三角函数的图象与性质

三角函数图象性质一览表

正弦定理、余弦定理及应用

设ABC△的外接圆的半径是R，内切圆的半径是r，cbap21是半周长。 1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin，或CBAcbasin:sin:sin::

变式：ARasin2；BRbsin2；CRcsin2

RaA2sin；RbB2sin；RcC2sin 2、余弦定理：Abccbacos2222；Baccabcos2222；Cabbaccos2222

推论：bcacbA2cos222；acbcaB2cos222；abcbaC2cos222

3、面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21△

变式：⑴CBARabcRSABCsinsinsin2412△

⑵cpbpappSABC△（海伦秦九韶公式）

4、常用结论：

⑴BABAbasinsin

⑵baBABAsinsin

⑶若BA2sin2sin，则BABA22或222BABA

⑷和诱导公式有关的变式：

2cos2sinCBA；2cos2sinBCA；2cos2sinACB；

2sin2cosCBA；2sin2cosBCA；2sin2cosACB

CBAsinsin；BCAsinsin；ACBsinsin;

CBAcoscos；BCAcoscos；ACBcoscos

⑸BcCbacoscos；AcCabcoscos；AbBaccoscos

5、注意两角和与差公式、二倍角公式和半角公式、辅助角公式的应用。

6、注意函数xAysin的知识在三角形中的应用：

比如求821sin2Axf，4,0A的最大值。 三角函数 xysin xycos xytan

行胜于言

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专题能力训练9 三角函数的图象与性质

能力突破训练

1.对于函数y=sin(2𝑥-π6),下列说法正确的是( )

A.函数图象关于点(π3,0)对称

B.函数图象关于直线x=5π6对称

C.将它的图象向左平移π6个单位,得到y=sin 2x的图象

D.将它的图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin(𝑥-π6)的图象

2.(2015陕西高考)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6𝑥+

𝜑)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )

A.5 B.6

C.8 D.10

3.(2015山东滨州一模)若函数f(x)=√3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在[-π4,0]上为减函数,

则θ的一个值为( )

A.-π3 B.-π6

C.5π6 D.2π3

4.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f(π8+𝑡)=f(π8-𝑡),且f(π8)=-3,则实数m的值等于

( )

A.-1 B.±5

C.-5或-1 D.5或1

5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|

π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是( )

A.(π3,1) B.(π12,0)

C.(5π12,0) D.(-π12,0)

6.将函数y=2sin(𝜔𝑥-π4)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位后,所得的两个图象对称

轴重合,则ω的最小值为 .

7.定义一种运算:(a1,a2)⊗(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(√3,2sin x)⊗(cos x,cos 2x)的图象向左

平移n(n>0)个单位所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为 .

8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|

9.(2015湖北孝感检测)已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点(π3,0),则函数

三角函数的图象变换与性质

三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。在数学的应用中，三角函数的图象变换与性质是非常重要的内容。接下来，我将详细介绍三角函数的图象变换与性质，包括平移、伸缩、翻转等操作以及周期性、奇偶性等性质。

三角函数的图象变换主要包括平移、伸缩和翻转三种操作。平移是指将函数图象沿横轴或纵轴方向移动一定的距离，可以通过改变函数中的自变量来实现平移。伸缩是指将函数图象在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩，可以通过改变自变量或函数值来实现伸缩。翻转是指将函数图象关于条直线对称翻转，可以通过改变自变量或函数值的正负来实现翻转。通过这三种变换操作，可以得到各种不同形态的三角函数图象。

正弦函数是最基本的三角函数之一，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标所得。正弦函数的周期为2π，并且其图象在[-π/2,π/2]处取得最大值1，在[-3π/2,-π/2]和[π/2,3π/2]取得最小值-1、正弦函数的图象关于y轴对称，并且具有奇函数的性质，即f(-x)=-f(x)。

余弦函数是正弦函数的平移变换，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的横坐标所得。余弦函数的周期也是2π，并且其图象在[0,π/2]处取得最大值1，在[π/2,π]处取得最小值-1、余弦函数的图象关于x轴对称，并且具有偶函数的性质，即f(-x)=f(x)。

正切函数是正弦函数和余弦函数的商，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标与横坐标的比值所得。正切函数的周期为π，其图象在[-π/2,π/2]处为正无穷大，在[π/2,3π/2]处为负无穷大。正切函数的图象关于原点对称，但不满足奇偶性。

除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。它们的图象可以通过适当的变换得到。例如，余切函数是正切函数的倒数，而正割函数是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。它们的图象可以通过对应的原函数的图象进行翻转操作得到。

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三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 R R

x x≠kπ＋π2，k∈Z

值域 [－1,1] [－1,1] R

周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性 递增区间：

2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z，

递减区间：

2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z 递增区间：

[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，

递减区间：

[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 递增区间

kπ－π2，kπ＋π2，

k∈Z

对称性 对称中心

(kπ，0)，k∈Z 对称中心

kπ＋π2，0，k∈Z 对称中心

kπ2，0，k∈Z

对称轴

x＝kπ＋π2(k∈Z) 对称轴

x＝kπ(k∈Z)

[常用结论]

1．对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．

- 2 - (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．奇偶性

(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)； ②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

(2)若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则

①f(x)为奇函数的充要条件：φ＝kπ＋π2，k∈Z； ②f(x)为偶函数的充要条件：φ＝kπ，k∈Z.