江苏省南师附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题 含答案

南京师范大学附属实验学校2020-2021学年度第一学期高一年级10月份考试数学试卷分值：150分 时间：90分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.已知集合A={}7531，，，，B={}5432，，，，则B A = A ．{}3 B ．{}5 C ．{}53，D ．{}754321，，，，， 2.若1∈{}2x x ，，则x =A ．1B ．﹣1C ．0或1D ．0或1或﹣13.已知集合A={}2|x x x =，B={}21，，m ，B A ⊆若，则实数m 的值为 A ．2B ．0 C ．0或2D ．14.不等式021>--x x 的解集为 A ．{}12|->-<x x x 或 B ．{}21|><x x x 或 C ．{}21|<<x x D ．{}12|-<<-x x5.已知m ，n ∈R ，则“m ≠0”时“mn ≠0”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6.如图，在一块长为22m ，宽为17m 的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m 2.设道路宽为xm ，根据题意可列出的不等式为A ．()()3001722≤--x xB ．()()3001722≥--x xC ．()()3001722>--x xD ．()()3001722<--x x7.函数432--=x x y 的零点是A ．（﹣1，0）B ．（4，0）C ．（﹣1，0）或（4，0）D ．﹣1或48.若关于x 的一元二次不等式012≥++mx x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是A ．22≥-≤m m 或B ．-2≤m ≤2C ．22>-<m m 或D ．-2<m <2二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.如果集合A={}1|->x x ，那么A ．0∈AB ．{}A ∈0C ．A ∈∅D ．{}A ⊆010.已知下列命题中，真命题的是A ．012>+∈∀x R x ，B ．12≥∈∀x N x ，C ．13<∈∃x Z x ，D ．32=∈∃x Q x ，11.下列命题为真命题的是A ．若22bc ac b a >>，则B ．若32<<-a ，21<<b ，则24<-<-b aC ．若bm a m m a b ><<<，则，00D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd12.设正数m ，n 满足m +n =2，则下列说法正确的是A ．222321++的最小值为n m B ．212的最大值为mn C ．2的最小值为n m +D ．222的最小值为n m +三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知命题p ：“0322>-+∈∀x x R x ，”，请写出命题p 的否定：.14.已知命题p ：1<m ≤2是假命题，则m 的取值范围是.15.已知二次函数122++=ax ax y 只有一个零点，则实数a =.16.已知集合A 中的元素均为整数，对于k ∈A ，如果A k A k ∉+∉-11且，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定集合{}87654321，，，，，，，=S ，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个四、解答题（本大题共5小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分14分）设全集U=R ，集合A={}41|<≤x x ，B={}a x a x -<≤32|.（1）若a =—2，求A B ，()A C B U .（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分14分）若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221|x x (1)求a 的值；(2)求不等式01522>-+-a x ax 的解集.19.（本小题满分14分）(1)求函数()3331>+-=x x y 的最小值； (2)已知x >0，y >0，且111=+yx ，求x +y 的最小值.20.（本小题满分14分）已知a >0，试比较a 与a1的大小.21.（本小题满分14分）某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资金额x 的函数关系为10180181+-=x y ，B 产品的利润y 2与投资金额x 的函数关系为52x y =（注：利润与投资金额单位：万元）.(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A ，B 两种金融产品，其中x 万元资金投入A 产品，试把A ，B 两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？。

江苏省南京师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．已知全集{}1,0,1,2U =−， {} 1,1A =−，则集合U A =（ ） A ．{0,2} B ．{}1,0− C ．{0,1}D ．{1,2} 2．“1x =”是“2540x x −+=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．命题“x ∃∈R ，210x x −−>”的否定是（ ）．A ．x ∃∈R ， 210x x −−<B ．x ∃∈R ，210x x −−≤C ．x ∀∈R ，210x x −−≤D ．x ∀∈R ，2 10x x −−>4．已知223x x −+=，则1x x −+的值为（ ）．AB ．1 C． D ．1±5．函数22),0,03(1x x x f x x x⎧−≤≤⎪=⎨<⎪⎩的值域为（ ）． A ．[]3,1− B ．(0),−∞ C ．(1),−∞ D ． (1],−∞6．下列四组函数中，()f x 与 ()g x （或 ()g t ）表示同一个函数的是（ ）A．()f x = ()g x x = B．()f x =2()g t = C ．22()1x x f x x +−=− ()2g x x =+ D ． ()f x x =()g t =7．已知实数0a >，0b >，且1111a b +=+，则2a b +的最小值为（ ） A．3+ B．1 C ．4 D．32 8．函数32()1x f x x =−的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．设集合{}220A x x x =−=，则下列表述不正确的是（ ）．A ．{}0A ∈B ．2A ∉C ．{}2A ∈D ． 0A ∈ 10．下列四个条件中，能成为 x y >的充分不必要条件的是（ ）A ．22xt yt >B ．xt yt >C ．x y >D ．110x y<< 11．下列命题中是真命题的有（ ）．A ．若函数()f x 在(0],−∞和(0,)+∞上都单调递增，则()f x 在R 上单调递增；B ．狄利克雷函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数在任意一个区间都不单调； C ．若函数 ()f x 是奇函数，则一定有 (0)0f =；D ．若函数 ()f x 是偶函数，则可能有 (0)0f =； 12．已知 1a >， 1b >，且()1ab a b −+=，那么下列结论正确的有（ ）．A ．a b +有最大值2B ．a b +有最小值2 C ．ab1 D ．ab有最小值3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13．已知0,0()1,032,0x f x x x x >⎧⎪=−=⎨⎪−<⎩，则 ()()()6f f f = ．14．已知函数53()7c f x ax bx x=+++， 3( 5)f −= ，则 ()3f = ． 15．某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子60元/盒，桔子65元/盒，水蜜桃80元/盒，荔枝90元/盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付x 元， 每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80%．①10x =时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付 ．元；②在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即70%），则x 的最大值是 ．16．()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()2g x f x x =−在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式() 1246()f x f x x +−+>−−的解集为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．17．已知a ，b 均为正数，证明：22a b a b b a+≥+． 18．计算：（1）12ln 249e −⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）()223lg2lg5lg20log 3log 4+⋅+⋅．19．已知二次函数 ()f x 的值域为[)4,−+∞，且不等式0( )f x <的解集为()1,3−．（1）求()f x 的解析式；（2）若对于任意的[2,2]x ∈−，都有 2() f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．20．某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃，规定ABCD 的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域 EFGH 用来种花，且点A ，B ，E ，F 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设AB x =米，种花区域EFGH 的面积为 S 平方米． （1）将S 表示为x 的函数；（2）求 S 的最大值．21．已知集合{A y y ==，集合{}220B x x x a a =−+−<． （1）若A B A ⋃=，求a 的取值范围；（2）在A B ⋂中有且仅有两个整数，求a 的取值范围．22．设()a f x x x=+（0x >，a 为大于0的常数） （1）若 ()f x 的最小值为4，求a 的值；（2）用定义证明：()f x 在)+∞上是增函数； （3）在（1）的条件下，当1x >时，都有恒成立，求实数m 的取值范围．江苏省南京师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题参考答案1．【答案】A ；【解析】由补集定义知选A ．2．【答案】B ；【解析】因为{}1是{}2540x x x −+=的真子集，所以“1x =”是“2540x x −+=”的充分不必要条件．3．【答案】C ；【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C ．4．【答案】C ；【解析】由()212225x xx x −−+=++=，知1x x −+=，故选C ．5．【答案】D ； 【解析】当 0x <时，1()f x x=单调递减，范围为(0),−∞，当03x ≤≤时，2()2f x x x =−在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，范围是[]3,1−，所以函数值域为(1],−∞，故选D ．6．【答案】D ；【解析】A 选项，() f x x =，故错误；B 选项，定义域不同，故错误；C 选项，定义域不同，故错误；D 选项，是同一函数，故选D ．7．【答案】B ；【解析】22(1)2a b a b +=++−=()112121a b a b ⎛⎫+++−=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭()21311b a a b +++≥+，当且仅当1a =且2b =时等号成立，故选B ． 8．【答案】A ； 【解析】 ()f x 定义域为(,1)(1,1)(1,)−∞−⋃−⋃+∞，是奇函数，当x →+∞时，()f x →+∞，故选A ．9．【答案】ABC ；【解析】{}0,2A =，故选 ABC ． 10．【答案】ACD ；【解析】A 选项，若22xt yt >，则20t ≠∣，则x y >，反之不成立，A 正确； B 选项，当0t <时，x y <，B 错误；C 选项，若x y >，由y y ≥，则x y >，反之不成立，C 正确；D 选项，1()f x x =在(0,)+∞单调递减，若110x y<<，则x y >，反之不成立，D 正确； 故选ACD ．11．【答案】BD ； 【解析】A 选项，若(),0ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩是一个反例，A 错误； B 选项，在任意区间I 上总可以取1x ，2x Q ∈，使()()12f x f x =，则 ()f x 在I 上不单调，B 正确； C 选项，1()f x x=是一个反例，C 错误； D 选项，2()f x x =符合要求，D 正确；故选BD ．12．【答案】BD ；【解析】法一：令a b s +=，ab t =，由题意可得2s >，1t >，1t s −=，由基本不等式s ≥，则1t −≥1t >可得2214t t t −+≥，则3t ≥+1a b ==取等；s ≥，由2s >可得2440s s −−≥，则2s ≥+，1a b ==取等； 故选BD ；法二：由()1ab a b −+=可得(1)(1)2a b −−=，令10m a =−>，10n b =−>，则222a b m n +=++≥+=+m n ==(1)(1)133ab m n mn m n m n =++=+++=++≥+，m n == 故选BD ．13．【答案】-5【解析】()()()()()60(1)5f f f f f f ==−=−．14．【答案】9；【解析】(3)(3)7714f f +−=+=，所以(3)1459f =−=．15．【答案】130；15．【解析】①608010130+−=；②由题意可知，购买总价刚好为120元时，折扣比例最高，此时有0.8(120)0.7120x ⨯−≥⨯，解得15x ≤．16．【答案】3,2⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭； 【解析】由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增， 由(1)(2)46f x f x x +−+>−−，可知22(1)2(1)(2)2(2)f x x f x x +−+>+−+，即(1)(2)g x g x +>+， 可知12x x +>+，解得32x <−． 17．【答案】详见解析． 【解析】法一：由基本不等式可得，222()a b b a a b b a +++≥=+ 当且仅当22a b b b a a==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即a b =时取等， 则原式得证．法二：223322()a b a b a b a b b a b a ⎛⎫++=+− ⎪⎝⎭ 由0a >，0b >，可得0a b +>，30b a >，30a b>，0ab >，则2222222()2()a b a b a b a b ab a b b a ⎛⎫++≥++=++=+ ⎪⎝⎭， 由0a b +>可得22a b a b b a+≥+． 法三：()()()()()222222222a b a b a b a b a b a b b a a b b a b a ab ab−−−+−−+−+=+==， 由0a >，0b >可得()220a b a b b a +−+≥即22a b a b b a+≥+． 18．【答案】（1）32；（2）3． 【解析】（1）12l 2n 43322922e −⎛⎫++=+−= ⎪⎝⎭， （2）2223(lg2)lg5lg20log 3log 4(lg2lg5)23+⋅+⋅=++=．19．【答案】（1）2()23f x x x =−−；（2）7m <−【解析】（1）设2()f x ax bx c =++，由题意可知：(1)0(3)930(1)4f a b c f a b c f a b c −=−+==++==++=−⎧⎪⎨⎪⎩，解得123a b c ==−=−⎧⎪⎨⎪⎩，即2()23f x x x =−−；（2）243m x x <−−对[2,2]x ∈−恒成立，令2()43g x x x =−−，当[2,2]x ∈−，可知()[7,9]g x ∈−，故7m <−．20．【答案】（1）200102(520)S x x x=−−≤≤；（2）S的最大值为102− 【解析】（1）因为AB x =， 所以100AD x =，2EF x =−，1001FG x=−； 所以()10020021102S x x x x ⎛⎫=−−=−− ⎪⎝⎭因为020x <≤，100020x <≤，解得520x ≤≤，所以200102(520)S x x x =−−≤≤；（2）102102S ≤−=−x =所以S 的最大值为102−21．【答案】（1）01a ≤≤；（2）[1,0)(1,2]−⋃；【解析】（1）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，因为244x x −≤，所以[0,2]A =；集合B 的不等式可化为(1)()0x a x a +−−<，①B =∅，即0∆≤，解得12a =，符合； ②B ≠∅时，即12a ≠时，此时02a ≤≤，012a ≤−≤，解得01a ≤≤且12a ≠； 综上01a ≤≤；（2）集合A 中有三个整数0，1，2，{}()(1)0B x x a x a =−+−<； 由A B ⋂中有且仅有两个整数，可得B 中有0，1，2中的两个整数； 1a a <−即12a <时，(,1)B a a =−， 则B 中整数仅有有0，1或仅有1，2，若仅有0，1，则10a −≤<，112a <−≤，解得10a −≤<； 若仅有1，2，则01a ≤<，213a <−≤，无解；1a a =−即12a =时，B =∅，不满足题意； 1a a >−即12a >时，(1,)B a a =−， 则B 中整数仅有有0，1或仅有1，2，若仅有0，1，则110a −≤−<，12a <≤，解得12a <≤；若仅有1，2，则011a ≤−<，23a <≤，无解；综上，实数a 的取值范围是[1,0)(1,2]−⋃．。

