高考专题练习： 第2课时 简单的三角恒等变换

(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________；

(2)(一题多解)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos 2αcos 2β＝________．

【解析】 (1)原式＝12（4cos4x－4cos2x＋1）2×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝（2cos2x－1）24sinπ4－xcosπ4－x

＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos 2x＝12cos 2x.

(2)方法一：原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2αcos 2β＝1－cos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β4＋1＋cos 2β＋cos 2α＋cos 2αcos 2β4－12cos

2αcos 2β＝12＋12cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝12.

方法二：原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1)

＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)

＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12＝12.

方法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(cos2α－sin2α)·(cos2β－sin2β)

＝12(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β)

＝12[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)]

＝12(sin2α＋cos2α)＝12.

【答案】 (1)12cos 2x (2)12

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则

(2)三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

1．化简：2sin（π－α）＋sin 2αcos2α2＝________．

解析：2sin（π－α）＋sin 2αcos2α2＝2sin α＋2sin αcos α12（1＋cos α）

＝2sin α（1＋cos α）12（1＋cos α）＝4sin α.

答案：4sin α

2．化简：（1＋sin α＋cos α）·cos α2－sin α22＋2cos α＝________(其中0

解析：原式＝2cos2α2＋2sin α2cos α2·cos α2－sin

α24cos2α2＝cos α2·cos2α2－sin2α2cos α2＝

cos

α2·cos

αcos

α2，因为00，所以原式＝cos α.

答案：cos α

三角函数的求值(多维探究)

角度一 给角求值

[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°＝________．

【解析】 原式＝2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin280°

＝2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2cos 10°

＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]

＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.

【答案】 6

该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．

角度二 给值求值

(一题多解)已知cosπ4＋x＝35，若17π12

【解析】 方法一：由17π12

又cosπ4＋x＝35，所以sinπ4＋x＝－45，

所以cos x＝cosπ4＋x－π4＝cosπ4＋xcosπ4＋sinπ4＋xsinπ4

＝35×22－45×22＝－210，

从而sin x＝－7210，tan x＝7.

则sin 2x＋2sin2x1－tan x＝2sin xcos x＋2sin2x1－tan x

＝2－7210×－210＋2－721021－7＝－2875.

方法二：由方法一得tanπ4＋x＝－43.

又sin 2x＝－cosπ2＋2x＝－cos 2π4＋x

＝－2cos2π4＋x＋1＝－1825＋1＝725.

所以sin 2x＋2sin2x1－tan x＝sin 2x＋2sin2x1－sin xcos x

＝sin 2xcos x＋2sin2xcos xcos x－sin x＝sin 2x（sin x＋cos x）cos x－sin x

＝sin 2x·1＋tan x1－tan x＝sin 2x·tan(x＋π4)

＝725×(－43)＝－2875.

【答案】 －2875

给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．

角度三 给值求角

(1)(2021·长沙市四校模拟考试)已知α为锐角，且cos

α(1＋3tan10°)＝1，则α的值为(

)

A．20° B．40°

C．50° D．70°

(2)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是________．

【解析】 (1)由cos α(1＋3tan 10°)＝1，可得cos α×3sin 10°＋cos 10°cos 10°＝1，所以cos α×2sin 40°cos 10°＝1，所以cos α＝cos 10°2sin 40°＝sin 80°2sin 40°＝2sin 40°cos 40°2sin 40°＝cos

40°，又α为锐角，所以α＝40°，选B．

(2)因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈π2，π，

所以cos 2α＝－255且α∈π4，π2，

又因为sin(β－α)＝1010，β∈π，3π2，

所以β－α∈π2，π，所以cos(β－α)＝－31010，

所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α

＝－31010×－255－1010×55＝22，

又α＋β∈5π4，2π，所以α＋β＝7π4.

【答案】 (1)B (2)7π4

通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：

(1)已知正切函数值，则选正切函数．

(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是0，π2，则选

正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，则选正弦较好．

[提醒] 对角的范围的限定是求角问题中的难点，一般来说对角的范围的限定可从以下两方面进行：(1)题目给定的角的范围；(2)利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正负可挖掘出角的范围，也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围，注意应尽量使角的范围精准，避免增根．

1.3tan 12°－3sin 12°（4cos212°－2）＝________．

解析：原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°（4cos212°－2）＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°（2cos2 12°－1）

＝2312sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝23sin（12°－60°）12sin 48°＝－43.

答案：－43

2．已知tanα＋π4＝17，且α为第二象限角，若β＝π8，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝________

解析：tanα＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，所以tan α＝－34，又α为第二象限角，所以cos

α＝－45，所以sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sinα－π2＝－cos α＝45.

答案：45

3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．

解析：因为tan

α＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tan

β1－tan（α－β）tan β

＝12－171＋12×17＝13>0，所以0

又因为tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×131－132＝34>0，

所以0<2α

所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.

因为tan β＝－17<0，所以π2

所以2α－β＝－34π.

答案：－34π

三角恒等变换的综合应用(师生共研)

已知函数f(x)＝24sinπ4－x＋64cosπ4－x.

(1)求函数f(x)在区间π4，3π2上的最值；

(2)若cos θ＝45，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3的值．

【解】 (1)由题意得f(x)＝24sinπ4－x＋64cosπ4－x

＝22×12sinπ4－x＋32cosπ4－x

＝－22sinx－7π12.