南师附中10月考数学卷+解析

江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校2024-2025学年七年级上学期10月月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每题2分，共12分）1. 2的相反数是（ ）A. -2B. +2C. 12D. -2 【答案】A【分析】根据绝对值相同，符号相反的两个数，叫做相反数可知，2的相反数是−2【详解】2的相反数是−2故答案选A【点睛】考查相反数的定义2. 我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示这个数字是A. 6.75×103吨B. 67.5×103吨C. 6.75×104吨D. 6.75×105吨 【答案】C【详解】试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．67500一共5位，从而67 500=6.75×104．故选C ．3. 下列各数中，与2-3相等的是（ ）A. 32-B. ()32−C. ()23−D. ()23−− 【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方计算法则算出2-3的值，然后分别算出四个选项的值即可得到答案．【详解】解：293=−-，A 、382=−-，故此选项不符合题意；B 、()32=8−−，故此选项不符合题意；C 、()23=9−，故此选项不符合题意；D 、()2=93−−−，故此选项符合题意．故选：D ．4. 下列说法正确的个数有：（ ）①相反数是它本身的数是0； ②零除以任何一个数都为零；③绝对值是它本身的数是正数； ④倒数等于本身的数有1±；A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【分析】本题考查了相反数，绝对值，倒数的定义．根据相关定义逐个判断即可．【详解】解：①相反数是它本身的数是0，故①正确，符合题意；②零除以除零外的任何一个数都为零，故②不正确，不符合题意；③绝对值是它本身的数是0和正数，故③不正确，不符合题意；④倒数等于本身的数有1±，故④正确，符合题意；综上：正确的有①④，共2个，故选：C ．5. -a 、b 两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（ ）A. a ＞0，b ＜0B. a ＜bC. a a =−，b b =−D. a ＞b【答案】C【分析】先由数轴上a ，b 两点的位置确定a ，b 的符号，及绝对值的大小，即可求解．【详解】根据数轴得到0b a <<−，且b a >，∴0b a a <<<−，A 、0a <，0b <，故该选项错误；B 、b a <，故该选项错误；C 、a a =−，b b =−，故该选项正确；D 、b a >，故该选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了数轴，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，数轴上的数右边的数总是大于左边的数的特点．6. “强国有我”源自天安门广场庆典上青年学子的庄严宣誓，彰显了新时代中国青年的志气、骨气、底气，以下44×网格被分成了“”四块，每块，每行，每列四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字，则在★处应填的汉字是（ ）A. 强B. 国C. 有D. 我【答案】B 【分析】本题考查了“数独”填字游戏，主要使用了：①唯一候选数法；②唯一数法；③排除法；④摒除法等技巧．解题的关键是综合运用这些技巧来填字．【详解】根据题意★处应填的汉字是“国”．如下图．故选：B ．二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）7. 如果收入200元记作+200元，那么支出150元，记作_____元．【答案】-150【详解】试题分析：在一对具有相反意义的量中，规定其中一个是正，则另一个是负，所以是-150 考点：正数 负数点评：解题关键是理解正和负的相对性．8. 化简：()4−+=______ 【答案】4−【分析】根据相反数的化简多重符号内容进行解答即可．【详解】解：()44−+=−，故答案为：4−．【点睛】本题考查了相反数的化简多重符号，正确理解()4−+是指4−的相反数是解题的关键．9. 比较大小：23−_____67−．（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先求两数绝对值，再比较两数绝对值大小即可得出答案． 【详解】解：∵2233−=，6677−= 又∵2637<， ∴2637−>−， 故答案为：>．【点睛】本题考查有理数大小比较，有理数大小比较法则：正数大于零，零大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．10. 计算2﹣（﹣3）×4的结果是_____．【答案】14【分析】原式先计算乘法运算，再计算减法运算即可求出值．【详解】原式=2﹣（﹣12）=2+12=14．故答案为14．11. 一个数为﹣5，另一个数比它的相反数大4，这两数的和为__．【答案】4．【详解】试题解析：∵-5的相反数为5，∴5+4=9，∴这两数的和为-5+9=4． 12. 在4311,(5),0, 1.212112111,(23)3−−−+−−−，这6个有理数中，非负有理数为____________． 【答案】1(5),03−−+−， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数乘方运算，求一个数的绝对值，根据非负有理数为正有理数和0，进行解答即可．【详解】解：411−=−，()55−−=，1133+−=，()3231−=−， ∴在4311,(5),0, 1.212112111,(23)3−−−+−−−，这6个有理数中，非负有理数为： 1(5),03−−+−，． 故答案为：1(5),03−−+−，． 13. 在﹣0.4217中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最小，则被替换的数字是_____．【答案】2【详解】解：可能是﹣0.3217，﹣0.4317，﹣0.4237，﹣0.4213，∵|﹣0.4317|＞|﹣0.4237|＞|﹣0.4213|＞|﹣0.3217|，∴﹣0.4317最小，即被替换的数字是2．故答案为：2．14. 若,a b 互为相反数,,c d 互为倒数，则()20242a b cd +−=____________． 【答案】2−【分析】本题考查了相反数和倒数，求代数式的值，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数．根据题意得出0,1a b cd +==，将其代入进行计算即可． 【详解】解：∵,a b 互为相反数,,c d 互为倒数，∴0,1a b cd +==， ∴()2024220240212a b cd +−=×−×=−， 故答案为：2−．15. 如果m 是一个负数，那么①()m −−，②1m −，③1m −，④||m m +，⑤2m −这5个数中，一定是负数的数是____________．（填序号）【答案】①③⑤【分析】本题考查了绝对值的定义，以及有理数运算，解题的关键在于熟练掌握相关知识，直接利用绝对值的定义结合有理数的相关运算法则，逐项判断，即可解题．【详解】解：m 是一个负数，m −是一个正数，则①()m m −−=负数，②()11m m −=+−为正数，③1m −为负数，④||0m m m m +=−=既不是正数，也不是负数，⑤2m −为负数，所以一定是负数的数是①③⑤，故答案为：①③⑤．16. 幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将﹣2，﹣4，﹣6，0，3，5，7，9分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中x +y 的值为 ________．【答案】﹣10或5【分析】由于八个数的和是126，横、竖的和也是6，由此列等式可得结论．【详解】解：设小圈上的数为c ，大圈上的数为d ，∵﹣2+（﹣4）+（﹣6）+0+3+5+7+9＝12，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是6，横、竖的和也是6，∴则0+c +5+3＝6，得c ＝﹣2，﹣2+7+5+y ＝6，得y ＝﹣4，x +（﹣4）+7+d ＝6，得x +d ＝3，∵当x ＝﹣6时，d ＝9，则x +y ＝﹣6+（﹣4）＝﹣10，当x ＝9时，d ＝﹣6，则x +y ＝9+（﹣4）＝5．故答案为：﹣10或5．【点睛】本题主要考查了有理数的加减，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键在于能够根据题意得到两个圈的和是6，横、竖的和也是6．三、解答题（本大题共8小题，共68分）17. 计算：（1）12(18)−−；为（2）24(3)5(2)6×−−×−+；（3）137(36)249−+−×− ；（4）()421(10.5)(3)23 −+−÷−×−− ．【答案】（1）30 （2）52（3）19 （4）16【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．（1）根据有理数减法运算法则进行计算即可；（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；（3）根据有理数四则混合运算法则，结合乘法分配律进行计算即可；（4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．【小问1详解】解：12(18)121830−−=+=；【小问2详解】解：24(3)5(2)6×−−×−+49106=×++36106=++52=；【小问3详解】 解：137(36)249−+−×−()()()137363636249=−×−+×−−×−182728=−+19=；【小问4详解】解：()421(10.5)(3)23 −+−÷−×−−()1112923 =−+×−×− ()1176 =−+−×− 761=−+ 16=． 18. 若5,3a b ==，若a b a b +=+，求b 的a 次方的值． 【答案】243±【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方运算，根据绝对值的意义，求出,a b 的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵5,3a b ==， ∴5,3a b =±=±， ∵0a b a b +=+≥，∴5,3a b ==±，∴53243a b ==或()53243a b =−=． 19. 对有理数a ，b 规定新运算“⊗”：2a b ab ⊗+，如2(1)2(1)20⊗−=×−+=．（1）计算：()45⊗−，()54−⊗；（2）交换律在这种新运算中成立吗?如果成立，请用字母表示，如果不成立，请举例说明（3）结合律在这种新运算中不成立，请举例说明．【答案】（1）18−，18−（2）成立，a b b a ⊗=⊗（3）见解析【解析】【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，以及新定义．解题的关键在于定义新运算的题目要严格按照题中给出的计算法则计算．（1）根据题干运算法则和有理数加减乘除混合运算法则计算，即可解题；（2）由（1）可知，交换律在这种新运算中成立，利用字母表示即可；（3）举出例子()452 ⊗−⊗ 与()452 ⊗−⊗ ，分别求出它们的结果，比较大小即可求解（例子有理即可，不唯一）．【小问1详解】解：()()4545220218⊗−=×−+=−+=−； ()()5454220218−⊗=−×+=−+=−； 【小问2详解】解：由（1）可知，交换律在这种新运算中成立，2a b ab ⊗+，2b a ab ⊗+，即a b b a ⊗=⊗；【小问3详解】解：()452 ⊗−⊗ 与()452⊗−⊗ ， ()452 ⊗−⊗()4522 =×−+⊗182=−⊗1822=−×+362=−+34=−；()452 ⊗−⊗()4522 =⊗−×+()48=⊗−()482=×−+322=−+30=−；3430−≠− ，∴结合律在这种新运算中不成立．20. 如图是一个“数值转换机”（箭头是指某数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）．（1）当小明输入4，7这两个数时，两次输出的结果依次为________，________；（2）当输入的数为________时（写出2个），其输出结果为0；（3）这个“数值转换机”不可能输出________数．（4）若输出的结果是2，小明输入的正整数是________．（用含自然数n 的式子表示）． 【答案】（1）1；2 （2）0、5（3）负 （4）52n +【分析】（1）分别将4、7代入数值转换机，按程序计算即可得出结果；（2）令输出结果为0，通过逆向运算，即可求解；（3）根据一个数的绝对值是非负数，正数的倒数是正数，可知输出结果不可能是负数；（4）根据所给程序图，结合小明输入的数字为正整数，即可求解．【小问1详解】解：当输入的数字为4时，42>，得到()451+−=−，12−<，得到相反数为1，倒数为1，输出结果为1；当输入数字为7时，72 ，得到()752+−=， 得到相反数为2−，绝对值为2，输出结果为2；因此当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为1，2．【小问2详解】解：由所给程序图可知，输入数字为0（5、10、15…5的倍数均可）时，其输出结果为0；【小问3详解】解：一个数的绝对值是非负数，正数的倒数是正数，因此这个“数值转换机”不可能输出负数；【小问4详解】解：由所给程序图可知，当输入数字为52n +（n 为自然数）时，输出的结果是2，因此小明输入的正整数为52n +．【点睛】本题考查程序流程图与有理数计算，涉及有理数的加法、倒数、绝对值、相反数等知识点，看懂所给的程序流程图是解题的关键．21. 阅读理解根据下列各式，回答问题：①221129209×=−；②221228208×=−；③1327×=________； ④221426206×=−；⑤221525205×=−；⑥221624204×=−；⑦1723×=________； ⑧221822202×=−；⑨221921201×−；⑩222020200×=−；（1）把③式写成22“（ ）-（ ）”的形式． （2）把⑦式写成22“（ ）-（ ）”的形式． （3）若乘积的两个因数分别是m 和(,n m n 为正数且)m n <，请直接写出m 与n 的积．【答案】（1）22207−（2）22203−（3）2222m n m n mn n ++ =−−【解析】【分析】本题主要考查了数字规律探索，用字母表示规律，解题的关键是根据已知给出的等式总结得出一般规律．（1）根据题目中给出的等式得出规律进行解答即可；（2）根据题目中给出的等式得出规律进行解答即可；（3）根据题干中的等式总结一般规律：两个因数的乘积等于两个数平均数的平方减去较大的数与平均数之差的平方，用m 、n 表示出此规律即可．【小问1详解】解：根据题目中等式可知：③221327207×=−；【小问2详解】解：根据题目中等式可知：⑦221723203×=−；【小问3详解】解：根据题干中等式可知：等式右边为左边两个数平均数的平方减去较大的数与平均数之差的平方，∴当乘积的两个因数分别是m 和(,n m n 为正数且)m n <时，2222m n m n mn n ++ =−−． 22. 现有5张卡片写着不同的数，利用所学过的加、减、乘、除运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数只能用一次）：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的差最小，这2张卡片是_________；差的最小值为_________；（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最大，这2张卡片是______；则商的最大值为______；（3）从中取出3张卡片，使这3张卡片上的数的乘积最小，这3张卡片是_______；则乘积的最小值为_______；（4）从中取出乘积为较大负数的4张卡片，使这4张卡片上的数的运算结果为24．写出3个不同的算式，分别为_________，_________，_________．【答案】（1）6−，5；11−（2）6−，1−；6（3）6−，2，5；60− （4）()()()312624−×−×−−=；()()()316224−−−×−×= ；()()312624−−−+×−= 【解析】【分析】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．（1）根据图中卡片上的数字，结合有理数减法运算法则，列式进行计算即可；（2）根据图中卡片上的数字，结合有理数除法运算法则，列式进行计算即可；（3）根据图中卡片上的数字，结合有理数乘法运算法则，列式进行计算即可；（4）根据乘积为较大负数的4张卡片为6−、1−、3−、2，然后根据有理数四则混合运算法则，写出等式即可．小问1详解】解：这五个数中，最小的两个数是6−，最大的数是5，因此从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的差最小，这2张卡片是6−，5，差的最小值为−−=−6511； 【小问2详解】解： 取出6−和1−，相除得()()616−÷−=． 所以商的最大值为6；【小问3详解】解：取出6−，2，5，则乘积的最大值为()62560−××=−． 【小问4详解】解：从中取出乘积为较大负数的4张卡片为6−、1−、3−、2，则：()()()312624−×−×−−=， ()()()316224−−−×−×=， ()()312624−−−+×−=． 23. 对于有理数,,,,x y a t 若||||x a y a t −+−=，则称x 和y 关于a 的“友谊数”为t ，例如，|21||31|3−+−=，则2和3关于1的“友谊数”为3．（1）1−和5关于4的“友谊数”为_________；（2）若2k 和1关于3的“友谊数”为4，求k 的值；（3）若0x 和1x 关于1的“友谊数”为11,x 和2x 关于2的“友谊数”为21,x 和3x 关于3的“友谊数”为1001,,x 和101x 关于101的“友谊数”为1, ；①01x x +的最大值为_________；②123100x x x x ++++ 的最小值为_________．【答案】（1）6 （2）52k =或12k = （3）①3；②5050【解析】【分析】（1）根据“友谊数”定义进行求解即可；（2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可；【（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可；②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可．小问1详解】解：1−和5关于4的“友谊数”为：1454516−−+−=+=；【小问2详解】解：∵2k 和1关于3的“友谊数”为4， ∴23134k −+−=， ∴232k −=， ∴232k −=±， 解得：52k =或12k =； 【小问3详解】解：①∵0x 和1x 关于1的“友谊数”为1， ∴01111x x −+−=， ∴在数轴上可以看作数0x 到1的距离与数1x 到1的距离和为1，∴002x ≤≤，102x ≤≤，∴当0x ，1x 均在12x ≤≤上时，01x x +取最大值，且最大值为3； ②由题意可知：12221x x −+−=， ∴1213,13x x ≤≤≤≤，∴当1x ，2x 均在12x ≤≤上时，12x x +取最小值，且最小值123+=；34441x x −+−=，∵3435,35x x ≤≤≤≤∴当3x ，4x 均在34x ≤≤上时，34x x +的最小值为347+=； 同理，56661x x −+−=，56x x +的最小值为5611+=；【78881x x −+−=，78x x +的最小值7815+=；99100100401x x −+−=，99100x x +的最小值99100199+=；∴123100x x x x +++…+最小值为： ()31995037111519950502+×++++…+==．【点睛】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义，数轴上两点间距离公式，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．24. 【问题背景】七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？”【解决方法】小薇同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：()()()()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为1−；小娟同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：()()1,3,5,7,9,11,2,4,6,8,10,12，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了；（1）小薇、小娟同学的办法是否可行？如果可行，请你写出一种添加的结果；如果不可行，请说明理由；【拓展延伸】（2）在1，2，3，4，…，2026，2027共2027个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2034，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由．【答案】（1）小微的方法可行，小娟的方法不可行，理由见解析；（2）能，理由见解析【解析】【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．（1）根据小薇的法，适当添加正负号，即可解答；根据几个偶数的和不可能等于奇数，即可判断小娟的方法．（2）根据题意得出一共有1013个偶数，1014个奇数，偶数个奇数的和是偶数，偶数个偶数的和是偶数，的且偶数+偶数=偶数，将1，2，3，4，…，2026分为1013组，分别为()()()()1,2,3,4,5,6,7,8……()2021,2022，()2023,2024，()2025,2026，使其中503组结果为1−，剩下510组 结果为1，即可解得．【详解】解：（1）小薇：()()()()()()1234567891011120−+−++−+−++−+−+=， ∴小微的方法可行，小娟：∵2468101242+++++=，∴要是6个偶数和为0，则要使其中一部分偶数和为21，∵偶数的和仍未偶数，∴小娟的方法不可行；（2）在1，2，3，4，…，2026，2027中，一共有1013个偶数，1014个奇数， ∵偶数个奇数的和是奇数，偶数个偶数的和是偶数，且偶数+偶数=偶数，∴能它们的和为2034，将1，2，3，4，…，2026分为1013组，分别为()()()()1,2,3,4,5,6,7,8……()2021,2022，()2023,2024，()2025,2026，使其中503组结果1−，剩下510组 结果为1，则这2027个数的和为150320272034−×++=．为。

2023-2024学年度第一学期南京七年级数学10月份月考模拟训练试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1.中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章， 在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出100元记作100−元，那么80+元表示（ ）A ．支出80元B ．收入80元C ．支出20元D ．收入20元2．如图，如果点A 表示的数为﹣2，那么点B 表示的数是（ ）A ．﹣1B ．0C ．3D ．43．港珠澳大桥全长约55000米．其中55000用科学记数法可表示为（ ）A ．35.510×B ．35510×C ．45.510×D ．55.510×4．如果0a b +>，且0ab <，那么（ ）A ．0a >，0b >B ．a<0，0b <C ．a ，b 异号，且正数的绝对值大D ．a ，b 异号，且负数的绝对值大5．如果||a a =，那么a 是（ ）A ．0B ．0和1C ．正数D ．非负数（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥时差/时 13− 7− 1+ 14−如果现在是北京时间9月11日15时，那么现在的纽约时间是（ ）A ．9月10日21时B ．9月12日4时C ．9月11日4时D ．9月11日2时7．茜茜做了以下4道计算题：①()202012020−=−；②111236−+=；③()011−−=−；④11122 ÷−=− ， 请你帮他检查一下，他一共做对了（ ）A ．1题B ．2题C ．3题D ．4题8．若a 、b 为有理数，a<0，0b >，且a b >，那么a ，b ，a −，b −的大小关系是（ ）A ．b a b a −<<<−B ．b b a a <−<<−C ．a b b a <−<<−D ．a b b a <<−<−8．计算3的正数次幂，30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，… 观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32003的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．910．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件:10a =，211a a =−+，322a a =−+，433a a =−+，．．．，依次类推，则a 2020的值为（ ）A ．-1010B ．-1009C ．-2019D ．-2020二、填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）11．比较大小：49．（填“>”、“=”或“<”） 12．给出下面一列数：1，1，1−，0，1，1，1−，0，……则第2016个数是 ．13．数轴上的A 点与表示2−的点距离3个单位长度，则A 点表示的数为 ．14．已知a ，b 为有理数，且|1||2013|0a b ++−=，则b a = ． 15.某天上午的温度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了9℃， 则这天夜间的温度是 ℃16．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x ＝﹣1，则最后输出的结果是 ．17.某公交车原坐有22人，经过站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，﹣8），则车上还有 人．18.如图，数轴上点A 、B 表示的数分别是a 、b ， 则化简 a －| b |＋ | a - b | 的结果是 ．三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）19．把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）6，－3，2.4，34−，0，－3.14， 29− 正数：{ …} 非负整数：{ …}整数：{ …} 负分数：{ …}20．在数轴上表示下列数，并用“<”号把这些数连接起来．()22−，－132，－1，0，2− 21．计算：(1)8(10)(2)(5)+−+−−−； (2)413917575−+−+ ； (3)()()12733−÷−×； (4)()157362912 −+×−．22.某检修小组从A 地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下（单位：千米）: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次－3 +8 －9 +10 +4 －6 －2（1）求收工时距A 地多远？（2）在第________次纪录时距A 地最远．（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需8元，问检修小组工作一天最后回到A地共需汽油费多少元？23.如图，点A、B在数轴上表示的数分别为12−和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．(1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______；(2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．24.已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10。

