 a, b 为常数。已知系统函 2 s + as + b
t
数在 s = −2 有一个极点，且输入为 x ( t ) = e , − ∞ < t < +∞ 时，系统的输出
Problem Solution
y′′(t ) − y′(t ) − 2 y (t ) = x(t )
(b) Determine h(t ) for each of the following cases: −1/ 3 1/ 3 1 1 H (s ) = 2 = = + s − s − 2 (s + 1)(s − 2 ) s + 1 s − 2 1. The system is stable. 1 −t 1 2t h(t ) = − e u (t ) − e u (− t ) − 1 < Re{s} < 2 3 3 2. The system is causal. 1 −t 1 2t h(t ) = − e u (t ) + e u (t ) Re{s} > 2 3 3 3. The system is neither stable nor causal.

武汉科技大学_信号与系统习题精解第8章

称为图行列式，定义为：
(8-7)
式中：
为第个环路的传输值
为所有环路的传输值之和
为所有相互不接触的两个环路的传输值的乘积之和
为所有相互不接触的三个环路的传输值的乘积之和
…
为第个正向传输路径的传输值
为与不相接触的子图部分的值
6
若对求拉普拉斯反变换，则的每个极点将对应一个时间函数。也就是说，冲激响应的函数形式完全取决于的极点；而幅度和相角将由极点和零点共同决定。因此，完全由的零、极点位置决定。
综上所述，根据判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查的系数。若中有缺项(至少一项为零)，或者的符号不完全相同，则不是霍尔维兹多项式，故系统不是稳定系统。若的系数无缺项并且符号相同，则满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。
（1）求系统的冲激响应；
（2）求在激励下系统的完全响应。
解：(1)设初始状态为零，则有：
所以
（2）两边同时取拉氏变换，把初始状态一并代入
例2某线性时不变系统输入为单位阶跃信号时的阶跃响应为，求使输出为的输入信号。
解：由阶跃响应求得冲激响应为
则系统函数为
输出的Laplace变换为
所以输入信号的Laplace变换为
为霍尔维兹多项式的必要条件是：的各项系数都不等于零，并且全为正实数或全为负实数。若全为负实数，可把负号归于的分子，因而该条件又可表示为。显然，若为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。
罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯一霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯-霍尔维兹准则)。

武汉科技大学-信号与系统习题精解第10章

230第10章无限冲激响应数字滤波器的设计10.1 本章要点1、IIR 数字滤波器设计的基本概念及方法（1）IIR 数字滤波器的性能指标数字滤波器的频率响应)(ωj e H 可表示为：)()()(ωϕωωj j j e e H e H =式中，)(ωj e H 称为幅频特性，表示信号通过滤波器后各频率成分的衰减情况；)(ωϕ称为相频特性，反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。

对IIR 数字滤波器，通常用幅频响应)(ωj e H 来描述性能指标。

需要注意的是数字滤波器的频率响应)(ωj e H 是以π2为周期的，滤波器的低频频带处于π2的整数倍附近，而高频频带处于π的奇数倍附近，这是数字滤波器与模拟滤波器的最大区别。

所以，一般只给出],0[π区间上的性能指标描述。

IIR 低通滤波器的幅频特性如图10-1所示。

图中，p ω和s ω分别称为通带截止频率和阻带截止频率。

通带频率范围为p ωω≤≤0，在通带中要求1)(11≤≤-ωδj e H ；阻带频率范围为πωω≤≤s ，在阻带中要求2)(δω≤j e H ；从p ω到s ω称为过渡带，在过渡带内，幅频响应平滑地从通带下降到阻带。