南京师大附中第1学期高一年级期中考试数学试卷命题人：高一备课组 审阅人：一．填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分. 把答案填在答卷纸中的横线上.1．设a ∈R ，集合{}11,,10,1,⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭a a a ，则a 等于 ▲ .-1 2．不等式2x+1>18的解集为 ▲ .(－4,+∞) 3．右图中全集U 为R ，且集合 A =[－3，+∞)，B =(0，+∞)，则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ .[－3，0]4．函数f (x )=ln(x+1) + 12－x 的定义域是 ▲ . （－1，2） 5．若幂函数y= f (x )的图象过点()3,27，则()2f = ▲ .86．若函数log ()b y x a =+（b >0且b 1≠）的图象过点(0，1)和(－1，0)，则a +b = ▲ ．47．已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：则满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值为 ▲ ．28．三个数ln x π=，y =log 312，12z e -=，则这三个数x ,y ,z 从小到大的顺序是 ▲ . y<z<x9．函数y ＝⎩⎨⎧x 2＋1，x <0，－x ，x ≥0，的值域是 ▲ . (－∞，0]∪(1,+∞)10．已知函数f (x )＝2x +x －5的零点为x 0，若x 0∈(n ，n +1)，n ∈Z ，则n ＝ ▲ ．111．已知函数y=f (x )的定义域为R ，f (x )满足：(1) f (x +2)＝f (x )；(2)当0≤x <2时, f (x )＝x 3－x .则f (11)＝ ▲ .012．已知函数y=f (x )在定义域R 上是单调减函数，且f (2a －1)>f (3a )，则实数a 的取值范围是 ▲ . a ＞－1 13．定义在[]2,2-上的偶函数y=()f x ，它在[]0,2上的图象是一条 如图所示的线段，则不等式()()f x f x x +->的解集为 ▲ ．[－2，1）14．已知函数y=f (x )的定义域为R ，且满足：(1) f (1－x )+f (1+x )=2；(2) x >1时，f (x )=log 2(x －1)+1.若f (1+m )≥f (1－m )，则实数m 的取值范围是▲ .[－1，0] ∪[1，+∞） x 1 2 3 f (x ) 1 3 1 x 1 2 3 g (x ) 3 2 1 O xy 1 2二．解答题：本大题共6小题，共58分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．(本题满分8分)计算：（1）10.523327250.0271259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）3323215log 2log ln lg109-+-e . 解：(1)原式＝(0.3)3×23+(35)3×(-13)－(53)2×12 2分 ＝910+53－53＝910＝0.09 2分 (1)原式＝log 332×932－2－1 2分 ＝－1 2分16．（本题满分10分）设全集U ＝R ，[)4,2A =-，{}260B x x x =--<，{}3C x x =<　. 求：（1）A C ， A C ； （2）U A B ð．解： [)4,2A =-，(2,3)B =-， 2分(3,3)C =- 4分(3,2)A C =- ， 6分[)4,3A C - 8分()[),23,U A B =-∞⋃+∞ ð 10分17． (本题满分10分)已知函数f (x ) = 2x －1 +1，g (x )=x +1，h (x )=⎩⎨⎧ f (x )， x <－1， g (x )， x ≥－1． (1)画出函数y=h (x )的图象；(2)用单调性的定义证明函数y=f (x )在(－∞，1)上为减函数.（1）如图所示为函数的图象 5分 （2）用定义证明如下：取x 1，x 2∈(－∞，1)且x 1<x 2则f (x 1) － f (x 2)= 2x 1－1 +1－(2x 2－1 +1) ， 7分 xy1234–11234567–1–2–3–4–5–6O= 2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)>0， 9分 ∴f (x )在(－∞，1)上为减函数. 10分18. (本题满分10分)已知函数f (x )=log a x +m 的图象过点(1,1).(1)求m 的值；(2)若f (p )=2，f (2p )＝3，试解关于x 的方程f (x －2)+ f (x )=5.解：（1）log 11,a m +=代入得：故1m = 4分（2）log 12log 213a a p p +=⎧⎨+=⎩ 解得：2a p == 6分 代入得：22log (2)1log 15,x x -+++=即2log (2)3,x x -= 8分020(2)8x x x x >⎧⎪->⎨⎪-=⎩，解得4x = 10分19．(本题满分10分)已知函数()121⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭x f x x a 为偶函数. （1） 试求函数y=()f x 的表达式；（2） 当[]1,3x ∈时，22()(2)0f x m m x --<恒成立，求m 的取值范围.解：（1）f(-x)=f(x)得x (12x －1+a )=－x (12-x －1+a )， 2a =－(12x －1+12-x －1)＝1，a =12 2分 经检验 a =－12符合题意. ∴()11212x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭4分 （2）22()(2)0f x m m x --<对[]1,3x ∈恒成立，∴2x (12x －1+12)－(m 2－2m ) x <0 5分 ∴m 2－2m >2(12x－1+12) 7分∵12x －1+12在[1,3]上减， ∴12x－1+12≤3 8分 ∴m 2－2m >3，解得m ＜－1 或m >3. 10分20. (本题满分10分)已知函数2()(2)3f x x a x a =--+-.（1）求证：函数y=()f x 必有零点；（2）设函数()()1=--g x f x ，① 若|()|g x 在[]1,0-上是减函数，求实数a 的取值范围；② 是否存在整数,m n ，使得关于x 的不等式()m g x n ≤≤的解集恰好是[],m n ，若存在，求出,m n 的值；若不存在，说明理由.解：（1）2(4)0m ∆=-≥，所以函数()f x 必有零点. 4分(2) ① 2()()1(2)2g x f x x m x m =-=-+-+- 1.21,(0)2002m f m m -≤-=-≥⇒≤ 2. 20,(0)2022m f m m -≥=-≤⇒≥ 综上：(][),02,m ∈-∞⋃+∞ 7分② 由题意得： max () (1)() (2)() (3)m g x n g m m g n m ≤≤⎧⎪=⎨⎪=⎩(2)(3)-得2m n a +=- 代入（2）得20nm n m --=，即(1)(2)2m n --=而max () m g x n ≤≤且整数m,n故11m n =-⎧⎨=⎩或24m n =⎧⎨=⎩ 9分 当m a =时，11m n =-⎧⎨=⎩，当8a =时，24m n =⎧⎨=⎩。

高一级期中质量测试数学科试参考答案（第1页共4页）2020－2021学年度第一学期期中高中一年级质量测试数学科试卷参考答案题号123456789101112答案A C D A B D C A AB ABD AD BCD 三、13．1214．{x |x ≥−1且x ≠0}15．5≤4a −2b ≤1016．1516；0或1312．四、解答题17．解：(1)由图象观察可知f (x )的单调增区间为(0,2]；……………………………………5分(2)函数f (x )的图象如图所示：……………………………………………7分f (x )<0的解集为(−∞,−4)∪(4,+∞)．………………………………………………………10分18．解：因为A ∩B ={9}，故9∈A 且9∈B ，………………………………………………1分所以2m −1=9，或者m 2=9，…………………………………………………………………3分解得m =5，或者=±3，…………………………………………………………………………5分当m =5时，A ={−4,9,25}，B ={0,−4,9}，A ∩B ={−4,9}，不合题意；……………………7分当m =3时，B ={−2,−2,9}，与集合元素的互异性矛盾；…………………………………9分当m=−3时，A={−4,−7,9}，B={−8,4,9}，A∩B={9}，符合题意；……………………11分综上所述，m=−3．……………………………………………………………………………12分19．解：(1)已知x<2，∴x−2<0.……………………………………………………………1分∴4x+1x−2=4(x−2)+1x−2+8……………………………………………………………………2分∴−4(x−2)−1x−2≥4，……………………………………………………………………………3分当且仅当−4(x−2)=−1x−2，即x=32时等号成立．………………………………………………4分∴4(x−2)+1x−2≤−4……………………………………………………………………………5分∴4x+1x−2=4(x−2)+1x−2+8≤4∴4x+1x−2的最大值为4………………………………………………………………………6分(2)解：∵x+4y+xy=5，∴5−xy=x+4y≥24xy=4xy……………………………………………………………………7分当且仅当x=4y，x+4y+xy=5即x=2，y=12时，等号成立……………………………………………………………………8分∴xy+4xy−5≤0………………………………………………………………………………9分∴xy≤1………………………………………………………………………………………11分∴xy的最大值为1……………………………………………………………………………12分20．解：(1)f(x)为R上的奇函数，……………………………………………………………1分∴f(0)＝0，得b＝0，…………………………………………………………………………3分又f(1)＝a＋b2＝12，∴a＝1，…………………………………………………………………5分∴f(x)＝xx2＋1……………………………………………………………………………………6分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第2页共4页）(2)f(x)在[1,＋∞)上为减函数，……………………………………………………………7分证明如下：在[1,＋∞)上任取x1和x2，且x1＜x2，……………………………………………8分则f(x2)−f(x1)＝x2x22＋1−x1x21＋1＝(x21＋1)x2－(x22＋1)x1(x21＋1)(x22＋1)＝x21x2－x22x1＋x2－x1(x21＋1)(x22＋1)＝(x1－x2)(x1x2－1)(x21＋1)(x22＋1)……………………9分∵x2>x1≥1，∴x1x2−1>0，x1−x2<0，…………………………………………………………10分∴f(x2)−f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，………………………………………………………………11分∴f(x)在[1,＋∞)上为减函数．…………………………………………………………………12分21．解：(1)由已知条件f(x)−g(x)＝x＋ax−2………………①………………………………1分①式中以−x代替x，得f(−x)−g(−x)＝−x−ax−2………②………………………………2分因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，故f(−x)＝−f(x)，g(−x)＝g(x)，②可化为−f(x)−g(x)＝−x−ax−2………③…………………………………………………3分①−③，得2f(x)＝2x＋2ax，……………………………………………………………………4分故f(x)＝x＋ax，g(x)＝2，x∈(−∞,0)∪(0,＋∞)；…………………………………………6分(2)由(1)知，f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2，x∈[1,＋∞)，……………………………………………7分当a≥0时，函数f(x)＋g(x)的值恒为正；……………………………………………………8分当a＜0时，函数f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2在[1,＋∞)上为增函数，…………………………9分故当x＝1时，f(x)有最小值3＋a，故只需3＋a＞0，解得−3<a<0.………………………………………………………………11分综上所述，实数a的取值范围是(−3,＋∞)．………………………………………………12分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第3页共4页）【法二：由(1)知，f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2，……………………………………………………7分当x∈[1,＋∞)时，f(x)＋g(x)＞0恒成立，等价于a＞−(x2＋2x)，…………………………9分而二次函数y＝−(x2＋2x)＝−(x＋1)2＋1在[1,＋∞)上单调递减，………………………10分x＝1时，y max＝−3，.…………………………………………………………………………11分故a＞−3………………………………………………………………………………………12分】22．解：(1)由题意知，y−x−(10＋2p)，…………………………………………2分将p＝3−2x＋1代入化简得y＝16−4x＋1−x(0≤x≤a)．…………………………………………5分【注：没注明定义域，扣1分】(2)当a≥1时，y＝17x＋−24x＋1×(x＋1)＝13，…………………………7分当且仅当4x＋1＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．…………………………………………8分所以当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元．…………………9分当0<a<1时，y＝16−4x＋1−x在(0,1)上单调递增，…………………………………………11分所以当0<a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大为4161aa－万元………12分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第4页共4页）。