南师附中2023—2024高一年级10月学情调研测试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}220A x x x =−−≥，{}1,0,1,2,3B =−，则A B =（ ）A. {}1,2,3B. {}1,0,1,2−C. {}2,3D. {}1,2,3−【答案】D 【解析】【分析】将集合A 进行一元二次不等式化简然后与集合B 取交集即可. 【详解】(][),12,A =−∞−+∞，{}1,0,1,2,3B =−，则{}1,2,3A B =−，故选：D.2. 命题“2x ∀≤，2280x x +−>”的否定是（ ） A. 2x ∃≤，2280x x +−≤ B. 2x ∀>，2280x x +−> C. 2x ∃≤，2280x x +−> D. 2x ∃>，2280x x +−>【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定，可直接得出结果.【详解】命题“2x ∀≤，2280x x +−>”的否定是：2x ∃≤，2280x x +−≤. 故选：A .3. 已知集合{}20,21,31A a a a =+++，若1A −∈，则实数a ＝（ ）A. －1B. －2C. －3D. －1或－2【答案】B 【解析】【分析】根据1A −∈，便有211a +=−或2311a a ++=−，对于每种情况求出a 的值，代入集合A 中，看是否满足集合元素的互异性，从而得出实数a 的值． 【详解】1A −∈，211a ∴+=−或2311a a ++=−．①当211a +=−时，1a =−，此时2311a a ++=−，与集合的互异性矛盾，舍去；②当2311a a ++=−时，1a =−或2a =−，2a =−时213a +=−，满足条件，1a =−时，211a +=−，与集合的互异性矛盾，舍去， 综上可知2a =−． 故选：B ．4. 已知：0,0,1,a b a b >>+=则下列说法正确的是（ ）A. ab 有最大值14B. ab 有最小值14C.11a b+有最大值4 D.11a b+有最小值14【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可得14ab ≤和114a b+≥，即可判断. 【详解】0,0,1a b a b >>+=，2a b ab ∴+≥1ab ≤，可得14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立， ∴ab 有最大值14，故A 正确，B 错误； ()11112224b a b aa ba b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即12a b ==时等号成立， ∴11a b+有最小值4，故CD 错误. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5. 设x ，R y ∈，则“2x y +=”是“1x =且1y =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据必要不充分条件概念求解即可.【详解】2x y +=不能推出1x =且1y =，1x y ==能推出2x y +=， 所以2x y +=是1x =且1y =的必要不充分条件. 故选：B6. 已知集合**46x xM x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N N 且，集合24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（ ）A. MNB. M N ⊆C. *24x M N x ⋅⎧⎫⎪⎪⋂=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N D. 12xM N x⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】C 【解析】【分析】根据4和6最小公倍数为12，得*N 12xM x⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣，而Z 24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣，易得两集合之间关系. 【详解】*N 4x ∈,且*N 6x ∈,*N 12x∴∈,*N 12x M x ⎧⎫∴=∈⎨⎬⎩⎭∣，又Z 24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣， 则集合M 中的元素应为12的正整数倍,集合N 中的元素为24的整数倍,故{12M x x k ==∣,}{}*,24,k N x x k k ∈==∈N Z ∣.可知,当元素满足为24的整数倍时,必满足为12的正整数倍,则M N ⋂*24x x⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ∣ 故A,B 错误，对D 选项，若12x =−，则此元素既不在集合M 中，也不在集合N 中，故D 错误， 故选：C.7. 已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22ab bc >B. 22ab b c >的C. ()()0ab ac b c −−>D. ()()0ac bc a c −−>【答案】C 【解析】【分析】用不等式的性质判断，不一定成立的不等式可举反例说明．【详解】由题意可知0a >，0c <.当0b =时，220ab bc ==，220ab b c ==，则排除A ，B ； 因为b c >，0a >， 所以ab ac >， 所以0ab ac −>. 因为b c >， 所以0b c −>，所以()()0ab ac b c −−>，则C 一定成立； 因为a b >，0c <， 所以ac bc <， 所以0ac bc −<. 因为a c >， 所以0a c −>，所以()()0ac bc a c −−<，则排除D. 故选：C ．8. 已知正实数,a b 满足21a b +=.则25a ba ab++的最小值为（ ）A. 3B. 9C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】a ，b 均为正实数，()()()2454141a a b a b a b a a ab a a b a b a a b a +++⎛⎫⎡⎤==+=+++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭4441529a a b a a ba b a a b a++=+++≥+⋅=++，当且仅当4a a b a b a +=+，即13a b ==时，等号成立. 故选：B二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 设{}28150A x x x =−+=，{}10B x ax =−=，若AB B =，则实数a 的值不可以为（ ）A.15B. 0C. 3D.13【答案】C 【解析】【分析】先求出集合{}3,5A =，再结合题目条件，分,B B =∅≠∅两种情况讨论，即可确定实数a 的值. 【详解】由题，得{}{}281503,5A x x x =−+==，因为A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，10ax −=无解，此时B =∅，满足题意； 当0a ≠时，得1x a =，所以13a =或15a =，解得13a =或15a =，综上，实数a 的值可以为110,,35，不可以为3. 故选：C10. 已知集合{|13}A x x =−<<，集合{|1}B x x m =<+，则A B ⋂=∅的一个充分不必要条件是（ ） A. 2m ≤− B. 2m <−C. 2m <D. 43m −<<−【答案】BD 【解析】【分析】由A B ⋂=∅可得2m ≤−，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合{|13}A x x =−<<，集合{|1}B x x m =<+， 所以A B ⋂=∅等价于11m +≤−即2m ≤−， 对比选项，2m <−、43m −<<−均为A B ⋂=∅充分不必要条件.故选：BD.【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题.11. 若0a b <<，且0a b +>，则（ ） A.1ab>− B.110a b+> C. a b <D. ()()110a b −−<【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件结合不等式性质判断各个选项即可【详解】A 选项：∵0a b <<，且0a b +>， ∴0b a >−>，可得01ab<−<，即10a b −<<，A 正确；B 选项，110a ba b ab++=<，B 错误； C 选项，0a b <<即a a =−，b b =，由0a b +>可得b a >，C 正确； D 选项，因为当11,32a b =−=，所以()()110a b −−>，D 错误. 故选：AC.12. 下列关于二次函数()221y x =−−的说法正确的是（ ）A. x ∀∈R ，()2211y x =−−≥B. 1a ∀>−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−< C. 1a ∀<−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−= D. 12x x ∃≠，()()22122121x x −−=−− 【答案】BD 【解析】【分析】由于二次函数()221y x =−−，其图象开口向上，对称轴为直线2x =，最小值为－1，再根据对特称命题和全称命题的理解，即可判断得出答案.【详解】解：对于二次函数()221y x =−−，其图象开口向上，对称轴为直线2x =，最小值为－1， 所以x ∀∈R ，()2211y x =−−≥错误，故A 错误；所以1a ∀>−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−<正确，故B 正确； 所以1a ∀<−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−=错误，故C 错误；所以12x x ∃≠，()()22122121x x −−=−−正确，故D 正确. 故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13. 已知集合{}11A x x =−<<，{}02B x x =≤≤，则A B ⋃=______. 【答案】(]1,2− 【解析】【分析】根据并集运算性质求解即可.【详解】集合{}11A x x =−<<，{}02B x x =≤≤，则{}|12A B x x =−<≤.故答案为：(]1,2−14. 设A ，B 是两个非空集合，定义集合{}A B x x A x B −=∈∉且，若{}05A x N x =∈≤≤，{}27100B x x x =−+<，则A B −=______.【答案】{}0,1,2,5 【解析】【分析】先得集合,A B ，再根据A B −的定义求解即可.【详解】因为{}{}N 050,1,2,3,4,5A x x =∈≤≤=，{}()271002,5B x x x =−+<=，由新定义得{}0,1,2,5A B −=， 故答案为：{}0,1,2,5.15. 已知关于x 的不等式0ax b +>的解集为()3,−+∞，则关于x 的不等式20ax bx +<的解集为_________. 【答案】()3,0− 【解析】【分析】先根据不等式的解集可得,a b 的关系及a 的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由0ax b +>的解集为()3,−+∞， 可得0a >，且方程0ax b +=的解为3−， 所以3ba−=−，则3b a =， 的所以()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒−<<， 即关于x 的不等式20ax bx +<的解集为()3,0−. 故答案为：()3,0−.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且222743a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为________． 5 【解析】【详解】试题分析：由B C ∠=∠得，代入222743a b c ++=得，，即，由余弦定理得，，所以，则的面积，当且仅当取等号，此时，所以的面积的最大值为，故答案为．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力，对计算能力要求较高，属于中档题；由B C ∠=∠得，代入222743a b c ++=化简，根据余弦定理求出，由平方关系求出，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形面积的最大值．四、解答题（本大题共4小题.解析时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =−+−−=． （1）当1a =时，求A B ⋃； （2）若{}3AB =−，求a 的值．【答案】（1）{}3,1,3A B ⋃=−−；（2）3−． 【解析】【分析】(1)求出集合A ，把1a =代入求出集合B ，再利用并集的定义即可求解； (2)由已知可得3B −∈，把3x =−代入集合B 的约束条件求出a ，再验证即可得解. 【详解】（1）依题意，{}{}24303,1A x x x =++==−−，当1a =时，{}{}22301,3B x x x =−−==−，所以{}3,1,3A B ⋃=−−； （2）因为{}3AB =−，则3B −∈，于是得()()2232330a a a −−⨯−+−−=，即2560a a ++=，解得2a =−或3a =−，当2a =−时，{}{}24303,1B x x x =++==−−，则{}3,1AB =−−，不符合题意，当3a =−时，{}{}26903B x xx =++==−，则{}3AB =−，符合题意，综上得，a 的值是3−.18. 已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，集合{}25Q x x =−≤≤ （1）若3a =，求集合()R C P Q ； （2）若P Q ⊆，求实数a取值范围.【答案】（1）{}24x x −≤<；（2）(,2]−∞ 【解析】【详解】试题分析;（1）将a 的值代入集合P 中的不等式，确定出P ，找出P 的补集，求出补集与Q 的交集即可；（2）根据P 为Q 的子集列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a 的范围． 试题解析;(1)当3a =，{|47}P x x =≤≤，{|47}R C P x x x ∴=或,(){|47}{|25}{|24}R C P Q x x x x x x x ∴⋂=⋂−≤≤=−≤<或.（2）①当P φ=时，满足P Q ⊆有21a a +<+1，即0a <的,②当P φ≠时，满足P Q ⊆，则有21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥−⎩，02a ∴≤≤综上①②a 的取值范围为(],2−∞ 19. 若,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=. （1）求xy 的取值范围； （2）求x y +的取值范围.【答案】（1）180xy ≤<；（2）82330x y −≤+<. 【解析】【分析】（1）结合基本不等式整理得()2308xy xy −≥，当且仅当2x y =时取等号，再根据已知的范围即可得答案；（2）由于21302(1)2x y x y xy x y y x x y ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，故只需解2(1)4(1)1240x y x y +++++−≥并结合已知条件求解即可.【详解】解：（1）因为,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=， 所以30222xy x y xy −=+≥，当且仅当2x y =时取等号， 整理得：()2308xy xy −≥，解得：18xy ≤或50x ≥， 又因为,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=，所以030xy <<， 所以180xy ≤<. （2）因为,(0,)x y ∈+∞，21302(1)2x y x y xy x y y x x y ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y +=时取等号，所以2(1)4(1)1240x y x y +++++−≥，解可得，1822x y ++≥或1822x y ++≤−（舍）， 故823x y +≥−.又因为230x y xy ++=，所以82330x y ≤+<.20. 已知关于x 的函数212y x x =−和22416y x =−.（1）若12y y ≥，求x 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()21222y t x t y ≥−−≥（其中02t <≤）的解集[],D m n =，求证：15n m −≤【答案】（1）[]22−,【解析】【分析】（1）转化为232160x x +−≤求解；（2）讨论01t <<，1t =，12t <≤，求解()21222y t x t y ≥−−≥，判断15n m −≤.【小问1详解】12y y ≥可得222416x x x −≥−，即232160x x +−≤， 即()()2380x x −+≤，即823x −≤≤，则22x −≤≤， 则实数x 的取值范围是[]22−,； 【小问2详解】因为()21222y t x t y ≥−−≥，所以12y y ≥，由（1）知[]2,2x ∈−，所以[][],2,2D m n =⊆−（i ）01t <<时，当[0,2]x ∈时，()()()22222212222202x x t y x t x tx t t t x x t −−⎡⎤−=−−−+=−+=−≥⎣⎦， 所以当[0,2]x ∈时，()2122y t x t ≥−−恒成立，当[2,0)x ∈−时，令()()2122g x y t x t =−−⎡⎤−⎣⎦()()222222242x x t x t x t x t =+−−+=+−+()y g x =对称轴21x t =−<−，故()y g x =在[1,0)−上为增函数，又()()221124140g t t t −=+−+=+−<，()200g t =>， 所以存在()01,0x ∈−使得0()0g x =故()0g x ≥的解集为[]0,0x ，所以当[]2,2x ∈−时，()2122y t x t ≥−−的解集为[]0,2x ，其中()01,0x ∈− 所以[],(1,2]D m n =⊆−，则315n m −<<（ii ）当1t =时，121y y ≥−≥， 因为()221211y x x x =−=−−，所以11y ≥−恒成立， 由题意知21y −≥的解集为[],D m n =，所以,m n 是方程21416x −=−的两根， 所以1515,22n m ==−，所以15n m −= （iii ）当12t <≤时，当[0,2]x ∈时，由（i ）知()()221220t x x t y t ⎡⎤−=−⎣−−≥⎦， 当[2,0)x ∈−时，令()()()()2122242241022y t x t x t t t x x t ⎡⎤−=+−+=+−+−>⎣⎦−− ∴()2122y t x t ≥−−在[]22−,恒成立，故只需要考虑()2222t x t y −−≥在[]22−,的解集即可. 由()2222t x t y −−≥，可得()22422160x t x t −−+−≤，由题意m ，n 是()22422160xt x t −−+−=的两根， 令()()2242216x x t x t ϕ=−−+−，其对称轴为110,44t x −⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()()()222216222164420t t t t t ϕ=−−+=−+−=≥−，()()()2222162221644280t t t t t ϕ+−=−=+−+−−=+>，所以[],2,2m n ∈−， ()22326542t t n m m n mn −−+−=+−=， 又()23265h t t t =−−+在12t <≤为单调减函数，∴()()160h t h <=，∴6015n m −<=，综上，15n m −≤ 【点睛】方法点睛：根据二次不等式的解集确定参数：①根据不等号的方向与解集的形式()[,],(,][,)m n m n −∞+∞可确定开口方向； ②解集的端点值为对应二次方程的根；③若解集为R,∅，则考虑开口方向与∆。

2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知{}31,,2a a ∈-，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．5C ．3或5D ．无解【答案】B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，并验证集合的互异性，即可求解.【详解】因为{}31,,2a a ∈-，当3a =时，21a -=，不符合集合的互异性，故3a =舍去； 当23a -=时，5a =，集合为{}1,3,5，符合集合互异性，故5a =. 故选：B2．设集合A ={0，1，2}，B ={m |m =x +y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合A 与B 的关系为（ ） A ．A B ∈ B ．A B =C ．B A ⊆D ．A B ⊆【答案】D【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出结果．【详解】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y ，x ∈A ，y ∈A}={0，1，2，3，4}，∴A ⊆B ．故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是（ ） A ．22k -≤≤ B ．2k ≤-，或2k ≥ C ．22k -<< D ．2k <-，或2k >【答案】A【分析】根据题意可得240k ∆=-≤，从而即可求出k 的取值范围. 【详解】∵不等式210x kx ++<的解集为空集， ∴240k ∆=-≤， ∴22k -≤≤. 故选：A.4．下面给出的四个命题中，真命题的个数为（ ）（1）等角的余角相等；（2）一个角的补角－定大于这个角；（3）矩形的对角线互相垂直；（4）0是最小的正整数． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【分析】根据等式的性质、补角的性质、矩形的性质、正整数的性质逐一判断即可. 【详解】由等式的性质可知：等角的余角相等，故（1）正确； 当这个角为直角时，显然直角的补角与直角相等，故（2）不正确；只有当矩形的邻边相等，变成正方形时，对角线才互相垂直，故（3）不正确； 最小的正整数是1，故（4）不正确，因此真命题的个数为1， 故选：A5．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题中，真命题的个数为（ ）①若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d ；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；③若a ＞b ＞0，；④若a ＞b ＞0，则2211>a b ． A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．①③【答案】B【分析】根据作差法以及不等式性质，可得答案.【详解】对于①，()()()()a c b d a b d c ---=-+-，无法判断是否大于零， 当1,0,0,2a b c d ====-时，则a c b d -<-，故①错误； 对于②，根据不等式性质，同向同正可乘性，可得②正确； 对于③，根据不等式性质，正向可开方性，可得③正确；对于④，()()2222222211b a b a b a a b a b a b -+--==，0a b >>，220,0,0b a b a a b ∴-<+>>，则()()220b a b a a b -+<，故2211a b <，可得④错误. 故选：B.6．已知关于x 的不等式x ab x+≥的解集是[1,0)-，则a b +=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．3【答案】C【分析】由题设知[(1)]00x b x a x --≤⎧⎨≠⎩的解集为[1,0)-，即可求目标式的值.【详解】由(1)0x a b x a b x x +-+-=≥，则[(1)]00x b x a x --≤⎧⎨≠⎩的解集为[1,0)-，所以1011b a b ->⎧⎪⎨=-⎪-⎩，则1b >且1a b +=.故选：C7．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (N x ∈)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（ ）A ．3年B ．4年C ．6年D ．5年【答案】D【分析】由函数图像及所过的点求得21225y x x =-+-，进而应用基本不等式求yx的最大值，并确定取值条件，即可得答案.【详解】由函数图像，令2(6)11y a x =-+过点(4,7)，所以2(46)117a -+=，可得1a =-，故2211(6)1225y x x x =--=-+-， 则2512y x x x=--+，而N x ∈， 故252512()1222y x x x x x=-+≤-⨯=，当且仅当5x =时等号成立， 所以营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运5年. 故选：D8．设非空集合P ，Q 满足P Q Q =，且P Q ≠，则下列选项中错误的是（ ） A ．x Q ∀∈，有x P ∈ B ．x P ∃∈，使得x Q ∉ C ．∃∈x Q ，使得x P ∈ D ．x Q ∀∉，有x P ∉【答案】D【分析】由已知条件可得，Q ⫋P ，再结合特殊值法，即可求解． 【详解】∵P ∩Q ＝Q 且P ≠Q ，∴Q ⫋P ，∴ABC 正确； 不妨设Q ＝{1，2}，P ＝{1，2，3}， 3∉Q ，但3∈P ，故D 错误． 故选：D9．下列关系中正确的是（ ） A ．0{0}⊆ B ．∅ {0} C ．{0,1}{(0,1)}⊆ D ．{(,)}{(,)}a b b a =【答案】B【分析】根据元素和集合的从属关系，集合和集合之间的包含关系来判断即可.【详解】0是元素，而{0}是集合，而元素和集合之间不能用包含关系，A 选项错误；{0,1}是两个元素的实数集，(){0,1}是一个元素的点集，元素类型都不相同，因此不具有包含关系，C 选项错误，{(,)},{(,)}a b b a 这两个集合中的元素分别是(,)a b ，(,)b a ，显然这两个点不一定是同一个点，于是两个集合不一定相等，D 选项错误；由于空集是任何非空集合的真子集，{0}是单元素非空集合，故B 正确. 故选：B.二、多选题10．我们知道，如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{|S A x x S =∈且}x A ∉，类似地，对于集合A 、B 我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉，叫作集合A 和B 的差集，记作A B -，例如：{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，则有{1,2,3}A B -=，{6,7,8}B A -=，下列解析正确的是（ ）A ．已知{4,5,6,7,9}A =，{3,5,6,8,9}B =，则{3,7,8}B A -= B ．如果A B -=∅，那么A B ⊆C ．已知全集、集合A 、集合B 关系如上图中所示，则U B A A B -=⋂D ．已知{|1A x x =<-或3}x >，{|24}B x x =-≤<，则{|2A B x x -=<-或4}x ≥ 【答案】BD【分析】根据集合新定义判断A 、B ，应用韦恩图确定B A -判断C ，由UA B A B-=⋂求集合判断D.【详解】A ：由B A -={|x x B ∈且}x A ∉，故{3,8}B A -=，错误； B ：由A B -={|x x A ∈且}x B ∉，则A B -=∅，故A B ⊆，正确；C ：由韦恩图知：B A -如下图阴影部分，所以UB A B A -=⋂，错误；D ：{|2UB x x =<-或4}x ≥，则{|2UA B A B x x -=⋂=<-或4}x ≥，正确.故选：BD11．下列各结论中正确的是（ ） A ．“0xy >”是“0xy>”的充要条件 B ．设,,a b c ∈R ，则“240b ac -<”是函数2y ax bx c =++图像在x 轴上方”的充分不必要条件C ．设a ∈R ，则“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的必要不充分条件D ．“函数2y ax bx c =++的图像过点(1,0)”是“0a b c ++=”的充要条件 【答案】AD【分析】根据充分条件与必要条件的概念依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，由0xy >得,x y 同号，故0x y >，反之0x y>得,x y 同号，故0xy >，所以“0xy >”是“0xy>”的充要条件，故正确； 对于B 选项，240b ac -<且0a >时，函数2y ax bx c =++图像在x 轴上方；函数2y ax bx c =++图像在x 轴上方，则必有240b ac -<，故“240b ac -<”是函数2y ax bx c =++图像在x 轴上方”的必要不充分条件，故错误；对于C 选项，2a =时，(1)(2)0a a --=成立，反之(1)(2)0a a --=，2a =不一定成立，故“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的充分不必要条件，故错误；对于D 选项，函数2y ax bx c =++的图像过点()1,0，则0a b c ++=，反之也成立.故“函数2y ax bx c =++的图像过点(1,0)”是“0a b c ++=”的充要条件，正确. 故选：AD12．若正实数a ，b 满1a b +=，则下列结论确的有（ ）A ．221a b +≥B ．1a b ->-C ．14ab ≤D【答案】BCD【分析】对A ，根据()2222a b a b ab +=+-结合基本不等式判断即可；对B ，分析可得12a b b -=-，再结合()10,1b a =-∈判断即可；对C ，根据基本不等式判断即可；对D ，结合C 根据基本不等式证明即可. 【详解】对A ，()()222212122a b a b a b ab ++=+-≥-=，当且仅当12a b ==时取等号，故2212a b +≥，故A 错误； 对B ，因为1a b +=，故12a b b -=-，且()10,1b a =-∈，故()121,1b -∈-，故B 正确； 对C ，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故C 正确；对D ，由C 得14ab ≤12，故112a b +≤+=，即22<，12a b ==时取等号，故D 正确； 故选：BCD三、填空题13．