高二数学 第二章推理与证明导学案
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第1页 共22页 §2.1.1 合情推理（1）
学习目标
1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P28~ P30，找出疑惑之处）
在日常生活中我们常常遇到这样的现象：
（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；
（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.
以上例子可以得出推理是
的思维过程.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：归纳推理
问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5,
12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,
50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：
.
问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出
.
新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的
的推理，或者由
的推理.简言之，归纳推理是由
的推理.
※ 典型例题
例1 观察下列等式：1+3=4=22，
1+3+5=9=23，
1+3+5+7=16=24，
1+3+5+7+9=25=25，
……
你能猜想到一个怎样的结论？
变式：观察下列等式：1=1 1+8=9，
1+8+27=36，
1+8+27+64=100，
……
你能猜想到一个怎样的结论？
例2已知数列na的第一项11a，且nnnaaa11(1,2,3...)n，试归纳出这个数列的通项公式.
变式：在数列{na}中，11()2nnnaaa（2n），试猜想这个数列的通项公式.
※ 动手试试
练1. 应用归纳推理猜测11112222的结果.
第2页 共22页
练2. 在数列{na}中，11a，122nnnaaa（*nN）,试猜想这个数列的通项公式.
三、总结提升
※ 学习小结
1．归纳推理的定义.
2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；①从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.
※ 知识拓展
1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F，121215F，2222117F，32321257F，4242165537F的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n，任何形如221nnF的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F不是素数，推翻费马猜想.
2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）.
A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确
D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
2.若2()41,fnnnnN，下列说法中正确的是（ ）.
A.()fn可以为偶数 B. ()fn一定为奇数
C. ()fn一定为质数 D. ()fn必为合数
3.已知2()(1),(1)1()2fxfxffx *xN（），猜想(fx）的表达式为（ ）.
A.4()22xfx B.2()1fxx
C.1()1fxx D.2()21fxx
4.111()1()23fnnNn，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222fffff猜测当2n时，有__________________________.
5. 从22211,2343,345675中得出的一般性结论是_____________ .
课后作业
1. 对于任意正整数n，猜想(21)n与2(1)n的大小关系.
2. 已知数列{na }的前n项和nS，123a，满足12(2)nnnSanS，计算1234,,,,SSSS并猜想nS的表达式.
§2.1.1 合情推理（2）
学习目标
第3页 共22页 1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;
2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P30~ P38，找出疑惑之处）
1.已知 0(1,2,,)iain，考察下列式子：111()1iaa；121211()()()4iiaaaa；
123123111()()()9iiiaaaaaa . 我们可以归纳出，对12,,,naaa也成立的类似不等式为 .
2. 猜想数列1111,,,,13355779的通项公式是 .
二、新课导学
※ 学习探究
鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.
新知：类比推理就是由两类对象具有
和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到
的推理.
※ 典型例题
例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
类比
角度 实数的加法 实数的乘法
运算
结果
运算律
逆运算
单位元
变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.
圆的概念和性质 球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦
与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
以点00(,)xy为圆心，r为半径的圆的方程为22200()()xxyyr
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.
三角形 四面体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
三角形的面积为1()2Sabcr（r为三角形内切圆的半径）
新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.
※ 动手试试
练1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点12,MM与点12,NN，则三角形面积之比
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.若不在同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点12,PP，点12,QQ和点12,RR，则类似的结论是什么？
练2. 在ABC中，不等式1119ABC成立；在四边形ABCD中，不等式1111162ABCD成立；在五边形ABCDE中，不等式11111253ABCDE成立.猜想，在n边形12nAAA中，有怎样的不等式成立？
三、总结提升
※
学习小结
1．类比推理是由特殊到特殊的推理.
2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；①用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.
3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.
※ 知识拓展
试一试下列题目：
1. 南京∶江苏
A. 石家庄∶河北 B. 渤海∶中国
C. 泰州∶江苏 D. 秦岭∶淮河
2. 成功∶失败
A. 勤奋∶成功 B. 懒惰∶失败 C. 艰苦∶简陋 D. 简单∶复杂
3.面条∶食物
A. 苹果∶水果 B. 手指∶身体
C. 菜肴∶萝卜 D. 食品∶巧克力
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列说法中正确的是（ ）.
A.合情推理是正确的推理
B.合情推理就是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理
D.类比推理是从特殊到特殊的推理
2. 下面使用类比推理正确的是（ ）.
A.“若33ab ,则ab ”类推出“若00ab ,则ab”
B.“若()abcacbc”类推出
“()abcacbc”
C.“若()abcacbc ” 类推出“ababccc
（c≠0）”
D.“nnaabn（b）” 类推出“nnaabn（b）
3. 设)()(,sin)('010xfxfxxf，
'21()(),,fxfx'1()()nnfxfx，n①N，则2007()fx （ ）.
A.sinx B.－sinx
C.cosx D.－cosx
4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆
若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2019个圆中有 个黑圆.
5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是 .