1δ在具体指标中往往用通带内允许的最大衰减p α表示，2δ用阻带内允许的最小衰减s α表示，p α和s α分别定义为：dB eH e H pj j p )()(lg 200ωα=dB eH e H sj j s )()(lg200ωα=如果将)(0j e H 归一化为1，则p α和s α可分别表示为：dBeH pj p )(lg 20ωα-= dBe H sj s )(lg 20ωα-=231当c p ωω=时，幅度下降到707.022≈，此时dB p 3=α，所以常称c ω为3dB 通带截止频率。

c ω是滤波器设计的重要参数之一。

图10-1 IIR 低通滤波器的幅频特性（2）IIR 数字滤波器的设计方法设计一个数字滤波器，可分为以下3步： ① 根据实际要求确定滤波器的性能指标。

武汉科技大学_信号与系统习题精解第7章

170第7章连续时间系统的频域分析7.1 学习要点1 频率响应的定义频率响应可定义为系统零状态响应的傅里叶变换)(Ωj Y 与激励的傅里叶变换)(Ωj F 之比，即)()()(ΩΩΩj F j Y j H def=。

)(Ωj H 可写为：()ΩϕΩΩj ej H j H )()(=,其中，)(Ωj H 是输出与输入信号的幅度之比，称为幅频特性（或幅频响应）；)(Ωϕ是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）。

2虚指数信号通过线性系统假设一个单位冲激响应为)(t h 的线性时不变系统，若有激励信号∞<<∞-=t et f tj Ω)(则系统的零状态响应为：tj f ej H t y ΩΩ)()(=所以，当虚指数信号tj e Ω通过线性系统时，其零状态响应就是用tj e Ω乘以)(Ωj H 。

3 正弦信号通过线性系统若线性系统的激励为正弦信号∞<<∞-+==-t eeA t A t f tj tj )(2cos )(ΩΩΩ则系统的零状态响应为：[])(cos )())((2)(ΩϕΩΩΩΩΩ+=+=-t j H A eej H A t y tj tj f所以，线性系统对正弦激励的响应为与激励同频率的正弦量，其振幅为激励的振幅与)(Ωj H 模值的乘积，其相位为激励的初相位与)(Ωj H 相位的和。

4 非正弦周期信号通过线性系统周期为T 的非正弦周期信号)(t f 可展开为：∑∞-∞==n tjn neFt f Ω)(171式中，dt et f TF TTtjn n ⎰--=22)(1Ω则线性系统对该信号的零状态响应为：tjn n nf ejn H Ft y ΩΩ)()(∑∞-∞==[])()()(ΩθΩϕΩΩn n t n j n n ejn H F ++∞-∞=∑=[])()(cos )(210ΩθΩϕΩΩn n t n jn H FF n n+++=∑∞=式中，)(Ωθn j n n eF F =，)()()(ΩϕΩΩn j ejn H jn H = 。

武汉科技大学信号与系统习题精解第6章

完全地确定。初始状态代表系统的起始储能情况，可以看作是系统的另一种激励（有的书上称
之为“内部激励”），这样系统的完全响应 y(⋅) 将取决于两种不同的激励，即输入信号{ f (⋅) }
和初始状态{ x(0) }。即：
y(⋅) = T[{ f (⋅)},{x(0)}]
（ 6-9）
147
零输入响应——输入信号为零、仅由初始状态引起的响应，即：
及其各阶导数应该平衡相等。前者适用于给定具体电路图的情形，后者虽然比较抽象 ,但却是普遍适用的一般方法。不
过，在学习了拉普拉斯变换后，还会有更加简便的方法。
另外，可补充说明的是，对于LTI离散系统，可认为 y(−1) ， y(−2) …， y(−N ) 是激
励作用之前在因果系统中存储的数据，与激励信号无关，这组条件与微分方程的初始状态（ 0− 状态）相对应；由这组数据与激励信号约束共同求得的 y(0) ， y(1) ，…， y(N-1) 则
y(⋅) = f1(⋅) ± f2 (⋅) y(⋅) = af (⋅)
f1 (⋅)
乘法器 f2 (⋅)
⊗
y (⋅)
y(⋅) = f1(⋅) ⋅ f2 (⋅)
延时器
f (t)
Τ
y(t)
y(t) = f (t − T )
积分器移位器
f (t) f (n)
∫
y (t )
D
y(n)
t
∫ y(t) = f (τ)dτ −∞
4. LTI 系统的数学模型（输入输出方程）
一个 n 阶 LTI 连续系统，若其激励为 f (t) ，响应为 y(t) ，则描述该系统输入输出关系的
数学模型是 n 阶常系数线性微分方程，它可以写为：