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是_______ 【答案】1x ∃>,20x x -≤,【分析】根据全称量词命题的否定即可求解.【详解】“1x ∀>，20x x ->”的否定是:1x ∃>,20x x -≤, 故答案为：1x ∃>,20x x -≤,14．设a 为正实数，已知R x ∈，条件p ：2,x x <，条件q ：1(0)a a x≥>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】01a <≤【分析】由题设得p 为真01x <<，q 为真10<≤x a，根据它们的充分不必要关系即可求a 的范围.【详解】p 为真，则01x <<；q 为真，则110ax a xx--=≥且0a >，即(1)00x ax x -≤⎧⎨≠⎩，则10<≤x a ，由p 是q 的充分不必要条件，故11a≥，则1a ≤， 综上，01a <≤故答案为：01a <≤15．已知正实数a ，b 满足ab ＝1，则115a b a b+++的最小值为___________．【答案】【分析】根据题意，0,0a b >>，且1ab =，化简得1155a b a b a b a b++=++++，再利用基本不等式求最值，即可得出结果.【详解】由题可知，0,0a b >>，且1ab =， 因为11555a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++≥+++当且仅当5a b a b+=+时，取等号， 即115a b ab+++的最小值为故答案为：16．设m 为实数，若“30,421x x m x ∃>--≥+”是假命题，则m 的取值范围是___________． 【答案】()6-+∞ 【分析】由题知“30,421x x m x ∀>--<+”是真命题，进而结合基本不等式求342,01y x x x =-->+的最大值即可得答案. 【详解】解：因为“30,421x x m x ∃>--≥+”是假命题， 所以“30,421x x m x ∀>--<+”是真命题， 因为0x >，()3322122211x x x x +=++-≥=++，当且仅当1x +=所以，334242611y x x x x ⎛⎫=--=-+≤- ⎪++⎝⎭max 34261x x ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭ 所以，m 的取值范围是()6-+∞ 故答案为：()6-+∞四、解答题17．（1）化简：()0a a a a ≥(用分数指数幂表示)； （2）计算：1120321168100()()481--⨯⨯⨯．【答案】（1）78a ，（2）165【分析】根据指数幂的运算性质进行计算即可． 【详解】（1）71311824a a a a a a a ++===； （2）1120321168100()()4811621610511--⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯.18．（1）解不等式213xx ->+； （2）已知a 是实数，试解关于x 的不等式：2(1)0x a x a +--≥． 【答案】（1）1(3,)2--；（2）答案见解析.【分析】（1）将分式不等式化为(21)(3)0x x ++<，即可求解集； （2）讨论1a >-、1a =-、1a <-分别求对应解集. 【详解】（1）2211033x x x x ----=>++，则(21)(3)0x x ++<，可得132x -<<-所以不等式解集为1(3,)2--；（2）2(1)()(1)0x a x a x a x +--=+-≥， 当<1a -，即1a >-时，解集为(,1)a -； 当1a -=，即1a =-时，解集为R ； 当1a ->，即1a <-时，解集为(1,)a -；19．如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过C 点.已知4AB =米，3AD =米，设AN 的长为()3x x >米.(1)要使矩形AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内？(2)求当AM ，AN 的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小，并求出此最小值；【答案】(1)9(3,)(9,)2+∞(2)6AN =，8AM =最小面积为48平方米【分析】（1）先表达出AMPN 的面积表达式，54AMPN S >时解出不等式，即可知AN 的取值范围.（2）令3t x =-，将式子化成对勾函数后求最值. 【详解】(1)解：设AN 的长为x 米（3x >）ABCD 是矩形DN DCAN AM∴= 43xAM x ∴=- 24(3)3AMPNx S AN AM x x ∴==>-由54AMPNS >，得24543x x >- 3x >(29)(9)0x x ∴-->，解得932x <<或9x > 即AN 的取值范围为9(3,)(9,)2+∞(2)令243x y x =-，3t x =-（0t >），则3x t =+24(3)94(6)48t y t t t +∴==++≥当且仅当9(0)t t t=>，即3t =时，等号成立，此时6AN =，8AM =最小面积为48平方米20．设k 为实数，已知关于x 的函数2 1.y kx kx =+- (1)若对于∀x ∈R ，都有y ≤0恒成立，求k 的取值范围；(2)若对于∀m ≥1，∃x ∈[1，4]，满足y ≤m 成立，求k 的取值范围． 【答案】(1)[4,0]-； (2)(,1]-∞.【分析】（1）根据k 是否为零，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可； （2）根据k 的正负性，结合二次函数的性质、任意性、存在性的定义分类讨论进行求解即可.【详解】(1)当0k =时，10y =-≤恒成立，符合题意；当0k ≠时，要想210y kx kx =+-≤对于∀x ∈R 恒成立，只需满足下列条件：240Δ40k k k k <⎧⇒-≤<⎨=+≤⎩， 综上所述：k 的取值范围为[4,0]-；(2)当0k =时，1y =-，显然对于∀m ≥1，∃x ∈[1，4]，满足y ≤m 成立，符合题意； 当0k >时，二次函数21y kx kx =+-的对称轴为：12x =-，且开口向上， 当x ∈[1，4]时，函数单调递增，所以[21,201]y k k ∈--， 因此要想对于∀m ≥1，∃x ∈[1，4]，满足y ≤m 成立， 只需2111k k -≤⇒≤，即01k <≤；当0k <时，二次函数21y kx kx =+-的对称轴为：12x =-，且开口向下， 当x ∈[1，4]时，函数单调递减，所以[201,21]y k k ∈--， 因此要想对于∀m ≥1，∃x ∈[1，4]，满足y ≤m 成立， 只需1201110k k -≤⇒≤，即0k <， 综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞.。

南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测数学2022.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，N ＝{x |－3＜x ＜1}，则M ∩N ＝()A ．{x |－3＜x ≤－1}B ．{x |－3＜x ＜－1}C ．RD ．{x |－3≤x ≤1}【答案】A2．若(z －1)i ＝i －2，则z ＝()A ．2－2i B ．2＋2iC ．2iD ．－2i【答案】B3．顶角为36°的等腰三角形被称为最美三角形，已知其顶角的余弦值为5＋14，则最美三角形底角的余弦值为()A ．5－14B ．5－12C ．5＋14D ．5＋12【答案】A4．在△ABC 中，→AB ·→AC ＝9，AB ＝3，点E 满足→AE ＝2→EC ，则→AB ·→BE ＝()A ．－6B ．－3C ．3D ．6【答案】B【解析】→AB ·→BE ＝→AB ·(→AE －→AB )＝→AB ·(23→AC －→AB )＝23→AB ·→AC －→AB 2＝23×9－32＝－3．5．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，点E 为线段DC 上一动点．现将△ADE 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 内的射影K 在直线AE 上．当点E 从D 运动到C 时，则点K 所形成轨迹的长度为()A ．233B ．32C ．π2D ．π3【答案】D6．已知椭圆长轴AB的长为4，N为椭圆点，满足|NA|＝1，∠NAB＝60°，则椭圆的离心率为()A．55B．255C．277D．377【答案】C7．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案有()A．72种B．84种C．96种D．124种【答案】C【解析】由题意有一名女生的选法有C12⋅C24⋅A33，没有女生的选法有C34⋅A33，因此至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有C12⋅C24⋅A33＋C34⋅A33＝96，故选C．8．若a＝sin1＋tan1，b＝2，c＝ln4＋12，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南京师大附中2020/2021学年度第一学期十月质量检测试卷高三数学一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1.记全集U=R，集合A= {x|x2≥16}，集合B= {x|2x≥2}，则(CuA)∩B=( )A.[4,+∞)B.(1，4]C.[1，4)D. (1，4)2.已知a= ，b=， c=0.5a-2，则a，b，c的大小关系为( )A.b<a< cB.a<b< cC. c<b<aD. c<a< b3.若cos(a+β)=，sin(β—)= ，a，β∈（0，）则cos（a+）=( )A. —B. —C.D. —4.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( )A.30B.60C.90D.1205.已知= (2sin130, 2sin770), |-=1，与-的夹角为则*=( )A. 2B. 3C. 4D.%6.函数f(x) =在[π,0)∪(0，π]的图象大致为7.设F1，F2分别为双曲线C: :=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过B的直线l与0:x2+y2=a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线C的离心率为( )A. B.2 C.. D.48.对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y= f(x)为k倍值函数.若f(x)=e x+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是( )A. (e+1, +∞)B. (e+2, +∞)C.(e+十∞)，D.(e+,十∞)二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.9.已知函数f(x)=sin(3x+φ) ()的图象关于直线x=对称,则( )A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[,]上单调递増C. 若|f()−f()|=2,则|−|的最小值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−cos3x的图象10.2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好地提高服务质量，收集并整理了该超市2020年1月份到8月份线上收入和线下收入法人数据，并绘制如下的折线图.根据折线图，下列结论正确的有( )A.该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B.该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是( ) A当0＜CQ＜时，S为四边形；B当CQ=时，S不为等腰梯形；C当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=D当CQ=1时，S的面积为．12. 关于函数f(x)=+ asinx, x∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.当a=1时，f(x) 在(O,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时，f(x)存在惟一极小值点C.对任意a>0，f(x)在(-π, +∞)上均存在零点D.存在a<0，f(x)在(-π, +∞)上有且只有一个零点三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.13.在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数为__ _.14.已知函数f(x) = xlnx-有两个极值点，则实数a的取值范围是_ _15. 在三棱锥P- ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB= AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为__ _.16. 己知函数f(x)= 若函数F(x)= f(x) +a恰有2个零点，则实数a的取值范围是_______四、解答题：本大题共6小题，共计70分17.已知函数f(x)=alnx−b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在[,e]上的最大值。

南京市南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上）1．将一元二次方程2x 2＋7＝9x 化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为A ．2，9B ．2，7C ．2，－9D ．2x 2，－9x2．下列说法：①三点确定一个圆；②等腰三角形的外心一定在三角形内；③长度相等的弧是等弧；④圆的切线垂直于半径．其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，数轴上点A 、B 表示方程(3x －9)2－37＝0的两个根a 、b （a ＞b ），它们在数轴上的对应点的位置可以是 A ．B ．C ．D ．4．若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为A ．B ．C ．D ．AB 0A B 0AB 0AB5．如图，PA 、PB 分别为⊙O 1、⊙O 2的切线，切点为A 、B ，连接AB 交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ．若∠AO 1C ＝60°，∠BO 2D ＝40°，则∠P 的度数为A ．128°B ．129°C ．130°D ．131°6．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都相等，小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，过点C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置．．．上） 7．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额共282万元．设二、三月份每月的平均增长率为x ，则根据题意列出的方程是 ▲ ．8．设x 1、x 2是方程x 2－5x ＋m ＝0的两个根．若x 1＋x 2－x 1x 2＝2，则m ＝ ▲ ． 9．已知⊙O 的半径是3．若OP ＝3，过点P 的直线记为l ，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是 ▲ ．10．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上．若∠A ＝24°，则∠O ＝ ▲ °．11．如图，⊙O 的弦AB 、半径OC 延长线交于点D ，且BD ＝OA ．若∠AOC ＝105°，则∠D ＝ ▲ °．（第5题） （第6题）O 1PABO 2C D A CBAOBCODABC（第10题）（第11题）12．下表是某同学求代数式ax 2＋bx （a ，b 为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程ax 2＋bx ＝6的根是 ▲ ．x －2 －1 0 1 2 3 … ax 2＋bx6226…13．如图，在⊙O 中，P 为弦AB 与弦CD 的交点．若∠APC ＝84°，⌒AC的度数为74°，则⌒BD 的度数为 ▲ °．14．如图，点C 是AE 的中点，在AE 同侧分别以AC 、CE 为直径作半⊙B 、半⊙D ． 直线l ∥AE ，与两个半圆依次相交于F 、M 、N 、G 不同的四点．若AE ＝10，FG ＝x ，MN ＝y ，则y 与x 之间的函数表达式为 ▲ ．15．如图，在正方形ABCD 中，点P 、Q 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上两点，过P 、Q 向CD 作垂线，垂足分别为E 、F ，向CB 作垂线，垂足分别为M 、N ，PM 、QF 交于点H ．若四边形EPHF ，HFCM ，HMNQ 均是边长为3的正方形，则AB ＝ ▲ ．16．如图，已知⊙O 和射线AB ，∠OAB ＝90°，动点P 在⊙O 上，动点Q 在射线AB 上，PQ ＝32 cm ．若AQ 的最小值为20 cm ，最大值为36 cm ，则⊙O 的半径为 ▲ cm ．ABCDOPACEG N M F lBD（第14题）（第13题） （第16题）（第15题）ABCDPQ NMFE H ABQOP三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）x 2－6x ＋3＝0；（2）x (x －2)＝x －2．18．（7分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长AD 、BC 交于点E ，∠DCB ＝100°，∠B ＝50°． 求证：△CDE 是等腰三角形．19．（7分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 是△ACD 的外接圆，∠CAP＝∠B ．求证：直线AP 与⊙O 相切．20．（7分）等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝8 cm ，动点P 从A 点出发，沿AB 向B移动．过点P 作平行于BC ，AC 的直线与AC ，BC 分别交于R 、Q ．当□PQCR 的面积等于16 cm 2时，求AP 的长．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＋1＝0的一根为2． （1）用m 的代数式表示n ；（2）求证：关于y 的一元二次方程y 2＋my ＋n ＝0总有两个不相等的实数根．A BCDEO（第18题） BCDAOP（第19题）RQPC B A （第20题）22．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，D 是CA 延长线上一点，∠BAD的平分线交⊙O 于点E ．不使用圆规，请你仅用．．一把不带刻度的直尺作出∠BAC 的平分线，并说明理由．23．（8分）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 、AC 切小圆于点M 、N ． （1）求证AB ＝AC ；（2）若两圆半径分别为3和5，则BC ＝ ▲ ．24．（9分）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ，垂足为H ，BC ⊥AB ，交AD 延长线于点C ．（1）求证：D 是AC 的中点；（2）若AB ＝6，AC ＝213，求⊙O 的半径．25．（8分）第19届亚运会于9月23日在杭州盛大开幕，亚运会吉祥物“江南忆”由三只灵动的机器人组成．某电商在对一款成本价为40元的亚运会吉祥物进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低5元，日销售量增加10件．如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，每件售价应定为多少元？ABCDEO （第22题）OABCMN（第23题） OAB CDH（第24题）26．（9分）如图，一个边长为8 m 的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD 中，点G ，E ，F 分别在CD ，AD ，AB 上，且DG ＝1 m ，AE ＝AF ＝x ，在△AEF ，△DEG ，五边形EFBCG 三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）五边形EFBCG 的面积为 ▲ ．（结果用含有x 的代数式表示） （2）当x 为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？27．（9分）（1）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是AB 上一点．求作⊙O ，使得⊙O 过点A ，且与BC 相切．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CBA ＝30°，AC ＝1，D 是边AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt △ABC 的直角边上存在不同的点分别和点A 、D 构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的AD 的长的取值范围．ABFG D CE （第26题）A CB AC B AC B（第27题） （备用图1） （备用图2）九年级数学学科作业参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）题号 1 2 3 4 5 6答案 C A D C C C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．200(1＋x)2＝282 8．3 9．0≤d≤3 10．48 11．2512．x1＝－2，x2＝3 13．94 14．y＝10－x15．15 16．7三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（本题8分）解：（1）移项，得x2－6x＝－3．配方，得x2－6x＋9＝－3＋9，(x－3)2＝6．··········································································· 2分由此可得x－3＝±6，∴x1＝3＋6，x2＝3－6．····································································· 4分（2）x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2) (x－1)＝0．···················································································· 6分x－2＝0或x－1＝0，∴x1＝2，x2＝1．·················································································· 8分18．（本题7分）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDA＋∠B＝180°．∵∠B＝50°，∴∠CDA＝180°－50°＝130°．································································· 2分∴∠CDE＝180°－∠CDA＝180°－130°＝50°． ············································ 3分∵∠DCB＝100°，∴∠CDE＋∠E＝100°．∴∠E＝50°．······················································································· 6分∴∠E＝∠CDE．∴CD＝CE．∴△CDE是等腰三角形．······································································· 7分19．（本题7分）证明：连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE ．∴ ∠ACE ＝90°．∴ ∠E ＋∠EAC ＝90°． ··········································································· 2分 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠B ＝∠D ． ∵ ⌒AC＝ ⌒AC ， ∴ ∠E ＝∠D ． ∵ ∠CAP ＝∠B ，∴ ∠CAP ＝∠E ． ·················································································· 4分 ∵ ∠E ＋∠EAC ＝90°， ∴ ∠CAP ＋∠EAC ＝90°．∴ ∠OAP ＝90°． ··················································································· 6分 ∴ OA ⊥OP ． ∵ 点A 在⊙O 上，∴ PC 是⊙O 的切线． ············································································ 7分20．（本题7分）解：设动点P 从A 点出发移动x cm 时，□PQCR 的面积等于16 cm 2．根据题意，得x (8－x )＝16． ······································································· 4分 解这个方程，得x 1＝x 2＝4．答：当□PQCR 的面积等于16 cm 2时，AP 的长为4 cm ． ································ 7分21．（本题8分）解：（1）∵ 2为一元二次方程x 2＋mx ＋n ＋1＝0的一根，∴ 4＋2m ＋n ＋1＝0． ············································································· 1分 ∴ n ＝－2m －5． ··················································································· 3分 （2）∵ b 2－4ac ＝m 2－4n ＝m 2－4(－2m －5)＝m 2＋8m ＋20 ······························· 5分＝(m ＋4)2＋4＞0． ······························································ 7分∴ 关于y 的一元二次方程y 2＋my ＋n ＝0总有两个不相等的实数根． ················ 8分22．（本题8分）作法：1．作直径EF 交⊙O 于F ； ···································································· 2分 2．连接AF ，则AF 是∠BAC 的平分线． ······················································ 3分 理由是：∵ EF 是⊙O 的直径，∴ ∠EAF ＝90°．BC D AOPEA B C DEOF即 ∠EAO ＋∠OAF ＝90°． ∵ AE 平分∠BAD ， ∴ ∠DAE ＝∠EAO ． ∴ ∠CAF ＝∠OAF ．∴ AF 是∠BAC 的平分线． ······································································ 8分23．（本题8分）解：（1）连接OM 、ON 、OA ． ····································································· 1分∵ 大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于点M 、N ， ∴ OM ⊥AB ，ON ⊥AB ，OM ＝ON ．∴ ∠AMO ＝∠ANO ＝90°，AM ＝12AB ，AN ＝12AC ．∵ OA ＝OA ， ∴ △AMO ≌△ANO ． ∴ AM ＝AN ．∴ AB ＝AC ． ···················································································· 6分 （2）9.6． ··························································································· 8分 （直接用切线长定理不扣分）24．（本题9分）证明：如图，连接BD ．∵ AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ， ∴ D 是 ⌒AB 的中点． ∴ ⌒AD＝ ⌒BD ． ∴ AD ＝BD ． ························································································ 2分∴ ∠BAD ＝∠ABD ． ∵ BC ⊥AB ， ∴ ∠ABC ＝90°．∴ ∠BAD ＋∠C ＝90°，∠ABD ＋∠DBC ＝90°． ∴ ∠C ＝∠DBC ． ∴ BD ＝CD ． ∴ AD ＝CD ．即D 为AC 的中点． ················································································· 5分 （2）如图，连接OA ．∵ 半径OD ⊥AB ，垂足为H ，AB ＝6， ∴ AH ＝3．∵ D 是AC 的中点，AC ＝213， ∴ AD ＝13．OA BCM NO AB CD H∴ DH ＝2． ·························································································· 6分 在Rt △OAF 中，OH 2＋AH 2＝OA 2． 设OD ＝OA ＝r ，则OH ＝r －2，∴ (r －2)2＋32＝r 2． ··············································································· 8分 ∴ r ＝134．即⊙O 的半径为134． ················································································· 9分25．（本题8分）解：设每件售价应定为x 元，根据题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20． ············································· 4分 整理，得x 2－110x ＋3000＝0，解这个方程，得x 1＝50，x 2＝60． ······························································· 7分 ∵ 商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品， ∴ x 2＝60不合题意，舍去．答：每件售价应定为50元． ······································································ 8分26．（本题9分）解：（1）－12x 2＋12x ＋14． ················································································ 2分（2）根据题意，得4×[20×12x 2＋20×(2－12x )＋10×(－12x 2＋12x ＋14)]＝715． ········ 6分整理，得4x 2－4x ＋1＝0．解这个方程，得x 1＝x 2＝12． ······································································· 8分答：当AE ＝AF ＝12米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．27．（本题9分）解：（1）作△BAC 的角平分线AM ； ·································································· 2分过点M 作MO ⊥BC ，MO 与AB 交于点O ； ··················································· 4分 以O 为圆心，OA 为半径作圆，则⊙O 为所求作圆． ······································· 5分 （2）当存在2个点时，0＜AD ＜43；当存在3个点时， AD ＝43； 当存在4个点时，43＜AD ＜2； 当存在1个点时，AD ＝2． ········································································ 9分。

