高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法教学案 2数学教学案

2．2.2 反证法

预习课本P42～43，思考并完成下列问题

(1)反证法的定义是什么？有什么特点？

(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？

[新知初探]

反证法的定义及证题的关键

[点睛] 对反证法概念的理解

(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．

(2)反证法属“间接解题方法”．

2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系

(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．

(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )

(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )

(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√

2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )

①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论

A．①② B．①②④

C．①②③ D．②③

答案：C

3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )

A．一个是正数，一个是负数

B．两个都是正数

C．至少有一个正数

D．两个都是负数

答案：C

4．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b ”，假设的内容应是________．

答案：3a≤3b

用反证法证明否定性命题

[典例]

已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．

[证明] 假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b， 即a＋c＋2ac＝4b.

∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，

∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.

从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，

故a，b，c不成等差数列．

1．用反证法证明否定性命题的适用类型

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．

2．用反证法证明数学命题的步骤

[活学活用]

已知f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．

证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，

则x0＜0且x0≠－1，且ax0＝－x0－2x0＋1，

由0＜ax0＜1⇒0＜－x0－2x0＋1＜1，

解得12＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，所以假设不成立，

故方程f(x)＝0没有负数根.

用反证法证明“至多”“至少”问题

[典例] 已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．

[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：

 (4a)2－4(－4a＋3)＜0，(a－1)2－4a2＜0，(2a)2＋4×2a＜0⇒ －32＜a＜12，a＞13或a＜－1，⇒－32＜a＜－1，－2＜a＜0.

这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．

[一题多变]

1．[变条件，变设问]将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？

解：若方程没有一个有实根，则 16a2－4(3－4a)＜0，(a－1)2－4a2＜0，4a2＋8a＜0， 解得 －32＜a＜12，a＞13或a＜－1，即－32＜a＜－1，－2＜a＜0.

故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是a a≥－1或a≤－32.

2．[变条件，变设问]将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围．

解：假设三个方程都有实数根，则

 (4a)2－4(－4a＋3)≥0，(a－1)2－4a2≥0，(2a)2＋4×2a≥0，

即 4a2＋4a－3≥0，3a2＋2a－1≤0，a2＋2a≥0，

解得 a≤－32或a≥12，－1≤a≤13，a≤－2或a≥0.

即a∈∅.

所以实数a的取值范围为实数R. 3．[变条件，变设问]已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．

证明：假设a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.

∵a＋b＝c＋d＝1，

∴(a＋b)(c＋d)＝1，

∴ac＋bd＋bc＋ad＝1.

而ac＋bd＋bc＋ad＞ac＋bd＞1，与上式矛盾，

∴假设不成立，

∴a，b，c，d中至少有一个是负数．

用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点

(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．

(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．

用反证法证明唯一性命题

[典例] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．

[证明] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．

若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．

若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，

这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．

综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．

巧用反证法证明唯一性命题

(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．

(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．

(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．

[活学活用]

求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．

证明：已知：直线b∥a，A∉a，A∈b，

求证：直线b唯一．

假设过点A还有一条直线b′∥a.

根据平行公理，∵b∥a，∴b∥b′，

与b∩b′＝A矛盾，∴假设不成立，原命题成立．

层级一 学业水平达标

1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：

①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．

则正确的序号顺序为( )

A．①②③ B．③①②

C．①③② D．②③①

解析：选B 根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.

2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )

A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除

D．a不能被5整除

解析：选B “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.

3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )

A．三个内角中至少有一个钝角

B．三个内角中至少有两个钝角

C．三个内角都不是钝角

D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角

解析：选B “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．

4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )

A．一定是异面直线 B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线

解析：选C 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.

5．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B ∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a－c＞b－d成立时，假设a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，与题设矛盾，∴a＞b.综上可知，“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要不充分条件．

6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．

答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．

解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1. 答案：a≠1或b≠1

8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是____________．

解析：假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．

答案：异面

9．求证：1，3，2不能为同一等差数列的三项．

证明：假设1，3，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，

则1＝3－md,2＝3＋nd，其中m，n为两个正整数，

由上面两式消去d，得n＋2m＝3(n＋m)．

因为n＋2m为有理数，而3(n＋m)为无理数，

所以n＋2m≠3(n＋m)，矛盾，因此假设不成立，

即1，3，2不能为同一等差数列的三项．

10．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.

(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；

(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．

解：(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.

∵f(x)在R上是增函数，

∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，

∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．