武汉科技大学_信号与系统习题精解第6章

4. LTI 系统的数学模型（输入输出方程）一个 n 阶 LTI 连续系统，若其激励为 f (t ) ，响应为 y( t ) ，则描述该系统输入输出关系的数学模型是 n 阶常系数线性微分方程，它可以写为：
n m
∑ ai y ( i) (t ) = ∑ b j f ( j) (t)
i= 0 j= 0
∑ a N − i y ( n − i ) = ∑ bM − j f ( n − j )
i= 0 j= 0
（ 6-7）
式中， a i (i
= 0,1,⋯, N ) 和 b j ( j = 0,1,⋯ , M ) 都是常数，且 aN = 1 。
5. 系统的框图表示表 6-1 中给出了常用基本运算单元的框图表示符号和系统激励 f (⋅ ) 与响应 y (⋅) 之间的运算关系（箭头表示信号传输的方向）。
f ' (t ) → y f ' ( t )
（6-4）（6-5）
∫
（4）因果性：如果 f (⋅ ) = 0 ， t （5）稳定性：
t
−∞
f ( x) dx → ∫ y f ( x )dx
−∞
t
< t0 （或 k < k0 ），则 y f (⋅ ) = 0 ， t < t0 （或 k < k 0 ）
（ 6-16）
（注意理解“线性系统”的概念：一个同时具有分解特性、零输入线性和零状态线性的系统才能称之为线性系统。这里，分解特性是指系统全响应可以分解为零输入响应和零状态响应。） 8. LTI 系统时域分析中根据初始状态（ 0 − 状态）求初始条件（ 0 + 状态） “初始条件”（或 0 + 状态）：在 t = 0 + 时刻，系统的响应及其各阶导数的值，即 y (i ) (0 + ) ，其中 i = 0,1,⋯ , n − 1 。

信号与系统课后习题答案汇总

可编辑第一章习题参考解答1.1 绘出下列函数波形草图。

(1) ||3)(t e t x -= (2) ()⎪⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n (3) )(2sin )(t t t x επ= (5) )]4()([4cos )(--=-t t t e t x t εεπ (7) t t t t x 2cos )]2()([)(πδδ--= (9) )2()1(2)()(-+--=t t t t x εεε)5- (11) )]1()1([)(--+=t t dt d t x εε (12) )()5()(n n n x --+-=εε (13) ⎰∞--=t d t x ττδ)1()((14) )()(n n n x --=ε 1.2 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。

(1) ||3)(t e t x -=解能量有限信号。

信号能量为：(2) ()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n解能量有限信号。

信号能量为：(3) t t x π2sin )(=解功率有限信号。

周期信号在(∞-∞,)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，t π2sin 的周期为1。

(4) n n x 4sin )(π=解功率有限信号。

n 4sinπ是周期序列，周期为8。

(5) )(2sin )(t t t x επ= 解功率有限信号。

由题(3)知，在),(∞-∞区间上t π2sin 的功率为1/2，因此)(2sin t t επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。

如果考察)(2sin t t επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。

(6) )(4sin )(n n n x επ=解功率有限信号。

由题(4)知，在),(∞-∞区间上n 4sinπ的功率为1/2，因此)(4sin n n επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。

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214第9章时域离散系统的z 域分析9.1 学习要点1. 利用z 变换解差分方程利用z 变换解差分方程，是本章的重点之一。