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞03．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，47．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．68．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥29．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b310．（3分）系统找不到该试题11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为212．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题1．【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集为（﹣1，4）．故选：A．2．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．3．【分析】进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，∴∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（∁R M）∩N＝（﹣∞，﹣1]∪（2，3]．故选：D．4．【分析】根据绝对值的意义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵“|a﹣b|＝|a|+|b|”，∴平方得a2﹣2ab+b2＝a2+2|ab|+b2，即|ab|＝﹣ab，∴ab≤0，即“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的必要不充分条件．故选：B．5．【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．6．【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b的值．解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，把根代入方程求出a的值，再解不等式求出b的值．【解答】解：解法一、不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2＝0的实数解为1和b，由根与系数的关系知，，解得a＝1，b＝2．解法二、因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根且a＞0，把x＝1代入方程ax2﹣3x+2＝0中，得a﹣3+2＝0，解得a＝1；将a＝1代入ax2﹣3x+2＞0，得x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，所以b＝2．故选：A．7．【分析】由已知结合a，b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为a＞b＞1且b＝，所以a+＝a+＝a﹣1+＝3，当且仅当a﹣1＝即a＝2时取等号，此时取得最小值3．故选：A．8．【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果．【解答】解：命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0为假命题，所以m≥0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，所以△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，由于该命题为假命题，所以m≥2或m≤﹣2．当p，q为假命题时，故，整理得m≥2．故选：D．9．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．10．11．【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：x＞0时，≥2，当且仅当即x＝1时取等号，A正确；当x＞2时，y＝x+单调递增，故y＞，没有最小值，B错误；x＜可得4x﹣5＜0，y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤1，即最大值1，没有最小值，C错误；＝2a，当且仅当即a＝1时取等号，D正确．故选：AD．12．【分析】由题意可得f（0）×f（1）＜0，f（1）×f（2）＜0，解得实数a的取值范围，可得答案．【解答】解：由题意可得：f（0）×f（1）＜0，且f（1）×f（2）＜0，即：解得，故选：C．三、填空题13．【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|＜1}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：∵p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，∴集合{x|x≥k}是{x|＜1}＝{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，∴k＞2，故答案为：k＞214．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B并集为A，分B为空集与B不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可．【解答】解：由A中的不等式解得：﹣7≤2x﹣3≤7，解得：﹣2≤x≤5，即A＝[﹣2，5]；当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，当B≠∅时，∵B＝[m+1，2m﹣1]，A∪B＝A，∴，解得：﹣3≤x≤3，综上，m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]15．【分析】分别求出命题p，q都为真命题时a的取值范围，再分别讨论p真q假，p假q 真的情况，从而求出a的范围．【解答】解：x2﹣4x+a2≥0恒成立，则△＝16﹣4a2≤0，解得a≤﹣2或a≥2，对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，得a2﹣5a﹣3≥（）max＝3，解得a≥6或a≤﹣1．若p真q假，则，解得2≤a＜6；若p假q真，则，解得﹣2＜a≤﹣1．综上，实数a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．故答案为：﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．16．【分析】由A，B，以及A与B的交集，得到3属于B，即可求出a的值．【解答】解：A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}；A∪B＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，∴x2+ax+b＝0的解有一个是x＝3，另一个解x＝﹣1，即，解得a＝﹣2，b＝﹣3故答案为：﹣2，﹣3．四、解答题17．【分析】（1）当a＝3时，求出集合A，由此能求出A∩B．（2）推导出，由此能求出实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x≤1或x≥4}．∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}．（2）∵集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．A∪B＝R，∴，解得a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．18．【分析】（1）方法一（因式分解法），把不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，求出解集即可．方法二（配方法），把不等式化为，求出解集即可．（2）不等式化为，求出解集即可．（3）不等式可化为（2x+1）2＞0，写出不等式的解集即可．（4）不等式可化为（x﹣3）2+1＜0，写出不等式的解集．【解答】解：（1）方法一（因式分解法）因为2x2+5x﹣3＝（2x﹣1）（x+3），所以原不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得，所以原不等式的解集为．方法二（配方法）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即，两边开平方，得，即，所以．所以原不等式的解集为．（2）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即．两边开平方，得，即或．所以或，所以原不等式的解集为．（3）原不等式可化为（2x+1）2＞0，所以原不等式的解集为．（4）原不等式可化为x2﹣6x+10＜0，即（x﹣3）2+1＜0，即（x﹣3）2＜﹣1，原不等式的解集为∅．19．【分析】根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：若q是p的充分不必要条件，则B⫋A，∴﹣2≤3a或﹣4≥a，解得a≥﹣，或a≤﹣4，∵a＜0，∴a的取值范围是[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．20．【分析】（1）由已知可得30﹣xy＝x+2y，从而可求；（2）由已知可得30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，解不等式可求．【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，解可得，0＜xy≤18，（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，当且仅当x+1＝y时取等号，所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，解可得，x+y+1或x+y+1（舍），故x+y≥8﹣321．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，有，（3分）整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．（5分）∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（6分）（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，（8分）等价于x＞25时，有解，（9分）∵（当且仅当x＝30时，等号成立），（11分）∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．（13分）22．【分析】（1）将f（1）带入可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，把b看成参数讨论关于a的不等式即可；（2）分离参数，利用对勾函数的性质求解最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（1）＞0，可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，即b﹣3＞a2﹣6a，那么（a﹣3）2＜6+b当b≤﹣6时，此时a无解；当b＞﹣6时，，∴所以不等式的解集为（3，3+）．（2）由f（x）≥b+4，即﹣3x2+a（6﹣a）x≥4．∵x∈[1，2]，∴a（6﹣a）≥＝，又x∈[1，2]，∴函数y＝的最大值8，此时x＝2．∴a（6﹣a）≥8，即a2﹣6a+8≤0，解得2≤a≤4；故得实数a的取值范围[2，4]。

2021-2022学年江苏省南京师大附中树人学校七年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.在体育课的立定跳远测试中，以2.00m为标准，若小明跳出了2.45m，可记作+0.45m，则小亮跳出了1.75m，应记作()A. +0.25mB. −0.25mC. +0.35mD. −0.35m2.在数轴上，位于−2.4和3.2之间的点表示的有理数有()A. 5个B. 4个C. 6个D. 无数个3.下列运算正确的是()A. −2+(−7)=−(7−2)=−5B. (+3)+(−8)=−(8−3)=−5C. (−9)−(−2)=−(9+2)=−11D. (+6)+(−4)=+(6+4)=+104.下表是几种液体在标准大气压下的沸点：则沸点最高的液体是()A. 液态氧B. 液态氢C. 液态氮D. 液态氦5.在−(−2021)，−|−2021|，0，(−12021)3，−20212，−2021各数中，负数的个数是()A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个6.下列说法：①若a、b互为相反数，则|a|=|b|；②若a2=b2，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则ab =−1；④若ab=−1，则a、b互为相反数．其中不正确的结论有()个．A. 0B. 1C. 2D. 37.如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中N小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在( )A. A 小区B. B 小区C. C 小区D. D 小区8. 设a ，b 是实数，如果|a −b|=|a +b|，命题(1)a 一定不是负数：(2)b 可能是负数，则( )A. 只有命题(1)正确B. 只有命题(2)正确C. 命题(1)，(2)都正确D. 命题(1)，(2)都不正确二、填空题（本大题共10小题，共20.0分） 9. −4−(−21)=______．10. 一个数用科学记数法表示为2.18×105，则这个数是______．11. 在3.1415926，227，0，π2，0.44444…，1.3.，5.1010010001(每两个1之间依次增加一个0)，有理数的个数有______个．12. 比较大小：|−13|______−(−0.3)(选填“>”、“=”、“<”)．13. 数轴上将点A 移动100个单位长度恰好到达−1这个点，则点A 表示的数是______． 14. 中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数.根据刘微的这种表示法，图①表示算式(+1)+(−1)=0，则图②表示算式______ ．15. 如图，在数轴上点P 、点Q 所表示的数分别是−17和3，点P 以每秒4个单位长度的速度，点Q 以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过______秒，点P 、点Q 分别与原点的距离相等．16. 已知a ，b 是有理数，若a 在数轴上的对应点的位置如图所示，且a +b <0，有以下结论：①b <0；②a −b <0；③b <−a <a <−b ；④|a|<|b|，其中结论正确的有______(填序号)．17.若M=101×2020×2029，N=2028×2021×101，则M−N=______ ．18.现把2021个连续整数1，2，3…2021的每个数的前面任意填上“+”号或者“−”号，然后将它们相加，则所得的结果绝对值的最小值为______ ．三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）19.探究规律，完成相关题目．定义“∗”运算：(+2)∗(+4)=+(22+42)；(−4)∗(−7)=+[(−4)2+(−7)2]；(−2)∗(+4)=−[(−2)2+(+4)2]；(+5)∗(−7)=−[(+5)2+(−7)2]；0∗(−5)=(−5)∗0=(−5)2；(+3)∗0=0∗(+3)=(+3)2．0∗0=02+02=0(1)归纳∗运算的法则：两数进行∗运算时，______.(文字语言或符号语言均可)特别地，0和任何数进行∗运算，或任何数和0进行∗运算，______．(2)计算：(+1)∗[0∗(−2)]=______．(3)是否存在有理数m，n，使得(m−1)∗(n+2)=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．20.如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，(1)若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下(单位：秒)：−1，+2，−4，−2，+3，+6①第______次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？(结果保留π)(2)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．四、解答题（本大题共5小题，共46.0分） 21. 计算：(1)−8+(−1.2)−(−0.6)+(−2.4)； (2)(16−23+512)×(−36)； (3)(−991516)×4；(4)−32÷[(−13)×(−3)−85÷22]．22. 把下列各数分别填入相应的集合里．3.14、0.121121112…、(−113)2、|−6|、−2011、−22、13π、0、20% 无理数集合：{______…} 负整数集合：{______…}分数集合：{______…} 正数集合：{______…}23. 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接．−5,−(+72),0.5,−|−112|,0,(−2)2．24. 某共享单车厂计划一周生产自行车2100辆，平均每天生产300辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况(超产记为正、减产记为负)：(1)根据记录的数据可知该厂星期五生产自行车______ 辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车______ 辆；(3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得80元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第(3)问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．25.纽约、悉尼与北京的时差如下表(正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数)：(1)当北京是10月1日上午10时，悉尼时间是______．(2)北京、纽约与悉尼的时差分别为______(正数表示同一时刻比悉尼时间早的时数，负数表示同一时刻比悉尼晚的时数)．(3)王老师2020年10月1日，从纽约Newwark机场，搭乘当地时间上午11：45的班机，前往北京大兴国际机场，飞机飞行的时间为14小时55分钟，问飞机降落北京大兴国际机场的时间．答案和解析1.【答案】B【解析】解：1.75−2.00=−0.25(m)，故小亮跳出了1.75m，应记作−0.25m．故选：B．在一对具有相反意义的量中，先规定其中超过标准的一个为正，则另一个不到标准的就用负表示，即可解决．考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．概念：用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．明确什么是一对具有相反意义的量是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵有理数包括整数和分数，∴在−2.4和3.2之间的有理数有无数个．故选：D．根据有理数的定义解答问题即可．本题主要考查了有理数的定义，能够掌握有理数所指的数的范围是解答问题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵−2+(−7)=−(2+7)=−9，∴A选项错误；∵(+3)+(−8)=3−8=−5，∴B选项正确；∵(−9)−(−2)=−9+2=−7，∴C选项错误；∵(+6)+(−4)=6−4=2，∴D选项错误；故选：B．利用有理数加减法的运算法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用有理数的加减法法则进行正确运算是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：因为−268.9<−253<−196<−183，所以沸点最高的液体是液态氧．故选：A．根据有理数大小的比较方法解答即可．本题考查了有理数大小的比较．解题的关键是明确两个负数，绝对值大的反而小．5.【答案】C)3，−20212，−2021，【解析】解：∵负数有：−|−2021|，(−12021∴负数的个数为4个，故选：C．根据负数的定义即可得出答案．本题主要考查负数的定义，关键是要牢记负数的定义．6.【答案】C【解析】解：若a和b互为相反数，则a，b到原点的距离相等，∴|a|=|b|，∴①不合题意，若a2=b2，则a、b可能相等，也可能互为相反数，∴②符合题意，当a=b=0时，a不成立，b∴③符合题意，=−1，则b=−a，若ab∴a和b互为相反数，∴④不合题意，故选：C．根据相反数的定义即可得出答案．本题主要考查相反数的概念，关键是要牢记相反数的定义和性质．7.【答案】B【解析】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×250+6×300=7050(m)，因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6×250=7000(m)，当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×250+5×200+6×50= 8800(m)，当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+5×250+20×50= 11250(m)，因为7000<7050<8800<11250，所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：B．根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．8.【答案】B【解析】解：分两种情况讨论：(1)a−b=a+b，−b=b，b=0；(2)a−b=−a−b，a=−a，a=0；综上所述，a=0或b=0，所以a可能为负数，b也可能为负数；故(1)错误，(2)正确．故选：B．分两种情况讨论：a −b 与a +b 相等或互为相反数，列式可得a =0或b =0，确定(2)正确．本题考查了命题与绝对值的定义，关键是根据绝对值的性质解答．9.【答案】17【解析】解：−4−(−21)=−4+21=17． 故答案为：17．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键．10.【答案】218000【解析】解：2.18×105=218000． 故答案是：218000．根据用科学记数法表示的数还原成原数时，n >0时，n 是几，小数点就向后移几位，可得答案．本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n >0时，n 是几，小数点就向后移几位．11.【答案】5【解析】解：在3.1415926，227，0，π2，0.44444…，1.3.，5.1010010001(每两个1之间依次增加一个0)，有理数有3.1415926，227，0，0.44444…，1.3.，共5个． 故答案为：5．根据有理数的定义判断即可．本题考查了有理数，整数和分数统称为有理数．12.【答案】>【解析】解：|−13|=13，−(−0.3)=0.3，13>0.3，故答案为：>．先分别化简，再比较即可．本题主要考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值和相反数的意义把有理数化简．13.【答案】−101或99【解析】解：当点A在−1的左侧时，则点A表示的数是：−1−100=−101；当点A在−1的右侧时，则点A表示的数是：−1+100=99．综上，点A表示的数是：−101或99．故答案为：−101或99．利用分类讨论的思想分点A在−1的左侧和点A在−1的右侧两种情形解答．本题主要考查了数轴，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．14.【答案】(+3)+(−2)=1【解析】解：根据题意知，图②表示的算式为(+3)+(−2)=1．故答案为：(+3)+(−2)=1．根据题意列出算式(+3)+(−2)，利用有理数加法法则计算可得．本题主要考查数学常识，正数与负数，解题的关键是理解正负数的表示，列出算式，并熟练掌握有理数的加法法则．15.【答案】2或20【解析】解：设运动的时间为t秒，①当点P在原点的左侧时，有17−4t=3+3t，解得，t=2，②当点P也在原点的右侧时，即点P追及到点Q，有4t=20+3t，解得，t=20；故答案为：2或20．分两种情况进行解答，即点P在原点的左侧，点P在原点的右侧，根据到原点的距离相等，列方程求解即可．考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点之间的距离的计算方法是解决问题的关键．16.【答案】①③④【解析】解：∵a>0，a+b<0，∴b<0，∴①符合题意；∵a>0，a+b<0，∴b<0，∴a−b>0，∴②不符合题意；∵a>0，a+b<0，∴b<−a<a<−b，∴③符合题意；∵a>0，a+b<0，∴|a|<|b|，∴④符合题意，∴结论正确的有①③④．故答案为：①③④．根据图示，可得：a>0，然后根据a+b<0，逐项判断即可．此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数轴的特征和应用，掌握有理数的加减运算法则是解答本题的关键．17.