三角函数的图象和性质

三角函数图象性质一览表

正弦定理、余弦定理及应用

设ABC△的外接圆的半径是R，内切圆的半径是r，cbap21是半周长。 1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin，或CBAcbasin:sin:sin::

变式：ARasin2；BRbsin2；CRcsin2

RaA2sin；RbB2sin；RcC2sin 2、余弦定理：Abccbacos2222；Baccabcos2222；Cabbaccos2222

推论：bcacbA2cos222；acbcaB2cos222；abcbaC2cos222

3、面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21△

变式：⑴CBARabcRSABCsinsinsin2412△

⑵cpbpappSABC△（海伦秦九韶公式）

4、常用结论：

⑴BABAbasinsin

⑵baBABAsinsin

⑶若BA2sin2sin，则BABA22或222BABA

⑷和诱导公式有关的变式：

2cos2sinCBA；2cos2sinBCA；2cos2sinACB；

2sin2cosCBA；2sin2cosBCA；2sin2cosACB

CBAsinsin；BCAsinsin；ACBsinsin;

CBAcoscos；BCAcoscos；ACBcoscos

⑸BcCbacoscos；AcCabcoscos；AbBaccoscos

5、注意两角和与差公式、二倍角公式和半角公式、辅助角公式的应用。

6、注意函数xAysin的知识在三角形中的应用：

比如求821sin2Axf，4,0A的最大值。 三角函数 xysin xycos xytan

行胜于言

1

专题能力训练9 三角函数的图象与性质

能力突破训练

1.对于函数y=sin(2𝑥-π6),下列说法正确的是( )

A.函数图象关于点(π3,0)对称

B.函数图象关于直线x=5π6对称

C.将它的图象向左平移π6个单位,得到y=sin 2x的图象

D.将它的图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin(𝑥-π6)的图象

2.(2015陕西高考)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6𝑥+

𝜑)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )

A.5 B.6

C.8 D.10

3.(2015山东滨州一模)若函数f(x)=√3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在[-π4,0]上为减函数,

则θ的一个值为( )

A.-π3 B.-π6

C.5π6 D.2π3

4.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f(π8+𝑡)=f(π8-𝑡),且f(π8)=-3,则实数m的值等于

( )

A.-1 B.±5

C.-5或-1 D.5或1

5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|

π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是( )

A.(π3,1) B.(π12,0)

C.(5π12,0) D.(-π12,0)

6.将函数y=2sin(𝜔𝑥-π4)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位后,所得的两个图象对称

轴重合,则ω的最小值为 .

7.定义一种运算:(a1,a2)⊗(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(√3,2sin x)⊗(cos x,cos 2x)的图象向左

平移n(n>0)个单位所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为 .

8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|

9.(2015湖北孝感检测)已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点(π3,0),则函数

1 三角函数的图象和性质·典型例题

于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分

k∈Z}

【说明】 学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式定出角的范围；③在[0，2π]中找出角的代表；④求交集，找单位圆中重叠的部分；⑤写出角的范围的表达式，注意加周期． 2 【例3】 求下列函数的定义域：

解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0

【说明】 求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．

【说明】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．

【例4】 求下列函数的值域：

3

∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}

【说明】 求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要注意函数的概念的指导作用，注意利用正、余弦函数的有界性．

【例5】 判断下列函数的奇偶性：

【分析】 先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．

∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)

【例8】 求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．

∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}

∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z} 4

当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．

【说明】 求三角函数的最值的类型与方法：

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三角函数图象和性质考点解析

作者：刘欣芳

来源：《中学生数理化·教研版》2010年第07期

一、高考试题特点回顾

三角函数内容在高考中主要考查三角函数的性质、图象及其变换,主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值问题、解析式、图象的变换及”五点法”作图等,且主要以选择题、填空题形式出现,在解答题中一般考查一个题,属于中档偏易题.

二、命题展望

三角函数的图象是高考的热点之一,常重点考查已知函数图象求解析式,函数的图象变换及对称问题,或利用图象解应用题等,各种题型都有,属中等题;三角函数的单调性、奇偶性、周期性等在高考中出现的频率较高,它仍将今后高考命题的热点.

三、考点分析

近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是本章复习的重点.

在复习时要充分渗透数形结合的思想,把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质,同时也要会利用函数的性质来描绘函数的图象.

1.三角函数线

三角函数线是三角函数的一种几何表示,是用规定了方向的线段来表示三角函数的值.每种三角函数的定义及其相应的函数线之间的对应都是:“数”与“形”的对应,前者是代数形式,后者是几何形式,代数形式便于计算,几何形式形象直观.

从三角函数的几何表示可以看出,三角函数及其性质与圆有着直接的联系.事实上,任意角、任意角的三角函数、三角函数的性质(周期性、单调性、最大值、最小值等)、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数的图象等,都可以借助单位圆得到认识,这也是人们把三角函数称作“圆函数”的原因.因此,在三角函数的研究中,借助单位圆进行几何直观描述是非常重要的手段,而且这也是使学生领会数形结合思想,学会利用数形结合思想去思考和解决问题的好机会. 龙源期刊网