（1）利用z 变换解差分方程的主要依据——单边z 变换的移位性质，即∑∑∑∞-=--∞=---∞=-=-=-=-km mkn k n kn nI zm y zzk n y zzk n y n u k n y Z )()()()]()([0)(0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∑∑--=----=-∞=--11)()()()(km mk km mm mkzm y z Y z zm y zm y z（9-1）（2）应用差分方程的z 域解法，求离散系统的一般步骤为： ① 建立描述离散系统特性的差分方程；② 对差分方程的左右两边取单边z 变换，得到z 域的代数方程；③ 解z 域的代数方程，得到零输入响应、零状态响应和全响应的z 域解； ④ 对z 域解求z 反变换，求得系统响应的时域解。

设N 阶L TI 离散系统的差分方程一般形式为)()(0i n x b k n y a Mi i Nk k -=-∑∑== (9-2)对(9-2)式进行单边z 变换，有iMi i Nk km mkk z z X b zm y z Y za -==--=--∑∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+)()()(01∑∑∑∑∑=-=--=--=-=--=Nk kk Nk km mkk Nk kk Mi ii za z m y za z X za zb z Y 010)()()( (9-3)2. 系统函数（1）定义：已知系统的单位响应)(n h ，对)(n h 进行z 变换，得到)(z H ，一般称)(z H 为系统的系统函数，其表征了系统的复频域特性。

∑+∞=-=)()(n nzn h z H (9-4)（2）物理含义：设系统的单位响应为)(n h ，则系统在基本序列nz n x =)(的激励下产生的零状态响应为零状态响应的z 域解零输入响应的z 域解215nm mnm mn nzs z z H zm h zzm h zn h n y )()()(*)()(0====∑∑+∞=-+∞=- (9-5)可见，系统函数)(z H 在时域直接描述了基本序列n z 激励下系统的输入输出关系。

（3）求解方法：① 按定义计算：∑+∞=-=)()(n nzn h z H ；② 依据物理意义)()()(z X z Y z H zs =计算：对N 阶差分方程，进行z 变换，得到系统函数的一般表示式∑∑=-=-==Nk kkMi iizs zazb z X z Y z H 00)()()( (9-6)③ 根据系统信号流图或方框图，应用梅森公式或列写输入输出方程求得。

（4）与频率响应之间的关系为：ωωj e z j z H eH ==|)()(。

3. 系统函数与系统特性（1）从系统的零极点分布判断系统的因果性和稳定性： ① 系统因果的条件为系统函数)(z H 的收敛域包含∞； ② 系统稳定的条件为系统函数)(z H 的收敛域包含单位圆；③ 系统因果且稳定的条件为系统函数)(z H 的收敛域10,||<<∞≤<r z r 。

（2）系统函数零极点的位置还能决定系统的幅频特性和相频特性，其中极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷值位置及形状，具体地有，幅频特性由零点矢量的大小的连乘积与极点矢量的大小的连乘积的比值决定，相频特性由零点矢量的相角和与极点矢量的相角和的差值决定，即∏∏===Nk kNm mj dcAeH 11|)(|ω（9-7）∑∑==-=Nk kNm m11)(βαωϕ （9-8）4. 用z 变换分析几个典型的系统——全通滤波器、梳状滤波器和最小相位系统全通滤波器、梳状滤波器和最小相位系统都是数字信号处理中常用的系统。

216（1）全通滤波器∏=-*---=Nk kkzzz zz H 1111)(的零极点成共轭倒易关系，是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡；（2）梳状滤波器NN Nazz z H ----=11)(的零点等间隔地分布在单位圆上，极点等间隔地分布在半径为N a 的圆上，可用于消除电网谐波干扰，在彩色电视接收机中用于进行亮色分离和色分离；（3）最小相位延时系统的零极点全部在单位圆内，延时最小，并且其逆系统也是因果稳定的，在解卷积和信号预测等数字信号处理中有重要的作用。