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞03．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，47．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．68．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥29．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b310．（3分）不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件有（）A．x∈（0，2）B．x∈[1，+∞）C．x∈（0，3）D．x∈（1，3）11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为212．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集为（﹣1，4）．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的求解问题，是基础题．2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．3．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]【分析】进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，∴∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（∁R M）∩N＝（﹣∞，﹣1]∪（2，3]．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据绝对值的意义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵“|a﹣b|＝|a|+|b|”，∴平方得a2﹣2ab+b2＝a2+2|ab|+b2，即|ab|＝﹣ab，∴ab≤0，即“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值的意义是解决本题的关键，比较基础．5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”∀”与“∃”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑．6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，4【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b的值．解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，把根代入方程求出a的值，再解不等式求出b的值．【解答】解：解法一、不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2＝0的实数解为1和b，由根与系数的关系知，，解得a＝1，b＝2．解法二、因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根且a＞0，把x＝1代入方程ax2﹣3x+2＝0中，得a﹣3+2＝0，解得a＝1；将a＝1代入ax2﹣3x+2＞0，得x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，所以b＝2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数和二次不等式的关系应用问题，也考查了解不等式的问题，是基础题．7．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由已知结合a，b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为a＞b＞1且b＝，所以a+＝a+＝a﹣1+＝3，当且仅当a﹣1＝即a＝2时取等号，此时取得最小值3．故选：A．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．8．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥2【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果．【解答】解：命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0为假命题，所以m≥0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，所以△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，由于该命题为假命题，所以m≥2或m≤﹣2．当p，q为假命题时，故，整理得m≥2．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：恒成立问题和存在性问题，真值表，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．10．（3分）不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件有（）A．x∈（0，2）B．x∈[1，+∞）C．x∈（0，3）D．x∈（1，3）【分析】不等式x（x﹣2）＜0⇔0＜x＜2．即可判断出结论．【解答】解：不等式x（x﹣2）＜0⇔0＜x＜2．∵{x|0＜x＜2}⫋{x|0＜x＜3}，∴不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件是C．故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为2【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：x＞0时，≥2，当且仅当即x＝1时取等号，A正确；当x＞2时，y＝x+单调递增，故y＞，没有最小值，B错误；x＜可得4x﹣5＜0，y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤1，即最大值1，没有最小值，C错误；＝2a，不是定值，D不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，要注意一正，二定三相等条件的检验．12．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．【分析】由题意可得f（0）f（1）＜0，f（1）f（2）＜0，解得实数a的取值范围，可得答案．【解答】解：由题意可得：f（0）f（1）＜0，且f（1）f（2）＜0，即：解得，故选：C．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，得到f（0）f（1）＜0，f（1）f（2）＜0，是解题的关键．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是k＞2．【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|＜1}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：∵p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，∴集合{x|x≥k}是{x|＜1}＝{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，∴k＞2，故答案为：k＞2【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B并集为A，分B为空集与B不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可．【解答】解：由A中的不等式解得：﹣7≤2x﹣3≤7，解得：﹣2≤x≤5，即A＝[﹣2，5]；当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，当B≠∅时，∵B＝[m+1，2m﹣1]，A∪B＝A，∴，解得：﹣3≤m≤3，综上，m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．【分析】分别求出命题p，q都为真命题时a的取值范围，再分别讨论p真q假，p假q 真的情况，从而求出a的范围．【解答】解：x2﹣4x+a2≥0恒成立，则△＝16﹣4a2≤0，解得a≤﹣2或a≥2，对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，得a2﹣5a﹣3≥（）max＝3，解得a≥6或a≤﹣1．若p真q假，则，解得2≤a＜6；若p假q真，则，解得﹣2＜a≤﹣1．综上，实数a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．故答案为：﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．【点评】本题考查了命题的真假，不等式恒成立问题，考查了分类讨论与转化思想，是一道中档题．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为﹣2；﹣3．【分析】由A，B，以及A与B的交集，得到3属于B，即可求出a的值．【解答】解：A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}；A∪B＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，∴x2+ax+b＝0的解有一个是x＝3，另一个解x＝﹣1，即，解得a＝﹣2，b＝﹣3故答案为：﹣2，﹣3．【点评】此题考查了交集、并集及其运算，熟练掌握交集，并集的定义是解本题的关键．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝3时，求出集合A，由此能求出A∩B．（2）推导出，由此能求出实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x≤1或x≥4}．∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}．（2）∵集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．A∪B＝R，∴，解得a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查并集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．【分析】（1）方法一（因式分解法），把不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，求出解集即可．方法二（配方法），把不等式化为，求出解集即可．（2）不等式化为，求出解集即可．（3）不等式可化为（2x+1）2＞0，写出不等式的解集即可．（4）不等式可化为（x﹣3）2+1＜0，写出不等式的解集．【解答】解：（1）方法一（因式分解法）因为2x2+5x﹣3＝（2x﹣1）（x+3），所以原不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得，所以原不等式的解集为．方法二（配方法）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即，两边开平方，得，即，所以．所以原不等式的解集为．（2）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即．两边开平方，得，即或．所以或，所以原不等式的解集为．（3）原不等式可化为（2x+1）2＞0，所以原不等式的解集为．（4）原不等式可化为x2﹣6x+10＜0，即（x﹣3）2+1＜0，即（x﹣3）2＜﹣1，原不等式的解集为∅．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：若q是p的充分不必要条件，则B⫋A，∴﹣2≤3a或﹣4≥a，解得a≥﹣，或a≤﹣4，∵a＜0，∴a的取值范围是[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，属于基础题．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．【分析】（1）由已知可得30﹣xy＝x+2y，从而可求；（2）由已知可得30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，解不等式可求．【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，解可得，0＜xy≤18，（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，当且仅当x+1＝y时取等号，所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，解可得，x+y+1或x+y+1（舍），故x+y≥8﹣3【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，应用条件的配凑是求解问题的关键．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，有，（3分）整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．（5分）∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（6分）（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，（8分）等价于x＞25时，有解，（9分）∵（当且仅当x＝30时，等号成立），（11分）∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．（13分）【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）将f（1）带入可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，把b看成参数讨论关于a的不等式即可；（2）分离参数，利用对勾函数的性质求解最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（1）＞0，可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，即b﹣3＞a2﹣6a，那么（a﹣3）2＜6+b当b≤﹣6时，此时a无解；当b＞﹣6时，，∴所以不等式的解集为（3，3+）．（2）由f（x）≥b+4，即﹣3x2+a（6﹣a）x≥4．∵x∈[1，2]，∴a（6﹣a）≥＝，又x∈[1，2]，∴函数y＝的最大值8，此时x＝2．∴a（6﹣a）≥8，即a2﹣6a+8≤0，解得2≤a≤4；故得实数a的取值范围[2，4]．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用对勾函数求最值是解决本题的关键．。

南京师大附中2022－2023学年度第1学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合 Mx x A且x B ，集合3,4,5,6,7A，集合2,4,6,8B，则M （）A . 4,5,6B .5,6,7C . 2,8D .3,5,7【答案】D 【解析】【分析】根据集合M 包含的元素特征，结合A B 的结果可得结果.【详解】 4,6A B ， 3,5,7M .故选：D .2.已知a 为实数，使“ 3,4,0x x a ”为真命题一个充分不必要条件是（）A .4aB .5aC .3a D .5a 【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的真假性求得a 的取值范围，然后确定其充分不必要条件.【详解】依题意，全称量词命题： 3,4,0x x a 为真命题，ax 区间 3,4上恒成立，所以4a ，所以使“ 3,4,0x x a ”为真命题的一个充分不必要条件是“5a ”.故选：B3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A .若a ＜b ，则11abB .若a ＞b ＞0，则11bb a aC 若a ＞b ，则22ac bcD .若22ac bc ，则a ＞b【答案】D【解析】【分析】举反例说明选项AC 错误；作差法说明选项B 错误；不等式性质说明选项D 正确.【详解】当0a b 时，11ab，选项A 错误；1011b b abaaa a，所以11b b a a，所以选项B 错误；0c =时，22ac bc ，所以选项C 错误；22acbc 时，a b ，所以选项D 正确.故选：D4.设2lo g 93a ，则9a （）A .181B .19C .18D .16【答案】C 【解析】【分析】观察所求结构知把a 放到对数的真数部分作指数即可求解．【详解】解：321lo g 939298aaa，故选：C ．5.设m 为实数，若二次函数22yx x m 在区间 1, 上有且仅有一个零点，则m 的取值范围是（）A . 1,B .1, C .,1 D .R【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】二次函数22yx x m 的开口向上，对称轴为1x ，要使二次函数22yx x m 在区间 1, 上有且仅有一个零点，则需21210,1m m ，所以m 的取值范围是 ,1 .故选：C6.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知l g 20.3010 ，l g 30.4771 ，设51049N ，则N 所在的区间为（）A . 101110,10B .111210,10C .121310,10D .131410,10【答案】C 【解析】【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得l g N ，由此可得N .【详解】51049N ，5101020l g l g 4l g 9l g 2l g 310l g 220l g 3 3.0109.542N 12.552 ，12.55212131010,10N .故选：C .7.已知奇函数 f x 的定义域为(,0)(0,) ，且对任意两个不相等的正实数12x x ，，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x ，在下列不等式中，一定成立的是()A .()12)(f f --B .(1)(2)f f C .(2)(1)f f D .(2)(1)f f 【答案】A 【解析】【分析】利用题意得到 f x 在 0, 单调递增，可得到 12f f ，结合奇函数即可得到答案【详解】对任意两个不相等的正实数12x x ，， 11221221x f x x f x x f x x f x 可得12120x x f x f x，即 f x 在 0, 单调递增，所以 12f f ，因为 f x 是定义域为(,0)(0,) 的奇函数，且 11,22f f f f ，所以 12f f 即 12f f ，故选：A8.已知函数()f x 是定义域为区间[1,3] ，且图象关于点(1,1)中心对称．当13x 时， 11f x x x，则满足(1)()2f x f x 的x 的取值范围是（）A .[1,1] B .3,2C .30,2D .3,32【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，可得(2)()2f x f x，再与已知联立结合函数单调性及定义域解不等式作答.【详解】因函数()f x 的图象关于点(1,1)中心对称，则有(2)()2f x f x，而(1)()2f x f x ，于是得(1)()(2)()f f x f x x f x ，即(1)(2)x x f f ，又当13x 时， 11f x x x，有()f x 在(1,3]上单调递增，则()f x 在[1,1) 上单调递增，而(1)1f ，因此函数()f x 在[1,3] 上单调递增，于是得3121x x ，解得302x，所以满足(1)()2f x f x 的x 的取值范围是3[0,]2.故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9.若“0x M x ，”为真命题，“3x M x ，”为假命题，则集合M 可以是（）A .()1 ，B .[13] ，C .[02)，D .(33) ，【答案】AD 【解析】【分析】根据两个命题的真假，判断出集合M 中元素的范围，确定合适的答案.【详解】由题意x M ，0x 且x M ，3x ，即集合M 中一定要有小于0的元素，且任何元素都小于3，故1) (-，，(33) ，满足.故选：AD .10.下列说法正确的是（）A .“1a ”是“11a”的充分不必要条件B .命题“21,1x x ”的否定是“21,1x x ”C .“1x”是“201xx ”的既不充分也不必要条件D .设,R a b ，则“0a ”是“0ab ”的必要不充分条件【答案】ACD 【解析】【分析】对于ACD ，化简不等式即可判断；对于B ，利用全称命题的否定即可判断【详解】对于A ，由11a可得1a 或a <0，所以“1a ”是“11a”的充分不必要条件，故正确；对于B ，命题“21,1x x ”的否定是“2001,1x x ”，故不正确；对于C ，由201xx 解得2x 或1x ，所以“1x ”是“201x x ”的既不充分也不必要条件，故正确；对于D ，由0ab 解得0a 且0b ，所以“0a ”是“0ab ”的必要不充分条件，故正确，故选：ACD11.设,a b 为正实数，4ab ，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（）A .4a bB .228a b C .111abD .22ab【答案】AC 【解析】【分析】根据特殊值以及基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，由基本不等式得24a b ab ，当且仅当2a b 时等号成立，A 选项正确.B 选项，1,4a b 时，4ab ，但22178a b ，B 选项错误.C 选项，由基本不等式得111121aba b，，当且仅当11,2ab ab时等号成立，C 选项正确.D 选项，1,4a b 时，4ab ，但322ab，D 选项错误.故选：AC12.已知函数 1x f x x，则（）A . f x 是奇函数B . f x 在 0, 上单调递增C .方程 0f x x 有两个实数根D .函数 f x 的值域是,10, 【答案】BCD 【解析】【分析】求出函数的定义域，不关于原点对称可判断A ，分离常数后可得函数()f x 的单调性可判断B ，解方程可判断C ，分离常数求解函数值域可判断D .【详解】A ．函数 1x f x x的定义域为{|1}x x ，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误；B ．0x 时， 1111x f x xx，函数1yx 在 0, 上单调递增，则函数11y x在 0, 上单调递减，故()f x 在 0, 上单调递增，B 正确；C ．由题可得0x 是方程 0f x x 的一个根，0x时， 101001f x x x x(舍去)，0x时， 0f x x11021x x，故C 正确；D ．0x 时， 110,111x f x xx，10x 时，110,11x f x x x，当1x 时， 11,111x f x x x，所以函数的值域为 ,10, ，故D 正确.故选：BCD .三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.命题“x R ，1x 或2x ”的否定是____________．【答案】x R ，12x 【解析】【分析】由特称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为x R ，12x .故答案为：x R ，12x .14.已知三个不等式：①0ab ，②c d ab，③bc ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．【答案】3【解析】【分析】根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.【详解】由不等式性质，得000ab ab bc ad c d bc ada b ab；0ab c d bc ad ab；00c d bc adab a b ab bc ad bc ad．故可组成3个真命题．故答案为：3.15. l g 415415 的值为____________【答案】12##0.5【解析】【分析】将415 和415 配凑成完全平方的形式，代入所求式子中，结合对数运算可求得结果.【详解】 21061641541544， 21061641541544，1061061l g 415415l g l g 10222.故答案为：12.16.已知函数 221f x x x x a x b的图象关于直线1x 对称．若2 ，则a b____________，若4[]3, ，函数 y f x 的最小值记为 g ，则 g 的最大值为____________．【答案】①.1②.16【解析】【分析】根据函数的对称性，利用特殊值0213f f f f 得到方程组，求出a 、b 、 的关系，从而求出ab ，得到222221f x x x x x ，根据对称性仅研究1x 时函数最小值，，令22x x t ，21h t t t ，根据二次函数的性质求出 g ，再根据 的取值范围计算可得.【详解】解：当2 时， 22f x x x x a x b ，因为其图象关于1x 对称，所以022*********f f a b a f f a b b，即1a b ；当 3,4 时，因为其图象关于1x 对称，所以2400224213693133a b f f b a a b a b f f a，此时 222211221f x x x x x x x x x ，由对称性仅研究1x时函数最小值，令22x x t ，则1t ，令 21h t t t ， 1,t ，因为4[]3, ，所以 29,16 ， 218,15 ，则222m i n1124h t h，即2214g ，所以 m a x 316g g ；故答案为：1；16四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.化简求值（需要写出计算过程）（1）若1004a ，1025b ，求2a b 的值；（2）23ln 213248e lo g 2lo g 32lo g 327．【答案】（1）2（2）1 【解析】【分析】（1）先取对数将,a b 表示出来，代入计算即可；（2）直接计算即可.【小问1详解】1004l g 100l g 42l g 4aa a ，1025l g 25b b ，得2l g 4l g 25l g 1002a b 【小问2详解】原式223135232222lo g 2lo g 2lo g 33221253491344 1 18.已知集合A ＝{x ||x |－2≤0}，集合50xB xx．（1）设a 为实数，若集合C ＝{x |x ≥3a 且x ≤2a ＋1}，且C ⊆（A ∩B ），求a 的取值范围：（2）设m 为实数，集合2112022D x x m x m m，若x ∈（A ∪B ）是x ∈D 的必要不充分条件，判断满足条件的m 是否存在，若存在，求m 的取值范围：若不存在，请说明理由．【答案】（1） 1(0,]1,2 ；（2）存在；92,2.【解析】【分析】（1）根据解绝对值不等式的公式，结合分式的性质、交集的定义、子集的性质进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【小问1详解】20222xxx≤≤≤≤，所以 2,2A ，500550x xx x x x，所以 0,5B ，（1）由已知得 0,2A B ，①C 时，2131a a a ，此时满足题意；②C时，1a，要满足题意需21210302a a a综上所述，a 的取值范围是 1(0,]1,2；【小问2详解】由已知得 2,5A B ，由题意得D 是 A B 的真子集21111202222xm x m m x m x m m x m≤≤≤，所以1,2Dm m，要满足题意需2152m m（等号不同时成立）922m ≤≤答：满足条件的m 存在，取值范围是92,2．19.设a ，b ，c 为实数，且0a ，已知二次函数 2f x a x b x c ，满足 02f ，121f xf x x．（1）求函数 f x 的解析式：（2）设R t ，当x ∈[t ，t ＋2]时，求函数f （x ）的最大值g （t ）（用t 表示）．【答案】（1） 22f x x （2） 2222,22,202,0t t g x t t t【解析】【分析】（1）由题意，根据多项式相等的条件，建立方程组，可得答案；（2）根据二次函数的性质，由给定区间与对称轴之间的位置关系，利用分类讨论，可得答案.【小问1详解】由 02f ，解得2c ，所以 22f x a x b x ，22121112221f xf x x a x b x a x b x x，可得221a x a b x ，则221a a b ，解得1a b ，即22f x x ；【小问2详解】由 22f x x 可知其对称轴为y 轴，开口向下，①当20t ，即2t时，f x 在,2t t 上单调递增，所以2m a x222f x f t g t t ；②当0t 时， f x 在 ,2t t 上单调递减，所以 2m a x 2f x f t g t t ；③当02t t ，20t 时， f x 在 ,0t 上单调递增，在 0,2t 上单调递减，所以m a x02f x fg t综上所述， 2222,22,202,0t t g x t t t．20.某高校为举办百年校庆，需要40L 氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气8L ，按计划社团必须在30天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天L x 的速度制备氦气．已知每制备1L 氦气所需的原料成本为1百元．若氦气日产量不足4L ，日均额外成本为21416W x （百元）；若氦气日产量大于等于4L ，日均额外成本为29173W x x（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．（1）写出总成本W （百元）关于日产量 L x 的关系式（2）当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．【答案】（1）21644041,43934018,48x x x Wx xx（2）当社团每天制备2L 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元【解析】【分析】（1）根据生产天数要求，可确定x 的取值范围；计算可得日产量不足4L 和大于等于4L 时，1L 氦气的平均成本，由此可得关系式；（2）分别在443x ≤、48x 的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求得最小值，综合两种情况可得结论.【小问1详解】若每天生产L x 氦气，则需生产40x天，4030x，则43x；若氦气日产量不足4L ，则1L 氦气的平均成本为116141W x xx百元；若氦气日产量大于等于4L ，则1L 氦气的平均成本为2293118W xxx百元；21644041,43934018,48x x x Wx xx .【小问2详解】当443x ≤时，161642416x x xx（当且仅当164x x，即2x 时取等号），当2x 时，W 取得最小值 40161680 ；当48x 时，11184x，令1t x，则11,84t， 2409318W t t ，则当16t，即6x 时，W 取得最小值11401871042；综上所述：当社团每天制备2L 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元.21.设定义在R 上的函数 f x ，对任意,x y R ，恒有 f x y f x f y ．若0x 时， 0f x ．（1）判断 f x 的奇偶性，并加以说明；（2）判断 f x 的单调性，并加以证明；（3）设k 为实数，若t R ，不等式 20f t t f k 恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1） f x 是奇函数；证明见解析（2） f x 为减函数；证明见解析（3）1,4【解析】【分析】（1）令0x y 可求得 00f ，令0x 可得 f y f y ，由此可得奇偶性；（2）设x y ，由 0f x y 可得 0f x f y ，由此可得单调性；（3）利用单调性可将恒成立的不等式化为2k t t ，利用二次函数性质可求得2m a x14t t ，由此可得k 的取值范围.【小问1详解】令0x y ，则 0000f f f ；令0x ，则 0y f y f y f f ，即 f x f x ，()f x \为定义在R 上的奇函数.【小问2详解】设x y ，则0x y， 0fxy ，又 f x y f x f y ， 0f x f y ，()f x \为定义在R 上的减函数.【小问3详解】由 20f t t f k 得： 2f k f t t ，fx 在R 上单调递减，2kt t ；当12t时，2t t 取得最大值，最大值为111424，14k，即实数k 的取值范围为1,4.22.设a 为实数，已知函数211xx a f x xx为偶函数．（1）求a 的值；（2）判断()f x 在区间(0,) 上的单调性，并加以证明；（3）已知 为实数，存在实数m ，n 满足0n m ，当函数()f x 的定义域为11,m n时，函数()f x 的值域恰好为[2,2]m n ，求所有符合条件的 的取值集合．【答案】（1）1a ；（2） f x 在 0, 上单调递增；证明见解析；（3）{|3} .【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，利用偶函数的定义计算作答.（2）单调递增，再利用函数单调性定义推理作答.（3）利用（2）的结论，探讨函数的最值，转化为一元二次方程有两个正实根求解作答.【小问1详解】函数211xx a f x xx的定义域为(,0)(0,) ，因()f x 是偶函数，即 =f x f x ，因此221111xx a x x a xxxx，整理得 11x x a x x a ，即210ax ，于是得1a ，所以1a .【小问2详解】由（1）知， 2111f x xx，显然函数()f x 在(0,) 上单调递增，,(0,),s t t s ，则222222221111()()()st ststf s f t st st sstts tsts t，因0s t ，则0s t st ，0s t ，即 0f s f t ，因此 f x 在 0, 上单调递增.【小问3详解】由（2）知， f x 在11,m n上单调递增，又函数()f x 在11,m n上的值域恰好为[2,2]m n ，于是得1()21()2f m mf n n，有22(1)10(1)10m m n n ，即关于x方程 2110x x 在 0, 上有两个不等的正根m，n ，则2Δ(1)401010m n mn，解得3 ，所以取值集合是{|3} .【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题.第16页/共16页。

