人教高中数学必修二B版《指数与指数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(实数指数幂及其运算)

1 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标

实例――→了解指数函数、对数函数、幂函数的增长差异――→理解直线上升，指数爆炸对数增长的含义――→掌握解决相应的实际问题

重点：指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义．

难点：三种增长函数模型的应用．

一、比较函数增长的差异

探究1

分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．

例1 下列所给函数，增长最快的是( )．

A．y＝5x B．y＝x5

C．y＝log5x D．y＝5x

探究2

已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．

例2 以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：

x 1 2 3 4 5 6 7 8 „

y1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 „

y2 1 8 27 64 125 216 343 512 „

y3 0 0.630 1 1.261 1.465 1.630 1.771 1.892 „

其中关于x成指数函数变化的函数是__________．

比较不同函数增长快慢时，一方面要熟记指数函数、对数函数、幂函数的不同增长特点；另一方面，要善于运用图像，根据图像特点来分析和比较函数的增长速度．一般地，(1)随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数．(2)图像趋于平缓的函数是对数函数．(3)介于两者之间的是幂函数．

二、比较大小问题 2 探究3

比较下列各组数的大小：

(1)3423，2334；(2)0.32，log20.3,20.3.

新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数章末复习提升课学案新人教B版必修第二册

章末复习提升课

指数、对数的运算

化简：(1)(8) －23×(3102)92÷105；

(2)2log32－log3329＋log38－25log53.

【解】 (1)原式＝(232)－23×(1023)92÷1052

＝2－1×103×10－52＝2－1×1012＝102.

(2)原式＝log34－log3329＋log38－52log53

＝log34×932×8－5 log59

＝log39－9＝2－9＝－7.

指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

计算80.25×42＋(32×3)6＋log32×log2(log327)的值为________．

解析：因为log32×log2(log327)＝log32×log23

＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1，

所以原式＝234×214＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.

答案：111

比较大小

比较下列各组数的大小：

(1)27，82；(2)log20.4，log30.4，log40.4；(3)2－13，log213，log1213.

【解】 (1)因为82＝(23)2＝26，

由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.

(2)因为对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，

所以log0.44

又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，

所以1log0.42<1log0.43<1log0.44，

即log20.4

(3)0<2－13<20＝1.

2.1 指数函数

在初中的学习中，学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质.本节内容在组织学生回顾平方根、立方根的基础上，类比出一个正数的n次方根定义，进而将指数推广到分数指数，从而完成了指数由整数指数到有理数指数的一次推广，在利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，完成了指数由有理数指数到实数指数的二次推广，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂，使学生对指数幂的概念以及运算性质有了一个比较完整的认识，同时也为研究指数函数作好了知识上的准备.

根式的概念是教学中的难点，教材中通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n次方根的定义.为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比出n次方根的一般定义与性质.方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.

由于学过负整数次幂，正分数次幂引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，因此，教学中可以放手让学生自己得出.

在掌握了有理数指数幂的基础上，利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，从而直观形象地给出了有理数指数幂的运算性质也可以推广到无理数.

有了把指数范围扩充到实数范围内的知识上的准备，又有前面所学的对函数概念和性质的系统学习，顺理成章地引出了指数函数概念、怎样作出指数函数图象、怎样研究指数函数的性质以及与其他函数结合的研究.

教材是通过死亡后生物体内碳14含量与死亡年数的关系这样一个实际问题引入指数函数的，既说明指数函数的概念来自实践，认识到指数函数对实际生活的意义，也便于学生接受.但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，在进行指数函数定义的教学时，既要明确其定义域，又要让学生去探索成立的条件，明确底数a是一个大于零且不等于1的常数，这样既培养了学生掌握概念的能力，又锻炼了学生分析问题和处理问题的能力.

1 §2.1.1 指数与指数幂的运算(二)

学习目标

1. 理解分数指数幂的概念

2. 掌握有理指数幂的运算性质

3. 会对根式、分数指数幂进行互化

※ 学习重点、难点：

重点:分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的

相互转化

难点:分数指数幂的有关运算

学习过程

一.课前导学

（预习教材P50~ P53,找出疑惑之处）

※ 探索新知

探究1:有理数指数幂的运算性质

问题1:有理数指数幂有什么运算性质？

新知:有理数指数幂,无理数指数幂有意义,它们的运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即:

二.课内探究

※ 知识检测

1.求值:233334232527,16,(),()549 (1)(0,,)rsaaarRsR(2)()(0,,)rsaarRsR(3)()(0,)rabarR2

小结:

2.用分数指数幂的形式表示下列各式(b>0)

（1） (2)533bb (3)34bb

小结：

※ 能力达标

3.计算下列各式(式中字母都是正数)

（1）211511336622(3)(8)(6)ababab

（2）311684()mn

小结:

4.计算

344(1)(1632)64

(2)

2bb334aaa(0)a3

小结：

※ 拓展提高

5.已知11223aa,求下列各式的值

(1)1aa (2)22aa

014323)12(3256)71(027.01.6

小结:

三.总结提升

※ 学习小结

1.分数指数幂的意义

2.分数指数幂与根式的互化

3.实数指数幂的运算性质

四.课后作业

1.当a0时,下列式子中正确的是( )

A. B. C. D. 03232aaaaa322323132aaaaa1)(2214 2.已知Rba,，则下列各式成立的是( )