9.2 精选例题例1 某一因果线性时不变系统由下列差分方程描述：)1()()1()(--=--n bx n x n ay n y试确定能使该系统成为全通系统的b 值（a b ≠）。

解：对方程两边进行z 变换得11111/111)()()(------⋅-=--==azbzb azbz z X z Y z H对照全通滤波器的系统函数的表达式∏=-*---=Nk kkzzz zz H 1111)(，得*1ab= 或者 */1a b =例2 已知一个时域离散线性时不变系统的输入)(n x 和输出)(n y 满足下列要求： ① 对于所有的n ，输入nn x )2()(1-=，其输出0)(1=n y ；② 对于所有的n ，输入)()21()(2n u n x n=，其输出)()41()()(2n u a n n y n+=δ；其中a 为常数，求：（1）常数a 的值；（2）对于所有的n ，输入1)(3=n x ，求系统的输出)(3n y 。

解：（1）由条件①得0)2(|)()(21=-=-=nz z H n y所以 0)2(=-H217由条件②得122111)()21()(--↔=zn u n x n11124114114111)()41()()(-----+=-+↔+=zza za n u a n n y nδ所以111411)211)(411()()()(------+==zzza z X z Y z H0811)411)(811(|411)211)(411(|)()2(21112=++++=---+==--=----=a zzza z H H z z得 89-=a（2）===)1()()1()(33H n x H n y 41|411)211)(41891(1111-=----=---z zzz，对于所有的n 。

例3 用计算机对数据)(n x 进行平均处理，当收到一个数据后，计算机就把这一次输入的数据和前三次输入的数据相加，并平均。

求这一数据处理过程的频率响应函数，并粗略地画出频率特性曲线。

解：设本次输入为)(n x ，四次平均为)]3()2()1()([41)(-+-+-+=n x n x n x n x n y系统函数为：]1[41)()()(321---+++==zzzz X z Y z H频响函数为：ωωωωωωωωωωcos 2coscos 22cos241)1)(1(41)(2322jj jj j j eeeeeeH -----==++=系统的频率特性如例3解图所示。

可见此数据处理过程相当于低通滤波特性。

218例3解图例 4 已知因果离散系统的系统函数)(z H 的零极点分布如例4图所示，并且2)0(-=H 。

求：（1）系统函数)(z H ；（2）系统的频率响应；（3）粗略画出频率特性曲线。

例4图解：（1）因5.05.0)(0-+=z z H z H ，代入2)0(-=H ，得20=H ，所以5.0)5.0(2)(-+=z z z H（2）因为)(z H 的惟一极点5.0=z 位于单位圆内，因此系统的频率响应为：)(|)(|5.0)5.0(2|)()(ωϕωωωωωj j j j e z j eeH ee z H eH j =-+===（3）幅频特性|)(|ωj eH 和相频特性)(ωϕ如例4解图所示。

219例4解图例5 某离散系统，已知系统的频率响应为)(|)(|)(ωϕωωj j j e e H e H =，如例5图所示。

当输入)(n x 为连续信号t t t x Ω+Ω=2cos 3cos 2)(（基波频率为z f H 100=）的采样序列，其采样频率为z f s H 800=，求系统的稳态响应)(n y 。

解：连续信号t t t x Ω+Ω=2cos 3cos 2)(经过采样后得到)2cos(3)4cos(2)(n n n x ππ+=由例5图可得离散系统的频响函数为：ωωϕωωωπj j j j eeeH eH --==|)|21(|)(|)()(且该系统为一低通数字滤波器，当2πω≥的频率成分全部被滤掉，所以稳态输出为：)44cos(21)4cos(2|)()4cos(2)()()(44ππππππωωω-=⋅⋅==⋅=-=n en eH n eH n x n y jj j例5图例6 某离散时间LTI 系统如例6图所示。

求：例6图（1）系统函数)(z H ，并画出系统的零极点图；（2）系统所有可能的单位响应)(n h ，并讨论其因果稳定性；（3）在系统稳定的条件下，请根据零极点图概略绘出系统的幅频特性，并标注出220ππω,2,0=时的幅值。