解得 ，且 ；所以函数 的定义域是 ．故选：C．
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]

南京师范大学附属实验学校2022—2023学年度第一学期期中反馈试卷 高一年级数学学科 2022.11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ＝{－1，2}，B ＝{1，2，5}，则A ∪B ＝( )A ．{2}B ．{－1，1，2，5}C ．{－1，2，5}D ．{1，2，5}2．已知命题P ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋1＜0，则⌝P ( )A ．∃x ∈R ，x 2－4x ＋1＞0B ．∀x ∈R ，x 2－4x ＋1＜0C ．∃x ∈R ，x 2－4x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x 2－4x ＋1≥03．不等式(x －1)(2x －1)＞0的解集是( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |x ＜1或x ＞2}C ．{x |12＜x ＜1}D ．{x |x ＜12或x ＞1} 4．已知x ＞2，x ＋4x －2的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．下列计算正确的是( )A ．x 4＋x 4＝x 16B ．(－2a )2＝－4a 2C ．x 7÷x 5＝x 2D ．m 2⋅m 3＝m 66．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )7．已知f (x －1)＝2x －5，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．38．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为γ＝0.6lg I ．2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为( )A．2 B．10 C．100 D．10000二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•设全集为R，集合A = {x∖0<x<2}, B = {xlx≥l),则An(QB)=( )A.{xlθ<x≤l)B. {xlθ<x<l)C. {xll≤x<2}D. {xlθ<J<2)【答案】B【解析】由题意可得C R B = {x∣x<l}, 结合交集的泄义可得An (C R B) = {O<X<1},故本题选择B选项.2.已知幕函数/(X)过点(2,丄)，则/⑴在其定义域内( )4A.为偶函数B.为奇函数C.有最大值D.有最小值【答案】A【解析】设幕函数为fM = x∖代入点(2，1),即2u=l, Λf∕ = -2,4 4f(x) = χ-2,定义域为(-00,0)U(O,+OO),为偶函数且/(x) = x^2∈(0,+oo),故选A.3.幕函数f(x) = (m2-2m + ∖)x2m~l在(0,乜)上为增函数，则实数加的值为( )A. 0B. 1C. 1 或2D. 2【答案】D【解析】因为函数/(X)是幕函数，所以加2_2加+ 1 =],解得加=0或Hl = 2, 因为函数/(X)在(0,-KC)上为增函数，所以2∕w-l>0,即w>∣, I n = 2, 故选D・4.函数f(x) =Ig(X2-I)V-X2 +x + 2的定义域为(A. (-∞厂2) U(I,+∞) B ・(一2,1) C. (-∞,-l)U(2,+∞)D. (1,2)【答案】Dx 2-l>O 【解析】?^l<x<2, A 函数的左义域为(1,2)・【答案】Cα-lvθ OVaVl,得 ≥β≤"<l,故选 C.22(α-l)-2d ≥ IOg (I 2下而各组函数中是同一函数的是(^(Λ) = √X +1 √x -l【答案】A【解析】函数y = 4-2?与V = -X √Σ27的定义域均为(-O 0],且 y = √=2√ =^J-2x ∙ y/7 = -Xy∣-2x ‘所以两函数对应法则相同，故A 正确:函数V = (√7)2的左义域为[O, +S),函数V=IxI 的左义域为R , 所以两函数不是同一函数，故B 错误；2函数/(x) = X 的定义域为R ,函数g (X)=—的左义域为{x∣x≠O}t 所以两函数不是同一函数，故C 错误;5.若函数/U)=在R 上单调递减，则实数d 的取值范用是(-x fc +x+2>0【解析】若函数∕ω =(G-I)X-2α, X<2y = J-2χ3 与 y = -x√-2x(G-I)X -2G , x<2函数^(X) = √7+T.√7^T 的上义域为［i,4∙s),所以两函数不是同一函数，故D 错误,【解析］V fM 与gd)都是偶函数,∙∙J(χ)∙g(χ)也是偶函数, 由此可排除A 、D, 又由 X→-H>o 时，/(x)∙^(x)→→0 ,可排除 B, 故选C.8・IOg W 2 = «, IOg Jπ3 = ⅛,则加2网的值为( )A. 6B ・ 7 C. 12 D ・ 18【答案】C【解析】Tlog 川2 = α, log fπ3 = Z?, ∙∙∙"{=2, =3，Irr a ^ = 〃严〃/ = (Hi o )2Hi h =22×3 = 12,故选 C.9.若函数/(x) = log l (-x 2+4x + 5)在区间(3∕n -2√π + 2)内单调递增.则实数加的取值范围 为()函数/(x) = √2√^T的泄义域为［芈2 ,+oθ)U(-°°,-故选A.7.函数/(x) = log 2g(x) = -x 2+2 ,则函数f(x)∙g(x)的图象大致()【答案】C【答案】C【解析】解不等式-χ2+4x+5>0,即4x-5v0,解得一1VXV5, 内层函数W =→2+4.V + 5在区间(72)上单调递增，在区间(2,5)上单调递减, 而外层函数y = Iog 1 "在左义域上为减函数，2由复合函数法可知，函数fW = IOg I (→∙2÷4x + 5)的单调递增区间为(2,5), 2由于函数f(x) = IOg I (-X 2+ 4Λ∙+5)在区间(3m- 2, m + 2)上单调递增，-2≥24所以，3ιn -2<m + 2 9 解得一 Smv2,3//? + 2 ≤ 5 4因此,实数加的取值范围是［-,2),故选C.【答案】Br的+3 = 4 U-IOgM = 4【解析】因为/(α)=4,所以< C 或(C a≤0a>0故选B.11.已知定义在R 上的奇函数/(X)满足/(x+2) = -∕(x),当时［0,1］ , /(x) = 2x -l,则()A. /⑹ nV*)B. /⑹ vf(¥)v/(_7)22X^, +310.设函数fM = ↑t IIl-IOg2 九4 B. ［亍4 C. l-,2)弋，若/(¢/) = 4,则实数d 的值为( x>0A.B.D.1 16a≤0 a>0C. /(-7) < /(y) < /(6)D. /(y) < /(6) < /(-7)【答案】B【解析】由题意得,因为/(x+2) = -∕(x),则/(x+4) = ∕(x), 所以函数/S)表示以4为周期的周期函数， 又因为/⑴ 为奇函数，所以/(-X) =-/U),所以/(6) = /(4 + 2) = /(2) = -/(O) = 0, /(-7) = /(-8 + 1) = /(1) = 1,12.已知函数/(Λ-) = Iog 1 (?-av-«)对任意两个不相等的实数Λ-p x 2∈(-σ□,-l),都满3 2足不等式"" >0,则实数G 的取值范围是()A- I -I ^) B- (^-Il c∙ hl 41D ∙ [7》【答案】C瞬析嘶 詈严2>。

南师附中2020-2021 学年度第一学期高三期中考试数学试题注意事项∶1.考试时间∶120 分钟，试卷满分150 分。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。

