人教B版高中数学必修二 《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT课件

1 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标

实例――→了解指数函数、对数函数、幂函数的增长差异――→理解直线上升，指数爆炸对数增长的含义――→掌握解决相应的实际问题

重点：指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义．

难点：三种增长函数模型的应用．

一、比较函数增长的差异

探究1

分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．

例1 下列所给函数，增长最快的是( )．

A．y＝5x B．y＝x5

C．y＝log5x D．y＝5x

探究2

已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．

例2 以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：

x 1 2 3 4 5 6 7 8 „

y1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 „

y2 1 8 27 64 125 216 343 512 „

y3 0 0.630 1 1.261 1.465 1.630 1.771 1.892 „

其中关于x成指数函数变化的函数是__________．

比较不同函数增长快慢时，一方面要熟记指数函数、对数函数、幂函数的不同增长特点；另一方面，要善于运用图像，根据图像特点来分析和比较函数的增长速度．一般地，(1)随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数．(2)图像趋于平缓的函数是对数函数．(3)介于两者之间的是幂函数．

二、比较大小问题 2 探究3

比较下列各组数的大小：

(1)3423，2334；(2)0.32，log20.3,20.3.

凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

幂函数

一、知识梳理

1、 理解kxy的概念及性质

函数kxyQk

（1） 在区间,0上都有意义；

（2） 图像都通过点1,1；

（3） 当0k时，在区间,0上递增，当0k时，在区间,0上递减。

2、 掌握幂函数图像在第一象限的分类特征，能数形结合地处理幂函数单调性、奇偶性问题。

3、掌握幂函数的八种大致图像。

二、例题讲解

例1、画出下列幂函数的大致图像

（1）32xy（2）3xy（3）21xy（4）31xy

例2、（1）已知幂函数Ztxttytt22375131是偶函数，且在区间,0上是增函数，求t的值。

（2）已知幂函数221mmxy在区间0,上是减函数，求m的取值范围。

例3、设函数f（x）＝x3， 凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

（1）求它的反函数；

（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．

例4、求函数y＝52x＋2x51＋4（x≥－32）值域．

解析：设t＝x51，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．

当t＝－1时，ymin＝3．

∴函数y＝52x＋2x51＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．

点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．

例5、已知函数22()()kkfxxkZ，且(2)(3).ff

（1）求k的值；

（2）试判断是否存在正数p，使函数()1()(21)gxpfxpx在区间[1,2]上的值域为17[4,]8。

若存在，求出这个p的值；若不存在，说明理由。

解：（1）∵)3()2(ff，∴022kk，即022kk，

∵Zk，∴10或k。

（2）2)(xxf， ppppxpxpxpxg414212121)(222 凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

1 §2.1.1 指数与指数幂的运算(二)

学习目标

1. 理解分数指数幂的概念

2. 掌握有理指数幂的运算性质

3. 会对根式、分数指数幂进行互化

※ 学习重点、难点：

重点:分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的

相互转化

难点:分数指数幂的有关运算

学习过程

一.课前导学

（预习教材P50~ P53,找出疑惑之处）

※ 探索新知

探究1:有理数指数幂的运算性质

问题1:有理数指数幂有什么运算性质？

新知:有理数指数幂,无理数指数幂有意义,它们的运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即:

二.课内探究

※ 知识检测

1.求值:233334232527,16,(),()549 (1)(0,,)rsaaarRsR(2)()(0,,)rsaarRsR(3)()(0,)rabarR2

小结:

2.用分数指数幂的形式表示下列各式(b>0)

（1） (2)533bb (3)34bb

小结：

※ 能力达标

3.计算下列各式(式中字母都是正数)

（1）211511336622(3)(8)(6)ababab

（2）311684()mn

小结:

4.计算

344(1)(1632)64

(2)

2bb334aaa(0)a3

小结：

※ 拓展提高

5.已知11223aa,求下列各式的值

(1)1aa (2)22aa

014323)12(3256)71(027.01.6

小结:

三.总结提升

※ 学习小结

1.分数指数幂的意义

2.分数指数幂与根式的互化

3.实数指数幂的运算性质

四.课后作业

1.当a0时,下列式子中正确的是( )

A. B. C. D. 03232aaaaa322323132aaaaa1)(2214 2.已知Rba,，则下列各式成立的是( )

高中数学学习材料

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高一（上）数学指数函数、对数函数、幂函数练习

知识要点梳理

知识点一：指数及指数幂的运算

1.根式的概念

的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中.

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；

当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

2、n次方根的性质

(1)当为奇数时，；当为偶数时，

(2)

3、分数指数幂的意义： ；

注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.

4、有理数指数幂的运算性质：

(1) (2) (3)

知识点二：指数函数及其性质

1、指数函数概念

一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.

2、指数函数函数性质：

函数 指数函数

定义 函数且叫做指数函数

图象

定义域

值域

过定点 图象过定点，即当时，.

奇偶性 非奇非偶

单调性 在上是增函数 在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算

1.对数的定义

(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.

(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化：.

2.几个重要的对数恒等式

，，.

3.常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).

4.对数的运算性质

如果，那么

①加法： ②减法：

③数乘： ④

⑤

⑥换底公式：

知识点四：对数函数及其性质

1、对数函数定义

一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.

2、对数函数性质：

函数

名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数

图象