解：（1）系统函数为：211431)(-----=zz zz H系统的零点为00=z ，极点为32,21,0-=p 。

零极点图如例6解图（a ）所示。

（2）因为有两个极点，所以收敛域有三种情况32||<z ，2||32<<z ，2||>z 。

32312431)(211--++-=--=---z z z z zzzz H① 当收敛域为32||<z ，单位响应)1(])32(31)2[()(--+-=n u n h nn，系统既不稳定也非因果；② 当收敛域为2||32<<z ，单位响应)()32(31)1()2()(n u n u n h nn----=，系统稳定但非因果；③ 当收敛域为2||>z ，单位响应)(])32(31)2[()(n u n h nn+--=，系统因果但不稳定。

（3）稳定时，系统的幅频特性如例6解图（b ）所示。

（（a ）（b ）例6解图9.3 习题精解1. 用z 变换法解下列差分方程：（1）1,0)(),(05.0)1(9.0)(-≤==--n n y n u n y n y（2）1,0)(,1)1(),(05.0)1(9.0)(-<==-=--n n y y n u n y n y （3）),()2(2)1(3)(n u n y n y n y =-+-+2213,0)(,21)2(,0)1(-≤==-=-n n y y y（4）),()2(15.0)1(8.0)(n n y n y n y δ=-+--3,0)(,5.0)2(,2.0)1(-≤==-=-n n y y y解：（1）对方程两边进行z 变换得11105.0)(9.0)(---=-zzz Y z Y)1)(9.01(05.0)(11----=zzz Y运用部分分式法得 111115.09.0145.0)1)(9.01(05.0)(-----+--=--=zzzzz Y由1,0)(-≤=n n y 知，)(n y 是因果序列，查教材表4-1得)()5.09.045.0()(n u n y n+⋅-=（2）对方程两边进行z 变换得111105.0])()([9.0)(---∞=---=+-∑zzk y z Y z z Y k k11105.0])1()([9.0)(---=-+-zz y z Y z z Y11105.09.0)(9.0)(---=--zz Y z z Y)1)(9.01(9.095.0)(111------=z zz z Y当0≥n 时，运用部分分式法得 1111115.09.0145.0)1)(9.01(9.095.0)(------+-=---=zzz zz z Y查教材表4-1得)()5.09.045.0()(n u n y n+⋅=总结得到)1()()5.09.045.0()(+++⋅=n n u n y nδ （3）对方程两边进行z 变换得222122111])2()1()([2])1()([3)(----=-+-++-++zz y z y z Y zz y z Y z z Y当0≥n 时，运用部分分式法得=)(z Y )21)(1)(1()1)(231(11111211--------+-+=-++zz zzzz zz1112132121161---+-+++-=zz z 查教材表4-1得)())2(32)1(2161()(n u n y nn---+=总结得到)2(21)())2(32)1(2161()(++---+=n n u n y nnδ（4）对方程两边进行z 变换得1])2()1()([15.0])1()([8.0)(221=-+-++-+---z y z y z Y zz y z Y z z Y1]5.02.0)([15.0]2.0)([8.0)(221=++++---z z z Y z z z Y z z Y)5.01)(3.01(03.0085.1)(111------=z zz z Y当0≥n 时，运用部分分式法得111115.015625.23.014775.1)5.01)(3.01(03.0085.1)(------+--=---=zzz zz z Y查教材表4-1得)()5.05625.23.04775.1()(n u n y nn⋅+⋅-=总结得到)2(5.0)1(2.0)()5.05625.23.04775.1()(++++⋅+⋅-=n n n u n y nnδδ2.设线性时不变系统的系统函数)(z H 为11111)(-----=azzaz H ，a 为实数（1）在z 平面上用几何法证明该系统是全通网络，即=|)(|ωj e H 常数。