3.请用0.5 毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题纸、卡交回。

一、单项选择题1.已知集合A={x(x-1)2<4,x∈R},B={-2,-1,0,1,2}，则A B=（）A. {-1, 0,1, 2}2 + iB. {0,1, 2}C. {-0,1}D. {1, 2}2.设z = 1-i ，则z 的虚部为（）A. {-1, 0,1, 2}B. {0,1, 2}C. {-0,1}D. {1, 2}3.设m, n ∈R ，则“mn < 0”是“抛物线mx2 +ny = 0的焦点在y 轴正半轴上”的（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设λ为实数，已知向量m =(-1, 2), n=(1, λ).若m ⊥n ，则向量m + 2n 与m 之间的夹角为（）ππA. B.4 3 C.2πD.3π3 4变为原来的3，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的3，得到“商”；…….依次损益交替变2 4化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（）A. “宫、商、角”的频率成等比数列B. “宫、徵、商”的频率成等比数列( ) C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “徵、商、羽”的频率成等比数列6.若函数 f (x ) = A sin (ωx +ϕ)( A > 0,ω> 0, 0 <ϕ<π)的部分图像如图所示，则函数 f (x )图像的一条对 称轴是（ ）5π A.x = -B. x = -6 11π 12 C. x =11π 12 11π D.x =67.函数 f (x ) = e x- x 2- 2x (x ∈ R )的图像大致为（）⎧e x , 0 ≤ x < 1 8.设实数 k ，已知函数 f x = ⎨⎩x -1, x ≥ 1则(x 2 - x 1 ) f (x 1 )的取值范围是（ ）., 若函数 f (x )- k 在区间(0, +∞)上有两个零点 x 1, x 2 (x 1 < x 2 )， A. ⎡⎣1, e 2 ⎤⎦B. ⎡⎣1, e 2) C. ⎡⎣e, e2)D. ⎡⎣2, e2)9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为 8000 元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则下面结论中正确的是（）-22A. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元/月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少10.在平面直角坐标系 xoy 中，已知双曲线C : x y = 1(a > 0, b > 0 )的焦点在圆O : x 2 + y 2 = 20 上，圆abO 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于 M 、 N 两点，若点 E (0, 3)满足 ME ⊥ ON （ O 为坐标原点），下列说法正确的有（ ）A. 双曲线C 的虚轴长为 4B. 双曲线的离心率为C. 双曲线C 的一条渐近线方程为 y = 3x2D. 三角形OMN 的面积为 811.在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB = 2 ， E 、F 分别为 BB 1 、CD 中点， P 是棱 BC 1 上的动点，则下列说法正确的有（ ）A. A 1F ⊥ AEB. 三棱锥 P - AED 1 的体积与点 P 位置有关系C. 平面 AED 截正方体 ABCD - A B C D 的截面面积为 91D. 点 A 1 到平面 AED 1 的距离为x21 1 1 12π12.已知函数 f (x ) = π+ cos x -4(x ∈ R )，则下列说法正确的有（）A. 直线 y = 0为曲线 y = f (x )的一条切线；B. f (x )的极值点个数为 3；C. f (x )的零点个数为 4；D. 若 f (x 1 ) = f (x 2 )(x 1 ≠ x 2 )，则 x 1 + x 2 = 0 . 三、填空题5222x ⎪⎭ 2 613.二项式⎛ 2x - ⎝1 ⎫ 的展开式中 x 3的系数为 .14.已知α、β均为锐角，且sin α=2 , c os (α+ β) = 2 5，则cos 2β= .10 515.设 a , b 为实数，对于任意的 a ≥ 2 ，关于 x 的不等式 x ≤ e ax +b（ e 为自然对数的底数）在实数域 R 上恒成立，则b 的取值范围为.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的 纸片是由六个边长为 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为 .17.在△ABC 中，设内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，已知b cos C + c cos B = -4 cos A , a = 2 . （1）求角 A 的值；（2）若三角形 ABC 的面积为3 ，求△ABC 的周长.32 18.已知函数 f (x ) = a x（ a 为常数， a > 0 且 a ≠ 1）（1）在下列条件中选择一个条件（仅填序号），使得依次条件可以推出数列{a n }为等差数列，并说明理由；①数列{f (a n )}是首项为 4，公比为 2 的等比数列；②数列{f (a n )}是首项为 4，公差为 2 的等差数列；③数列{f (a n )}是首项为 4，公比为 2 的等比数列的前n 项和构成的数列；⎛ 1 ⎫n（2）在（1）的选择下，若 a = 2, b = (n ∈ N * )，求数列{a ⋅b }的前 n 项和 S .⎪ n nn ⎝ ⎭19.如图，在四棱锥 ABCD - A B C D 中，底面 ABCD 是菱形， AA = A B = 1AB = 1， ∠ABC = 60︒ ，1 1 1 1AA 1 ⊥ 平面 ABCD ，点 E 是棱 BC 上一点.（1）若 E 时 BC 中点，求证：平面 A 1DE ⊥ 平面CC 1D 1D ;11 12（2）即二面角 E - AD 1 - D 的平面角为θ，且 cos θ = 1，求线段CE 的长.320.第 13 届女排世界杯于 2019 年 9 月 14 日在日本举行，共有 12 支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布 N (270, 52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行 11 场比赛（采取 5 局 3 胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以 3∶0 或 3∶1 取胜的球队积 3 分，负队积 0 分；而在比赛中以 3∶2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分.已知第 10 轮中3+2 22 2国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0 <p < 1).（1）如果比赛准备了1000 个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）. （2）第10 轮比赛中，记中国队3∶1 取胜的概率为f (p).（ⅰ）求出f (p)的最大值点p0 ;（ⅱ）若以p0 作为p 的值记第10 轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列.21.设a 为实数，已知函数f (x)= e x +a e-x +(1-a)x - 2 .（1）当a = 2 时，求f (x)的单调区间；（2）当a ≥ 1时，若f (x)有两个不同的零点，求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C : x y=1(a >b > 0 )的离心率为1，以椭圆上的一点和长轴a b 2的两个端点为顶点的三角形面积最大值为2 .（1）求a,b 的值；（2 ）当过点P (6, 0)的动直线l 与椭圆C 交于不同的点A, B 时，在线段AB 上取点Q ，使得。

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＝3k +1，k ∈Z }，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0，2}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，0，2}D ．{1，﹣2}2．函数f(x)=√x 2+2x 的增区间是（ ） A ．[0，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣2]D ．（﹣∞，﹣1]3．若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣2x +m ＝0”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞）B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]4．已知幂函数f(x)=x −m2+2m的定义域为R ，且m ∈Z ，则m 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．25．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于（﹣1，0），（2，0）两点，则关于x 的不等式cx 2+x ﹣b ＞0的解集为（ ） A ．(−12，1) B ．(−∞，−12)∪(1，+∞) C ．(−1，12)D ．(−∞，−1)∪(12，+∞)6．设n 为正整数，f(n)=1+12+13+⋯+1n，人们对于f （n ）的研究已经持续了几百年，迄今为止仍没有得到求和公式，只是得到了它的近似公式：当n 很大时，f （n ）≈lnn +γ，其中γ称为欧拉﹣马歇罗尼常数，γ≈0.5772，至今还不确定γ是有理数还是无理数．由于上式在n 很大时才成立，故当n 较小时计算出的结果与实际值之间存在一定的误差，已知ln 2≈0.6931，用上式估算出的ln 4与实际的ln 4的误差绝对值近似为（ ） A ．0.03B ．0.12C ．0.17D ．0.217．函数f(x)=1+x 21−x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知互不相同的实数x ，y ，z ，满足3x＝4y＝6z，则2z x 3−z2y 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有下列陈述句：①247+=；②两个全等三角形的面积相等；③1x >．上述语句是命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()U A B ⋃=（ ） A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3-- 3．函数22y x x =--的零点是（ ）A ．()1,0-B ．()2,0C ．()1,0-或()2,0D ．1-和24．已知集合{}2,1A =-，{}2,1m B m =--，且A B =，则实数m 等于（ ）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1-和2 5．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N ⋂=（ ）A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<6．函数()f x =的定义域是（ ） A ．4x ≤且1x ≠ B ．[)4,+∞C ．()(),11,4-∞⋃D ．()(],11,4-∞⋃ 7．函数2()23f x x x =-+-，()0,3x ∈的值域为（ ）A ．()6,2--B ．()6,3--C ．(]6,2--D ．[]6,2--8．函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]1,1C ．[]0,4D ．[]1,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知下列命题中，真命题的是（ ）A ．x ∀∈R ，210x +>；B ．x ∀∈N ，21x ≥；C ．x ∃∈Z ，31x <；D ．x ∃∈Q ，23x =；10．下列运算结果中，一定正确的是（ ）A ．347a a a ⋅=B ．()326a a -= Ca = Dπ=-11．下列命题为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若23a -<<，12b <<，则42a b -<-<C ．若0b a <<，0m <，则m m a b> D ．若a b >，c d >，则ac bd >． 12．设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ）A ．12m n+B12 C的最小值为2 D ．22m n +的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题P ：“x R ∀∈，2230x x +->”，请写出命题P 的否定： ．14．设x R ∈，则“2x x =”是“1x =”的 条件（从“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”选一个填空）．15．已知函数224,02()log ,2x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩则/()4=f f ⎡⎤⎣⎦ ． 16．方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．计算、化简下列各式的值：（1）162016(2020)449⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭ （2）23425log 3log 4log 5log 4⨯⨯⨯．18．（1）已知2(1)23f x x x +=-+，求()f x ．（2）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x ．（3）已知函数()f x 满足12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x ． 19．已知函数()f x mx x x =-，且(2)0f =．（1）求实数m 的值，并判断()f x 的奇偶性；（2）作出函数()f x 的图象，并指出()f x 的单调减区间；（3）求[)2,3x ∈-时函数的值域．20．关于x 的不等式1x a -<的解集为A ，关于x 的不等式102x x -≤-的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．21．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？22．已知2()4x f x x =+，(2,2)x ∈-． （1）用定义判断并证明函数()f x 在(2,2)-上的单调性；（2）若(2)(21)f a f a +>-，求实数a 的取值范围．江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷参考答案一、1-5 CADCC 6-8 DCD二、9．AC 10．AD 11．BC 12．ABD三、13．x R ∃∈，2230x x +-≤ 14．必要不充分 15．-4 16．()3,1-四、解答题17．【答案】解：（1）60(2020)+--1216449-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ 10817399ππ=+-+-=+．（2）原式()232512log 32log 2log 5log 222⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ lg 3lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 2lg 5= 1=．18．答案：（1）令1t x =+则1x t =-．2()2(1)(1)3f t t t ∴=---+224213t t t =-+-++2256t t =-+．（2）()f x 为一次函数∴设()(0)f x kx b k =+≠．()()()f f x f kx b k kx b b ∴=+=++⎡⎤⎣⎦249k x kb b x =++=+． 249k kb b ⎧=∴⎨+=⎩23k b =⎧∴⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩ ()23f x x ∴=+或()29f x x =--．（3）12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭112()f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭． 21()33f x x x∴=-． 19．答案解：（1）由函数()f x mx x x =-，且(2)0f =，可得240m -=，2m ∴=．∴函数()2f x x x x =-，()f x 的定义域为R ，且()2()()f x x x x -=⋅---⋅-2()x x x f x =-+=-，()f x ∴为奇函数．（2）222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-=⎨+<⎪⎩． 它的图象如图所示：结合图象可得()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞．（3）当[)2,3x ∈-时，结合函数的图象可得，(1)1f -=-，(1)1f =，(3)3f =-，可知[)2,3x ∈-时，函数的值域为(]3,1-．20．【答案】解：因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集， 解不等式1x a -<，得11a x a -+<<+， 所以{}11A x a x a =-+<<+， 解不等式102x x -≤-，得12x ≤<，所以{}12B x x =≤<． 因为集合B 是集合A 的真子集，所以112121a a a a -<⇒<⎧⎨+≥⇒≥⎩12a ∴≤<．21．【答案】解：容积为4800，深为3∴底面积为480016003=，设水池底面一边的长为x 米，则另一边的长为1600x米，又设总造价为y 元． 16001501600120233y x x ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭1600240000720x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 0x >240000720297600y ∴≥+⨯= 当且仅当1600x x=，即40x =时，y 有最小值297600元． 答：当水池的底面为边长为40米的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．22．答案（1）()f x 在(2,2)-上为增函数．证明：任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <，所以()()1212221244x x f x f x x x -=-++()()()()21122212444x x x x x x --=++． 因为1222x x -<<<，所以210x x ->，1240x x -<则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数．（2）解：；由（1）知，()f x 在(2,2)-上单调递增，又(2)(21)f a f a +>-，所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13,223,a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩ 即102a -<<， 所以a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

