1.3.2三角函数的图象与性质

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质

第一课时 余弦函数的图象与性质

基础知识 基本能力

1．掌握“五点法”作余弦函数的图象．(重点)

2．理解余弦函数的性质．(重点、难点) 1．会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点)

2．能正确使用“图象变换法”作出余弦函数y＝cos x和y＝Acos(ωx＋φ)的图象．(重点、易错点)

1．余弦函数的图象

(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y＝cos x的图象叫做余弦曲线．

(2)余弦曲线．

除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：

①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．

②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．

【自主测试1】画出函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图．

分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线．

解：列表：

x 0 π2 π 3π2 2π

cos x 1 0 －1 0 1

－cos x －1 0

1 0 －1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．

2．余弦函数的性质

函数 y＝cos x

定义域 R

值域 [－1,1]

奇偶性 偶函数 周期 2π

单调性 在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数；在每一个闭区间[(2k＋1)π，2(k＋1)π](k∈Z)上都是增函数

最大值与

最小值 当x＝2kπ(k∈Z)时，y＝cos x取得最大值1；

当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y＝cos x取得最小值－1

名师点拨一般地，函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为T＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．

高三数学专题三角函数的图象与性质

1.3.2三角函数的图象与性质（1）

【学习目标】

1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象；

2、会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图；

3、借助图象理解并运用正、余弦函数的定义域和值域。

【重点难点】

五点法作正、余弦函数的图象；正、余弦函数的定义域和值域。

一、预习指导

（一） 平移正弦线画出正弦函数的图象：

1、 在单位圆中，作出对应于11,,,6326…的角及对应的正弦线；

2、 作出sinyx在[0,2]区间上的图象：（1）平移正弦线到相应的位置；（2）连线

3、 作出sinyx在R上的图象

（二） 用五点法画出正弦函数在[0,2]区间上的简图

x 0 2  32 2

sinyx

（三） 平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象：

思考：1、sin,cosyxyx的图象有什么关系？为什么？

2、由sinyx的图象怎样作出cosyx的图象？请在下图中画出cosyx的图象。

（四）用五点法画出余弦函数在[0,2]区间上的简图

x 0 2 [来源:学&科&网] 32 2

cosyx

（四） 仔细观察正弦曲线和余弦曲线，总结正弦函数与余弦函数的性质：

（1）定义域：

（2）值域：

对于sinyx：当且仅当x 时， maxy ；

当且仅当x 时，miny ；

对于cosyx；当且仅当x 时，maxy ；

当且仅当x 时，miny 。

二、典型例题

例1、 画出下列两组函数的简图：

（1）cos,yxxR ； 2cos,yxxR

K12教育资源学习用资料

K12教育资源学习用资料 第十课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（1）

【教学目标】

一、知识与技能：

1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；

2.记住正弦、余弦函数的特征；

3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系

二、过程与方法

通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。

三、情感态度价值观：

通过正余弦函数图象的理解，使学生从感性到理性的进步，体会从图形概括抽象，使学生理解动与静的辨证关系

教学重点难点：几何法作正弦曲线

【教学过程】

一、新课讲解

1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象

作法：（几何作法）

（1）在直角坐标系的x轴上任取一点1O，以1O为圆心作单位圆，从⊙1O与x轴的交点A起，把⊙1O分成12等份，过⊙1O上各点作x轴的垂线，可得对应于0,,,,,2632等角的正弦线；

（2）把x轴上0~2这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与x轴上的点x重合；

（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数sinyx，[0,2]x的图象。 K12教育资源学习用资料

K12教育资源学习用资料 sinyx，xR

  2 cosyx，xR

2 32

2 32 因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数sinyx，[2,2(1)]xkk（kZ）且0k的图象与函数sinyx，[0,2]x的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数sinyx，[0,2]x的图象向左、右平移，就可得到函数sinyx，xR的图象。

2．余弦函数的图象

由于coscos()sin[()]sin()22yxxxx，所以余弦函数cosyx，

xR与函数sin()2yx,xR是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：

三角函数的图象和性质

知识网络

三角函数的图象和性质结构简图

画龙点晴

概念

三角函数的图象:

(1) 函数xysin的图象叫做正弦曲线, 如图1;

(2) 函数xycos的图象叫做余弦曲线, 如图2;

(3) 函数xytan的图象叫做正切曲线, 如图3;

(4) 函数xycot的图象叫做余切曲线, 如图4;

周期函数:

对于函数f

(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f

(x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f

(x0+t)f (x0)）;

3T往往是多值的（如y=sinx

2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）.

三角函数的性质: 三角函数的性质如下表:

[活用实例]

[例1] 求下列函数的最值：

(1)y=sin(3x+4)-1 ; (2) y=sin2x-4sinx+5 ;

(3) y=xxcos3cos3 ; (4))3cos(2xy (6≤x≤32).

[题解] (1) 当3x+4=2k+2即 x=1232k (kZ)时ymax=0;

当3x+4=2k-2即x=432k (kZ)时ymin=-2.

(2) y=(sinx-2)2+1

∴当x=2k-2 kZ时ymax=10; 当x=2k-2

kZ时ymin= 2.

(3)y=-1+xcos31 当x=2k+ kZ时 ymax=2; 当x=2k kZ时 ymin= 21.