1 第6讲 倍角公式及简单的三角恒等变换
基础巩固
1.函数f(x)=cos2-sin2+sin x的最小正周期是( )
A. B.π C. D.2π
【答案】D
【解析】f(x)=cos x+sin x=sin,
故函数f(x)的最小正周期是T=2π.
2.函数y=sin22x是( )
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
【答案】D
【解析】∵y=sin22x=,∴函数y=sin22x是周期为的偶函数,故应选D.
3.等于( )
A.- B.- C. D.
【答案】D
【解析】原式=cos2-sin2=cos=cos=.
4.设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.a
C.a
【答案】C
【解析】a=sin 59°,c=sin 60°,b=sin 61°,
故a
或a2=1+sin 28°<1+=,b2=1+sin 32°>1+=,c2=,所以a
5.若
A. B.±
C. D.±
【答案】A
【解析】∵cos α=1-2sin2,∴sin2==.
又<<,∴sin=.
6.(2012·山东卷,7)若θ∈,sin 2θ=,则sin θ=( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由θ∈,得2θ∈.
又sin 2θ=,故cos 2θ=-.
故sin θ==.
7.已知下列各式中,值为的是( )
A.sin 15°cos 15° B.cos2-sin2
C. D.
【答案】B
【解析】∵sin 15°cos 15°=sin 30°=;
cos2-sin2=cos=;
=×=×tan 60°=; 2 =cos 15°=cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=.
8.(2012·江西卷,4)若=,则tan 2α=( )
专题二十 简洁的三角恒等变换
【高频考点解读】
1.把握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
【热点题型】
题型一 已知三角函数值求值
例1、已知角A、B、C为△ABC的三个内角，OM→＝(sinB＋cosB，cosC)，ON→＝(sinC，sinB－cosB)，OM→·ON→＝－15.
(1)求tan2A的值；
(2)求2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4的值．
(2)∵tanA＝－34，
∴2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4＝cosA－3sinAcosA＋sinA＝1－3tanA1＋tanA ＝1－3×－341＋－34＝13.
【提分秘籍】
对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分状况争辩，应留意公式的正用、逆用、变形运用，把握其结构特征，还要留意拆角、拼角等技巧的运用．
【举一反三】
已知α∈(π2，π)，且sinα2＋cosα2＝62.
(1)求cosα的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cosβ的值．
【热点题型】
题型二 已知三角函数值求角
例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为210，255.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
又∵α、β为锐角，
∴0＜α＋2β＜3π2，
∴α＋2β＝3π4.
【提分秘籍】
(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤：
①求出该角的范围； ②结合该角的范围求出该角的三角函数值．
(2)依据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的．
第1页 共4页 第2页 共4页 班级：_______________ 姓名：_______________________ 座位号：___________
装订线内不要答题 高中数学《三角恒等变换》练习题
专题一：三角函数式的求值
1. 求值：
(1)sinsincoscos47－173017 (2)(tan10°－3)cossin1050
2. 已知4＜α＜34，0＜β＜4，cos(4＋α)＝－35，sin(34＋β)＝513，求sin(α＋β)。
3. 已知0＜α＜2＜β＜π，tan2＝12，cos(β－α)＝210。
(1)求sinα的值；(2)求β的值。
专题二：三角函数式的化简
4. 化简：cos1111－＋22222，α∈(32，2π)。
5. 化简：
(1)costancoscos10(1＋310)701＋40；
(2)costansin222－12(－)(－)44
专题三：三角恒等式的证明
6. 求证：sincostan1＋4－42＝sincostan21＋4＋41－。
7. 已知tan(α＋β)＝2tanβ。求证：3sinα＝sin(α＋2β)。
专题四：三角函数的综合问题
8. 已知向量a＝(3sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，c＝(23，1)。
(1)若a∥c，求sinx cosx的值；(2)若0＜x≤3，求函数f(x)＝a·b的值域。
9. 已知函数f(x)＝cosx·cos(x－3)。
(1)求f(23)的值；(2)求使f(x)＜14成立的x的取值集合。
10. 已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sin(2＋φ)(0＜φ＜π)，其图象过点(6，12)。
第 1 页 共 5 页 高中数学：简单的三角恒等变换
1．常用的三角公式的变形
(1)1±sin α＝____________．
(2)1＋cos α＝____________，1－cos α＝____________．
(3)降幂公式：sin2α2＝________，cos2α2＝________，tan2α2＝________．
(4)tanα2＝________＝________．
2．常见的几种角的变换
(1)α＝(α＋β)－________，α＝________＋β.
(2)2α＝(α＋β)＋________，2β＝________－(α－β)．
(3)α＋β2＝________－α2－β，α＝2×________．
3．常数的变换
(1)1＝sin2α＋cos2α.
(2)1＝tanπ4.
题组一 常识题
1．[教材改编] sin 75°＋3cos 75°的值是________．
2．[教材改编] 函数f(x)＝sin22x＋12sin 4x(x∈R)的最小正周期是________．
3．[教材改编] 已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β的值为________．
题组二 常错题
◆ 索引：忽视角的范围出错；用错公式出错．
4．若sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，则cos 2θ＝________．
5．若sin 2α＝14，则sin2α＝________．
题组三 常考题
6．[2016·全国卷Ⅲ改编] 若tan α＝3，则sin αcos α＝__________．
7．[2013·新课标全国卷Ⅱ改编] 已知sin 2α＝13，则cos2α－π4＝________．
探究点一 三角函数式的化简
1 (1)化简：1＋sin 2α－cos 2α1＋sin 2α＋cos 2α＝________． 第 2 页 共 5 页 (2)化简：1tanα2－tanα21＋tan αtanα2＝________．