【答案】−808【解析】解：M−N=101×2020×2029−2028×2021×101=101×(2020×2029−2028×2021)=101×[2020(2028+1)−2028×2021]=101×(2020×2028+2020−2028×2021)=101×[2028(2020−2021)+2020]=101×(−2028+2020)=101×(−8)=−808．故答案为：−808．根据乘法分配律进行计算．本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律并灵活应用是解题关键．18.【答案】1【解析】解：根据绝对值的意义和题意可得，∵2021÷4=505……1，∴1+2−3−4+5+6−7−8+9+10−11−12+13……+2018−2019−2020+ 2021=1+(2−3−4+5)+(6−7−8+9)+(10−11−12+13)+⋯…+(2018−2019−2020+2021)=1+0+0+⋯…+0=1，故答案为：1．根据有理数和绝对值的意义，得出绝对值和最小时数的符号规律，进而求出答案．本题考查绝对值、有理数的意义，理解有理数、绝对值的意义是正确解答的关键．19.【答案】同号得正，异号得负，并把两数的平方相加等于这个数的平方17【解析】解：(1)归纳∗运算的法则：两数进行∗运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行∗运算，或任何数和0进行∗运算，等于这个数的平方．(2)(+1)∗[0∗(−2)]=(+1)∗(−2)2=(+1)∗4=+(12+42)=1+16=17；(3)∵(m−1)∗(n+2)=0，∴±[(m−1)2+(n+2)2]=0∴m−1=0，n+2=0，解得m=1，n=−2．故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；−3．(1)首先根据∗运算的运算法则进行运算的算式，归纳出∗运算的运算法则即可；然后根据：0∗(−5)=(−5)2；(+3)∗0)=(+3)2，可得：0和任何数进行∗运算，或任何数和0进行∗运算，等于这个数的平方．(2)根据(1)中总结出的∗运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出(+1)∗[0∗(−2)]的值是多少即可．(3)加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的∗运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用．20.【答案】(1)①4；②总路程为：|−1×2π|+|+2×2π|+|−4×2π|+|−2×2π|+|+3×2π|+|+ 6×2π|=36π此时两圆与数轴重合的点之间的距离为：|−1×2π+2×2π−4×2π−2×2π+3×2π+6×2π|=8π(2)当它们同向运动时9π=9秒，2π−π小圆与数轴重合的点所表示的数为9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为18π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为−9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为−18π，当它们反向运动时9π2π+π=3秒，小圆与数轴重合的点所表示的数为−3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为6π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为−6π．【解析】解：(1)①：第1次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|−1×2π|=2π第2次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|−1×2π+2×2π|=2π第3次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|−1×2π+2×2π−4×2π|=6π第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|−1×2π+2×2π−4×2π−2×2π|=10π第5次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|−1×2π+2×2π−4×2π−2×2π+3×2π|=4π第6次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|−1×2π+2×2π−4×2π−2×2π+3×2π+6×2π|=8π所以第四次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远．故答案为4；②见答案；(2)见答案．【分析】(1)①算出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离，然后比较大小即可；②总路程与方向无关把每次的移动的距离相加即可；(2)分同向和反相两种情况讨论，同向路程之差为9π，反向路程之和为9π，然后求出相应时间，再根据不同方向确定两圆与数轴重合的点所表示的数此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．21.【答案】解：(1)原式=−8−1.2+0.6−2.4=(−8−1.2−2.4)+0.6=−11.6+0.6=−11；(2)原式=16×(−36)−23×(−36)+512×(−36)=−6+24−15=3；(3)原式=(−100+1516)×4=−100×4+1516×4 =−400+154 =−39614；(4)原式=−9÷(1−85÷4)=−9÷(1−25)=−9÷35=−15．【解析】(1)将减法转化为加法，再利用加法的交换律和结合律计算即可；(2)利用乘法分配律展开，再进一步计算即可；(3)原式变形为(−100+1516)×4，再利用乘法分配律展开，继而进一步计算即可；(4)先计算乘方和括号内的乘方及乘法，再计算括号内除法，继而计算括号内减法，最后计算除法即可．本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及运算律．22.【答案】0.121121112…、13π −2011、−22 3.14、(−113)2、20% 3.14，0.121121112…、(−113)2、|−6|、13π、20%【解析】解：无理数集合：{0.121121112…、13π…}负整数集合：{−2011、−22…}分数集合：{3.14、(−113)2、20%…}正数集合：{3.14,0.121121112…、(−113)2、|−6|、13π、20%…}故答案为：0.121121112…、13π；−2011、−22；3.14、(−113)2、20%；3.14，0.121121112…、(−113)2、|−6|、13π、20%．根据实数的分类进行解答即可．此题考查了实数的分类，掌握正数、负数、非负整数、无理数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意−π是无理数，不是有理数．23.【答案】解：−(+72)=−3.5，−|−112|=−1.5，(−2)2=4，∴−5<−(+72)<−|−112|<0<0.5<(−2)2．【解析】先在数轴上表示各个数，再根据在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大比较即可．本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．24.【答案】290 2109【解析】解：(1)300+(−10)=290(辆)；即该厂星期五生产自行车290辆，故答案为：290；(2)∵(+5)+(−2)+(−4)+(+13)+(−10)+(+16)+(−9)=9(辆)，∴300×7+9=2109(辆)．故本周实际共生产自行车2109辆；故答案为：2109；(3)由(2)可知，该厂本周实际共生产自行车2109辆，2019×80+(5+13+16)×15+(−2−4−10−9)×20=168730(元)；(4)实行每日计件工资制的工资为2109×80+9×15=168855(元)，168855>168730(元)，所以按每周计件工资制的一周的工资较高．(1)用300加上增减的−10即可；(2)先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；(3)根据规定列出算式，然后根据有理数的混合运算方法进行计算即可求解；(4)根据规定列出算式，然后根据有理数的混合运算方法进行计算即可求解．本题考查了正数与负数，有理数加减混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键．25.【答案】10月1日上午12时−2，−14【解析】解：(1)由题意得：当北京是10月1日上午10时，悉尼时间是10月1日上午12时，故答案为：10月1日上午12时；(2)北京与悉尼的时差是：−2；纽约与悉尼的时差是：−2−12=−14；故答案为：−2，−14；(3)由题意得：(11+14)时(45+55)分，即2020年10月2日2时40分，又知北京比纽约早12小时，所以到上海时是：10月2日14时40分；答：飞机降落上海浦东国际机场的时间为2020年10月2日下午2：40．(1)由统计表得出：悉尼时间比上海时间早2小时，也就是10月1日上午12时．(2)由统计表得出：上海比悉尼晚2个小时，所以时差为−2，纽约比悉尼晚14个小时，所以时差为−14；(3)先计算飞机到达机场时纽约的时间，即：(10+14)时(45+55)分，2020年10月2日2时40分，再根据时差计算结果即可．本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算．。

七年级月考数学试卷一．选择题（共12小题，每题3分，共36分）1．在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣中，负数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．﹣2016的绝对值是（）A．2016 B．﹣2016 C．D．﹣3．在，0，，﹣1这四个数中，最小的数是（）A．B．0 C．D．﹣14．如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（）A．﹣2 B．2 C．D．5．将9+（﹣3）﹣（﹣7）+（﹣2.5）写成省略加号的和的形式为（）A．﹣9﹣3+7﹣2.5 B．9﹣3﹣7﹣2.5 C．9﹣3+7﹣2.5 D．9+3﹣7﹣2.5 6．下列各组数中，互为相反数的是（）A．3.2与﹣2.3 B．﹣（﹣5）与﹣5C．﹣（﹣4）与﹣8 D．﹣与﹣[﹣（﹣）]7．下列说法正确的是（）A．一个数的绝对值一定比0大B．倒数等于它本身的数是±1C．绝对值等于它本身的数一定是正数D．一个数的相反数一定比它本身小8．绝对值大于1小于4的整数的和是（）A．0 B．5 C．﹣5 D．109．若a＞0，b＜0，则下列各式正确的是（）A．a﹣b＜0 B．a﹣b＞0 C．a﹣b=0 D．（﹣a）+（﹣b）＞0 10．如果|a|=﹣a，下列成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤011．一个两位数，个位数字为a，十位数字比个位数字大1，则这个两位数可表示为（）A．11a﹣1 B．11a﹣10 C．11a+1 D．11a+1012．化简|3﹣π|的结果为（）A．3﹣πB．﹣3﹣πC．3+πD．π﹣3二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）13．在知识抢答中，如果用+10表示得10分，那么扣20分表示为．14．某天温度最高是12℃，最低是﹣7℃，这一天温差是℃．15．数轴上点A与表示﹣2的点相距3个单位长度，则点A所表示的数是．16．若abcde＜0，则其中负因数的个数为．17．如果x，y的平均数为4，x，y，z的和为零，那么z=．18．水池中的水位在某天8个不同时间测得记录如下（规定上升为正，单位：厘米）：+3，﹣6，﹣1，+5，﹣4，+2，﹣3，﹣2，那么，这天水池中水位最终的变化情况是．三．解答题（共6小题）19．计算题（每题4分，共20分）（1）26+（﹣14）﹣（﹣16）﹣8（2）（﹣+﹣）×（﹣36）（3）﹣0.2×（﹣15）﹣17÷（﹣3）﹣|﹣12|（4）7575 75(81)6773 19211921 +-+-（5）59 (70)5(19)20710-÷+-⨯20．已知3m+7与﹣10互为相反数，求m的值．（6分）21．已知|x|=16，|y|=9，且|x+y|=﹣（x+y），求x﹣y的值．（6分）22．（10分）若用A、B、C分别表示有理数a、b、c，0为原点如图所示．已知a＜c＜0，b＞0．（1）化简|a﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|；（2）|﹣a+b|﹣|﹣c﹣b|+|﹣a+c|23．（10分）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：+10，﹣2，+5，﹣6，+12，﹣9，+4，﹣14．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）（1）守门员最后是否回到球门线上？（2）守门员离开球门线的最远距离达多少米？（3）如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？24．（14分）同学们都知道，|4﹣（﹣3）|表示4与﹣3之差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣3两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣3）|=；（2）若|x﹣3|=4，则x=；（3）找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣4|=6这样的整数是；（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣2|+|x﹣8|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．南大附中红谷滩分校七年级月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣中，负数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】11：正数和负数．【分析】根据小于0的数是负数，可得负数的个数．【解答】解：﹣|﹣7|＜0，﹣|+1|＜0，﹣（+）＜0，故选：C．【点评】本题考查了正数和负数，小于0的数是负数，注意带负号的数是不一定是负数．2．﹣2016的绝对值是（）A．2016 B．﹣2016 C．D．﹣【考点】15：绝对值．【分析】根据正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．【解答】解：∵﹣2016的绝对值等于其相反数，∴﹣2016的绝对值是2016．故选A．【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是明确绝对值的定义．3．在，0，，﹣1这四个数中，最小的数是（）A．B．0 C．D．﹣1【考点】18：有理数大小比较．【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，即可得出．【解答】解：因为＞＞0＞﹣1，所以最小的数是﹣1．故选D．【点评】本题主要考查了有理数大小比较，熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小．4．如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（）A．﹣2 B．2 C．D．【考点】13：数轴；17：倒数．【分析】由题意先读出数轴上A的数，然后再根据倒数的定义进行求解．【解答】解：由题意得数轴上点A所表示的数为﹣2，∴﹣2的倒数是﹣，故选D．【点评】此题主要考查倒数的定义，是一道基础题．5．将9+（﹣3）﹣（﹣7）+（﹣2.5）写成省略加号的和的形式为（）A．﹣9﹣3+7﹣2.5 B．9﹣3﹣7﹣2.5 C．9﹣3+7﹣2.5 D．9+3﹣7﹣2.5【考点】1B：有理数的加减混合运算．【分析】根据去括号法则省略括号和加号即可．【解答】解：将9+（﹣3）﹣（﹣7）+（﹣2.5）写成省略加号的和的形式为9﹣3+7﹣2.5，故选：C．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是去括号，注意符号的变化，括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“﹣”号时，将括号连同它前边的“﹣”去掉，括号内各项都要变号．6．下列各组数中，互为相反数的是（）A．3.2与﹣2.3 B．﹣（﹣5）与﹣5 C．﹣（﹣4）与﹣8 D．﹣与﹣[﹣（﹣）]【考点】14：相反数．【分析】先根据相反数的定义进行化简，然后再进行判断即可．【解答】解：A、3.2与﹣2.3不是相反数，故A错误；B、﹣（﹣5）=5，5与﹣5互为相反数，故B正确；C、﹣（﹣4）=4，4与﹣8不是相反数，故C错误；D、﹣[﹣（﹣）]=﹣，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．7．下列说法正确的是（）A．一个数的绝对值一定比0大B．倒数等于它本身的数是±1C．绝对值等于它本身的数一定是正数D．一个数的相反数一定比它本身小【考点】17：倒数；14：相反数；15：绝对值．【分析】根据倒数的意义，绝对值的性质，相反数的意义，可得答案．【解答】解：A、0的绝对值等于零，故A错误；B、倒数等于它本身的数是±1，故B正确；C、绝对值等于它本身的数一定是非负数，故C错误；D、0等相反数等于零，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．8．绝对值大于1小于4的整数的和是（）A．0 B．5 C．﹣5 D．10【考点】19：有理数的加法；15：绝对值．【分析】首先找出绝对值大于1小于4的整数，然后根据互为相反数的两数之和为0解答即可．【解答】解：绝对值大于1小于4的整数有：±2；±3．﹣2+2+3+（3）=0．故选：A．【点评】本题主要考查的是绝对值的定义、有理数的加法，找出所有符合条件的数是解题的关键．9．若a＞0，b＜0，则下列各式正确的是（）A．a﹣b＜0 B．a﹣b＞0 C．a﹣b=0 D．（﹣a）+（﹣b）＞0【考点】1A：有理数的减法；19：有理数的加法．【分析】根据有理数的加法、有理数的减法的运算方法，逐一判断即可．【解答】解：∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，∴选项A不正确；∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，∴选项B正确；∵a＞0，b＜0，∴a﹣b≠0，∴选项C不正确；∵a＞0，b＜0，∴（﹣a）+（﹣b）可能大于0，也可能小于0或等于0，∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了有理数的加法、有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．（2）绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．（3）减去一个数，等于加上这个数的相反数．10．如果|a|=﹣a，下列成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0【考点】15：绝对值．【分析】绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．【解答】解：如果|a|=﹣a，即一个数的绝对值等于它的相反数，则a≤0．故选D．【点评】本题主要考查的类型是：|a|=﹣a时，a≤0．此类题型的易错点是漏掉0这种特殊情况．规律总结：|a|=﹣a时，a≤0；|a|=a时，a≥0．11．一个两位数，个位数字为a，十位数字比个位数字大1，则这个两位数可表示为（）A．11a﹣1 B．11a﹣10 C．11a+1 D．11a+10【考点】32：列代数式．【分析】由于十位数字比个位数字大1，则十位上的数位a+1，又个位数字为a，则两位数即可表示出来．【解答】解：由于个位数字为a，十位数字比个位数字大1，则十位数字为a+1，∴这个两位数可表示为10（a+1）+a=11a+10．故选D．【点评】本题考查了代数式的列法，正确理解题意是解决这类题的关键．注意两位数的表示方法为：十位数×10+个位数．12．化简|3﹣π|的结果为（）A．3﹣πB．﹣3﹣πC．3+πD．π﹣3【考点】28：实数的性质．【分析】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．【解答】解：|3﹣π|=π﹣3．故选：D．【点评】本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数．二．填空题（共6小题）13．在知识抢答中，如果用+10表示得10分，那么扣20分表示为﹣20．【考点】11：正数和负数．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对．【解答】解：用+10表示得10分，那么扣20分用负数表示，那么扣20分表示为﹣20．故答案为：﹣20．【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．14．某天温度最高是12℃，最低是﹣7℃，这一天温差是19℃．【考点】1A：有理数的减法．【分析】温差等于最高气温减去最低气温，列式计算即可．【解答】解：12﹣（﹣7）=12+7=19．故答案为：19．【点评】本题考查了有理数的减法的应用和有理数的减法法则，是基础知识较简单．15．数轴上点A与表示﹣2的点相距3个单位长度，则点A所表示的数是﹣5或1．【考点】13：数轴．【分析】此题注意考虑两种情况：可以向左移或向右移．【解答】解：以表示﹣2的点为起点，向左移3个单位，即﹣2﹣3=﹣5；向右移3个单位，即﹣2+3=1．故答案为：﹣5或1．【点评】注意数的大小变化和平移之间的规律：左减右加．16．若abcde＜0，则其中负因数的个数为1或3或5个．【考点】1C：有理数的乘法．【分析】根据多个有理数相乘的法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正可以直接得到答案．【解答】解：∵abcde＜0，∴负因数有1或3或5个．故答案为：1或3或5个．【点评】此题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记多个有理数相乘的法则．17．如果x，y的平均数为4，x，y，z的和为零，那么z=﹣8．【考点】1A：有理数的减法．【分析】本题是有理数的减法与平均数的综合考题，求解时可以根据平均数的定义列式然后求解即可．【解答】解：因为x，y的平均为4，所以（x+y）÷2=4，所以x+y=8，又因为x，y，z的和为零，即x+y+z=0，所以z=0﹣（x+y）=﹣8．【点评】本题中利用了整体代入的数学思想．18．水池中的水位在某天8个不同时间测得记录如下（规定上升为正，单位：厘米）：+3，﹣6，﹣1，+5，﹣4，+2，﹣3，﹣2，那么，这天水池中水位最终的变化情况是下降6厘米．【考点】19：有理数的加法；11：正数和负数．【分析】明确上升为正，为负下降．依题意列式计算．【解答】解：（+3）+（﹣6）+（﹣1）+（+5）+（﹣4）+（+2）+（﹣3）+（﹣2）=﹣6（厘米）．因此，水位最终下降了6厘米．【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．三．解答题（共6小题）19．计算（1）26+（﹣14）﹣（﹣16）﹣8（2）（﹣+﹣）×（﹣36）（3）﹣0.2×（﹣15）﹣17÷（﹣3）﹣|﹣12|（4）7575 75(81)6773 19211921 +-+-（5）59 (70)5(19)20710-÷+-⨯【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（3）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果；（4）原式先化简绝对值，再利用加法交换律和结合律即可得到结果；（5）原式先计算乘除法，再计算加法即可得到结果．【解答】解：（1）原式=26﹣14+16﹣8=42﹣22=20；（2）原式=﹣18+20﹣30+21=﹣48+41=﹣7；（3）原式=﹣×（﹣15）+17×﹣12=3+5﹣12=﹣4；（4）原式=75757755 75816773(7567)(8173)8816 1921192119192121 +--=-+-=+=（5）原式=51911 (70)(19)20=14(38018)412751077 -⨯+-⨯-+--=-【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．已知3m+7与﹣10互为相反数，求m的值．【考点】14：相反数．【分析】根据互为相反数的和为零，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由3m+7与﹣10互为相反数，得3m+7+（﹣10）=0．解得m=1，m的值为1．【点评】本题考查了相反数，利用互为相反数的和为零得出关于m的方程是解题关键．21．已知|x|=16，|y|=9，且|x+y|=﹣（x+y），求x﹣y的值．【考点】15：绝对值．【分析】根据绝对值的定义求得x=±16，y=±9；然后由已知条件|x+y|=﹣（x+y）推知x+y＜0，据此确定x、y的值；从而求得x﹣y的值．【解答】解：∵|x|=16，|y|=9，∴x=±16，y=±9；又|x+y|=﹣（x+y），∴x+y＜0；①当x=16，y=9，则x+y=25＞0，不合题意，舍去；②当x=16，y=﹣9时，x+y=7＞0，不合题意，舍去；③当x=﹣16，y=9时，x+y=﹣7＜0，则x﹣y=﹣16﹣9=﹣25；④当x=﹣16，y=﹣9时，x+y=﹣25＜0，则x﹣y=﹣16+9=﹣7；综上所述，x﹣y=﹣25或x﹣y=﹣7．【点评】本题考查了绝对值．解答此题需要分类讨论，以防漏解．22．若用A、B、C、D分别表示有理数a、b、c，0为原点如图所示．已知a＜c ＜0，b＞0．（1）化简|a﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|；（2）|﹣a+b|﹣|﹣c﹣b|+|﹣a+c|【考点】44：整式的加减；15：绝对值．【分析】（1）利用数轴结合绝对值的性质，进而化简得出即可；（2）利用数轴结合绝对值的性质，进而化简得出即可．【解答】解：（1）∵a＜c＜0，b＞0，∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，c﹣a＞0，∴|a﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|=c﹣a+b﹣a﹣（c﹣a）=c﹣a+b﹣a﹣c+a=b﹣a；（2）∵a＜c＜0，b＞0，∴﹣a+b＞0，﹣c﹣b＞0，﹣a+c＞0∴|﹣a+b|﹣|﹣c﹣b|+|﹣a+c|=﹣a+b+c+b+c﹣a=﹣2a+2b+2c．【点评】此题主要考查了整式的加减、数轴以及绝对值的性质，正确去绝对值化简是解题关键．23．世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：+10，﹣2，+5，﹣6，+12，﹣9，+4，﹣14．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）（1）守门员最后是否回到球门线上？（2）守门员离开球门线的最远距离达多少米？（3）如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？【考点】11：正数和负数．【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得每次与球门线的距离，根据有理数的大小比较，可得答案；（3）根据有理数的大小比较，可得答案．【解答】解：（1）+10﹣2+5﹣6+12﹣9+4﹣14=0，答：守门员最后正好回到球门线上；（2）第一次10，第二次10﹣2=8，第三次8+5=13，第四次13﹣6=7，第五次7+12=19，第六次19﹣9=10，第七次10+4=14，第八次14﹣14=0，19＞14＞13＞10＞8＞7，答：守门员离开球门线的最远距离达19米；（3）第一次10=10，第二次10﹣2=8＜10，第三次8+5=13＞10，第四次13﹣6=7＜10，第五次7+12=19＞10，第六次19﹣9=10，第七次10+4=14＞10，第八次14﹣14=0，答：对方球员有三次挑射破门的机会．【点评】本题考查了正数和负数，（1）利用了有理数的加法运算，（2）利用了有理数的加法运算，有理数的大小比较，（3）利用了有理数的加法运算，有理数的大小比较．24．同学们都知道，|4﹣（﹣3）|表示4与﹣3之差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣3两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣3）|=7；（2）若|x﹣3|=4，则x=7或﹣4；（3）找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣4|=6这样的整数是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4；（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣2|+|x﹣8|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．【考点】15：绝对值；13：数轴．【分析】（1）3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离为3﹣（﹣1）=4；（2）在数轴上，某点到3所对应的点的距离为4；（3）利用数轴解决：把|x+2|+|x﹣4|=6理解为：在数轴上，某点到﹣2所对应的点的距离和到4所对应的点的距离之和为6，然后根据数轴可写出满足条件的整数x；（4）把丨x﹣2丨+丨x﹣8丨理解为：在数轴上表示x到2和8的距离之和，求出表示2和8的两点之间的距离即可．【解答】解：（1）|4﹣（﹣3）|=7；故答案是：7；（2）|x﹣3|=4可理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离为4，则x=7或x=﹣4；故答案是：7或﹣4；（3）式子|x+2|+|x﹣4|=6可理解为：在数轴上，某点到2所对应的点的距离和到﹣4所对应的点的距离之和为6，所以满足条件的整数x可为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．（4）有最小值．最小值为10，理由是：∵丨x﹣2丨+丨x﹣8丨理解为：在数轴上表示x到2和8的距离之和，∴当x在2与8之间的线段上（即2≤x≤8）时：即丨x﹣2丨+丨x﹣8丨的值有最小值，最小值为2﹣（﹣8）=10．【点评】此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．。

