人教版高中数学高二选修2-2第二章《推理与证明》章末复习导学案

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高中数学 第二章《推理与证明》章末复习导学案

考试要求

1.了解合情推理的思维过程；

2.掌握演绎推理的一般模式

3.会灵活运用直接证明和间接证明的方法，证明问题；

4.掌握数学归纳法的整体思想.

典例精析精讲

例1 如图，已知□ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点.

（1）求证：直线AE∥平面BDF；

（2）若90AEB，求证：平面BDF⊥平面BCE．

例2 已知数列na的前n项和11()22nnnSa（n为正整数）.

（Ⅰ）令2nnnba，求证数列nb是等差数列，并求数列na的通项公式；

（Ⅱ）令1nnncan，12........nnTccc试比较nT与521nn的大小，并予以证明.

例3 设数列na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成立，记例1图 打印版本

高中数学 *4()1nnnabnNa.

（I）求数列na与数列nb的通项公式；

（II）设数列nb的前n项和为nR，是否存在正整数k，使得4nRk成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

（III）记*221()nnncbbnN，设数列nc的前n项和为nT，求证：对任意正整数n都有32nT.

例4 设函数()lnfxxxx．数列na满足101a，1()nnafa．

（Ⅰ）证明：函数()fx在区间(01)，是增函数；

（Ⅱ）证明：11nnaa；

（Ⅲ）设1(1)ba，，整数11lnabkab≥．证明：1kab．

解析：

例5 已知函数))((Rxxf满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有)]()()[()(λ2121221xfxfxxxx和2121)()(xxxfxf，其中λ是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 0)(0af和)(λafab.

（Ⅰ）证明:1λ，并且不存在00ab，使得0)(0bf；

（Ⅱ）证明:20220))(λ1()(aaab；

（Ⅲ）证明:222)]()[λ1()]([afbf. 打印版本

高中数学 22()2,.fxxxxxR()yfxc高考真题博览

1．（2011天津理4）对实数a和b，定义运算“”：设函数若数的图像与x轴恰有两个公共点，则函实数c的取值范围是

A．3,21,2 B．3,21,4

C．111,,44 D．311,,44

2．（2011山东理12）设1A，2A，3A，4A是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312AAAA（λ∈R），1412AAAA（μ∈R），且112,则称3A，4A调和分割1A，2A,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是

A．C可能是线段AB的中点

B．D可能是线段AB的中点

C．C，D可能同时在线段AB上

D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

3.（2011湖北理9）若实数a,b满足0,0,ab且0ab，则称a与b互补，记22(,),ababab，那么,0ab是a与b互补的

A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要的条件

4.（2011福建理15）设V是全体平面向量构成的集合，若映射:fVR满足：对任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有

((1))()(1)(),fabfafb则称映射f具有性质P.现给出如下映射：

①12:,(),,(,);fVRfmxymxyV

②222:,(),(,);fVRfmxymxyV

③33:,()1,(,).fVRfmxymxyV

其中，具有性质P的映射的序号为________.（写出所有具有性质P的映射的序号） ,1,,1.aababbab打印版本

高中数学

5.（2011湖南理16）对于*nN,将n表示12100121222...22kkkkknaaaaa,当0i时，1ia,当1ik时,

1a为0或1．记()In为上述表示中ai为0的个数（例如：021012,4120202I）,故(1)0I, (4)2I）,则

（1）(12)I________________;（2） ()12mInn________________.

6.（2011北京理8）设0,0A,4,0B，4,4Ct,,4DttR.记Nt为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数Nt的值域为

A．9,10,11 B．9,10,12

C．9,11,12 D．10,11,12

7.（2011江西理7）观察下列各式：55=3125，65=15625，75=78125，…则20115的末四位数字为

A．3125 B．5625 C．0625 D．8125

8.（2011广东理8）设S是整数集Z的非空子集，如果,,abS有abS，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，,TUZ且,,,abcT有;,,,abcTxyzV有xyzV，则下列结论恒成立的是

A．,TV中至少有一个关于乘法是封闭的

B．,TV中至多有一个关于乘法是封闭的

C．,TV中有且只有一个关于乘法是封闭的

D．,TV中每一个关于乘法都是封闭的

9.（2011江西理10）如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这打印版本

高中数学 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是

10.（2011安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(,)xy为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

11.（2011四川理16）函数fx（）的定义域为A，若1212xxAfx=fx，且（）（）时总有12x=xfx，则称（）为单函数．例如，函数fx（）=2x+1（xR）是单函数．下列命题：

①函数fx（）=2x（xR）是单函数；

②若fx（）为单函数，121212xxAxxfxfx，且，则（）（）；

③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；

④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．

其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）

12.（2011山东理15）设函数()(0)2xfxxx,观察:

1()(),2xfxfxx

21()(()),34xfxffxx

32()(()),78xfxffxx 打印版本

高中数学 43()(()),1516xfxffxx

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当nN且2n时，1()(())nnfxffx .

13.（2011陕西理13）观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第n个等式为 .

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高中数学 参考答案

典例精析

例1证明：（1）设AC∩BD＝G，连接FG.

由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点.

又∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG∥AE.

∵AE平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD；

（2）∵π2AEB，∴AEBE.

又∵直线BC⊥平面ABE，∴AEBC.

又BCBEB，∴直线AE平面BCE.

由（1）知，FG∥AE，∴直线FG平面BCE.

例2 解：解：（I）在11()22nnnSa中，令n=1，可得1112nSaa，即112a.

当2n时，21111111()2()22nnnnnnnnnSaaSSaa，，

11n1112a(),212nnnnnaaan即2.

112,1,n21nnnnnnbabbbn即当时，b.

又1121,ba数列nb是首项和公差均为1的等差数列.

于是1(1)12,2nnnnnnbnnaa.

(II)由（I）得11(1)()2nnnncann，所以

23111123()4()(1)()2222nnTn，

2341111112()3()4()(1)()22222nnTn.