2021-2022【南师附中】高三上期中考试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设U=R,已知两个非空集合P,Q满足(C U P)∪Q=R则()A.P∩Q=∅B.P⊆QC.Q⊆PD.P∪Q=R2.已知a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则三个数a,b,c的大小顺序是()A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b3.设a为实数,且a-i1+i为纯虚数(其中i是虚数单位),则a=()A.1B.-1C.12D.-24.若a为实数,则“a=1”是“f(x)=3x+a3x-a为奇函数的”()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.《张邱建算经》记载:今有女子不善织布,逐日织布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织布()A.180尺B.110尺C.90尺D.60尺6.2021年初,某市因新冠疫情面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难,全国各地志愿者纷纷驰援.现有5名医生志愿者需要分配到两家医院(每人去一家医院,每家医院至少去1人),则共有()A.12种B.30种C.18种D.15种7.抛物线C:y=x2的焦点为F,直线l经过点F与抛物线C相交于A,B两点,若点F是线段AB的三等分点,则直线l的斜率是()A.22B.±22C.24D.±248.若直线x +y -k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A 和B .已知O 是坐标原点,且满足|OA +OB |≥33|AB |,那么实数k 的取值范围是()A.(3,+∞)B.[2,+∞)C.[2,22)D.[3,22)二、多选题(本题共4小题,每小颗5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.设函数f (x )=2k (x -1)sin (1-x )cos ,其中k 是非零实数,则下列说法正确的是()A.函数f (x )的最大值为kB.把g (x )=k (x -2)sin 图象的每个点纵坐标不变,横坐标变成原来的一半,可得到f (x )的图象C.把h (x )=k 2x sin 的图象向右平移一个单位,可得到f (x )的图象D.直线x =1+π4是f (x )的一条对称轴10.设a >0,b >0,a +b =1,则下列说法正确的是()A.4a +1b的最小值为9B.a 2+2b 2的最小值为23C.a +b 没有最小值D.a +b 没有最大值11.双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称美、艺术美,而且是形成其它一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C :(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)是双纽线,则下列结论正确的是()A.曲线C 经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C.曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为(x2+y2)2=4(y2-x2)D.当|k|≥1,则直线y=kx与曲线C只有一个交点12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AA1,CC1的中点,过点E,F的平面分别与棱BB1,DD1交于点G,H,以下四个结论正确的是()A.正方体外接球的表面积为3πB.平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值π4C.四棱锥C1-EGFH的体积为定值D.点B1到平面EGFH的距离的最大值为63三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知(x +π6)sin =13,且x 为钝角,则2x cos =.14.在平行四边形中,AB =4,AD =3,EC =3DE ,AE ∙EB=-3,则AB ∙AD =.15.某地区为了解高中毕业年级男同学身体发育情况,从全地区高三年级男同学中随机抽取了10000名同学为样本,分别测量样本中每名同学的体重X (单位：kg ),已知X ~N (60,σ2),P (58<X <62)=0.7,则样本中体重不低于62kg 的人数为.16.已知函数f (x )=x e x ,x ≥ax ,x <a,若存在不相等的x 1,x 2,x 3,满足f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),则实数a 的取值范围是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=4,a 23=3a 4.(1)求a n 和S n ;(2)设b n =an +1S n S n +1,求数列{b n }的前n 项和T n18.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知Atan+Btan+Ctan= 3Btan Ctan.(1)求A的大小；(2)若a=3,请在如下的三个条件：①Bsin-Csin=22②b+2c=33③△ABC的面积为334中选择一个作为已知,求△ABC的周长.19.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是正方形,AA1=AB1=B1C=2,AB=BC,AB⏊BC.(1)求证：平面AB1C⏊平面ABC;(2)线段B1C上是否存在点E,使得直线A1E与平面AB1C所成角为π6?20.某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶,然后以每盒5元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的牛奶作为垃圾处理.(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位：盒)的函数解析式；(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量（单位:盒),整理得下表:日需求量48495051525354频数10201616151310以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶,X表示当天的利润（单位:元),求X的分布列及期望;②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶,从统计学角度分析,你认为应购进50盒还是51盒?请说明理由.21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)经过点P(-2,1)且C的右顶点到一条渐近线的距离为6 3(1)求双曲线C的方程;(2)过点P分别作两条直线l1,l2与C交于A,B两点(A,B两点均不与点P重合),设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.若k1＋k2=1,试问直线AB是否经过定点?若经过定点,求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由.22.设函数f(x)=xe x-a(x+1)2,其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间；ln恒成立,求a的取值范围.(2)若f(x)≥e x2021-2022【南师附中】高三上期中考试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设U=R,已知两个非空集合P,Q满足(C U P)∪Q=R则()A.P∩Q=∅B.P⊆QC.Q⊆PD.P∪Q=R【答案】B2.已知a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则三个数a,b,c的大小顺序是()A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b【答案】C3.设a为实数,且a-i1+i为纯虚数(其中i是虚数单位),则a=()A.1B.-1C.12D.-2【答案】A4.若a为实数,则“a=1”是“f(x)=3x+a3x-a为奇函数的”()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A5.《张邱建算经》记载:今有女子不善织布,逐日织布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织布()A.180尺B.110尺C.90尺D.60尺【答案】C6.2021年初,某市因新冠疫情面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难,全国各地志愿者纷纷驰援.现有5名医生志愿者需要分配到两家医院(每人去一家医院,每家医院至少去1人),则共有()A.12种B.30种C.18种D.15种【答案】B7.抛物线C:y=x2的焦点为F,直线l经过点F与抛物线C相交于A,B两点,若点F是线段AB的三等分点,则直线l的斜率是()A.22B.±22C.24D.±24【答案】D8.若直线x +y -k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A 和B .已知O 是坐标原点,且满足|OA +OB |≥33|AB |,那么实数k 的取值范围是()A.(3,+∞)B.[2,+∞)C.[2,22)D.[3,22)【答案】C【解析】设O 到直线的距离为d ,由题意得2d ≥33⋅2⋅4-d 2⇒d ≥1且d <2,即1≤|k |2<2,解得2≤k <2 2.二、多选题(本题共4小题,每小颗5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.设函数f (x )=2k (x -1)sin (1-x )cos ,其中k 是非零实数,则下列说法正确的是()A.函数f (x )的最大值为kB.把g (x )=k (x -2)sin 图象的每个点纵坐标不变,横坐标变成原来的一半,可得到f (x )的图象C.把h (x )=k 2x sin 的图象向右平移一个单位,可得到f (x )的图象D.直线x =1+π4是f (x )的一条对称轴【答案】BCD10.设a >0,b >0,a +b =1,则下列说法正确的是()A.4a +1b的最小值为9B.a 2+2b 2的最小值为23C.a +b 没有最小值D.a +b 没有最大值【答案】ABC11.双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称美、艺术美,而且是形成其它一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C :(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)是双纽线,则下列结论正确的是()A.曲线C 经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C.曲线C 关于直线y =x 对称的曲线方程为(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2)D.当|k |≥1,则直线y =kx 与曲线C 只有一个交点【答案】BCD【解析】对于A ：由B 知|x |≤2,所以当|x |=2时,y =0.当|x |=1时y 2=23-3不是整数.当|x |=0时,y =0,所以一共3个整点(2,0),(-2,0),(0,0),错误；对于B ：(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)≤4(x 2+y 2)⇒x 2+y 2≤4,正确；对于C ：根据点(x ,y )关于y =x 对称得到(y ,x ),易知正确；对于D ：联立得x 2(k 2+1)2x 2-4(1-k 2) =0,因为|k |≥1,所以(k 2+1)2x 2-4(1-k 2)≥0,所以只有x =0一根,即交点为(0,0),正确.12.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别是棱AA 1,CC 1的中点,过点E ,F 的平面分别与棱BB 1,DD 1交于点G ,H,以下四个结论正确的是()A.正方体外接球的表面积为3πB.平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值π4C.四棱锥C 1-EGFH 的体积为定值D.点B 1到平面EGFH 的距离的最大值为63【答案】ACD 【解析】对于A :R =32,S =4πR 2=3π,正确；对于B ：成最大角时为平面EBFD 1或平面EB 1FD ,所成角=∠D 1BD <π4,错误；对于C ：V C 1-EGFH =V C 1-EFG +V C 1-HEF =V E -C 1FG +V H -C 1EF =16,正确；对于D ：设H (0,0,m ),则平面EGFH 的法向量n=(m -12,m -12,1)d =EB 1 ⋅n |n |=m 2m 2-m +32=132m 2-2m +2≤132-2+2=63,正确.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知(x +π6)sin =13,且x 为钝角,则2x cos =.【答案】7-461814.在平行四边形中,AB =4,AD =3,EC =3DE ,AE ∙EB=-3,则AB ∙AD =.【答案】615.某地区为了解高中毕业年级男同学身体发育情况,从全地区高三年级男同学中随机抽取了10000名同学为样本,分别测量样本中每名同学的体重X (单位：kg ),已知X ~N (60,σ2),P (58<X <62)=0.7,则样本中体重不低于62kg 的人数为.【答案】150016.已知函数f (x )=x e x ,x ≥ax ,x <a,若存在不相等的x 1,x 2,x 3,满足f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),则实数a 的取值范围是.【答案】(0,1)【解析】x e x '=1-x e x ,所以x e x 在(-∞,1)↗(1,+∞)↘,又x e x=x 只有一解x =0,观察到y =x 恰是x e x 在(0,0)处的切线.画出草图可知a ∈(0,1)四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=4,a 23=3a 4.(1)求a n 和S n ;(2)设b n =an +1S n S n +1,求数列{b n }的前n 项和T n【答案】(1)a n =3n -1,S n =3n -12(2)T n =1-23n +1-118.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知Atan+Btan+Ctan= 3Btan Ctan.(1)求A的大小；(2)若a=3,请在如下的三个条件：①Bsin-Csin=22②b+2c=33③△ABC的面积为334中选择一个作为已知,求△ABC的周长.【答案】(1)A=π3(2)选③,周长为3319.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是正方形,AA1=AB1=B1C=2,AB=BC,AB⏊BC.(1)求证：平面AB1C⏊平面ABC;(2)线段B1C上是否存在点E,使得直线A1E与平面AB1C所成角为π6?【答案】B1C中点20.某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶,然后以每盒5元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的牛奶作为垃圾处理.(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位：盒)的函数解析式；(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量（单位:盒),整理得下表:日需求量48495051525354频数10201616151310以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶,X 表示当天的利润（单位:元),求X 的分布列及期望;②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶,从统计学角度分析,你认为应购进50盒还是51盒?请说明理由.【答案】(1)y =5n -150,0≤n ≤50100,n >50 (2)①E (X )=98②50盒X9095100P1101571021.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)经过点P(-2,1)且C的右顶点到一条渐近线的距离为6 3(1)求双曲线C的方程;(2)过点P分别作两条直线l1,l2与C交于A,B两点(A,B两点均不与点P重合),设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.若k1＋k2=1,试问直线AB是否经过定点?若经过定点,求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由.【答案】(1)x22-y2=1；(2)(-4,-3)【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)①当AB斜率不存在时:设AB:x=n,所以y2=n22-1,则k1+k2=y1-1n+2+y2-1n+2=-2n+2=1⇒n=-4即AB:x=-4②当AB斜率存在时设AB:y=kx+m,联立得(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0x1+x2=4mk1-2k2,x1x2=-2m2-21-2k2k1+k2=y1-1x1+2+y2-1x2+2=2kx1x2+(m-1+2k)(x1+x2)+4m-4x1x2+2(x1+x2)+4=1化简得m2+(2-6k)m+8k2-2k-3=0即m+3-4km-2k-1=0所以m=4k-3或m=2k+1分别过(-4,-3)和(-2,1)舍去综上,AB恒过(-4,-3)22.设函数f(x)=xe x-a(x+1)2,其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥e xln恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)①a≤0时,(-∞,-1)↘(-1,+∞)↗②0<a<12e时(-∞,2aln)↗(2aln,-1)↘(-1,+∞)↗③a=12e时,R↗④a>12e时,(-∞,-1)↗(-1,2aln)↘(2aln,+∞)↗【解析】(2)a≤xe x-e xln(x+1)2=g(x),x>0g'(x)=e x(x+1)2-e(x+1)x-2xe x+2e xln(x+1),g'(1)=0令h(x)=e x(x+1)2-e(x+1)x-2xe x+2e xlnh'(x)=e x(x+1)2+2(x+1)+ex2-2e x(x+1)+2e x=e x x+12+e(1+2x)x2>0所以h(x)在(0,+∞)↗,即0<x<1时,h(x)<h(1)=0,x>1时,h(x)>0所以g(x)在(0,1)↘(1,+∞)↗所以a≤g(1)=e 4。