南京师范大学附属实验学校2020-2021学年度第一学期高一年级10月份考试数学试卷分值：150分时间：90分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1. 已知集合A=，B=，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合A=，B=，所以=，故选：D【点睛】本题主要考查集合并集的定义，属于基础题.2. 若1∈{x，x2}，则x=（）A. 1B.C. 0或1D. 0或1或【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 已知集合，，若，则实数的值为（）A. 2B. 0C. 0或2D. 1【答案】B【解析】【分析】求得集合，根据，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合交集运算，其中解答中熟记集合的包含关系的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4. 不等式的解集为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】【分析】由，求解即可.【详解】由题意，，解得或.所以不等式的解集为或.故选：B.【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查学生的计算能力，属于基础题.5. 已知，则“”是“”的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别讨论充分性与必要性，即可得出答案.【详解】当，时，，故充分性不成立；若，则，其逆否命题为：若，则，所以必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件，考查学生的推理能力，属于基础题.6. 如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为x m，根据题意可列出的不等式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列不等式即可．【详解】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x），因为草坪的面积不小于300m2，所以(22－x)(17－x) 300，故选：B．【点睛】本题主要考查根据实际问题列出不等关系，考查了转化思想与建模能力，属于基础题.7. 函数的零点是（）A. （，0）B. （4，0）C. （，0）或（4，0）D. 或4【答案】D【解析】【分析】求出的根即可得答案.【详解】函数的零点就是方程的根，由可得，解得或，故选：D.【点睛】本题主要考查函数零点的定义与求解方法，属于基础题.8. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解集为，有二次函数图象分析可得出无解或有一个解，用判别式即可求解.【详解】由不等式的解集为，所以无解或有一个解，即，解得.故选：B【点睛】本题主要考查根据一元二次不等式的解集求参数问题，属于常规题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9. 如果集合，那么（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据集合，对四个选项逐个分析，可得出答案.【详解】因为，所以，，，故选项AD正确，，即BC错误.故选：AD.【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合间的关系，属于基础题.10. 已知下列命题中，真命题的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】对四个选项逐个分析，可得出答案【详解】对于A，因为，所以，故A是真命题；对于B，取，则，不满足，故B是假命题；对于C，取，满足，故C是真命题；对于D，令，解得，而，故D是假命题.故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查学生的推理能力，属于基础题.11. 下列命题为真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案.【详解】解：A项，若，取，可得，故A不正确；B项, 若,可得：，故，故B正确；C项，若可得，由可得：，故C正确；C项，举反例，虽然，但是，故D不正确；故选：BC.【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型.12. 设正实数满足，则下列说法正确的是( )A. 的最小值为B. 的最大值为C. 的最小值为2D. 的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件.【详解】选项，正实数满足，当且仅当时，等号成立，故正确；选项，由且得，当且仅当时，等号成立，则，故正确；选项，由且得，则，故错误；选项，，故正确.故选：.【点睛】本题注意考查基本不等式的性质、“乘1法”.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13. 已知命题：“”，请写出命题的否定：_____________【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论，即可得出答案.【详解】命题为全称命题，其否定为：.故答案为：.【点睛】本题考查命题的否定，注意命题的否定是否定命题的结论，同时把全称量词与存在量词互换．14. 已知命题p：1<m≤2是假命题，则m的取值范围是______________.【答案】【解析】【分析】求出命题p的否定即可得到m的取值范围.【详解】因为命题p：1<m≤2是假命题，所以命题p的否定或是真命题，即m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，解题的关键是求出命题p的否定，属于基础题.15. 已知二次函数只有一个零点，则实数a=__________.【答案】1【解析】【分析】先判断，再利用判别式为零可得答案.【详解】因为是二次函数，所以，又因为二次函数只有一个零点，所以二次方程只有一个解，所以（舍去），或，故答案为：1.【点睛】本题主要考查函数的零点，考查了分类讨论思想与转化思想的应用，属于基础题.16. 设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.【答案】【解析】【分析】由题意可知，不含“孤立元”个元素的集合中，集合中的个元素一定是连续的个自然数，列举出符合条件的集合，即可得出结果.【详解】由题意可知，由个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，故这样的集合有：、、、、、，共个.故答案为：.【点睛】本题考查集合中的新定义，列举出符合条件的集合是解题的关键，属于中等题.四、解答题（本大题共5小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】（1）B∩A=[1，4），B∩(∁U A)= [-4,1)∪[4,5)；（2） .【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁U A={x|x＜1或x≥4}，∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），B∩(∁U A)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A∪B=A⇔B⊆A，①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,②B≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.18. 若不等式的解集是，（1）求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根，由韦达定理可解得结果；（2）代入的值，解一元二次不等式可得结果.【详解】（1）依题意可得：=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：，解得：；.（2）则不等式，可化为.所以，所以，所以，故不等式的解集..【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.19. （1）求函数的最小值；（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）5；（2）4【解析】【分析】（1）由，且，利用基本不等式，可求出最小值；（2）由，，利用“1”的代换及基本不等式，求出最小值即可.【详解】（1）∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立.∴函数的最小值为5.（2）∵，且，∴，当且仅当，即时，等号成立. ∴的最小值为4.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.20. 已知a>0，试比较a与的大小.【答案】见解析【解析】试题分析：对分类讨论和利用作差法即可比较其大小解析：因为a－＝＝，因为a>0，所以当a>1时， >0，有a>；当a＝1时，＝0，有a＝；当0<a<1时， <0，有a<.综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；当0<a<1时，a<.21. 某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为．（利润与投资金额单位：万元）（1）该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出x的取值范围．（2）怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【答案】（1）；（2）最大利润28万元．此时投入A产品20万元，B产品80万元【解析】【分析】（1）将两个产品利润相加，求得利润总和的表达式.（2）对函数表达式化简后，根据基本不等式，求得的最大值，再根据基本不等式等号成立的条件，求得此时的值.【详解】（1）已知x万元资金投入A产品，则剩余的万元资金投入B产品，设利润总和为y，则．（2）因为,所以由均值不等式得，当且仅当即时获得最大利润28万元．此时投入A产品20万元，B产品80万元．【点睛】本小题主要考查利用基本不等式在实际生活中的应用，属于基础题.登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。

一．选择题（共6小题，每小题2分，共12分）1.把方程x 2﹣10x ﹣5＝0变形为（x +h ）2＝k 的形式可以是（）A.（x ﹣5）2＝30B.（x ﹣5）2＝5C.（x +5）2＝5D.（x +5）2＝302.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是()A.x 2+1=0B.x 2+1=2xC.x 2-2x =0D.x 2-2x =33.已知一元二次方程x 2-8x +15=0的两个根分别是Rt △ABC 的两边长．则第3条边长()A.3B.4或5C.3或5D.4或344.若⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定5.如图，在半圆ACB 中，AB =6，将半圆ACB 沿弦BC 所在的直线折叠，若弧BC 恰好过圆心O ，则弧BC 的长是（）A.33B.πC.2πD.4π6.如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，261AB =，10AD =，C 是 BD上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH AC ⊥于H ，连接BH ，在点C 移动的过程中，BH 的最小值是（）A.5B.6C.7D.8二．填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7.当x ＝_____时，分式293x x -+的值为零．8.计算818+的结果是________．9.关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为－1、4，则p ＋q 的值为_____．南京师范大学附属中学江宁分校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题10.某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是______．11.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O 与矩形ABCD 的边BC ，AD 分别相切和相交（E ，F 是交点），已知EF=CD=8，则⊙O 的半径为_______12.如图，四边形ABCD 的各边都与圆相切，它的周长为18，若5AB =，则CD 的长为______．13.如图，AE 是正八边形ABCDEFGH 的一条对角线，则∠BAE=_____°．14.以下对一次函数2y x =-+的图像进行变化的方案中正确的是________（只填序号）．①向下平移4个单位长度得到一次函数2y x =--的图像；②向左平移4个单位长度得到一次函数2y x =--的图像；③绕原点旋转90︒得到一次函数2y x =-的图像；④先沿x 轴对称，再沿y 轴对称得到一次函数2y x =--的图像．15.如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，I 为ABC 的内心，连接OI AI BI ，，．若1OI BI OI ⊥=，，则AB 的长为______．16.如图，已知一次函数32y x =-+的图象与坐标轴分别交于点A ，B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的一个点，过点P 作⊙O 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为_____．三．解答题（共10小题，共88分）17.解下列一元二次方程：（1）x （x +2）＝5（x +2）；（2）x 2+5x +3＝0．18.计算：（1112683（2）))251552+19.化简2111a a a -⎛⎫÷ ⎪⎝⎭-，并直接写出a 为何整数时，该代数式的值也为整数．20.某学校组织七年级学生参加了“热爱宪法，捍卫宪法”的知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计图如下．请根据所给信息，回答下列问题：某校七年级部分学生成绩频数分布直方图某校七年级部分学生成绩扇形统计图（1）求出A组、B组人数分别占总人数的百分比；（2）求本次共抽查了多少名学生的成绩；（3）扇形统计图中，D组对应的圆心角为a ，求a的值；（4）该区共有1000名七年级学生参加了此次竞赛，若主办方想把一等奖的人数控制在150人，那么请你通过计算估计：一等奖的分值应定在多少分及以上？21.用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”．已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠B＋∠D＝180°．证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE．∵DE是⊙O的直径，∴．∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°．∵∠B 和∠AEC 所对的弧是 ADC ，∴．∴∠B ＋∠ADC ＝180°．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．证法2：22.如图，四边形ABCD 为矩形，O 为AC 中点，过点O 作AC 的垂线分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接AF 、CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形．（2）若8AC =，6EF =，求BF 的长．23.已知⊙O ，请用无刻度的直尺完成下列作图．（1）如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AB ＝AD ，画出∠BCD 的角平分线；（2）如图②，AB 和AD 是⊙O 的切线，切点分别是B 、D ，点C 在⊙O 上，画出∠BCD 的角平分线．24.已知关于x 的一元二次方程x 2+（k +4）x +k +3＝0的两根是x 1，x 2．（1）当k 为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？（2）说明：无论k 为何值，方程总有一个不变的根．25.如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD ，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC 长为x 米．（1）AB ＝米（用含x 的代数式表示）；（2）若矩形围栏ABCD 面积为210平方米，求橱栏BC 的长；（3）矩形围栏ABCD 面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x 的值；若不可能，则说明理由．26.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若OH⊥AC，OH＝1，求DH的长．27.【提出问题】（1）已知点P是⊙O外的一点，在⊙O上找一点A，使P、A两点间距离最短．如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O 上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明．【变式探究】（2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短．小明给出下列解答，请你补全小明的解答．小明的解答如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M 即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN．∵，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON．又，∴OP+PQ＞OM+MN．又OP＝OM，∴PQ＞MN．【拓展研究】（3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹）（4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是．南京师范大学附属中学江宁分校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题一．选择题（共6小题，每小题2分，共12分）1.把方程x2﹣10x﹣5＝0变形为（x+h）2＝k的形式可以是（）A.（x﹣5）2＝30B.（x﹣5）2＝5C.（x+5）2＝5D.（x+5）2＝30【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【详解】解：∵x2﹣10x﹣5＝0，∴x2﹣10x+25＝30，∴（x﹣5）2＝30，故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的配方法，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的配方法.2.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是()A.x2+1=0B.x2+1=2xC.x2-2x=0D.x2-2x=3【答案】B【解析】【详解】解：A、x2+1=0，∆=0-4⨯1⨯1=-4<0，方程没有实数根，不符合题意；B、x2+1=2x，整理，得：x2-2x+1=0，∆=(-2)2-4⨯1⨯1=0，方程有两个相等的实数根，符合题意；C、x2-2x=0，∆=(-2)2-4⨯1⨯0=4>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、x2-2x=3，整理，得：x2-2x-3=0，∆=(-2)2-4⨯1⨯(-3)=16>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式∆=b2-4ac，解题的关键是熟知不同情况下根的情况（当∆>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根）．3.已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个根分别是Rt△ABC的两边长．则第3条边长()A.3B.4或5C.3或5D.4或34【答案】D 【解析】【分析】先解方程求出一元二次方程28150x x -+=的两个根是3和5，再分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．【详解】解：28150x x -+=，(3)(5)0x x --=，解得1235x x ==，，当3和5都是直角边时，第三边长为：223534+=；当5是斜边长时，第三边长为：22534-=．故选：D ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解决本题的关键是当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．4.若⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【答案】C 【解析】【分析】若d ＜r ，则直线与圆相交；若d ＝r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离，由此进行判断即可．【详解】解：根据圆心到直线的距离5大于圆的半径4，则直线和圆相离．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握若d ＜r ，则直线与圆相交；若d ＝r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离.5.如图，在半圆ACB 中，6AB =，将半圆ACB 沿弦BC 所在的直线折叠，若弧BC 恰好过圆心O ，则弧BC 的长是（）A.33B.πC.2πD.4π【答案】C 【解析】【分析】过点O 作OD BC ⊥，连接AC ，根据题中条件可得12OD OB =，30OBD ∠=︒，进一步可推出60120CAB COB ∠=︒∠=︒，，用弧长公式求解即可．【详解】解：过点O 作OD BC ⊥，连接AC ，OC ，如图所示，∵将半圆ACB 沿弦BC 所在的直线折叠，若 BC恰好过圆心O ，∴12OD OB =，∴30OBD ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴60CAB ∠=︒，∴120COB ∠=︒,∵6AB =，∴3OB =，∴ 12032180BC l ππ⨯==，故选：C ．【点睛】本题考查了圆的折叠问题，涉及解直角三角形、圆心角、弧的关系定理，垂径定理、圆周角定理、弧长公式等，正确作出辅助线是关键．6.如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，261AB =，10AD =，C 是 BD上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH AC ⊥于H ，连接BH ，在点C 移动的过程中，BH 的最小值是（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】⊥判断出点H的运动轨迹，然后确定当BH取【分析】首先利用圆周角是直角所对的弦是直径和DH AC最小值是H的位置，最后利用勾股定理解直角三角形即可.【详解】连接BD，∵C是 BD上的一个动点，∴点H也是一个动点，∵DH=90°∴H的运动轨迹是以AD为直径的圆周上，于点H此如图所示，设AD中点为M，点M即为以AD为直径的圆的圆心，且直径为10.连接BD交M时的BH最小.∵AB是直径∴∠ADB=90°∴22-AB AD=12在Rt△BMD中22+BD MD22125+=13∴BH=BM－MH=13－5=8故选D.【点睛】此题考查的是利用圆周角是直角所对的弦是直径，确定动点的运动轨迹，然后利用勾股定理求线段的长度.二．填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7.当x＝_____时，分式293xx-+的值为零．【答案】3【解析】【分析】分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，据此即可求出x的值．【详解】∵分式293xx-+的值为零，∴x2-9=0，且x+3≠0，解得：x=3，故答案为：3【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．8.计算+的结果是________．【答案】【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可解答．=+故答案为【点睛】本题主要考查了二次根式的化简计算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．9.关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为－1、4，则p＋q的值为_____．【答案】-7【解析】【分析】根据根与系数的关系得到-1＋4＝−p，-1×4＝q，然后解方程即可得到p和q的值，即可得到结论．【详解】根据题意得-1＋4＝−p，-1×4＝q，所以p＝−3，q＝-4．故p＋q＝−7，故填：-7.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−ba，x1x2＝ca．10.某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是______．【答案】10%【解析】【分析】设降价百分率为x ，根据售价从原来每件40元经两次降价后降至每件32.4元，可列方程求解．【详解】解：设降价百分率为x ，列方程：40（1﹣x ）2＝32.4．解得x 1＝0.1，x 2＝1.9（不合题意舍去）．故答案为：10%．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，根据题意列出方程是解题的关键．11.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O 与矩形ABCD 的边BC ，AD 分别相切和相交（E ，F 是交点），已知EF=CD=8，则⊙O 的半径为_______【答案】5【解析】【详解】试题分析：由题意，⊙O 与BC 相切，记切点为G ，作直线OG ，分别交AD 、劣弧 EF于点H 、I ，再连接OF ，易求得FH 的长，然后设求半径为r ，则OH=16﹣r ，然后在Rt △OFH 中，r 2﹣（16﹣r ）2=82，解此方程即可求得答案：如答图，由题意，⊙O 与BC 相切，记切点为M ，作直线OM ，分别交AD 、劣弧 EF于点H 、N ，再连接OF ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，而MN ⊥BC ，∴MN ⊥AD.∴在⊙O 中，FH=12EF=4.设球半径为r ，则OH=8﹣r ，在Rt △OFH 中，由勾股定理得，r 2﹣（8﹣r ）2=42，解得r=5.考点：1.垂径定理的应用；2.勾股定理；3.切线的性质；4.方程思想的应用．12.如图，四边形ABCD 的各边都与圆相切，它的周长为18，若5AB =，则CD 的长为______．【答案】4【解析】【分析】设AB BC CD AD ，，，边的切点分别为E F G H 、、、，由切线长定理可知AE AH DH DG CG CF BE BF ====，，，，再根据四边形ABCD 的周长为18，可以推出9AB CD +=，由此即可得到答案．【详解】解：设AB BC CD AD ，，，边的切点分别为E F G H 、、、，由切线长定理可知AE AH DH DG CG CF BE BF ====，，，，∵四边形ABCD 的周长为18，∴9AB AD BC CD +++=，∴222218AE BE CG DG +++=，∴9AE BE CG DG +++=，∴9AB CD +=，∵5AB =，∴4CD =，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟知切线长定理是解题的关键．13.如图，AE 是正八边形ABCDEFGH 的一条对角线，则∠BAE=_____°．【答案】67.5【解析】【详解】试题分析：∵图中是正八边形，∴各内角度数和=（8﹣2）×180°=1080°，∴∠HAB=1080°÷8=135°，∴∠BAE=135°÷2=67.5°．故答案为67.5．考点：多边形的内角14.以下对一次函数2y x =-+的图像进行变化的方案中正确的是________（只填序号）．①向下平移4个单位长度得到一次函数2y x =--的图像；②向左平移4个单位长度得到一次函数2y x =--的图像；③绕原点旋转90︒得到一次函数2y x =-的图像；④先沿x 轴对称，再沿y 轴对称得到一次函数2y x =--的图像．