第三节 三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质

一、基础知识批注——理解深一点

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)“五点法”作图原理：

在正弦函数y＝sin

x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．

在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).

函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点最值点.

(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 R R x x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z

值域 [－1,1] [－1,1] R

奇偶

性 奇函数 偶函数 奇函数

单

调

性 在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数

周

期 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 性 2π

对

称

性 对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋π2，0(k∈Z) 对称中心是

kπ2，0(k∈Z)

三角函数性质的注意点

(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调．

(2)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.

二、常用结论汇总——规律多一点

1．对称与周期的关系

正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．

2．与三角函数的奇偶性相关的结论

(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ

(k∈Z)．

(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π2

(k∈Z)．

(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．

三、基础小题强化——功底牢一点

一判一判对的打“√”，错的打“×”

(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( )

(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．( )

(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )

(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )

(5)y＝sin|x|是偶函数．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (二)选一选

1．函数y＝tan 2x的定义域是( )

A.x x≠kπ＋π4，k∈Z B.x x≠kπ2＋π8，k∈Z

C.x x≠kπ＋π8，k∈Z D.x x≠kπ2＋π4，k∈Z

解析：选D 由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，

所以y＝tan 2x的定义域是x x≠kπ2＋π4，k∈Z.

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

解析：选B ∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－1－cos 2x2＋2＝32cos 2x＋52，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.

3．函数f(x)＝cosx＋π6()x∈[0，π]的单调递增区间为( )

A.0，5π6 B.0，2π3

C.5π6，π D.2π3，π

解析：选C 由2kπ－π≤x＋π6≤2kπ(k∈Z)，得2kπ－7π6≤x≤2kπ－π6(k∈Z)，又x∈[0，π]，所以令k＝1，f(x)的单调递增区间为5π6，π.

(三)填一填

4．函数y＝3＋2sinx＋π4的最大值为________，此时x＝________.

解析：函数y＝3＋2sinx＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝π4＋2kπ(k∈Z)．

答案：5 π4＋2kπ(k∈Z)

5．函数y＝sinx－π4的图象对称中心为________． 解析：令x－π4＝kπ，k∈Z，得函数图象的对称中心为π4＋kπ，0，k∈Z.

答案：π4＋kπ，0，k∈Z

第一课时 三角函数的单调性

考点一 求三角函数的单调区间

[典例] (2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sin xcos x(x∈R)．

(1)求f2π3的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

[解] (1)由题意，f(x)＝－cos 2x－3sin 2x＝－232sin 2x＋12cos 2x＝－2sin2x＋π6，

故f2π3＝－2sin4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2.

(2)由(1)知f(x)＝－2sin2x＋π6.

则f(x)的最小正周期是π.

由正弦函数的性质，

令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，

解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ(k∈Z)，

所以f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．

[解题技法] 求三角函数单调区间的2种方法

代换法 就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间

图象法 函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间

[题组训练]

1．函数y＝|tan x|在－π2，3π2上的单调递减区间为________．

解析：

作出y＝|tan x|的示意图如图，观察图象可知，y＝|tan x|在－π2，3π2上的单调递减区间为－π2，0和π2，π.

答案：－π2，0，π2，π

2．函数g(x)＝－cos－2x＋π3x∈－π2，π2的单调递增区间为________．

解析：g(x)＝－cos－2x＋π3＝－cos2x－π3，

欲求函数g(x)的单调递增区间，

只需求函数y＝cos2x－π3的单调递减区间．

由2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，

得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)．

故函数g(x)的单调递增区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．

因为x∈－π2，π2，

所以函数g(x)的单调递增区间为－π2，－π3，π6，π2.

答案：－π2，－π3，π6，π2

3．(2019·金华适应性考试)已知函数f(x)＝3cos 2x－2sin2(x－α)，其中0

(1)求α的值；

(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间．

解：(1)由已知得fπ2＝－3－2sin2π2－α＝－3－2cos2α＝－3－1，整理得cos2α＝12.

因为0

(2)由(1)知，f(x)＝3cos 2x－2sin2x－π4

＝3cos 2x－1＋cos2x－π2

＝3cos 2x＋sin 2x－1 ＝2sin2x＋π3－1.

易知函数f(x)的最小正周期T＝π.

令t＝2x＋π3，

则函数f(x)可转化为y＝2sin t－1.

显然函数y＝2sin t－1与y＝sin t的单调性相同，

当函数y＝sin t单调递减时，

2kπ＋π2≤t≤2kπ＋3π2(k∈Z)，

即2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，

解得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)．

考点二 求三角函数的值域最值

[典例] (1)函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为( )

A.－32，32 B.－32，3

C.－332，332 D.－332，3

(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－34x∈0，π2的最大值是________．

[解析] (1)当x∈0，π2时，

2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，

故3sin2x－π6∈－32，3，

所以函数f(x)的值域为－32，3.

(2)依题意，f(x)＝sin2x＋3cos x－34＝－cos2x＋3cos x＋14＝－cos x－322＋1，

因为x∈0，π2，所以cos x∈[0,1]，

因此当cos x＝32时，f(x)max＝1.