552⎨()南师附中2020-2021 学年度第一学期期中高一数学一、单项选择题：本大题共8 小题,每小题5 分，共40 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. 已知全集U={-1,0,1,2}，A={-1,1}，则集合U A=（）．A. {0, 2}B. {-1, 0}C. {0,1}D. {1, 2}2. “x =1”是“x2 - 5x + 4 = 0 ”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 命题“∃x∈R,x2-x-1>0”的否定是（）．A. ∃x ∈R, x2-x -1 < 0C. ∀x ∈R, x2-x -1 ≤ 0B. ∃x ∈R, x2-x -1 ≤ 0D. ∀x ∈R, x2-x -1 > 04. 已知x2+x-2=3，则x+x-1的值为（）．A. B. 1 C.⎧2x -x2 , 0 ≤x ≤ 3± D. ±15. 函数 f (x)=⎪1⎪⎩x,x < 0的值域为（）．A. [-3,1]B. (-∞,0)C. (-∞,1)D. (-∞,1]6.下列四组函数中，f (x)与g (x)（或g (t )）表示同一个函数的是（）A. f (x)=C. f (x)=g (x)=xx2 +x - 2g x =x + 2x -1B. f (x)=D. f (x)=xg (t )=(g (t )=t )27. 已知实数a > 0,b > 0 ，且1+1=1，则a+2b的最小值为（）．A. 3 + 2x3a b +1B. 2 +1C. 4D.3+352 28.函数f(x)=x2 -1的图像大致为（）．A B C D.3 x3x2t22二、多项选择题：（本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要2 2 2 2 ⎨0, x 为无理数 ⎨ ⎩求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分）9. 设集合 A = {x x 2 - 2x = 0}，则下列表述不正确的是（）．A. {0}∈ AB. 2 ∉ AC. {2}∈ AD. 0 ∈ A10. 下列四个条件中，能成为 x > y 的充分不必要条件的是（）A. xt 2 > yt 2B. xt > ytC. x > yD. 0 < 1 < 1x y11. 下列命题中是真命题的有（）．A.若函数 f ( x ) 在(-∞,0]和(0, +∞) 上都单调递增，则 f ( x ) 在R 上单调递增； B. 狄利克雷函数 f ( x ) = ⎧1, x 为有理数在任意一个区间都不单调；⎩C. 若函数 f (x ) 是奇函数，则一定有 f (0) = 0 ； D. 若函数 f (x ) 是偶函数，则可能有 f (0) = 0 ； 12. 已知a > 1， b > 1 ，且ab - (a + b ) = 1 ，那么下列结论正确的有（）．A. a + b 有最大值2 + 2B. a + b 有最小值2 + 2C. ab 有最大值 +1D. ab 有最小值2 + 3三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上⎧0, x > 013. 已知 f ( x ) = ⎪-1, x = 0⎪3x - 2, x < 0 ，则 f ( f ( f (6)))= ．14. 已知函数 f (x ) = ax 5 + bx 3 + c+ 7 ， f (-3) = 5 ，则 f (3) = ．x15. 某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子 60 元/盒，桔子 65 元/盒，水蜜桃 80 元/盒，荔枝 90 元/ 盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到 120 元，顾客就少付 x 元， 每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80% .① x = 10 时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付元；② 在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即 70%），则 x 的最大值是．16. f (x ) 为定义在R 上的偶函数， g ( x ) = f ( x ) - 2x 2 在区间[0, +∞) 上是增函数，则不等式 f (x +1) - f (x + 2) > -4x - 6 的解集为．9 ⎪ 2 3 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分 10 分）2 已知a ,b 均为正数，证明： a + b≥ a + b ．b a18. （本小题满分 12 分）计算：- 1⑴ e ln 2 + ⎛ 4 ⎫ 2+⎝ ⎭⑵ (lg 2)2+ lg5 ⋅ lg 20 + log 3⋅log 4 ．19. （本小题满分 12 分）已知二次函数 f ( x ) 的值域为[-4, +∞) ，且不等式 f ( x ) < 0 的解集为(-1,3) ． ⑴ 求 f ( x ) 的解析式；⑵ 若对于任意的 x ∈[-2, 2] ，都有 f ( x ) > 2x + m 恒成立，求实数m 的取值范围.⎣20. （本小题满分 12 分）某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一 C 块面积为 100 平方米的矩形区域 ABCD 修建花圃，规定 ABCD 的每条边长不超过 20 米．如图所示，要求矩形区域 EFGH 用来种花，且点 A , B , E , F 四点共线，阴影部分为 1 米宽的种草区域．设 AB = x 米，种花区域 EFGH 的面积为 S 平方米． ⑴ 将 S 表示为 x 的函数； ⑵ 求 S 的最大值．21. （本小题满分 12 分）已知集合 A = {y | y = 4x - x 2 }，集合 B = {x | x 2 - x + a - a 2 < 0}． ⑴ 若 A B = A ，求a 的取值范围；⑵ 在 A B 中有且仅有两个整数，求a 的取值范围．22. （本小题满分 12 分）设 f ( x ) = x + a（ x > 0 ， a 为大于 0 的常数）x ⑴ 若 f ( x ) 的最小值为 4，求a 的值；⑵ 用定义证明： f ( x ) 在⎡ a , +∞)上是增函数； ⑶ 在⑴的条件下，当 x > 1时，都有 f ( x ) > m - m + 1恒成立，求实数m 的取值范围．xAEF BGH⎝ ⎭【答案】A ；【解析】由补集定义知选 A ． 2. 【答案】B ；【解析】因为{1} 是{x x 2 - 5x + 4 = 0}的真子集，所以“ x = 1”是“ x 2 - 5x + 4 = 0 ”的充分不必要条件． 3.【答案】C ；【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C ． 4. 【答案】C ；【解析】由(x + x -1 )2= x 2 + x -2 + 2 = 5 ，知 x + x -1 = ± 5.【答案】D ；5 ，故选 C ．【解析】当 x < 0 时， f ( x ) = 1 单调递减，范围为(-∞,0)，当0 ≤ x ≤ 3 时， f ( x ) = 2x - x 2 在[0,1] 上单调递 x增，在[1,3] 上单调递减，范围是[-3,1] ，所以函数值域为(-∞,1] ，故选 D ．6.【答案】D ；【解析】A 选项， f ( x ) = x ，故错误；B 选项，定义域不同，故错误；C 选项，定义域不同，故错误；D 选项，是同一函数，故选 D ．7.【答案】B ；【解析】a + 2b = a + 2(b +1) - 2 =⎛ 1 + 1 ⎫⎡a + 2(b +1)⎤ - 2 = 3 + 2(b +1) + a - 2 ≥ 2 2 +1 ，当且仅当a = 1+8.2 且b =a b +1⎪⎣ ⎦ 2 时等号成立，故选 B ．2a b +1 【答案】A ；【解析】 f ( x ) 定义域为(-∞, -1) (-1,1) (1, +∞) ，是奇函数，当x → +∞ 时， f ( x ) → +∞ ，故选 A ．⎩【答案】ABC ；【解析】 A = {0, 2} ，故选 ABC ． 10. 【答案】ACD ；【解析】A 选项，若 xt 2 > yt 2 ，则t 2 ≠ 0 ，则 x > y ，反之不成立，A 正确；B 选项，当t < 0 时， x < y ，B 错误；C 选项，若 x > y ，由 y ≥ y ，则 x > y ，反之不成立，C 正确；D 选项， f ( x ) = 1 在(0, +∞) 单调递减，若0 < 1 < 1，则 x > y ，反之不成立，D 正确；x x y 故选 ACD ．11.【答案】BD ；【解析】A 选项，若 f ( x ) = ⎧x , x ≤ 0是一个反例，A 错误；12.⎨ln x , x > 0 B 选项，在任意区间 I 上总可以取 x 1 , x 2 ∈Q ，使 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ，则 f ( x ) 在 I 上不单调，B 正确； C 选项， f ( x ) = 1是一个反例，C 错误； x D 选项， f ( x ) = x 2 符合要求，D 正确； 故选 BD ． 【答案】BD ； 【解析】法一：令a + b = s , ab = t ，由题意可得 s > 2,t > 1， t - s = 1，由基本不等式 s ≥ 2 t ，则t -1 ≥ 2 ，由t > 1 可得t 2 - 2t +1 ≥ 4t ，则t ≥ 3 + 2 ， a = b = 2 +1取等；s ≥ 2 s +1 ，由 s > 2 可得 s 2- 4s - 4 ≥ 0 ，则 s ≥ 2 + 2 ， a = b = 2 +1取等；故选 BD ； 法二：由ab - (a + b ) = 1 可得(a -1)(b -1) = 2 ，令m = a -1 > 0, n = b -1 > 0 ，则a + b = m + n + 2 ≥ 2 + 2 = 2 + 2 ， m = n = 2 取等；ab = (m +1)(n +1) = mn + m + n +1 = 3 + m + n ≥ 3 + 2 故选BD ．，m = n = 2 取等； t 2 2 mn 2 2+ b ⎪⎪ ⎨ ⎛ a + b ⎫ > 3 3 【答案】-5 ；【解析】 f ( f ( f (6)))= f ( f (0)) = f (-1) = -5 ． 14.【答案】9 ；【解析】 f (3) + f (-3) = 7 + 7 = 14 ，所以 f (3) = 14 - 5 = 9 ．15.【答案】130 ；15 ．【解析】① 60 + 80 -10 =130 ；②由题意可知，购买总价刚好为120 元时，折扣比例最高， 此时有0.8⨯(120 - x ) ≥ 0.7 ⨯120 ， 解得 x ≤ 15 ．16.【答案】⎛-∞, - 3 ⎫ ；2 ⎪ ⎝ ⎭【解析】由 f (x ) 为偶函数，可知 g ( x ) 也为偶函数，且在R 上先减再增， 由 f (x +1) - f (x + 2) > -4x - 6 ，可知 f ( x +1) - 2( x +1)2> f ( x + 2) - 2( x + 2)2，即 g (x +1) > g (x + 2) ， 可知 x +1 > x + 2 ，解得 x <- 3.2 17.【答案】详见解析．【解析】法一：由基本不等式可得，2 2 b + + a ≥2(a + b ) ， b a⎧ a 2 =当且仅当⎪ b b 2= ⎩a 则原式得证．b，即a = b 时取等， a2 2 法二： ⎪(a + b ) = a2 + b 2 + a3 + b 3 ⎝ b a ⎭b a 由 a > 0,b > 0 ，可得a + b > 0 ， b 0, a> 0 ， ab > 0 ，a ba ，b ⎫ 9 ⎪2 3 ⎩⎩ 222⎛ a 2 则 +2 ⎪(a + b ) ≥ a 2 + b 2 + = a 2 + b 2 + 2ab = (a + b )2 ，⎝ b a ⎭ 2 由 a + b > 0 可得 a + b≥ a + b aa 2b 2a 2 -b 2b 2 - a 2(a - b )(a 2 - b 2 ) (a - b )2 (a + b )法三： + - (a + b ) =+ = =，b a b aabab2 2 由 a > 0,b > 0 可得 a + b - (a + b ) ≥ 0 即 a + b≥ a + b ．b a b a18.【答案】⑴ 3；⑵ 3 ．2【解析】⑴- 1eln 2+ ⎛ 4 ⎫ 2+⎝ ⎭= 2 + 3 - 2 = 3 ； 2 2 ⑵ (lg 2)2+ lg5 ⋅ lg 20 + log 3⋅log 4 = (lg2 + lg5)2+ 2 = 3 ． 19.【答案】⑴ f (x ) = x 2 - 2x - 3 ；⑵ m < -7 ．【解析】⑴ 设 f (x ) = ax 2 + bx + c ，由题意可知：⎧ f (-1) = a - b + c = 0⎧a = 1 ⎪ f (3) = 9a + 3b + c = 0 ，解得⎪b = -2 ，即 f (x ) = x 2 - 2x - 3 ； ⎨ ⎪ f (1) = a + b + c = -4 ⎨ ⎪c = -3 ⑵ m < x 2 - 4x - 3 对 x ∈[-2, 2] 恒成立， 令 g ( x ) = x 2 - 4x - 3 ，当 x ∈[-2, 2] ，可知 g ( x )∈[-7,9]， 故 m < -7 ．20.【答案】⑴ S = 102 -200 - x (5 ≤ x ≤ 20) ；⑵ S 的最大值为102 - 20 2 ．x【解析】⑴ 因为 AB = x ，所以 AD =100 ， EF = x - 2 ， FG =100-1；xx所以 S = ( x - 2)⎛ 100 -1⎫ = 102 - 200 - xx ⎪x ⎝ ⎭ 因为0 < x ≤ 20, 0 < 100 ≤ 20 ，解得5 ≤ x ≤ 20 ，所以 S = 102 - 200- x (5 ≤ x ≤ 20) ；x xa 2b 2 5 -32b ．⑵ S ≤ 102 - 2 = 102 - 20 ，当且仅当 x = 10 2 时取等所以 S 的最大值为102 - 20 2 ．21.【答案】⑴ 0 ≤ a ≤ 1 ；⑵ [-1, 0) (1, 2]； 【解析】⑴ 因为 A 所以 B ⊆ A ， 因为4x - x 2 ≤ 4 ， 所以 A = [0, 2] ；集合 B 的不等式可化为(x + a -1)(x - a ) < 0 ，① B =∅ ，即∆≤ 0 ，解得a = 1，符合；2② B ≠∅ ，即a ≠ 1 时，此时0 ≤ a ≤ 2,0 ≤1- a ≤ 2 ，解得0 ≤ a ≤ 1 且 a ≠ 1；2 2 综上0 ≤ a ≤ 1 ；⑵ 集合 A 中有三个整数0,1, 2 ， B = {x | ( x - a )( x + a -1) < 0} ； 由 A B 中有且仅有两个整数，可得 B 中有0,1, 2 中的两个整数；a < 1- a 即 a < 1时， B = (a ,1- a ) ，2则 B 中整数仅有有0,1 或仅有1, 2 ，若仅有0,1 ，则-1 ≤ a < 0,1 <1- a ≤ 2 ，解得-1 ≤ a < 0 ； 若仅有1, 2 ，则0 ≤ a < 1 ， 2 < 1- a ≤ 3 ，无解；a = 1- a 即 a = 1时， B =∅ ，不满足题意；2 a > 1- a 即 a > 1时， B = (1- a , a ) ，2则 B 中整数仅有有0,1 或仅有1, 2 ，若仅有0,1 ，则-1 ≤1- a < 0,1 < a ≤ 2 ，解得1 < a ≤ 2 ， 若仅有1, 2 ，则0 ≤ 1- a < 1 ， 2 < a ≤ 3 ，无解； 综上，实数a 的取值范围是[-1, 0)(1, 2] ．x ⨯ 200x 2 B = Aa a 6 6 ⎣ ⎣ x x x x22.【答案】⑴ 4；⑵ 证明见解析；⑶ 【解析】⑴ 由基本不等式 f ( x ) ≥ 2m < 2+ 2 ．当且仅当 x = 解得a = 4 ；⑵ 任取 x 1 , x 2 ∈⎡ a 时取等，所以2 = 4a , +∞)，设 x 1 < x 2 ，f ( x ) - f ( x ) = ( x - x ) + a( x - x ) = ( x - x ) x 1 x 2 - a ， 1 2 1 2因为 ≤ x 1 < x 2 ； 2 1 1 21 2 1 2所以 x 1x 2 > a , x 1x 2 - a > 0 ， 又因为 x 1 - x 2 < 0 所以 f (x 1 ) - f (x 2 ) < 0 所以 f (x 1 ) < f (x 2 ) 所以 f ( x ) 在⎡ a , +∞)上是增函数 得证；⑶ 原不等式可化为 x 2 + 4 > mx - m -1x 2 + 5 6即 m < = x + 1 + x -1x -1 恒成立因为 x +1 +6 x -1 = x -1 + 6 x -1+ 2 ≥ 2 6 + 2 ， 当且仅当 x -1 = 即 x = 1+ 6 时取等 所以m < 2 + 2 ．6 a。