【答案】①②④【解析】【分析】根据一次函数的平移，判断①②，根据旋转的性质以及轴对称的性质，分别画出图形判断③④即可求解．【详解】解：一次函数2y x =-+①向下平移4个单位长度得到一次函数24y x =-+-，即2y x =--的图像，故①正确，符合题意；②向左平移4个单位长度得到一次函数()42y x =-++，即2y x =--的图像，故②正确，符合题意；③如图所示，绕原点旋转90︒得到一次函数2y x =-或2y x =+的图像；故③不正确，不符合题意；④如图所示，先沿x 轴对称得到2y x =-，再沿y 轴对称得到一次函数2y x =--的图像，故④正确，符合题意；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了一次函数的平移，轴对称与旋转的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．15.如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，I 为ABC 的内心，连接OI AI BI ，，．若1OI BI OI ⊥=，，则AB 的长为______．【答案】5【解析】【分析】延长BI 交O 于M 点，连接MA ，通过中位线定理可求出AM 的长，再通过角的关系可求得45MIA ∠=︒，进而求证直角三角形MAI 为等腰直角三角形，求得MI 的长，MB 的长，利用勾股定理求出AB 的长．【详解】解：延长BI 交O 于M 点，连接MA ，在ABM 中斜边AB 经过圆心O ，90AMB ∴∠=︒，又BI OI AO OB ⊥= ，，∴OI 为AMB 的中位线，1OI =，22AM OI ∴==，在Rt ABC △中，I 为三个角平分线的交点，45IAB IBA ∴∠+∠=︒，即45MIA ∠=︒，Rt MAI ∴ 为等腰直角三角形，2MA MI IB ∴===，根据勾股定理可得，222222420AB MA MB =+=+=，即25AB =故答案为：25．【点睛】本题考查了三角形中位线，三角形内切圆圆心，直角三角形以及勾股定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，三角形内切圆圆心，直角三角形性质以及勾股定理．16.如图，已知一次函数32y x =-+的图象与坐标轴分别交于点A ，B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的一个点，过点P 作⊙O 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为_____．【答案】22【解析】【分析】连接OP 、OQ ．根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，当OP AB ⊥时，线段OP 最短，即线段PQ 最短．【详解】解：连接OP 、OQ ．PQ ∵是⊙O 的切线，OQ PQ ∴⊥；根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，当PO AB ⊥时，线段PQ 最短； 一次函数32y x =-+当0x =时，32y =(0A ∴，32)，当0y =时，32x =(32B ∴0)，32OA OB ∴==，226AB OA OB ∴=+=，132∴==OP AB ，2222PQ OP OQ ∴=-=．故答案为：22．【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及切线的判定与性质、坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．三．解答题（共10小题，共88分）17.解下列一元二次方程：（1）x （x +2）＝5（x +2）；（2）x 2+5x +3＝0．【答案】（1）x 1＝﹣2，x 2＝5；（2）x 1＝5132-+，x 2＝5132--．【解析】【分析】（1）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）利用公式法求解即可．【详解】解：（1）∵x （x +2）＝5（x +2），∴x （x +2）﹣5（x +2）＝0，则（x +2）（x ﹣5）＝0，∴x +2＝0或x ﹣5＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝5；（2）∵a ＝1，b ＝5，c ＝3，∴Δ＝52﹣4×1×3＝13＞0，则x ＝2b a-＝52-±，即x 1＝52-+，x 2＝52--．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18.计算：（1（2）))212+【答案】（1）（2）11【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后计算加减法．（2）先去括号，然后计算加减法．【小问1详解】-+==【小问2详解】))212-+515=-+++11=【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算顺序是解此题的关键．19.化简2111a a a -⎛⎫÷ ⎪⎝⎭-，并直接写出a 为何整数时，该代数式的值也为整数．【答案】a =0或-2时，该代数式的值也为整数．【解析】【分析】先对原式化简，通过观察即可得到a 为何整数时，该代数式的值也为整数．【详解】解：2111a a a -⎛⎫÷ ⎪⎝⎭-1(1)(1)a a a a a -+-=÷1(1)(1)a a a a a -=⋅+-=11a +，当a +1=1±，即a =0或-2时，该代数式的值也为整数．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．20.某学校组织七年级学生参加了“热爱宪法，捍卫宪法”的知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计图如下．请根据所给信息，回答下列问题：某校七年级部分学生成绩频数分布直方图某校七年级部分学生成绩扇形统计图（1）求出A 组、B 组人数分别占总人数的百分比；（2）求本次共抽查了多少名学生的成绩；（3）扇形统计图中，D 组对应的圆心角为a ︒，求a 的值；（4）该区共有1000名七年级学生参加了此次竞赛，若主办方想把一等奖的人数控制在150人，那么请你通过计算估计：一等奖的分值应定在多少分及以上？【答案】(1)10%，20%；(2)300；(3)108；(4)90分及其以上【解析】【分析】(1)根据A 组，B 组在扇形统计图中所对应的圆心角度数即可得出结果；(2)根据题(1)A 组所占总人数的百分比以及条形统计图中A 组的具体人数即可得出总人数；(3)根据条形统计图中D组的具体人数再结合总人数即可；(4)先求出E组所占的百分比即可得出结果．【详解】解：(1)A组人数占总人数的：36°÷360°×100%=10%，B组人数占总人数的72°÷360°×100%=20%，故A组、B组分别占总人数的10%、20%；(2)30÷10%=300(人)，故本次抽查学生总人数300人；(3)90÷300×360°=108°，D组对应的圆心角为108°，a=108；(4)(360°-90°-72°-108°-36°)÷360°×1000=150(人)，所以一等奖的分值定在90分及其以上即可．【点睛】本题主要考查的是扇形统计图和条形统计图的结合，正确的理解两个统计图是解题的关键．21.用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”．已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠B＋∠D＝180°．证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE．∵DE是⊙O的直径，∴．∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°．ADC，∵∠B和∠AEC所对的弧是∴．∴∠B＋∠ADC＝180°．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．证法2：【答案】详见解析【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角为90°即可补全证明过程；（2）根据圆周角与圆心角的关系及周角为360°即可求解.【详解】证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE．∵DE是⊙O的直径，∴∠DAE＝∠DCE＝90°．∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°．ADC，∵∠B和∠AEC所对的弧是∴∠AEC＝∠B．．∴∠B＋∠ADC＝180°．证法2：连接OA、OCADC，∵∠B、∠1所对的弧是∠D 、∠2所对的弧是 ABC ，∴∠B ＝12∠1，∠D ＝12∠2∵∠1＋∠2＝360°，∴∠B ＋∠D ＝12(∠1＋∠2)＝12×360°＝180°．【点睛】此题主要考查圆内接四边形的性质定理的证明，解题的关键是熟知圆周角与圆心角的性质.22.如图，四边形ABCD 为矩形，O 为AC 中点，过点O 作AC 的垂线分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接AF 、CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形．（2）若8AC =，6EF =，求BF 的长．【答案】（1）见解析（2）75BF =【解析】【分析】（1）由条件可先证四边形AFCE 为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论；（2）由菱形的性质可求得5AE CF ==，设BF x =，在Rt ABF 和Rt ABC △中，分别利用勾股定理可得到关于x 的方程，可求得BF 的长．【小问1详解】证明：O 为AC 中点，EF AC ⊥，EF ∴为AC 的垂直平分线，EA EC ∴=，FA FC =，EAC ECA =∠∠，FAC FCA ∠=∠．∵四边形ABCD 是矩形，AE CF ∴∥，EAC FCA ∴∠=∠，FAC ECA ∴∠=∠，AF CE ∴∥，∴四边形AFCE 平行四边形．又EA EC = ，∴四边形AFCE 是菱形．【小问2详解】∵四边形AFCE 是菱形，8AC =，6EF =，3OE ∴=，4OA =，5AE CF ∴==，设BF x =，在Rt ABF 中，222AB AF BF =-，在Rt ABC △中，222AB AC BC =-．()2222585x x ∴-=-+，解得75x =，75BF ∴=．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.23.已知⊙O ，请用无刻度的直尺完成下列作图．（1）如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AB ＝AD ，画出∠BCD 的角平分线；（2）如图②，AB 和AD 是⊙O 的切线，切点分别是B 、D ，点C 在⊙O 上，画出∠BCD 的角平分线．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，同弧或等弧所对的圆周角相等，连接AC 即为所求；（2）根据切线长定理，圆外一点可以引圆的两条切线，这一点到切点的距离相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，再利用相等的圆心角所对的弧相等，同弧所对的圆周角相等，连接EC 即为所求.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AB ＝AD∴ =AB AD ∴∠DAC=∠BAC∴连接AC 即为所求（2）∵AB 和AD 是⊙O 的切线，切点分别是B 、D ，连接AO,交圆O 于点E,根据切线长定理可知AB=AD,∠DAO=∠BAO，又∵AO=AO，∴△ADO≌△ABO，∴∠AOD=∠AOB，即 DEBE ∴连接CE 即为所求.【点睛】根据同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，同弧或等弧所对的圆周角相等及切线长定理作图是本题的解题关键.24.已知关于x 的一元二次方程x 2+（k +4）x +k +3＝0的两根是x 1，x 2．（1）当k 为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？（2）说明：无论k 为何值，方程总有一个不变的根．【答案】（1）k ≠-2；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ，可得出Δ＝（k +2）2，由方程总有两个不相等的实数根，可得出（k +2）2＞0，解之即可得出k ≠-2，进而可得出当k ≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论k 为何值，方程总有一个不变的根为x ＝﹣1．【详解】解：（1）∵a ＝1，b ＝（k +4），c ＝k +3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2，∵方程总有两个不相等的实数根，∴（k+2）2＞0，即k+2≠0，∴k≠-2，∴当k≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x2+（k+4）x+k+3＝0，即（x+1）[x+（k+3）]＝0，∴x+1＝0或x+（k+3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝﹣（k+3），∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答的关键．25.如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米．（1）AB＝米（用含x的代数式表示）；（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长；（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．【答案】（1）（51-3x）：（2）10米；（3）不可能，理由见解析【解析】【分析】（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；（2）根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（3）根据矩形鸡舍ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米．【详解】解：（1）设篱笆BC长为x米，∵篱笆的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，∴AB=49+2-3x=51-3x（米），故答案为：（51-3x）；（2）依题意，得：（51-3x）x=210，整理，得：x2-17x+70=0，解得：x1=7，x2=10．当x=7时，AB=51-3x=30＞25，不合题意，舍去，当x=10时，AB=51-3x=21，符合题意，答：篱笆BC的长为10米；（3）不可能，理由如下：依题意，得：（51-3x）x=240，整理得：x2-17x+80=0，∵△=（-17）2-4×1×80=-31＜0，∴方程没有实数根，∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△＜0时，方程无实数根”．26.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若OH⊥AC，OH＝1，求DH的长．【答案】.【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC的大小，再根据边角关系证明∠PAO是直角，从而证明出PA是⊙O的切线（2）要求DH的长，先根据已知条件证明△CAD是直角三角形，进而可以得到结果.【详解】（1）连接AO∵在⊙O 中，∠B＝60°∴∠AOC＝2∠B＝120°∴∠AOD＝180°－∠AOC＝60°∵OA＝OC∴∠OCA＝∠OAC＝30°∵AP＝AC ∴∠APC＝∠ACO＝30°∴∠PAO＝180°－∠AOD－∠APC＝90°∵点A 在⊙O 上∴PA 是⊙O 的切线．（2）连接AD∵在⊙O 中，OH⊥AC∴AH＝HC∵在⊙O 中，DC 为直径∴∠DAC＝90°∵AH＝HC，OD＝OC∴OH 是△CAD 的中位线∴AD＝2OH＝2∵在Rt△OCH 中∴tan∠OCH＝OH HC∵在Rt△HAD 中.【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，把握直线与圆相切的证明方法是解题的关键.27.【提出问题】（1）已知点P 是⊙O 外的一点，在⊙O 上找一点A ，使P 、A 两点间距离最短．如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O 上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明．【变式探究】（2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短．小明给出下列解答，请你补全小明的解答．小明的解答如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M 即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN．∵，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON．又，∴OP+PQ＞OM+MN．又OP＝OM，∴PQ＞MN．【拓展研究】（3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹）（4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是．【答案】（1）见解析；（2）OP+PQ＞OQ，ON＝OM+MN；（3）见解析；（4）1≤r＜4．【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系以及同圆的半径相等即可得出结论；（2）根据三角形的三边关系以及同圆的半径相等即可得出结论；（3）作直线l的垂线垂足为P，在垂线上与点A同侧截取PT＝MN＝1，连接AT，作AT的垂直平分线交直线PT于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即为所求；（4）作到直线BC距离为2的直线l，则l∥BC，当P点在AC边上时，此时r最大，作AP的垂直平分线、并过P作l的垂线，与垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长度为半径作圆，设OA＝r，过A作AH⊥OP 于点H，AE⊥BC于点E，证明△OAP为等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA＝4，当A、O、P三点共线时，此时r最小，求出r的最小值，即可得⊙O的半径r的取值范围．【详解】解：（1）证明：在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，∵OA、OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，在△OPB中，PB＞OP﹣OB，∴PB＞OP﹣OA，即PB＞PA，∴点A即为⊙O上使P、A两点间距离最短的点；（2）证明：在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON．又ON＝OM+MN，∴OP+PQ＞OM+MN．又OP＝OM，∴PQ＞MN．故答案为：OP+PQ＞OQ，ON＝OM+MN；（3）作图不唯一，如图：。

2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高二上学期10月阶段测试数学试题一、单选题1．设直线1l ，2l 的斜率和倾斜角分别为1k ，2k 和1θ，2θ，则“12k k >是“12θθ>”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案； 【详解】解：∵直线1l ，2l 的斜率和倾斜角分别为1k ，2k 和1θ，2θ， 当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“12k k >”，则“12θθ>”， 若“12θθ>”，则“12k k >”，当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“12k k >”，则“1θ与2θ”的大小不能确定， 若“12θθ>”，则“1k 与2k ”的大小也不能确定， 故则“12k k >”是“12θθ>”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．【点睛】直线的斜率tan k α=，将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解.2．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则a b +的值为（ ） A ．7- B ．1- C ．1 D ．7【答案】A【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果. 详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行， 所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13，所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-，所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.3．l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程为（ ） A ．x ＋2y －3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y －3＝0【答案】A【分析】根据题意，当两条平行直线与AB 垂直时，两条平行直线的距离最大，求得直线l 1的斜率，结合点斜式，即可求解.【详解】当两条平行直线与AB 垂直时，两条平行直线的距离最大， 因为1(1)210k --==-，所以112k =- 所以l 1的方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=.故选：A.4．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（ ） A ．98 B ．99 C ．99.5 D ．100【答案】C【分析】根据分位数的定义即可求得答案. 【详解】这组数据的60%分位数是9910099.52+=. 5．已知圆1C ：()()22321x y -++=与圆2C ：()()227150x y a -+-=-，若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，则实数a 等于（ ） A ．14 B ．34 C ．14或45 D ．34或14【答案】D【分析】根据两圆内切或外切可得圆心距，从而可求实数a . 【详解】圆1C ：()()22321x y -++=的圆心为()113,2,1C r -=,圆2C ：()()227150x y a -+-=-的圆心为()227,1,C r ,125C C ==，因为圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，故圆1C 与圆2C 相内切或外切，故215r -=或215r +=，从而26=r 或24r =，所以2506r a =-=或2504r a =-=，解得：34a =或14a = 所以实数a 等于34或14 故选：D6．已知点()2,3A -、()3,2B --，若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()3,4,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】求出直线l 所过定点P 的坐标，计算出PA k 、PB k 的值，数形结合可得出关于m 的不等式，解之即可.【详解】直线l 的方程化简得()110m x y -+-=，由1010x y -=⎧⎨-=⎩，可得1x y ==，故直线l 恒过定点()1,1P ，故4AP k =-，34PB k =，直线l 的斜率为m -，要使得直线l 与线段AB 有公共点，则4m -≤-或34m -≥，解得[)3,4,4m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦.故选：A.7．已知A 为直线:340l x y m -+=上一点，点()4,0B ，若2216(AB AO O +=为坐标原点)，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,16- B ．[]16,4-C ．()4,16-D ．()16,4-【答案】B【分析】设出A 点坐标(x ，y )，代入关系式，求得x ，y 满足的关系，则问题转化为直线与x ，y 满足关系的曲线有交点，从而用圆心到直线的距离小于等于半径即可求得参数取值范围.【详解】设(),A x y ，因为()2216,4,0AB AO B +=，所以()2222416x y x y -+++=，即()2224x y -+=，又点A 在直线l 上，所以直线l 与圆()2224x y -+=有公共点， 所以圆心到直线的距离为625m+≤ 解得164m -≤≤， 故选：B.【点睛】关键点点睛：求出A (x ，y )满足的关系，将问题转化为两曲线交点问题，从而解决问题.8．设点(1,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足2||||PA PB =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：22(3)(3)4x y ++-=，1C 与2C 交于点,M N ，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则MN MQ ⋅=（ ） A ．4 B ．23 C ．2 D ．3【答案】C【分析】由题意先求动点P 的轨迹1C 的方程,联立1C 和2C 求出M,N 的坐标,如图由平面几何知识和向量数量积的运算规则可求得MN MQ ⋅.【详解】设点P(,x y ),由()()A 1,0,B 4,0,2PA PB =可得()()222214x y x y -+-+化简得动点P 的轨迹1C 的方程为:224x y +=,联立(()22224334x y x y ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩解得:()()M 3,1,N 0,2-,如图所示,有平面几何知识可得:()1cos 2MQ QMN MN ∠=,向量数量积的运算规则可得:()1cos 2MN MQ MN MQ QMN MN MN ⋅=⋅∠=⋅()()()222110321222MN ⎡⎤==++-=⎢⎥⎣⎦.故选:C.【点睛】本题考查了由已知条件求动点轨迹的问题,考查了求两圆交点坐标的运算,借助于平面几何知识求向量的数量积的问题,考查了综合运算能力,属于中档题.二、多选题9．如图为某市某年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位；套）与成交量（单位，套）作出如下判断，则判断正确的是（ ）A ．日成交量的中位数是16B ．日成交量超过平均成交量的只有1天C ．10月7日认购量的增长率大于10月7日成交量的增长率D ．认购量的方差大于成交量的方差 【答案】BD【分析】计算中位数和平均数可判断AB ，计算认购量和成交量的增长率可判断C ，根据方差的性质可判断D.【详解】对于A ，日成交量从小到大排列为：8，13，16，26，32，38，166，所以中位数是26，选项A 错误；对于B ，日成交量的平均数为()1299813162632381664377⨯++++++=≈， 所以日成交量超过平均值的只有10月7日1天，选项B 正确；对于C ，10月7日认购量的增幅为164套，10月7日成交量的增幅为128套，计算认购量增长率为164 1.464112≈，成交量增长率为1283.36838≈，所以选项C 错误； 对于D ，因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些， 所以日认购量的方差大于日成交量的方差，选项D 正确． 故选：BD ．10．下列叙述中，正确的是（ ）A ．某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为40%B ．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样本进行调查.已知该校一､二､三､四年级本科生人数之比为8：5：4：k ，若从四年级中抽取75名学生，则3k =C ．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（其中7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的平均数是6D ．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为2.4，则这组数据一定没有出现6 【答案】BD【分析】根据古典概型的概率公式判断A ，根据分层抽样的定义判断B ，根据中位数、众数、平均数、方差的定义判断C 、D ；【详解】解：对于A ：学号为04的学生被抽到的可能性为410%40=，故A 错误， 对于B ：抽样比为75500854kk=+++，3k ∴=，故B 正确， 对于C ：数据1，4，4，x ，7，8（其中7)x ≠的中位数为42x+，众数为4， ∴45424x +=⨯，6x ∴=， ∴该组数据的平均数是14467856+++++=，故C 错误．对于D ：若这组数据有6，则方差22(62)162.455s -≥=>，故D 正确， 故选：BD11．已知圆22:430C x y y +-+=，一条光线从点()2,1P 射出经x 轴反射，下列结论正确的是（ ）A ．圆C 关于x 轴的对称圆的方程为22430x y y +++=B ．若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3240x y --=C ．若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则2PB BA +=D ．若反射光线与圆C 交于,M N 两点，则CNM 面积的最大值为12【答案】ABD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由此可得对称圆的圆心和半径，进而得到所求圆的方程，知A 正确；根据反射光线过圆心()0,2C 可知入射光线过点()0,2C '-，由此可求得入射光线所在直线方程，知B 正确；由反射光线经过点()2,1P '-，可将PB BA +转化为P A '，由21P A P C ''=-可知C 错误；设02CMN πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，可求得11sin 222CNMSMN d θ=⋅=，由正弦型函数的最值可知D 正确. 【详解】对于A ，由圆C 方程知：圆心()0,2C ，半径1161212r =⨯-=，∴圆C 关于x 轴对称的圆的圆心为()0,2C '-，半径为1，∴所求圆的方程为：()2221x y ++=，即22430x y y +++=，A 正确；对于B ，反射光线平分圆C 的周长，∴反射光线经过圆心()0,2C ， ∴入射光线所在直线经过点()0,2C '-，12322C P k '+∴==， ∴入射光线所在直线方程为：322y x =-，即3240x y --=，B 正确； 对于C ，反射光线经过点()2,1P 关于x 轴的对称点()2,1P '-，PB BA P B BA P A ''∴+=+=，213P A P C ''∴=-=23PB BA +=C 错误；对于D ，设02CMN πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则圆心()0,2C 到切线()12y k x +=-的距离sin d θ=，2cos MN θ∴==， 11sin cos sin 222CNMSMN d θθθ∴=⋅==， 则当4πθ=时，()max 12CNM S=，D 正确. 故选：ABD.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=iP i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i i P A PB ⋅=，则k 的值可能为（ ） A ．-7 B ．-5 C ．-2 D ．–1【答案】ABC【分析】先设出(),i P m n ，利用32i i P A PB ⋅=求出(),i P m n 在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为0k <且只需原点到直线()12y k x =-+的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出k 的取值范围. 【详解】设(),i P m n ，连接iPO ，设i i APO BPO θ∠=∠=，则iPO 1sin iPO θ== 所以2222cos cos 212sin 1iAPB m n θθ∠==-=-+，又i iPA PB ==所以22223cos 12i i i i iP A PB P A PB APB m n⎛⎫⋅=⋅∠=-= ⎪+⎝⎭ 令22m n t +=，则有()23112t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：4t =或12因为(),i P m n 在单位圆外，所以12t =舍去， 即(),i P m n 在以原点为圆心，半径为2的圆上，因为曲线12y k x =-+上存在四个点i P （i ＝1，2，3，4）， 即12y k x =-+与圆224x y +=有4个交点，结合图象可知，0k <且只需原点到直线()12y k x =-+的距离小于半径2即可，2221k k -<+，解得：43k <-或0k >（舍去），故选：ABC【点睛】数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点()1,2三、填空题13．9月19日，航天科技集团五院发布消息称，近日在法国巴黎召开的第73届国际宇航大会上，我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖.为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m ．若去掉m ，该组数据的下四分位数保持不变，则整数m （1≤m ≤10）的值可以是____________（写出一个满足条件的m 值即可）． 【答案】7（或8或9或10）【分析】根据下四分位数的定义结合题意分析求解即可.【详解】因为八个数字，下四分位数就是第二个数和第三个数的平均值， 而七个数的下四分位数就是第二位的数,去掉m 后，从小往大排列分别是6，7，……，也就是说，第2个数和第3个数都是七， 所以只要m ≥7，就是排在第四个数往后，不管是8，9，10都不会影响． 所以整数m 的值可以是7，或8，或9，或10，故答案为：7（或8或9或10）14．若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =_____．【答案】2【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.【详解】圆()()22113x y -+-=的圆心坐标为()1,1圆心到直线()00x y m m -+=>=由勾股定理可得2232m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =.故答案为：2.15．已知平面直角坐标系中，(1,0),(1,1)A B --，若,,A B C 是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点C 的坐标是___________.【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭【分析】分别点,A B 为圆心，AB 为半径作圆，根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点C ，进而写出圆的方程并联立求解即可得答案.【详解】解：如图，分别以点,A B 为圆心，AB 为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点C .因为(1,0),(1,1)A B --，AB 所以以点A 为圆心，AB 为半径的圆的方程为()2215x y ++=； 以点B 为圆心，AB 为半径的圆的方程为()()22115x y -++=.联立方程()()()222215115x y x y ⎧++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得x =（负舍），12y = 所以点C的坐标是12⎫⎪⎪⎝⎭故答案为：12⎫⎪⎪⎝⎭16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()2,0对称，当()0,2x ∈时，()()211f x x =--()()20f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是____________．【答案】26⎧⎫⎪⋃+∞⎪⎨⎪⎪⎩⎭⎝⎭【分析】根据函数的对称性和奇偶性得出函数的周期，从而画出函数()f x 和直线()2y k x =-的图像，数形结合可得k 的取值范围.【详解】方程()()20f x k x --=的根，即为()y f x =和()2y k x =-的图象的公共点的横坐标， 因为两个图象均关于点()2,0对称，要使所有根的和为6， 则两个图象有且只有3个公共点．因为函数()f x 是奇函数，所以有()()f x f x -=-，又因为函数()f x 的图象关于点()2,0对称，所以()(4)f x f x -=-， 所以()(4)f x f x -=-，即()(4)f x f x =+， 所以函数()f x 的周期4T =， 当()0,2x ∈时，()()211f x x =---其图像是以(1,0)为圆心，以1为半径的下半圆， 作出()y f x =和()2y k x =-的图象如图所示．当0k >时，只需直线()2y k x =-与圆()2271x y -+=相离，此时圆心(7,0)到直线()2y k x =-的距离2511k d k=>+，解得：6k >6k <当0k <时，只需直线()2y k x =-与圆()2251x y -+=相切， 此时圆心(5,0)到直线()2y k x =-的距离2311k d k==+可得2k =2k =， 综上：k 的取值范围是26⎧⎫⎪⋃+∞⎪⎨⎪⎪⎩⎭⎝⎭． 故答案为：26⎧⎫⎪⋃+∞⎪⎨⎪⎪⎩⎭⎝⎭四、解答题17．求满足下列条件的圆的方程．(1)经过点()2,1-且和直线1x y -=相切，同时圆心在直线2y x =-上的圆； (2)经过点()2,4A --，且与直线l ：3260x y +-=相切于点()8,6B 的圆．【答案】(1)()()22918338x y -++=和()()22122x y -+=+(2)22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由题，设圆心为(),2a a -，由圆心到直线1x y -=的距离等于到点()2,1-的距离列等式，整理解出a ，即可进一步求出半径，即得圆的方程；（2）由AB 坐标求AB 的中垂线方程，再求过点B 且与l 垂直的直线，由两直线交点求出圆心，进一步求出半径，即得圆的方程.【详解】(1)圆心在直线2y x =-上，设圆心为(),2a a -，圆心到直线1x y -=的距离等于到点()2,1-的距离，=整理得31a -=22961101610a a a a ⇔-+=-+21090a a ⇔-+=，解得9a =或1a =．当9a =时，圆心为()9,18-()()22918338x y -++=；当1a =时，圆心为()1,2-，方程为()()22122x y -+=+．(2)圆心到A 、B 的距离相等，即在线段AB 的中垂线上，AB 的中垂线的点法向式方程为()()1031010x y -+-=，化简得40x y +-=．另一方面，圆心在过点B 且与l 垂直的直线上，其点法向式方程为()()3860x y ---=，化简得3180x y --=．联立方程组403180x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则到点A 的距离21252r =．综上所述，圆的方程为22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．已知点()0,1A ，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线1l 的方程；(2)求直线2l ：220x y 关于直线1l 的对称直线的方程． 条件①：点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为()2,1-；条件②：点B 的坐标为()2,1-，直线1l 过点()2,1且与直线AB 垂直； 条件③点C 的坐标为()2,3，直线1l 过点()2,1且与直线AC 平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)10x y --= (2)250x y --=【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程.（2）计算直线的交点，在直线2l 上取一点，求其关于1l 对称的点，根据交点和对称点得到直线方程.【详解】(1)选择条件①：因为点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为()2,1-，所以1l 是线段AB 的垂直平分线． 因为11120AB k --==--，所以直线1l 的斜率为1，又线段AB 的中点坐标为()1,0， 所以直线1l 的方程为1y x =-，即10x y --=． 选择条件②： 因为11120AB k --==--，直线1l 与直线AB 垂直，所以直线1l 的斜率为1， 又直线1l 过点()2,1，所以直线1l 的方程为12y x -=-，即10x y --=． 选择条件③， 因为31120AC k -==-，直线1l 与直线AC 平行，所以直线1l 的斜率为1， 又直线1l 过点()2,1，所以直线1l 的方程为12y x -=-，即10x y --=．(2)10220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，故1l ，2l 的交点坐标为()4,3， 因为()0,1A 在直线2l ：220x y 上，设()0,1A 关于1l 对称的点为(),M x y ， 则1111022y xx y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，直线2l 关于直线1l 对称的直线经过点()2,1-，()4,3，代入两点式方程得123142y x +-=+-，即250x y --=，所以2l ：220x y 关于直线1l 的对称直线的方程为250x y --=．19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求这100户居民月平均用电量的平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在月平均用电量为[)240,260，[)260,280，[]280,300的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自相同组的概率． 【答案】(1)0.0075 (2)225.6 (3)415【分析】（1）根据直方图小矩形面积之和为1即可求解； （2）先求出各组的频数，再根据平均数公式即可求解； （3）列举出所有的基本事件，根据古典概型即可求得概率.【详解】(1)由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯= 得0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075， (2)由图可知：各组的户数为：0.002201004⨯⨯=，0.00952010019⨯⨯=，0.0112010022⨯⨯=，0.01252010025⨯⨯=， 0.007520⨯⨯10015=，0.0052010010⨯⨯=，0.0025201005⨯⨯=，所以平均数x =417019190222102523015250102705290225.6100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．(3)月平均用电量在[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户 月平均用电量在[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户 月平均用电量在[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户 抽取比例为61151055=++，所以在[)240,260，[)260,280，[]280,300中分别抽取3户，2户和1户． 分别设为12312,,,,,a a a b b c ，设参加节目的2户来自相同组为事件A ， 则基本事件有：121311121(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b a c 232122231(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a c a b 3231212(,),(,),(,),(,),(,)a b a c b b b c b c 共15种，事件A 中包含的基本事件共有12132312(,),(,),(,),(,)a a a a a a b b 共4种， ∴参加节目的2户来自相同组的概率()415P A =． 20．已知圆C ：()22225x y -+=．(1)设点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点M 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程；(2)设P 是直线60x y ++=上的点，过P 点作圆C 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，求证：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】(1)1x =-或3490x y -+=(2)证明见解析，所有定点的坐标为()()2,0,2,4--.【分析】（1）求出圆C 的圆心和半径，分直线l 的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出直线方程；（2）设(),6P m m --，根据切线性质得到经过A ，P ，C 三点的圆即为以PC 为直径的圆，求出圆心和半径，写出圆的方程，整理后得到2226020x y x y y x ⎧+-+=⎨-+=⎩，求出定点坐标.【详解】(1)根据题意，圆C 的方程为()22225x y -+=，其圆心C 为（2，0），半径=5r ，若直线l 的斜率不存在，即1x =-，代入圆方程得，4y =±，即8AB =，成立； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()312y k x -=+，即22320kx y k -++=，若8AB =，则圆心C 到直线l 的距离3d ==，则3d =，解得34k =， 即直线l 的方程为()33124y x -=+，化简得3490x y -+= 综上所述，直线l 的方程为1x =-或3490x y -+=．(2)由于P 是直线60x y ++=上的点，设(),6P m m --，由切线的性质得AC ⊥P A ，BC ⊥PB ，经过A ，P ，C ，的三点的圆，即为以PC 为直径的圆， PC 的中点坐标为26,22m m +--⎛⎫⎪⎝⎭，且PC =所以圆的方程为22226420222m m m m x y ++++⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得()()22262)0x y x y m y x +-++-+=，令2226020x y x y y x ⎧+-+=⎨-+=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩．则经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，所有定点的坐标为()()2,0,2,4--．21．已知圆()22:14E x y -+=与x 轴交于A ，B 两点，P 是该圆上任意一点，AP ，PB 的延长线分别交直线:4l x =于M ，N 两点. (1)若弦AP 长为2，求直线PB 的方程；(2)以线段MN 为直径作圆C ，当圆C 面积最小时，求此时圆C 的方程.【答案】30y +-=30y --=； (2)22(4)5x y -+=.【分析】（1）根据圆的直径的性质，结合锐角三角函数定义进行求解即可； （2）根据题意，结合基本不等式和圆的标准方程进行求解即可. 【详解】(1)在方程()2214x y -+=中，令0y =，解得1x =-，或3x =，因为AP ，PB 的延长线分别交直线:4l x =于M ，N 两点，所以(1,0),(3,0)A B -，圆心(1,0)在x 轴上，所以PA PB ⊥， 因为2PA =，AB 4=，所以有1sin 26PA PBA PBA AB π∠==⇒∠=，当P 在x 轴上方时，直线PB 的斜率为：tan()6ππ-=PB 的方程为：)330y x y =-⇒+-，当P 在x 轴下方时，直线PB 的斜率为：tan 6π=，所以直线PB 的方程为：)330y x y =-⇒--，因此直线PB 30y +30y -=； (2)由（1）知：(1,0),(3,0)A B -，PA PB ⊥，所以设直线PA 的斜率为k ，因此直线PB 的斜率为1k-，于是直线PA 的方程为：(1)y k x =+，令4x =，5y k =，即(4,5)M k 直线PB 的方程为：1(3)y x k =--，令4x =，1y k =-，即1(4,)N k-，因为15,k k 同号，所以1155MN k k k k =+=+≥15k k =时取等号，即当k = 于是有以线段MN 为直径作圆C ，当圆C 面积最小时，此时MN 最小，当k =M 和(4,N ，中点坐标为：(4,0) 所以圆的方程为：22(4)5x y -+=，同理当k =时，(4,M 和N ，中点坐标为：(4,0) 所以圆的方程为：22(4)5x y -+=， 综上所述：圆C 的方程为22(4)5x y -+=.22．圆C ：()2210x a x y ay a -++-+=．(1)若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知1a >，圆C 与x 轴相交于两点M 、N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：229x y +=相交于两点A 、B 问：是否存在实数a ，使得ANM BNM ∠=∠？若存在，请说明理由．【答案】(1)220x y x +-=或225440x y x y +--+=． (2)存在，理由见解析.【分析】（1）由判别式0∆=即可求解.（2）联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理，结合0NA NB k k +=，即可求得结果.【详解】(1)由220(1)0x x a x y ay a =⎧⎨-++-+=⎩得20y ay a -+=， 因为圆与x 轴相切，所以240a a ∆=-=，解得0a =或4， 故所求圆C 的方程为220x y x +-=或225440x y x y +--+=．(2)令0y =得()210x a x a -++=，解得1x =或x a =，而1a >，即()1,0M ，(),0N a ． 假设存在实数a ，设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由22(1)9y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(1)290k x k x k +-+-=， 根据韦达定理有212221222191k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又ANM BNM ∠=∠，即NA 、NB 的斜率互为相反数， 1212 0y yx a x a∴+=--，即()()()()1221110x x a x x a --+--=， 即()()12122120x x a x x a -+++=所以()()222229212011k a k a k k-+-+=++， 解得9a =.当直线AB 与x 轴垂直时，仍然满足ANM BNM ∠=∠， 即NA 、NB 的斜率互为相反数．综上所述，存在9a =，使得ANM BNM ∠=∠．【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．。

2022-2023学年江苏省南京师大附中树人学校七年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。

在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母写在相应位置上）1．下列各数：5，﹣，1.03003，，0，﹣2π，其中有理数的个数是（）个．A．4B．5C．6D．72．﹣（﹣5）的相反数是（）A．﹣5B．﹣C．D．53．下列说法①若a+b＝0，则a、b互为相反数；②若b＝1，则a、b互为倒数；③若ab＞0，则a、b均大于0；④若|a|＝a，则a一定为正数，其中正确的个数为（）A．①④B．①②C．①②④D．①③④4．比较﹣32与（﹣2）3的大小，正确的是（）A．大小不定B．﹣32＞（﹣2）3C．﹣32＝（﹣2）3D．﹣32＜（﹣2）3 5．若|a|＝4，|b|＝2，且a+b的绝对值与它的相反数相等，则a+b的值是（）A．﹣2B．﹣6C．﹣2或﹣6D．2或66．如表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）城市纽约巴黎东京芝加哥时差/时﹣13﹣7+1﹣14如果现在是北京时间9月11日15时，那么现在的纽约时间是（）A．9月10日21时B．9月12日4时C．9月11日4时D．9月11日2时二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上）7．某市2022年1月20日的最高气温是3℃，记作+3℃，最低气温是零下4℃，记作．8．比较大小：﹣（+）﹣|﹣|．9．数轴上的A点与表示﹣2的点距高3个单位长度，则A点表示的数为．10．在数+8，+，0.275，2，0，﹣1.04，，﹣8，﹣100，﹣中，负分数有．11．2022年2月4日至202年2月20日，我国成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，随着冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升．从2015年北京申办冬奥成功到2021年10月间，全国冰雪运动参与人数达到346000000人，将数据34600000用科学记数法表示为．12．倒数等于本身的数是．13．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程和结果为：．14．厂家检测10个足球的质量，每个足球的标准质量为265克，将每个足球超过克数记为正数，不足克数记为负数，这10个足球称重后的记录为：+1，+1，﹣1.3，+15，﹣1，+1.2，+1.3，﹣1.2，+1.4，+1.1．这十个足球的质量共是克．15．小明在计算1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“﹣”或“﹣”错写成“+“），结果算成了﹣17，则原式从左往右数，第个运算符号写错了．16．设abc≠0，且a+b+c＝0，则的值可能是．三、解答题（本大题共10小题，共68分.请认真作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算（1）1+（﹣2）+|﹣3|﹣5；（2）；（3）；（4）﹣14﹣（﹣2）3÷[5﹣（﹣3）2]；（5）；（6）．18．在数轴上表示下列数，并用“＜”号把这些数连接起来．（﹣2）2，﹣3，﹣1，0，|﹣2|19．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，D，其中A、D间距离6，B、C将其分成了长度相等的三部分，如图所示．（1）B、C间距离为；（2）若以B为原点，写出点A，C，D所对应的数，并求出它们所对应数的和；（3）若点C所对应的数为﹣10，求出点A，B，D所对应数的和．20．定义一种新的运算：x★y＝（x+2）×（y+2）．（1）计算（﹣3）★（﹣4）；（2）计算[（﹣3）★（﹣4）]★（﹣5）与（﹣3）★[（﹣4）★（﹣5）]，此运算满足乘法结合律吗？21．小华在课外书中看到这样一道题：计算．她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题．（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）根据以上分析，求出原式的结果．22．将2020减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的……以此类推，直到最后减去余下的，最后的得数是多少？23．某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：m）：第1批第2批第3批第4批第5批5km4km﹣4km﹣3km8km（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？24．如图A在数轴上所对应的数为﹣2．（1）点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离；（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B 两点相距4个单位长度．25．【阅读】|4﹣1|表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4与﹣1的差的绝对值，也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离．（1）|4﹣（﹣1）|＝；（2）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|＝4，则x＝；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是：．26．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．（1）平移运动：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是．A．（+3）+（+2）＝+5；B．（+3）+（﹣2）＝+1；C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5；D．（﹣3）+（+2）＝﹣1．②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位……，依此规律跳，当它跳2021次时，落在数轴上的点表示的数是；（2）翻折变换：①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2021的点与表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示，B点表示；③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为（用含有a，b的式子表示）。