2021-2022学年度第一学期期中高一年级数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合{}25A x x =−≤≤，{}1B x x =≥，则A B =（ ）．A. []1,5B. []2,1−C. [)2,1−D. ()2,1−2. 若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，则22a b >B. 若c a <，则cb ab <C. 若0ab ≠且a b <，则11a b> D. 若a b >，则a c b c +>+3. 已知0a >=（ ）A. aB. 52aC. 54aD. 38a4. 已知正数,a b 满足4a b +=，则ab 的最大值为（ ）．A.B. 1C. 2D. 45. 设:p x a <，:01q x <<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 0a ≤B. 0a >C. 12a ≥D. 1a ≥6. 下列函数是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ）．A. 13y x = B. 1y x x=+C. y x =D. 3y x −=7. 已知偶函数()f x ，当0x ≥时，()22f x x x =−，则不等式()0f x x<的解集是（ ）． A. ()2,2−B. ()(),20,2−∞−C. ()()2,02,−+∞D. ()(),22,−∞−+∞8. 二次函数26y x x m =−+的两个零点都在区间()2,+∞内，则m 的取值范围为（ ）．A. 9m <B. 89m <<C. 09m <<D. 8m ≥二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 下图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是（ ）．A. 赵红出生时的体重为4kgB. 赵红的体重随年龄的增长而增加C. 赵红25岁之后，体重不变D. 赵红体重增加最快的时期是0-15岁10. 下列说法正确的是（ ）．A. 0y x =与1y =是同一函数B. 若0,0x y >>，则()lg lg lg x y x y +=+C. 当0x <时，12x x+≤− D. 正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为911. 已知函数()[]()22412,2f x x x =+∈−，下列说法正确的是（ ）．A. ()15f =B. ()f x 为偶函数C. ()1f x −的图像关于1x =对称D. ()f x 的定义域为[]1,1−12. 已知函数()f x =，()g x ，下列说法正确的是（ ）．A. ()()f x g x 的最大值为1B. ()()2f x g x −的值域为⎡⎣C. ()()f x g x +的最大值为2D.()()f xg x 在()1,3上单调递减三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 若函数()f x 满足()()(),,x y f xy f x f y ∀∈=R ，写出一个符合要求的解析式()f x = ．14. 设m 为实数，若函数()()22f x x mx m x =−++∈R 是偶函数，则m 的值为 ．15. 已知,a b 是方程()2110lg log 60x x −−=的两个实数根，则log log a b b a += ．16. 函数()33f x x x =+−−是R 上的 函数（用“奇”、“偶”、“非奇非偶”填空），若()()2145f a f a >−，则实数a 的取值范围是 ．年龄/岁40三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本题8分）计算：⑴()2ln 230.125e −++⑵ ()22lg5lg 2lg50lg 2lg 0.1+++．18. （本题10分）已知集合01x a A x x ⎧−⎫=<⎨⎬+⎩⎭，()(){}10B x x t x t =−−−>．⑴ 若集合(),3A b =，求a b +的值； ⑵ 若1a =且A B =R ，求t 的取值范围．19. （本题10分）某兴趣小组开展关于市区道路上车流速度v （单位：千米/小时）与车流密度x （单位：辆/千米）关系的研究，研究表明：当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，当20170x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数，当车流密度为170辆/千米时，车流速度为10千米/小时． ⑴ 当0170x ≤≤时，求函数()v x 的解析式：⑵ 已知车流量()f x vx =（单位时间内通过路上某观察点的车辆数，单位：辆/小时），当车流密度[]()20,170x x ∈为多少时，车流量最小并求出最小值．20. （本题10分）已知函数()f x =A . ⑴当4a =时，写出()f x 单调增区间； ⑵若A =R ，求a 的取值范围； ⑶若[]1,4A ⊆，求a 的取值范围．21. （本题10分）已知函数()1xf x x =+． ⑴ 判断()f x 在[)0,+∞上的单调性并用定义证明；⑵ 判断下列说法的正误：（正确的在括号里打√，错误的在括号里打×）； ① ()f x 是奇函数（ ）； ② ()f x 在R 上单调递增（ ）； ③ ()f x 的值域为R （ ）； ④ 不等式()12f x >的解集为()1,+∞（ ）； ⑤ x ∀∈R ，()()10f x f x +−>（ ）； ⑥ x ∃∈R ，()()32112f x f x x +−−+=（ ）；⑦ 不等式()0f x ax −>有解的充要条件是11a −<<（ ）； ⑧ 关于x 的方程()af x x=在[)1,+∞上有解的充要条件是0a >（ ）．2021-2022数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合{}25A x x =−≤≤，{}1B x x =≥，则A B =（ ）．A. []1,5B. []2,1−C. [)2,1−D. ()2,1−【答案】A ；【解析】[]1,5A B =，故选A ．2. 若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，则22a b >B. 若c a <，则cb ab <C. 若0ab ≠且a b <，则11a b> D. 若a b >，则a c b c +>+【答案】D ；【解析】根据不等式性质可知只有D 正确．3. 已知0a >=（ ）A. aB. 52aC. 54aD. 38a【答案】C ；135244a a a ⨯=，故选C ．4. 已知正数,a b 满足4a b +=，则ab 的最大值为（ ）．A.B. 1C. 2D. 4【答案】D ； 【解析】()244a b ab +≤=，当且仅当2a b ==时取等，故选D ．5. 设:p x a <，:01q x <<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 0a ≤B. 0a >C. 12a ≥D. 1a ≥【答案】D ；【解析】由题意得:p a x a −<<，且()()0,1,a a ⊆−，故选D ．6. 下列函数是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ）．A. 13y x = B. 1y x x=+C. y x =D. 3y x −=【答案】A ；【解析】ABD 为奇函数，AC 在()0,+∞增，故选A ．7. 已知偶函数()f x ，当0x ≥时，()22f x x x =−，则不等式()0f x x<的解集是（ ）． A. ()2,2−B. ()(),20,2−∞−C. ()()2,02,−+∞D. ()(),22,−∞−+∞【答案】B ；【解析】由题意可知，0x <时，()22f x x x =+，()0f x x<，得()(),20,2x ∈−∞−，故选B ．8. 二次函数26y x x m =−+的两个零点都在区间()2,+∞内，则m 的取值范围为（ ）．A. 9m <B. 89m <<C. 09m <<D. 8m ≥【答案】B ；【解析】依题意可知，023640322120m x m ⎧∆=−>⎪=>⎨⎪−+>⎩，解得89m <<，故选B ．二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 下图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是（ ）．A. 赵红出生时的体重为4kgB. 赵红的体重随年龄的增长而增加C. 赵红25岁之后，体重不变年龄/岁40D. 赵红体重增加最快的时期是0-15岁 【答案】AD ；【解析】由图可知BC 错误明显，故选AD ．10. 下列说法正确的是（ ）．A. 0y x =与1y =是同一函数B. 若0,0x y >>，则()lg lg lg x y x y +=+C. 当0x <时，12x x+≤− D. 正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为9 【答案】CD ；【解析】A 选项，定义域不同，故A 错误；B 选项，()lg lg lg xy x y =+，故B 错误；C 选项，0x <时，()112x x x x ⎡⎤⎛⎫+=−−+−≤− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1x =−时取等，故C 正确； D 选项，()14149x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等，故D 正确， 故选CD ．11. 已知函数()[]()22412,2f x x x =+∈−，下列说法正确的是（ ）．A. ()15f =B. ()f x 为偶函数C. ()1f x −的图像关于1x =对称D. ()f x 的定义域为[]1,1−【答案】BC ；【解析】由题意可知，()[]()214,4f x x x =+∈−，A 选项，()12f =，故A 错误；B 选项，()()f x f x −=，故B 正确；C 选项，()1f x −由偶函数()f x 向右平移1个单位所得，故C 正确；D 选项，()f x 定义域为[]4,4−，故D 错误； 故选BC ．12. 已知函数()1f x x =−，()g x ，下列说法正确的是（ ）．A. ()()f x g x 的最大值为1B. ()()2f x g x −的值域为⎡⎣C. ()()f x g x +的最大值为2D.()()f xg x 在()1,3上单调递减【答案】ABC ；【解析】A 选项，()()[]1,3f x g x x ==∈，故A 正确；B 选项，()()[]21,3f x g x x −=∈，递增，值域⎡⎣，故B 正确；C 选项，()()2f x g x +==，当且仅当2x =时取等，故C 正确；D 选项，()()f xg x ==()1,3递增，故D 错误； 故选ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 若函数()f x 满足()()(),,x y f xy f x f y ∀∈=R ，写出一个符合要求的解析式()f x = ． 【答案】x ；【解析】任意R 上幂函数均符合要求．14. 设m 为实数，若函数()()22f x x mx m x =−++∈R 是偶函数，则m 的值为 ． 【答案】0；【解析】偶函数，有()()f x f x −=，即0mx =恒成立，得0m =．15. 已知,a b 是方程()2110lg log 60x x −−=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】136−； 【解析】()2lg lg 60x x +−=，韦达定理得lg lg 1lg lg 6a b a b +=−⎧⎨=−⎩，则有()2lg lg 2lg lg lg lg 13log log lg lg lg lg 6a b a b a b b a b a a b a b +−+=+==−．16. 函数()33f x x x =+−−是R 上的 函数（用“奇”、“偶”、“非奇非偶”填空），若()()2145f a f a >−，则实数a 的取值范围是 ．【答案】奇函数；115a >； 【解析】由()()3333f x x x x x f x −=−+−−−=−−+=−，可知为奇函数，且()6,3332,336,3x f x x x x x x −<−⎧⎪=+−−=−≤≤⎨⎪>⎩，由()()2145f a f a >−，可知需21451453a a a ⎧−<⎨−<⎩，解得115a >．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本题8分）计算： ⑴()2ln 230.125e −++⑵ ()22lg5lg 2lg50lg 2lg 0.1+++． 【答案】⑴ 1−；⑵ 1．【解析】⑴ 原式24251=−++−=−；⑵ 原式2lg52lg 211=+−=．18. （本题10分）已知集合01x a A x x ⎧−⎫=<⎨⎬+⎩⎭，()(){}10B x x t x t =−−−>．⑴ 若集合(),3A b =，求a b +的值； ⑵ 若1a =且A B =R ，求t 的取值范围． 【答案】⑴ 2a b +=；⑵ 10t −<<．【解析】⑴ 由()(){}()10,3A x x a x b =−+<=，可知31a b =⎧⎨=−⎩，则有2a b +=；⑵ 由1a =，可知()101,11x A x x ⎧−⎫=<=−⎨⎬+⎩⎭，且()(),1,B t t =−∞++∞，AB =R ，则有111tt −<⎧⎨+<⎩，解得10t −<<．19. （本题10分）某兴趣小组开展关于市区道路上车流速度v （单位：千米/小时）与车流密度x （单位：辆/千米）关系的研究，研究表明：当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，当20170x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数，当车流密度为170辆/千米时，车流速度为10千米/小时． ⑴ 当0170x ≤≤时，求函数()v x 的解析式：⑵ 已知车流量()f x vx =（单位时间内通过路上某观察点的车辆数，单位：辆/小时），当车流密度[]()20,170x x ∈为多少时，车流量最小并求出最小值． 【答案】⑴ ()60,020200,2017033x v x x x ≤<⎧⎪=⎨−+≤≤⎪⎩；⑵ 车流密度20辆/千米时，最小车流量为1200辆/小时．【解析】⑴ 设20170x ≤≤时，()v x kx b =+，由()()20206017017010v k b v k b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，解得132003k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()60,020200,2017033x v x x x ≤<⎧⎪=⎨−+≤≤⎪⎩；⑵ 当[]20,170x ∈时，()220033x xf x vx ==−+，()()min 201200f x f ==，故车流密度20辆/千米时，最小车流量为1200辆/小时．20. （本题10分）已知函数()f x =A.⑴当4a =时，写出()f x 单调增区间；⑵若A =R ，求a 的取值范围；⑶若[]1,4A ⊆，求a 的取值范围．【答案】⑴ 1,2⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭；⑵ 04a ≤≤；⑶ 120a ≥−；【解析】⑴ 4a =，()f x ==，函数在1,2⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递增； ⑵ 依题意可知，210ax ax ++≥对x ∀∈R 恒成立，可知：当0a =时，不等式恒成立，当0a ≠时，有2040a a a >⎧⎨∆=−≤⎩，解得04a <≤， 综上所述，04a ≤≤；⑶ 依题意可知，210ax ax ++≥对[]1,4x ∀∈恒成立，分参得21a x x ≥−+对[]1,4x ∀∈恒成立， 设()21g x x x=−+，函数在[]1,4x ∈递增， 故()()max 1420g x g ==−，可知120a ≥−．21. （本题10分）已知函数()1x f x x =+． ⑴ 判断()f x 在[)0,+∞上的单调性并用定义证明；⑵ 判断下列说法的正误：（正确的在括号里打√，错误的在括号里打×）； ① ()f x 是奇函数（ ）；② ()f x 在R 上单调递增（ ）；③ ()f x 的值域为R （ ）；④ 不等式()12f x >的解集为()1,+∞（ ）；⑤ x ∀∈R ，()()10f x f x +−>（ ）；⑥ x ∃∈R ，()()32112f x f x x +−−+=（ ）；⑦ 不等式()0f x ax −>有解的充要条件是11a −<<（ ）；⑧ 关于x 的方程()a f x x=在[)1,+∞上有解的充要条件是0a >（ ）． 【答案】⑴ 单调递增；⑵ 详见解析；【解析】⑴ 依题意可知()()1x f x f x x −−==−−+，可知函数为奇函数， 考虑0x ≥的单调性，()1111x f x x x ==−++，设120x x ≤<， 则有()()()()212112*********x x f x f x x x x x −−=−=>++++， 可知其在[)0,+∞单调递增；⑵ 函数为奇函数，①正确；R 上单调增，②正确；由0x ≥时()1111f x x =−<+，可知值域为()1,1−，③错误； 由11112x −>+，解得1x >，④正确； 由单调增，可知()()()11f x f x f x >−=−−，⑤正确；值域()1,1−，⑥错误；显然0a <时不等式均有解，⑦错误；13a =时方程在[)1,+∞无解（充要条件为12a ≥），⑧错误； 综上，①②④⑤正确，其余错误．。